Điều kiện tối ưu không cách biệt và tính ổn định nghiệm của các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình elliptic nửa tuyến tính tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

Nguyễn Hải Sơn

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU KHÔNG CÁCH BIỆT VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU
ĐƯỢC CHO BỞI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH

Ngành: TOÁN HỌC
Mã số: 9460101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2019


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Nguyễn Thị Toàn
2. TS. Bùi Trọng Kiên

Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện 2: PGS. TS. Cung Thế Anh
Phản biện 3: TS. Nguyễn Huy Chiêu

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

Vào hồi …….. giờ, ngày ….. tháng ….. năm ………

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam


Mở đầu
Lý thuyết điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học
và các lĩnh vực khoa học khác. Nó được phát triển mạnh mẽ và có hệ thống từ
những năm cuối của thập niên 50, khi hai nguyên lý cơ bản được thiết lập: nguyên
lý cực đại Pontryagin và nguyên lý quy hoạch động Bellman. Cho đến nay, lý thuyết
ĐKTƯ đã phát triển theo nhiều hướng khác nhau như ĐKTƯ không trơn, ĐKTƯ
rời rạc, ĐKTƯ được cho bởi phương trình vi phân thường (ODEs), ĐKTƯ được cho
bởi phương trình đạo hàm riêng (PDEs),...
Trong những thập kỉ gần đây, rất nhiều tác giả nghiên cứu định tính cho bài toán
ĐKTƯ được cho bởi ODEs, PDEs và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Một
trong những kết quả đó là việc đưa ra các điều kiện tối ưu cho bài toán ĐKTƯ.
Điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic
là một chủ đề hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu. Chủ đề này có giá trị về cả
lý thuyết và ứng dụng. Các điều kiện cần bậc hai không những cung cấp các tiêu
chuẩn để loại đi các điểm dừng nhưng không là điểm cực trị, mà nó còn giúp chúng
ta trong việc xây dựng các điều kiện đủ cho một điểm dừng là điểm cực trị của bài
toán. Các điều kiện đủ bậc hai đóng vai trò quan trọng trong giải số cho bài toán
tối ưu phi tuyến, phân tích các thuật toán bậc hai tuần tự và nghiên cứu tính ổn
định của ĐKTƯ. Chúng ta sẽ điểm lại một số kết quả về chủ đề này.
Đối với bài toán điều khiển phân tán, tức là biến điều khiển chỉ tác động trong
miền Ω của không gian Rn , E. Casas, T. Bayen và các cộng sự đã đưa ra các điều
kiện cần và đủ bậc hai cho bài toán với ràng buộc thuần nhất điều khiển, tức là
a(x) ≤ u(x) ≤ b(x)

h.k. x ∈ Ω,

(1)

với u là biến điều khiển và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Đặc biệt, E. Casas
đã thiết lập điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển Dirichlet và bài toán điều
khiển Neumann với ràng buộc (1) khi hàm mục tiêu không chứa biến điều khiển u.
Hơn nữa, C. Meyer và F. Tr¨oltzsch đã đạt được các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán
Robin với ràng buộc hỗn hợp ở dạng tuyến tính a(x) ≤ λy (x)+u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω
với y là biến trạng thái và hữu hạn các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức.
Đối với bài toán điều khiển biên, tức là biến điều khiển u chỉ tác động trên biên
Γ của miền Ω, E. Casas, F. Tr¨oltzsch và các cộng sự đã đưa ra điều kiện cần và đủ
bậc hai với ràng buộc thuần nhất điều khiển tại từng điểm, tức là
a(x) ≤ u(x) ≤ b(x)

h.k. x ∈ Γ.

Năm 2006, A. R¨osch và F. Tr¨oltzsch đã đưa ra điều kiện đủ bậc hai cho bài toán
với ràng buộc hỗn hợp tuyến tính một phía c(x) ≤ u(x) + γ (x)y (x) h.k. x ∈ Γ.
1


Lưu ý rằng trong các kết quả trên, các hàm a, b thuộc không gian L∞ . Bởi vậy,
biến điều khiển u cũng thuộc L∞ . Điều này dẫn đến các nhân tử Lagrange phải
thuộc không gian đối ngẫu (L∞ )∗ . Tuy nhiên, chúng ta biết rằng việc miêu tả không
gian đối ngẫu (L∞ )∗ không hiển như không gian đối ngẫu (Lp )∗ , 1 ≤ p < ∞. Gần
đây, B. T. Kien và các cộng sự đã thiết lập điều kiện cần bậc hai của bài toán điều
khiển phân tán Dirichlet với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái ở dạng
a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x)

