de thi hoc sinh gioi nam 90-91

UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1990 - 1991
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 1:
Bài 1: a) Phân tích thành nhân tử: x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000.
b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, biết a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0.
Hỏi tam giác đó là tam giác gì?.
Bài 2: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 7 và khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 luôn luôn có số dư
là1.
b) CMR: A = (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y) + y
4
là số chính phương.
Bài 3: a) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p
2
+ q
2

+ r
2
cũng là số nguyên tố.
b) CMR: Phân số
13
2
24
3
++
+
nn
nn
tối giản
*
Nn
∈∀
Bài 4: Giải phương trình:
)
2
4
1
2
1
=++++
xxxa
)( )
4
4
11 xxb
+=+

Bài 5: Giải hệ phương trình:
a)







=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
b)



=++
=++
.27
27
222
zyx
zxyzxy

Bài 6: Tìm tất cả những tam giác vuông mà có độ dài các cạnh là một số nguyên dương và diện
tích của chúng bằng chu vi .
Hết
1
UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1991 - 1992
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 2:
Bài 1: Phân tích biểu thức sau ra thừa số:
a) x
3
(x
2
- 7)
2
– 36x.
b) CMR x
3
(x
2
- 7)
2
– 36x

210.

Bài 2: Chứng minh rằng:
a) 4
545
+ 545
4
là hợp số.
b) n
n
– n
2
+ n –1

(n - 1)
2
Bài 3: Tính tổng sau :
a)
n
n
aaaaS +++++= ...1
32

b)






+







+






+






+






+







+






+






+
=
1999
1000
1...
3
1000
1.
2
1000
1.
1
1000

1
1000
1999
1...
3
1999
1.
2
1999
1.
1
1999
1
A
Bài 4: Giải phương trình sau:
a)
x
x
xx
x
11
1
1
−
=−−−
b)
xx
x
x
−=−−

−
123
23
2
Bài 5: Giải hệ phương trình:
a)





=+
=++
4
282
22
yx
xyyx
b)





=+
=+
35
30
yyxx
xyyx

Bài 6: Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) (R>R’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến của (O’) tại
B cắt (O) tại C và tiếp tuyến của (O) tại B cắt (O’) tại D. CMR
a) AB
2
= AC.AD ; b)
AD
AC
BD
BC
=
2
2
; c)
'R
R
BD
BC
=
Hết
2
UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1992 - 1993
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 3:
Bài 1: Cho






=++
=++
=++
1
1
1
333
222
cba
cba
cba
Tính giá trò của biểu thức:
350020052004
cbaP
++=
Bài 2: Chứng minh rằng:
a)
.77
33
41
38
36 +=A
b)
.N400
4

7...
3
7
2
77 ∈∀++++ k
k

Bài 3: Tìm dư trong phép chia :
15
15
15
cho 49.
Bài 4:a) Chứng minh rằng :

2003
4...444
=
A
không là số chính phương.
b) Giải phương trình:
( )
.
2
1
200420032 zyxxyx ++=−+++−
Bài 5:a) Chứng minh rằng:
15
15
25
125

−
−
=
A
là một hợp số
b) Giải phương trình:





=
=++
=++
10
17
8
xyz
yzxzxy
zyx
Bài 6: Cho tam giác ABC với AB = BC và góc ABC = 80
0
. Ta lấy một điểm I ở trong tam giác
ấy sao cho góc IAC = 80
0
và góc AIC = 30
0
.
Hãy tính góc AIB.
3

Hết
UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1993 - 1994
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 4:
Bài 1: Tính tổng: S
n
=
1 1 1 1
+ + +...+
1.2.3 2.3.4 2.3.4 n(n +1)(n+ 2)
(n
1
≥
)
Bài 2: Rút gọn






+







+






+






+






+







+






+






+
=
4
1
2005...
4
1
6
4
1
4
4
1
2

4
1
2004...
4
1
5
4
1
3
4
1
1
4444
4444
S
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

( )
( )
.)
)
77
7
555
5
yxyxb
zyxzyxa
−−+
−−−++
Bài 4: Giải phương trình sau:

( )
1
1
11
)
.
3
1
)
22
23
=
+
−
=−−
x
x
b
xxx
a
Bài 5: Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng xăng đó thành hai phần bằng
nhau, mỗi phần 8 lít; nếu chỉ có thêm một can 11 lít và một can 6 lít để không?
Bài 6: Qua điểm O tùy ý trong tam giác ABC ta vẽ các đường thẳng DE; FK; MN tương ứng
song song với AB; AC; BC sao cho F và M nằm trên AB; E và K nằm trên BC ; N và D nằm trên
AC.
Chứng minh rằng
.1
=++
CA
CN

BC
BE
AB
AF
Hết
4
UBND HUYỆN CÁT TIÊN
PHÒNG GD & ĐT CÁT TIÊN
(Đề chính thức)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm 1994 - 1995
MÔN : TOÁN
LỚP : 9
(Thời gian làm bài 180 phút)
ĐỀ 5 :
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
222222
333333
caacbccbabba
caacbccbabba
E
−+−+−
−+−+−
=
Bài 2: Chứng minh rằng tổng :
A =
512
5
24
7

12120
2345
nnnnn
++++
là một số nguyên với mọi giá trò nguyên của n.
Bài 3: Thay hai dấu sao ** bằng hai chữ số sao cho số gồm 5 chữ số
**517
chia hết cả cho 6, 7
và 9.
Bài 4: Giải phương trrình:





=−+
=−+
=−+
xyzzyx
xyzyxz
xyzxzy
a)










=−
+
=−
=+
+
2
3
2
2
432
2
2
3
)
y
yx
zy
z
yx
b
Bài 5: Giải phương trình:
1168143)
=−−++−−+
xxxxa
4
191
4
1
3)

2
2
+






−=






+
x
x
x
xb
Bài 6 : Cho BE và CF là hai đường phân giác trong của tam giácABC và O là giao điểm của
chúng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông là tại A là :

COBO.
=
CFBE.
2
1
Hết

5