đề thi học sinh giỏi năm 2008-2009

Phòng gd&đt nghĩa đàn kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi huyện cấp thcs
Chu kỳ 2008 2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1. (4 Điểm)
a. Anh (chị) hãy nêu phơng pháp chung để tìm lời giải bài toán ở THCS ? Nội dung chính của
mổi bớc ?
b. Hãy cho biết nội dung dạy học môn toán thờng liên quan đến những hoạt động nào ?
Câu 2. (5 Điểm)
Cho hai đờng tròn tâm O và O

cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ cát tuyến đi qua A cắt đờng
tròn (O) tại C; cắt đờng tròn (O

) tại D. Qua C và D kẻ hai đờng thẳng song song với nhau cắt đờng
tròn (O) và (O

) theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh ba điểm E; B; F thẳng hàng.
a. Anh (chị) hãy lập lợc đồ phân chia triệt để các trờng hợp của bài toán trên ?
b. Hãy giải hai trờng hợp bất kỳ của bài toán ?
Câu 3. (5 Điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của
F
(x,y)
= (x + y)
2
+ (x + 1)
2
+ (y 2)
2

với x; y

R.
a. Chỉ ra chổ sai của bài giải sau. Từ đó lu ý kiến thức nào khi dạy bài toán liên quan.
Với mọi x; y

R thì
(x + y)
2


0
(x + 1)
2


0
(y 2)
2


0
Vậy F
(
x,y
)


0 với mọi x; y

R
Từ đó suy ra min F
(x,y)
= 0.
b. Anh (chị) hãy nêu hai định hớng để học sinh tìm đợc hai cách giải bài toán trên.
Hãy trình bày một cách giải.
Câu 4. (3 Điểm)
Trong tất cả các tam giác vuông có diện tích S cho trớc, tam giác nào có chu vi nhỏ nhất ?
Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S.
Anh (chị) hãy giải bài toán trên và hớng dẫn học sinh tìm lời giải.
Câu 5. (3 Điểm)
Chứng minh x
2


3
Biết x + y + z = xyz, x
2
= yz với x, y, z là các số thực khác không.
1
Phòng gd&đt nghĩa đàn kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi huyện cấp thcs
Chu kỳ 2008 2010
đáp án và biểu điểm môn toán
Câu ý Nội dung Điểm
1
4 Đ
a.
2Đ
- Tìm hiểu nội dung bài toán
+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ

+ Phát biểu bài toán dới những dạng khác nhau.
+ Dạng toán nào.
+ Kiến thức cơ bản cần có là gì (Các khái niệm, định lý)
0,25
0,25
- Xây dựng chơng trình giải.
+ Thực hiện vấn đề gì ?
+ Giải quyết vấn đề gì ?
+ Thực hiện nh thế nào?.....
0,25
0,25
- Thực hiện chơng trình giải.
+ Trình bày bài làm theo các bớc.
+ Chú ý sai lầm thờng gặp trong tính toán, biến đổi.
0,25
0,25
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
+ Xét xem có sai lầm không ?
+ Có phải biện luận kiết quả tìm đợc không ?
+ Nghiên cứu các bài toán tơng tự, mở rộng, lật ngợc.
0,25
0,25
b.
2Đ
- Nhận dạng và thể hiện.
+ Một khái niệm, một quy tắc, một định lý, phơng pháp.
0,25
0,25
- Những hoạt động mang tính đặc trng toán.
+ Chứng minh, định nghĩa, giải toán..

0,25
0,25
- Những hoạt động trí tuệ, phổ biến trong toán học.
+ Lật ngợc lại vấn đề, xét tính giải đợc, phân chia các trờng hợp.
0,25
0,25
- Những hoạt động trí tuệ chung.
+ Phân tích tổng hợp, so sánh, xét tơng tự, trừu tợng hoá
0,25
0,25
- Những hoạt động ngôn ngữ.
+ Hiểu, phát biểu một định lý, trình bài lời giải một bài toán..
0,25
0,25

2
5Đ
a.
3Đ
Ta xem vai trò của E và F nh nhau, gọi I là giao điểm của tiếp tuyến của đờng
tròn (O

) tại B với đờng tròn (O).
0,5
Ta có lợc đồ phân chia các trờng hợp
TH
1
BT TH
2

A nằm giữa C và D (1) (2) A không nằm giữa C và D
a. b

E;F cùng phía so với CD E;F khác phía so với CD
c. d e

E thuộc cung CI E trùng I E thuộc cung IA
0,5
1,0
0,5
0,5
2
b.
2Đ
Xét TH 1b
Khả năng c: E thuộc cung nhỏ CI
Ta có

=
EBAECA
(góc nội tiếp cùng chắn cung EA)