a.e x ∈ Ω,

a, b ∈ Lp (Ω), 1 < p < ∞ và các ràng buộc thuần nhất trạng thái. Điều này thúc đẩy
chúng ta nghiên cứu và phát triển các bài toán sau:
(OP 1) : Thiết lập các điều kiện cần bậc hai của bài toán điều khiển biên Robin
với ràng buộc hỗn hợp điều khiển–trạng thái ở dạng a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤
b(x) h.k. x ∈ Γ, ở đây a, b ∈ Lp (Γ), 1 < p < ∞;
(OP 2) : Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai của bài toán ĐKTƯ với ràng buộc hỗn
hợp điều khiển-trạng thái khi hàm mục tiêu không phụ thuộc vào biến điều khiển.
Giải các bài toán (OP 1) và (OP 2) là mục tiêu đầu tiên của luận án.
Sau khi các điều kiện cần và đủ bậc hai được thiết lập, chúng sẽ được so sánh với
nhau. Theo J. F. Bonnans, nếu sự khác nhau giữa các điều kiện cần và điều kiện đủ
bậc hai chỉ là tính chặt và không chặt của các bất đẳng thức thì ta nói rằng điều
kiện tối ưu không cách biệt là đạt được. Việc đưa ra các điều kiện tối ưu bậc hai mà
không có khoảng cách giữa các điều kiện cần và điều kiện đủ là một bài toán khó.
Năm 1998, J. F. Bonnans đã thiết lập các điều kiện tối ưu bậc hai không cách biệt
cho một bài toán ĐKTƯ với ràng buộc thuần nhất điều khiển và hàm mục tiêu là
toàn phương theo cả biến trạng thái y và biến điều khiển u. Kết quả này được đưa
ra dựa trên tính chất đa diện (polyhedric) của tập ràng buộc và lý thuyết về các
dạng Legendre. Tuy nhiên, bài toán sau chưa có lời giải:
(OP 3) : Tìm các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán ĐKTƯ được cho
bởi phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp từng điểm.
Giải bài toán (OP 3) là mục tiêu thứ hai của luận án.
Tính ổn định nghiệm của các bài toán ĐKTƯ cũng là một chủ đề quan trọng
trong tối ưu và phương pháp số. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm là đánh giá các
tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm theo tham số, như là tính nửa liên tục dưới,
nửa liên tục trên, liên tục H¨older, liên tục Lipschitz...
Theo hướng này, chúng ta xét bài toán sau:


F (y, u, µ) → inf,
P (µ, λ)
(2)
(y, u) ∈ Φ(λ),

2


ở đó y ∈ Y, u ∈ U lần lượt là các biến trạng thái và điều khiển; µ ∈ Π, λ ∈ Λ là các
tham số, F : Y × U × Π → R là hàm mục tiêu trên không gian Banach Y × U × Π
và Φ(λ) là tập ràng buộc (tập chấp nhận được) của bài toán.
Chúng ta biết rằng nếu hàm mục tiêu F (·, ·, µ) là lồi mạnh, và tập ràng buộc
Φ(λ) là lồi, thì ánh xạ nghiệm của bài toán (2) là đơn trị. Hơn nữa, A. Dontchev
đã chỉ ra rằng dưới một số điều kiện, thì ánh xạ nghiệm là liên tục Lipschitz theo
tham số. Bằng việc sử dụng kĩ thuật của định lý hàm ẩn, K. Malanowski đã chứng
minh rằng ánh xạ nghiệm của bài toán (2) cũng là một hàm liên tục Lipschitz theo
tham số nếu các điều kiện tối ưu bậc hai yếu và các ràng buộc chuẩn tắc được thỏa
mãn tại điểm tham chiếu.
Khi các điều kiện trên không được thỏa mãn, ánh xạ nghiệm nói chung không
đơn trị. Trong trường hợp này, chúng ta phải sử dụng các công cụ của giải tích đa
trị và giải tích biến phân để giải bài toán. Năm 2012, B. T. Kien và các cộng sự đã
đạt được tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm cho bài toán ĐKTƯ chứa tham
số trong trường hợp hàm mục tiêu là lồi theo cả hai biến và tập ràng buộc là lồi.
Gần đây, tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm đã được đưa ra bởi B. T. Kien
và V. H. Nhu cho các bài toán, mà ở đó hàm mục tiêu có thể không lồi theo cả hai
biến và tập ràng buộc không lồi. Chú ý rằng các tác giả mới chỉ xét các bài toán
được cho bởi phương trình vi phân thường và phương trình elliptic nửa tuyến tính
với điều khiển phân tán. Từ đó, chúng ta nhận thấy cần nghiên cứu bài toán sau:
(OP 4) : Thiết lập các điều kiện đủ cho ánh xạ nghiệm của bài toán điều khiển
biên chứa tham số là nửa liên tục trên và liên tục.

