rut gon bieu thuc (rat hay)

Chuyên đề 1:
Nội dung Rút gọn biểu thức
Giáo Viên Nguyễn Hữu hạnh
A. Phơng pháp: Để giải quyết bài này, HS cần nắm vững:
+ Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.
+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
+ Các phơng pháp đa biểu thức về dạng tích.
+ Điều kiện để biểu thức có nghĩa (ĐKXĐ).
Thông thờng bài toán rút gọn còn đi kèm với các yêu cầu khác, nh:
+ Chứng minh bất đẳng thức.
+ Giải phơng trình hoặc bất phơng trình.
+ So sánh hai biểu thức.
+ Tìm diều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.
+ Tính giá trị của các biểu thức khi cho các giá trị cụ thể của các chữ (biến).
+ Tìm GTNN và GTLN của biểu thức.

B. áp dụng:
Bài toán 1: Cho biểu thức:
2
x 2 2 1
P= .
1
2 1 2
x x
x
x x

+


ữ

ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức.
b) Chứng minh: Nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài giải:
a) * ĐKXĐ:
x 0

và
x 1
.
* Rút gọn ta đợc:
( ) ( )
P= - x 1 1x x x =
.
b) Nếu 0 < x < 1 thì
0< x 1 0P< >
.
c)
2
1 1 1
P = x
4 2 4
x x

=
ữ

Đẳng thức xảy ra
1 1
x x=
2 4
=
(TMĐK).
Bài toán 2: Cho biểu thức:
( )
( )
2
2
2
4 3
1+x 1 4
Q= :
1-x 1 1 1
x
x x
x x x x




ữ
+

.

a) Rút gọn Q.
Page
1
b) Tính giá trị của Q khi
2x =
.
c) Tìm
x Z
để Q là số nguyên.
Bài giải:
a) * ĐKXĐ:
0; 1; 3x x x
.
* Rút gọn ta đợc:
2
2
3
x
Q
x
=

.
b) Nếu
2
2 4 4x x Q= = =
.
c) Vì
2
2 2

3
1
3 3
x
Q
x x
= = +

Để
2
3Q Z x
Ư(3), (x Z)

{ }
2
3 3; 1;1;3x
Do x Z và
0; 1; 3x x x
, nên ta tìm đợc:
2x
=
.
Bài toán 3: Cho biểu thức:
( )
2
.
x y
x x y y
x y
A

x y
x x y y x y
+



=
ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) So sánh A và
A
.
Bài giải:
a) * ĐKXĐ:
0; 0x y
và
x y
.
* Rút gọn ta đợc:
xy
A
x xy y
=
+
.

b) Vì
x y
và
0; 0x y
nên
( )
2
0 0x y x xy y xy > + >
.
Do đó:
0 1 0 1
xy xy
A A
x xy y xy
= < = <
+
Ta có:
( )
1 0A A A A =
vì
0 1 1A A < <
nên
A A
.
Bài toán 4: Cho biểu thức B:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x

B
x x
+ +
=
+
.
a) Rút gọn B.
b) Tìm x Z để B có giá trị nguyên.
Bài giải:
a) * ĐKXĐ: x > 4.
* Rút gọn: Với x > 4, ta có:
Page
2
( ) ( )
( )
2 2
2
2
4 2 4 2
4 2 4 2
4
4
x x
x x
B
x
x
x
x
+ +

+ +
= =


* Nếu 4 < x < 8:
( )
4 2 4 2
4
4 4
x x x
x
B
x x
+
= =

.
* Nếu
( )
4 2 4 2
2 4 2
8 :
4 4
4
x x x
x x x
x B
x x
x
+ +

= = =


.
b) * Với 4 < x < 8:
4 16
4
4
4
x
B
x
x
= = +


, ta tìm đợc:
{ }
5;6x
* Với
8x

:
2
4
x
B
x
=

(trờng hợp
4x
là số vô tỉ B là số vô tỉ nên loại)
Xét trờng hợp
4
p
x
q
=
(hữu tỉ), ta tìm đợc:
{ }
8; 20;68x
Kết luận: Để B Z thì
{ }
5;6;8; 20;68x
.
C. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho biểu thức
1 1
( ) :
1
2 2 2 2
x
A
x
x x
= -
-
- +

.
a. Tìm ĐKXĐ của A b. Rút gọn A.
Bài 2: Cho biểu thức B
1 1
1
2 2 2 2
x
x
x x
= - +
-
- +
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn B
b. tính giá trị của B với x = 4
c. Tìm x để
1
3
B =
.
Bài 3: Cho biểu thức:
1 1 1
( ) :
2 1
a
C
a a a a a
-
= -
+ + +
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn C

b. So sánh C với 1.
Bài 4: Cho biều thức
1 1 2
( ) : ( )
1
1 1
a
D
a
a a a a
= - -
-
- - +
a. Rút gọn D
b. Tính giá trị của D khi a = 3 + 2
2
c. Tìm các giá trị của a sao cho D < 0.
Bài 5: Cho biểu thức:
2 1 1 1
( ) : ( )
2
1
E
x x x x
= + +
- -
a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn E.
b. Tìm giá trị của x để
1
2

E
-
<
.
Bài tập 6: Rút gọn biểu thức sau:
Page
3
-
: -
-
y xy
x y x y
Q x
x y xy y xy x xy

+
= + +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

.
Bài tập 7: Cho biểu thức:
2 3
4 3 2
2 4
2 3 2 6 4
x x x
T
x x x x

=

.
a) Rút gọn T.
b) Tìm số nguyên x sao cho T nhận giá trị nguyên.
Bài tập 8: Cho biểu thức:
3 3
3 3 1
x x x
P
x x x x x
+
= + +
+ +
.
a) Tìm x sao cho P > 2.
b) So sánh P với 1,5.
Bài tập 9: Cho biểu thức:
2
3
2 4 1 1
1
1 1
a
E
a
a a
+
=

+
.
a) Rút gọn biểu thức E.
b) Tìm giá trị lớn nhất của E.
Bài tập 10: Cho
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
- + -
= - +
+ + -
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm giá trị nguyên của biểu thức
2 x
Q
P
=
.(HSG Huyện Yên Thành 07-08)
Bài tập 11: Cho bt: P =
1
:
1
x x
x x x x
ổ ử

ữ
ỗ
+
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+ +
(Đề lên lớp 10 Hà Nội 2008)
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P. c) Tìm x để P =
13
3
b) Tính P khi x = 4 d) Tìm GTNN của BT: Q=
4
1
x
x x
+
+ +
.P
Page
4