=
ADFECA
(góc so le trong của hai đờng thẳng song song)
0,25
D
I A
E
C

B
F



=
EBAADF
Mặt khác
vABFADF 2
=+

(do tứ giác ABFD nội tiếp)
Suy ra:
vABFEBA 2
=+


Vậy ba điểm E; B; F thẳng hàng
0,25
0,25
0,25
+ Xét TH2 : A nằm ngoài đoạn CD
A
CC F


E B D
x
Ta có:

=
ADFABF
;

==
ADxACEABE
Mà
vADxADF 2
=+




vABFABE 2
=+

Vậy ba điểm E; B; F thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
5Đ
a.
2Đ
Sai lầm của lời giải là không chỉ ra các giá trị của x và y để F
(
x,y
)
= 0

Giá trị nhỏ nhất của bài toán không phải bằng 0 và cũng không tồn tại x; y để
F
(
x,y
)
= 0.
1,0
Khi dạy bài toán tìm GTNN, nếu F
(
x
)


m , (m là hằng số) với mọi x

A (A
là miền giá trị của x để F
(x)
có nghĩa) và tồn tại x
0


A sao cho F
(
x
)
= m thì
giá trị nhỏ nhất của F
(
x

)
trên miền A là m
1,0
3
b.
3Đ
Định hớng 1. áp dụng bất đẳng thức Bunaiacopski với
a
1
= -1 ; a
2
= 1 ; a
3
= 1 ; b
1
= x + y ; b
2
= x + 1 ; b
3
= y 2
0,5
Biến đổi đa về 1

3 F
(
x,y)


F
(

x,y)

3
1

Đẳng thức xẩy ra khi
3
3
2
2
1
1
a
b
a
b
a
b
==
0,25


min F
(
x,y)
=
3
1

x =
3
4

; y =
3
5
0,25
Định hớng 2. Biến đổi F
(
x,y)
về dạng F
(
x,y)
= A
2
(x,y)
+ m

m
0,5
Đẳng thức xẩy ra khi A
(x,y)
= 0
0,25


min F
(
x,y)

= m

x = ? ; y = ?
0,25
Cách giải theo định hớng 2
Ta có F
(
x,y)
= 2x
2
+ 2xy + 2x +2 y
2
- 4y + 5
= 2
( )
[ ]
541
22
++++
yyyxx
= 2
6
27
5
2
3
2
1
2
1

.2
2
2
2
++














+
+
+
+
yy
yy
xx

0,25

F
(
x,y)
= 2
3
1
3
5
2
3
2
1
22
+






+






+
+
y

y
x
Do đó F
(
x,y)

3
1


., Ryx

0,25
Đẳng thức xẩy ra








=
=

=
=
+
+
3
5
3
4
0
3
5
0
2
1
y
x
y
y
x
0,25
Vậy:

min F
(
x,y)
=
3
5

;
3
4
3
1
==
yx
0,25
4
3Đ
2Đ
Bài giải: Gọi a, b là độ dài hai cạnh góc vuông (a, b > 0) và P là chu vi tam
giác. Ta có

22
babaP
+++=
0,5
Mà theo cosi
Sabba 222
=+
và
SSabba 22.22
22
==+
0,5



SSbaba 222

22
++++
Do đó
( )
SP 212
+
0,5
Đẳng thức xẩy ra

x = y.
Vậy tam giác vuông có chu vi nhỏ nhất là tam giác vuông cân và giá
trị nhỏ nhất của chu vi là
( )
S212
+

0,5
Định hớng tìm lời giải. 1,0
4
1Đ
Bài toán đi tìm chu vi theo diện tích của tam giác vuông bất kỳ nên ta cần
chọn các cạnh góc vuông để tính.
Tìm chu vi P khi đã biết các cạnh góc vuông
Biểu diễn tổng a + b và
22
ba
+
về diện tích
Ap dụng bất đẳng thức cosi và biến đổi ta đợc
( )

SP 212
+
Từ đó suy ra giá trị cần tìm.
5
3Đ
3Đ
Từ x + y + z = xyz, x
2
= yz với x, y, z là các số thực khác không.








=
=+
2
3
xyz
xxzy
1,0
Vậy các số y, z là nghiệm của phơng trình.
. t
2
+ (x - x
3
)t + x

2
= 0 (1)
Ta có
( ) ( )
[ ]
414
2
222
2
3
==
xxxxx
(2)
0,5
0,5
Vì (1) có nghiệm nên
0

Do
0

x
nên từ (2) suy ra (1 - x
2
)
2
4
0

( )
41
2
2

x









21
21
2
2
x
x

2
2
3
1
x
x
0,5
Ta thấy
2
1 x

vô nghiệm
Vậy
3
2

x
(đpcm)
0,5

Ghi chú: Giáo viên làm cách khác đúng vẫn cho điểm tơng ứng
5