Đưa ra lời giải cho bài toán (OP 4) là mục tiêu thứ ba của luận án.
Tóm lại, mục tiêu của luận án là nghiên cứu các điều kiện tối ưu không cách biệt
và tính ổn định nghiệm của bài toán ĐKTƯ được cho bởi phương trình elliptic nửa
tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp tại từng điểm. Cụ thể, nội dung chính của luận
án tập trung vào:
(i) Thiết lập các điều kiện cần bậc hai cho bài toán điều khiển biên với biến điều
khiển thuộc Lp (Γ), 1 ≤ p < ∞;
(ii) Thiết lập các điều kiện đủ bậc hai của bài toán điều khiển phân tán và bài toán
điều khiển biên khi hàm mục tiêu có dạng toàn phương theo biến điều khiển,
và chỉ ra điều kiện tối ưu không cách biệt là đạt được trong trường hợp này;
(iii) Đưa ra các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán điều khiển phân tán và bài toán
điều khiển biên khi hàm mục tiêu độc lập với biến điều khiển u, và chỉ ra rằng
điều kiện tối ưu không cách biệt là chưa đạt được trong trường hợp này;

3


(iv) Đưa ra các điều kiện đủ cho một bài toán điều khiển biên chứa tham số sao
cho ánh xạ nghiệm là nửa liên tục trên và liên tục theo tham số.
Ngoài lời nói đầu và danh mục các tài liệu tham khảo, luận án gồm bốn chương:
• Chương 0 trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả về giải tích biến phân,
không gian Sobolev và phương trình đạo hàm riêng;
• Chương 1 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài
toán điều khiển phân tán;
• Chương 2 trình bày kết quả về các điều kiện tối ưu không cách biệt của bài
toán điều khiển biên. Các kết quả trong Chương 1 và Chương 2 là câu trả lời
cho các bài toán (OP 1), (OP 2) và (OP 3);
• Chương 3 trình bày các kết quả về tính nửa liên tục trên và tính liên tục của
ánh xạ nghiệm cho bài toán điều khiển biên chứa tham số. Đây là lời giải cho
bài toán (OP 4).

Các kết quả chính của luận án là nội dung của ba bài báo được công bố trong
các tạp chí SIAM Journal on Optimization, Set-Valued and Variational Analysis và
Optimization.
Các kết quả đó được trình bày tại:
• Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội,
11-2016.
• Hội nghị Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ XV, Ba Vì, 04-2017.
• Hội nghị Tính toán Hiệu năng cao lần thứ 7, tại Viện Nghiên cứu cao cấp về
Toán (VIASM), 03-2018.
• Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 08-2018.
• Xê-mi-na "Tối ưu và Điều khiển" tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam.

4


Chương 1

Điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán điều
khiển phân tán
Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với N ≥ 2 và biên Γ thuộc lớp C 2 . Chúng ta
xét bài toán điều khiển phân tán: Tìm một hàm điều khiển u ∈ Lp (Ω) và một hàm
trạng thái y ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) làm cực tiểu hóa hàm mục tiêu
F (y, u) =

L(x, y (x), u(x))dx,

(1.1)

Ω

(DP )

sao cho
− ∆y + h(x, y ) = u

trong Ω,

y=0

trên Γ,

a(x) ≤ g (x, y (x)) + λu(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω,

(1.2)
(1.3)

ở đây L : Ω ×R×R → R và g : Ω ×R → R là các hàm Carathéodory; h : Ω ×R → R là
một hàm liên tục thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai sao cho h(x, 0) = 0 và hy (x, y ) ≥ 0
h.k. x ∈ Ω và mọi y ∈ R; a, b ∈ Lp (Ω) và λ = 0 là một hằng số. Chúng ta giả sử
rằng p > N2 .

1.1
1.1.1

Điều kiện cần bậc hai
Bài toán tối ưu

Cho U là không gian Banach và E là không gian Banach khả ly với các không gian

đối ngẫu U ∗ và E ∗ tương ứng. Chúng ta xét bài toán sau
(P )

min f (u) sao cho G(u) ∈ K,
u∈U

ở đó, K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong E ; G : U → E và f : U → R là các
hàm khả vi Frechét bậc hai trên U . Kí hiệu Φad := G−1 (K ) là tập ràng buộc của bài
toán (P ).
Định nghĩa 1.1.1. Một hàm u¯ ∈ Φad được gọi là một nghiệm tối ưu địa phương
của bài toán (P ) nếu tồn tại ε > 0 sao cho
f (u) ≥ f (¯
u)

∀u ∈ BU (¯
u, ) ∩ Φad .

