Một gợi ý về dạy học toán

A.Phần mở đầu
I.Đặt vấn đề:
1/Cơ sở lý luận:
Trong xã hội hiện đại với sự bùng nổ thông tin, khoa học và công nghệ phát
triển nh vũ bão để đào tạo những con ngời lao động có khả năng thích ứng với xã hội
học tập, trong đó mỗi ngời phải có năng lực học tập suốt đời thì việc bồi dỡng phơng
pháp học đợc quan tâm đặc biệt và càng lên bậc học cao hơn càng đợc coi trọng.
Một yếu tố quan trọng đảm bảo thành công trong học tập và nghiên cứu khoa
học là khả năng phát hiện kịp thời và giải quyết hợp lí những vấn đề nảy sinh trong
thực tiễn. Nếu rèn luyện cho học sinh có đợc phơng pháp, kỹ năng, thói quen tự học,
biết linh hoạt vận dụng những điều đã học vào những tình huống mới, biết tự lực phát
hiện, đặt ra và giải quyết vấn đề trong thực tiễn thì sẽ tạo cho học sinh lòng ham học,
dễ dàng thích ứng với cuộc sống, công tác, lao động.
Nhà trờng phổ thông không thể cung cấp cho học sinh một vốn liếng tri thức cho
cả đời, tuy nhiên có thể cung cấp một nhân lõi nào đó của tri thức cơ bản. Nhà trờng
phổ thông có thể và cần phải phát triển các hứng thú, năng lực nhận biết của học sinh,
cung cấp cho họ những kỹ năng cần thiết của việc học tập.
Nghị quyết TW khoá VIII đã nhấn mạnh: Cần phải phát triển mạnh phong trào
tự học, tự đào tạo thờng xuyên và rộng khắp trong toàn dân nhất là thanh niên. Luật
giáo dục nớc cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 ghi rõ: Phơng pháp giáo
dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh,
phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn
luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm
vui, hứng thú cho học sinh.
2/Thực trạng:
Hiện nay có một bộ phận không nhỏ học sinh rất muốn học các môn học thuộc
lĩnh vực tự nhiên nói chung và đặc biệt môn Toán nói riêng. Tuy nhiên, các em cha
thực sự say sa, tích cực với việc giải bài tập toán và học môn toán hoặc cha có kết quả
1
cao khi đã rất cố gắng và thích toán. Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi nhận
thấy nguyên nhân là:

+)Do đặc trng của bộ môn khó, kiến thức trừu tợng, rộng.
+)Học sinh cha có nhận thức đúng đắn về giá trị của các bài tập sách giáo
khoa, cha biết sâu chuỗi các bài toán.
+)Giáo viên cha đề cao hoạt động giao việc cho học sinh.
Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài: Giúp học sinh tích cực, chủ động, sáng
tạo trong hoạt động giải bài tập toán.
II - Mục đích của đề tài
Trong khuôn khổ của sáng kiến này tôi trình bày một số nội dung cụ thể trên cơ
sở mở rộng, phát triển những bài tập trong sách giáo khoa thành những bài toán mới
nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo, sự vận dụng, giúp học sinh hiểu sâu hơn, chắc
hơn về kiến thức mới học.
III.Phơng pháp nghiên cứu:
Để thực hiện nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành sử dụng đồng bộ các phơng
pháp sau:
- Nghiên cứu lý luận về phơng pháp dạy
- Quan sát việc học và trò truyện với học sinh.
- Thực tiễn giảng dạy và bồi dỡng kinh nghiệm.
B. Nội dung
I/Quá trình thực hiện:
Dạy cho học sinh giải bài tập toán bao giờ cũng từ bài tập cơ bản của sách giáo
khoa. Trên cơ sở đó củng cố, phát triển thành những đơn vị kiến thức mới giúp học
sinh hiểu sâu hơn, chắc hơn và có khả năng vận dụng linh hoạt hơn.
Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích (Nâng cao) lớp 11 có bài tập:
Bài 1 : ( Bài 32 - trang 42): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a)
)0ba,sốngằhlàb,a(xsin.bxcos.a
22
++
b)
xcos3xcosxsinxsin

22
++
c)
xcos.CxcosxsinBxsin.A
22
++
(A,B và c là hằng số)
2
Trớc hết ta nhắc lại kết quả sau:
*Cho phơng trình cổ điển : a.cosx+b.sinx=c. Điều kiện có nghiệm của phơng
trình là:
222
bac
+
*Cho hàm số y=f(x), miền giá trị của hàm số đã cho là tập hợp tất cả các giá trị
của y để phơng trình ẩn x : f(x)=y có nghiệm.
*Giả sử miền giá trị của hàm số y=f(x) là :
bya

khi đó ta nói:



=
=
by
ay
max
min
áp dụng đối với hàm số : y= a.cosx + b.sinx (

0ba
22
+
):
Ta có miền giá trị của hàm số đã cho là tập hợp tất cả các giá trị của y để phơng
trình ẩn x:
a.cosx + b.sinx=y (1) có nghiệm.
Điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm là:
222
bay
+
2222
bayba
++



+=
+=

22
max
22
min
bay
bay
Hơn nữa, giả sử y= a.cosx + b.sinx + c (
0ba
22
+

). Khi đó :



++=
++=
cbay
cbay
22
max
22
min
Sau khi học sinh đã hiểu và giải đợc bài toán, giáo viên có thể gợi ý để học sinh
có thể đa ra và giải đợc những bài mới hơn, phức tạp hơn.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
y= (3cosx+4sinx)
2
+2(3cosx+4sinx)+5
Giải: Đặt t= 3cosx+4sinx, áp dụng bài tập 1

-5 t 5
Vậy y= t
2
+ 2t + 5 với -5 t 5
Từ đó suy ra



=
=

40y
4y
max
min
Từ bài toán 1 có phát triển thành:
3
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) y=
2xcosxsin
1xcos2xsin
++
++
b) y=
2x2sin
1x2cosx2sin
+
+
Giải: Chú ý rằng sinx+cosx + 2 0 với mọi x.
Tập giá trị của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị y sao cho phơng trình ẩn x:
y=
2xcosxsin
1xcos2xsin
++
++
có nghiệm
nghiệmcó1xcos2xsin)2xcosx(siny
++=++
nghiệmcóy21xcos)2y(xsin)1y(
=+
Rõ ràng (y-1) và (y-2) không đồng thời bằng 0 nên điều kiện để phơng trình có

nghiệm là:
02yy
)y2()y1()y21(
2
222
+
+
1y2

Vậy max y= 1, min y = -2
Có thể yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi ở dạng khác nh bài tập 4, và bài tập 5
sau:
Bài 4 : Tìm x sao cho y=
xcos2
xsin1
+
+
là số nguyên.
Giải:
Tìm miền giá trị của hàm số ta đợc: 0 y
3
4

Do đó y nguyên khi và chi khi y=0 hoặc y=1
y=0

sin x=-1

+

=
2k
2
x
y=1

sinx-cosx=1

cos(
4
x

+
)=
2
2


x=
+

2k
2
hoặc x=
+
2k
Kết luận:
+

=

k
2
x
hoặc x=
+
l2
(k,l
Z

)
Bài 5 : Cho
2xsinxcos
1kxcosk2
y
k
++
++
=

Tìm k để giá trị lớn nhất của y
k
đạt giá trị nhỏ nhất.
4
Thông thờng, bằng cách đặt ẩn mới, một số bài toán tìm GTLN,GTNN có thể đa
về dạng lợng giác để khảo sát. Khi đó, việc giải quyết sẽ thuận lợi hơn nhờ các công
thức và bất đẳng thức lợng giác quen thuộc.
Ta có những kinh nghiệm về việc đặt ẩn phụ (t) nh sau:
tcosxhaytsinx1x
==
tcosayvàtsinaxayx

222
===+
Từ nhận xét trên và bài tập 1, bài tập 3 có thể giải quyết lớp các bài toán đại số
sau:
Bài 6 : Tìm GTLN,GTNN của hàm số:
u=
xy2x21
)yxy(2
2
2
++
+
với điều kiện x
2
+y
2
=1
Giải:
Nhận xét: x
2
+y
2
=1

x,y không đồng thời bằng 0, dẫn đến
01x)yx(xy2x21
222
>+++=++
Đặt

=
=
ycos
xsin

u=
22cos2sin
12cos2sin
+
++
Giải ta đợc:
2
6
1u
2
6
1u
min
max
=
+=
Bài 7: Cho x, y thoả mãn: x
2
+2y
2
=4.Tìm giá trị lớn nhất của:
u=
y

2
2
x

Giải: Vì x
2
+2y
2
=4
,1)
2
y
()
2
x
(
22
=+
đặt:



=
=
sin2y
cos2x
ta đợc:
u=

sincos2

Dẫn đến max u=
5
khi
5
54
x
=
,y=
5
10

5