Với điểm u¯ ∈ Φad cho trước, ta nói bài toán (P ) thỏa mãn điều kiện Robinson tại
u
¯ nếu tồn tại ρ > 0 sao cho
BE (0, ρ) ⊂ ∇G(¯
u)(BU ) − (K − G(¯
u)) ∩ BE .

5

(1.4)


Trong trường hợp này, ta nói rằng u¯ là điểm chính quy. Xét hàm Lagrange của bài

toán (P ):
L(u, e∗ ) = f (u) + e∗ , G(u) với e∗ ∈ E ∗ .
Kí hiệu Λ(¯
u) là tập gồm các nhân tử e∗ ∈ E ∗ thỏa mãn
∇u L(¯
u, e∗ ) = ∇f (¯
u) + ∇G(¯
u)∗ e∗ = 0, e∗ ∈ N (K, G(¯
u)).

Tập Λ(¯
u) là một tập lồi, khác rỗng và compact yếu* trong E ∗ . Để thiết lập các điều
kiện bậc hai, chúng ta cần nón tới hạn tại u¯:
C (¯
u) := {d ∈ U | ∇f (¯
u), d ≤ 0, ∇G(¯
u)d ∈ T (K, G(¯
u))}.

Tập K được gọi là đa diện tại z¯ ∈ K nếu với bất kì v ∗ ∈ N (K, z¯), ta có
T (K, z¯) ∩ (v ∗ )⊥ = cl[cone(K − z¯) ∩ (v ∗ )⊥ ],

ở đó (v ∗ )⊥ = {v ∈ E | v ∗ , v = 0}. Hơn nữa, bài toán (P ) được nói là thỏa mãn điều
kiện đa diện mở rộng mạnh (strongly extended polyhedricity) tại u¯ ∈ Φad nếu tập
C0 (¯
u) là trù mật trong C (¯
u), ở đó
C0 (¯
u) := {d ∈ C (¯
u) | ∇G(¯

u)d ∈ cone(K − G(¯
u))}.

Bổ đề 1.1.3.1 Giả sử rằng u¯ là điểm chính quy, mà tại đó điều kiện polyhedricity
mở rộng mạnh được thỏa mãn. Nếu u¯ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán
(P ), thì với mỗi d ∈ C (¯
u), tồn tại một nhân tử e∗ ∈ Λ(¯
u) sao cho
∇2uu L(¯
u, e∗ )(d, d) = ∇2 f (¯
u)(d, d) + e∗ , ∇2 G(¯
u)(d, d) ≥ 0.

1.1.2

Điều kiện cần bậc hai cho bài toán điều khiển tối ưu

Cặp (¯
y, u
¯) thỏa mãn các ràng buộc (1.2)–(1.3), được gọi là chấp nhận được của bài
toán (DP ). Với một cặp (¯
y, u
¯) cho trước, các kí hiệu g [x], h[x], L[x], Ly [x], L[·], ...,
lần lượt thay thế cho g (x, y¯(x), u¯(x)), h(x, y¯(x)), L(x, y¯(x), u¯(x)), Ly (x, y¯(x), u¯(x)),
L(·, y¯(·), u
¯(·)),...
Definition 1.1.4. Một cặp chấp nhận được (¯
y, u
¯) được gọi là một nghiệm tối ưu địa
phương của (DP ) nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi cặp chấp nhận được (y, u) thỏa

mãn y − y¯ W 2,p (Ω) + u − u¯ Lp (Ω) ≤ , ta có
F (y, u) ≥ F (¯
y, u
¯).
1

J. F. Bonnans and A. Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer,
New York.

6


Chúng ta đưa ra một số giả thiết sau cho bài toán (DP ).
(A1.1) L : Ω × R × R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C 2 đối với (y, u),
L(x, 0, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại số dương kLM và hàm rM ∈ L∞ (Ω) sao
cho
|Ly (x, y, u)| + |Lu (x, y, u)| ≤ kLM |y| + |u|p−1 + rM (x),
|Ly (x, y1 , u1 ) − Ly (x, y2 , u2 )| ≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),
|u1 − u2 |p−1−j |u2 |j ,

|Lu (x, y, u1 ) − Lu (x, y, u2 )| ≤ kLM
j=0,p−1−j>0

Lyy (x, y1 , u1 ) − Lyy (x, y2 , u2 ) ≤ kLM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),
Lyu (x, y1 , u1 ) − Lyu (x, y2 , u2 ) ≤ kLM (|y1 − y2 | + ε|u1 − u2 |p−1 )

với ε = 0 nếu 1 < p ≤ 2 và ε = 1 nếu p > 2 và

= 0
|Luu (x, y, u1 ) − Luu (x, y, u2 )|

≤ kLM

nếu 1 < p ≤ 2,

j=0,j
− u2 |p−2−j |u2 |j

nếu p > 2

với h.k. x ∈ Ω và mọi y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2.
(A1.2) Hàm g là liên tục và thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai và thỏa mãn các tính
chất: g (·, 0) ∈ Lp (Ω) và với mọi M > 0, tồn tại hằng số Cg,M > 0 sao cho
gy (x, y ) + gyy (x, y ) ≤ Cg,M ,
gy (x, y1 ) − gy (x, y2 ) + gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 ) ≤ Cg,M |y2 − y1 |

với h.k. x ∈ Ω và |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M .
(A1.3) λ = 0 và
λhy [x] + gy [x]
≥ 0 h.k. x ∈ Ω.
λ
Với mỗi u ∈ Lp (Ω), phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất yu ∈ W 2,p (Ω)∩W01,p (Ω)
và tồn tại hằng số C > 0 sao cho
yu

W 2,p (Ω)

≤C u

Lp (Ω) .

Ánh xạ H : W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) × Lp (Ω) → Lp (Ω) được xác định bởi
H (y, u) = −∆y + h(·, y ) − u.

Khi đó, H thuộc lớp C 2 quanh (¯
y, u
¯) và các đạo hàm của nó tại (¯
y, u
¯) được cho bởi
∇H (¯
y, u
¯) = (−∆ + hy [·], −I ), ∇2 H (¯
y, u
¯) =

7

hyy [·] 0
0
0

.


¯ Bởi vậy, hy [·] ∈ L∞ (Ω). Do đó, với mỗi u ∈ Lp (Ω),
Vì p > N/2 nên y¯ = y (¯
u) ∈ C (Ω).
phương trình sau có nghiệm duy nhất z ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω):
−∆z + hy (·, y¯)z = u

trong Ω,

z=0

trên Γ.

Điều này dẫn tới toán tử A := ∇y H (¯
y, u
¯) = −∆ + hy (·, y¯) là một song ánh. Bởi định
lý hàm ẩn, tồn tại lân cận Y0 của y¯, lân cận U0 của u¯ và ánh xạ ζ : U0 → Y0 sao cho
H (ζ (u), u) = 0 với mọi u ∈ U0 . Hơn nữa, ζ thuộc lớp C 2 và đạo hàm của nó được
cho bởi công thức sau.
Bổ đề 1.1.9. Giả sử ζ : U0 → Y0 là ánh xạ điều khiển-trạng thái, xác định bởi
ζ (u) = yu . Khi đó, ζ thuộc lớp C 2 và với mỗi u ∈ U0 , v ∈ Lp (Ω), zu,v := ζ (u)v là
nghiệm duy nhất của phương trình tuyến tính hóa

−∆z + h (·, y )z = v trong Ω,
u,v
y
u u,v
(1.11)
zu,v = 0 trên Γ.
Nói cách khác, ζ (¯
u) = A−1 . Hơn nữa, với mọi v1 , v2 ∈ Lp (Ω), zu,v1 v2 := ζ (u)(v1 , v2 )
là nghiệm duy nhất của phương trình

−∆z
u,v1 v2 + hy (·, yu )zu,v1 v2 + hyy (·, yu )zu,v1 zu,v2 = 0
zu,v v = 0 trên Γ.

trong Ω,

(1.12)

1 2

Đặt U = E = Lp (Ω) và K := {v ∈ Lp (Ω)| a(x) ≤ v (x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Ω}. Khi
đó, từ Bổ đề 1.1.8, ta thấy rằng (¯
y, u
¯) là nghiệm tối ưu địa phương của (DP ) nếu
và chỉ nếu u¯ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán cùng dạng với bài toán
(P ) sau đây:
f (u) := F (ζ (u), u) → inf

sao cho G(u) ∈ K,

(1.13)
(1.14)

ở đó G(u) := g (·, ζ (u)) + λu. Kí hiệu Φp := G−1 (K ) là tập ràng buộc của (1.13)–
(1.14), tức là Φp = {u ∈ Lp (Ω) | G(u) ∈ K}.
Định nghĩa 1.1.10. Hàm u¯ ∈ Φp được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của (1.13)–
(1.14) nếu tồn tại ε > 0 sao cho
f (u) ≥ f (¯
u)

∀u ∈ BU (¯
u, ) ∩ Φp .

Hàm Lagrange của bài toán (1.13)–(1.14) là

L(u, e∗ ) = f (u)+ e∗ , G(u) =

e∗ (g (·, ζ (u))+λu)dx, e∗ ∈ Lp (Ω),

L(x, ζ (u), u)dx+
Ω

Ω

8


ở đây p là số liên hợp của p.
Với u¯ ∈ Φp cho trước, nón tới hạn của bài toán (1.13)–(1.14) được xác định bởi




≥ 0 h.k. x ∈ Ω

a
p
Cp (¯
u) = d ∈ L (Ω) | (Ly [x]zu¯,d + Lu [x]d)dx ≤ 0, ∇G(¯
u)d(x)
,

≤ 0 h.k. x ∈ Ωb 
Ω
ở đó Ωa := {x ∈ Ω | G(¯

u)(x) = a(x)}, Ωb := {x ∈ Ω | G(¯
u)(x) = b(x)}.
Định lý 1.1.15. Giả sử các giả thết (A1.1)–(A1.3) được thỏa mãn và u¯ là một nghiệm
tối ưu địa phương của bài toán (1.13)–(1.14). Khi đó, tồn tại duy nhất e∗ ∈ Lp (Ω)
và φ¯ ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) sao cho các khẳng định sau là đúng:
(i) Phương trình liên hợp:

−∆φ¯ + h [·]φ¯ = L [·] + e∗ g [·] trong Ω,
y
y
y
(1.17)
φ¯ = 0 trên Γ;
(ii) Điều kiện dừng theo u:
∇u L(¯
u, e∗ ) = φ¯ + Lu [·] + λe∗ = 0,

e∗ ∈ N (K, G(¯
u));

(1.18)

(iii) Điều kiện bậc hai không âm:
∇2uu L(¯
u, e∗ )(v, v ) =

Lyy [x]zu2¯,v + 2Lyu [x]zu¯,v v + Luu [x]v 2 + e∗ gyy [x]zu2¯,v
Ω

¯ yy [x]zu2¯,v dx ≥ 0

− φh

∀v ∈ Cp (¯
u).

Ví dụ 1.1.16. Ví dụ này minh họa cho việc sử dụng điều kiện cần để tìm điểm
dừng. Trong ví dụ này, điểm (0; 0) thỏa mãn điều kiện cần bậc nhất nhưng không
thỏa mãn điều kiện cần bậc hai. Bởi vậy, (0, 0) không là nghiệm của bài toán.

1.2

Điều kiện đủ bậc hai

Để có được điều kiện đủ bậc hai cho bài toán ĐKTƯ elliptic, chúng ta thường sử
dụng hai chuẩn khác nhau. Trong mục này, thay cho việc sử dụng phương pháp hai
chuẩn, chúng ta khai thác cấu trúc của hàm mục tiêu để đưa ra một nón tới hạn
chung của bài toán trong trường hợp p = 2, N ∈ {2, 3} và hàm mục tiêu có dạng
L(x, y, u) = ϕ(x, y ) + α(x)u + β (x)u2 ,

ở đó ϕ : Ω × R → R là một hàm cho trước và α, β ∈ L∞ (Ω).
Trong phần tiếp theo, chúng ta cần các giả thiết sau:
9

(1.23)


(A1.1) Hàm ϕ : Ω × R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C 2 đối với biến
thứ hai, ϕ(x, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Kϕ,M > 0 và một hàm
ϕM ∈ L2 (Ω) sao cho
∂ϕ

∂ 2ϕ
(x, y ) ≤ ϕM (x),
(x, y ) ≤ Kϕ,M ,
∂y
∂y 2
∂ϕ
∂ 2ϕ
∂ϕ
∂ 2ϕ
(x, y1 ) −
(x, y2 ) +
(x, y1 ) − 2 (x, y2 ) ≤ Kϕ,M |y1 − y2 |
∂y
∂y
∂y 2
∂y

với h.k. x ∈ Ω và mọi y1 , y2 , y ∈ R thỏa mãn |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M.
(A1.2) Tồn tại một số γ > 0 sao cho β (x) ≥ γ h.k. x ∈ Ω.
Định nghĩa 1.2.1. Chúng ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai
L2 −yếu tại u
¯ ∈ Φ2 nếu tồn tại > 0, α > 0 sao cho
f (u) ≥ f (¯
u) + α u − u
¯

với mọi u ∈ Φ2 thỏa mãn u − u¯

2

2
2

≤ .

Định lý 1.2.2. Giả sử các giả thiết (A1.2), (A1.1) và (A1.2) được thỏa mãn. Cho
u
¯ ∈ Φ2 và các nhân tử e∗ ∈ L2 (Ω), φ¯ ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω) thỏa mãn các điều kiện
(1.17) và (1.18). Hơn nữa, giả sử rằng
∇2uu L(¯
u, e∗ )(u, u) > 0

∀u ∈ C2 (¯
u) \ {0}.

Khi đó, f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai L2 −yếu tại u¯ ∈ Φ2 . Đặc biệt, u¯
là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (1.13)–(1.14) trong L2 (Ω).
Từ Định lý 1.1.14 và Định lý 1.2.2, chúng ta đạt được điều kiện tối ưu không
cách biệt trong trường hợp này.
Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán (DP ) trong
trường hợp L được cho bởi (1.23) với α(x) và β (x) có thể bằng không. Đối với trường
hợp này, chúng ta cần các giả thiết sau:
(B 1.1) Hàm h : R → R thuộc lớp C 2 thỏa mãn
h(x, 0) = 0,

hy (x, y ) ≥ 0 h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R

và với mọi M > 0, tồn tại một hằng số Ch,M > 0 sao cho
∂ 2h
∂h

(x, y ) +
(x, y ) ≤ Ch,M
∂y
∂y 2

h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mọi M > 0 và > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho
∂ 2h
∂ 2h
(x, y1 ) − 2 (x, y2 ) <
∂y 2
∂y

h.k. x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.
10


(B 1.2) Hàm ϕ : Ω × R → R là một hàm Carathéodory thuộc lớp C 2 đối với biến thứ
hai, ϕ(x, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Cϕ,M > 0 và hàm ϕM ∈ L2 (Ω)
sao cho
∂ϕ
∂ 2ϕ
(x, y ) ≤ ϕM (x),
(x, y ) ≤ Cϕ,M
∂y
∂y 2

h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mỗi > 0, tồn tại hằng số δ > 0 sao cho
∂ 2ϕ
∂ 2ϕ
(x, y1 ) − 2 (x, y2 ) <
∂y 2
∂y

h.k. x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.

(B 1.3) Hàm g : Ω × R → R là hàm liên tục và thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai,
g (·, 0) ∈ L2 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Cg,M > 0 và hàm gM ∈ L2 (Ω) sao
cho
∂ 2g
∂g
(x, y ) ≤ gM (x),
(x, y ) ≤ Cg,M
∂y
∂y 2

h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mọi M > 0 và > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
∂ 2g
∂ 2g
(x, y1 ) − 2 (x, y2 ) <
∂y 2
∂y

h.k. x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.

(B 1.4) α, β ∈ L∞ (Ω) và β (x) ≥ 0 h.k. x ∈ Ω. Hơn nữa
βa ∈ L∞ (Ωa ),

βb ∈ L∞ (Ωb ).

(1.26)

Chú ý rằng (1.26) xảy ra khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) a, b ∈ L∞ (Ω);
(ii) u¯ ∈ L∞ (Ω);
(iii) β = 0.
Dựa theo Casas, chúng ta mở rộng C2 (¯
u) thành nón tới hạn sau.

≥ 0 if x ∈ Ω ,
a
τ
2
C2 (¯
u) = v ∈ L (Ω) | ∇u f (¯
u), v ≤ τ zu¯,v 2 , gy [x]zu¯,v (x)+λv (x)
.
≤ 0 if x ∈ Ωb .
Rõ ràng C2 (¯
u) = C20 (¯
u) và C2 (¯
u) ⊂ C2τ (¯
u) với mọi τ > 0.
Định lý 1.2.4. Giả sử các giả thiết (A1.3) và (B 1.1) − (B 1.4) được thỏa mãn và
tồn tại các nhân tử e∗ ∈ L2 (Ω), φ¯ ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω) để các điều kiện (1.17) và

(1.18) là đúng. Khi đó, nếu tồn tại các hằng số γ, τ > 0 để
u, e∗ )(v, v ) ≥ γ zu¯,v
∇2uu L(¯

2
2

∀v ∈ C2τ (¯
u),

thì tồn tại ρ, r > 0 sao cho
f (u) ≥ f (¯
u) + r zu¯,u−¯u

2
2

11

∀u ∈ BL2 (Ω) (¯
u, ρ) ∩ Φ2 .


Chương 2

Điều kiện tối ưu không cách biệt của bài toán điều
khiển biên
Cho Ω là một miền bị chặn trong RN với biên Γ thuộc lớp C 1,1 và N ≥ 2. Chúng ta
xét bài toán điều khiển biên: Tìm u ∈ Lq (Γ) và y ∈ W 1,r (Ω) làm cực tiểu hóa hàm

(BP )

sao cho

F (y, u) =
L(x, y (x))dx +
Ω

Ay + h(x, y ) = 0 trong Ω
∂ν y + b0 y = u
trên Γ,

(x, y (x), u(x))dσ,

(2.1)

Γ

a(x) ≤ g (x, y (x)) + u(x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ,

(2.2)
(2.3)

ở đó L, h : Ω × R → R và : Γ × R × R → R là các hàm Carathéodory; g : Γ × R → R
là liên tục; a, b ∈ Lq (Γ), a(x) < b(x) h.k. x ∈ Γ, b0 ∈ L∞ (Γ), b0 ≥ 0; A là toán tử
elliptic bậc hai mạnh ở dạng
N

Ay (x) =

Dj (aij (x)Di y (x)) + a0 (x)y (x);
i,j=1

¯ thỏa mãn aij (x) = aji (x), a0 ∈ L∞ (Ω), a0 (x) ≥ 0 h.k. x ∈ Ω,
các hệ số aij ∈ C 0,1 (Ω)
N
a0 ≡ 0 và tồn tại m > 0 sao cho: m ξ 2 ≤ i,j=1 aij ξi ξj ∀ξ ∈ RN với h.k. x ∈ Ω và
∂ν là đạo hàm đối pháp tuyến liên kết với A. Hơn nữa, giả sử rằng
1
1 1
1
> >
1−
N
r
q
N

2.1

.

(2.4)

Bài toán điều khiển tối ưu

Cho Y, U, V và E là các không gian Banach khả ly hoặc phản xạ với các không
gian đối ngẫu lần lượt là Y ∗ , U ∗ , V ∗ và E ∗ . Xét bài toán sau:
Min F (y, u),

(2.5)

sao cho H (y, u) = 0,

(2.6)

G(y, u) ∈ K,

(2.7)

ở đó F : Y × U → R, H : Y × U → V , G : Y × U → E là các ánh xạ cho trước và K
là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong E .
12


Đặt Z := Y × U , Q := {z = (y, u) ∈ Z | H (y, u) = 0} và Φad := Q ∩ G−1 (K ).
Một cặp (¯
y, u
¯) ∈ Φad được gọi là một nghiệm tối ưu địa phương của (2.5)–(2.7)
nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi (y, u) ∈ Φad , y − y¯ Y + u − u¯ U ≤ , ta có
F (y, u) ≥ F (¯
y, u
¯).
Với z¯ = (¯
y, u
¯) ∈ Φad cho trước, chúng ta đưa ra các giả thiết sau:
(H 2.1) Các ánh xạ F, H, G thuộc lớp C 2 quanh z¯.
(H 2.2) ∇y H (¯
z ) : Y → V là song ánh.
(H 2.3) Điều kiện chính quy đạt được tại z¯, tức là tồn tại δ > 0 thỏa mãn

0 ∈ int

∇G(¯
z )(T (Q, z ) ∩ BZ ) − (K − G(¯
z )) ∩ BE .

(2.8)

z∈BZ (¯
z ,δ)∩Q

(H 2.4) ∇G(¯
z )(T (Q, z¯)) = E.
Định nghĩa 2.1.3. Một cặp z = (y, u) được gọi là một hướng tới hạn của bài toán
(2.5)–(2.7) tại z¯ = (¯
y, u
¯) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Fy (¯
z )y + Fu (¯
z )u ≤ 0;
(ii) Hy (¯
z )y + Hu (¯
z )u = 0;
(iii) ∇G(¯
z )z ∈ T (K, G(¯
z )).
Tập các hướng tới hạn được kí hiệu là C (¯
z ).
Hàm Lagrange của bài toán (2.5)–(2.7) là
L(z, e∗ , v ∗ ) := F (z ) + v ∗ , H (z ) + e∗ , G(z ) ,

(2.9)

ở đó z = (y, u) ∈ Z, e∗ ∈ E ∗ , v ∗ ∈ V ∗ .
Cho z¯ là một điểm chấp nhận được của bài toán (2.5)–(2.7) và kí hiệu Λ(¯
z ) là
∗ ∗
∗
∗
tập các nhân tử Lagrange (e , v ) ∈ E × V thỏa mãn
∇z L(¯
z , e ∗ , v ∗ ) = 0,

e∗ ∈ N (K, G(¯
z )).

Bổ đề 2.1.4. Giả sử các giả thiết (H 2.1) − (H 2.3) được thỏa mãn và z¯ là một nghiệm
tối ưu địa phương của bài toán (2.5)–(2.7). Khi đó, Λ(¯
z ) là tập khác rỗng và bị chặn.
Hơn nữa, nếu (H 2.4) được thỏa mãn thì Λ(¯
z ) có đúng một phần tử.
Khi K là polyhedric tại G(¯
z ), chúng ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.1.5. Giả sử các giả thiết (H 2.1)–(H 2.4) được thỏa mãn và z¯ là một nghiệm
tối ưu địa phương của bài toán (2.5)–(2.7). Khi đó, tập các hướng tới hạn C (¯
z ) thỏa
mãn
C (¯
z ) = {d ∈ Z | ∇F (¯
z )d = 0, ∇H (¯

z )d = 0, ∇G(¯
z )d ∈ T (K, G(¯
z ))}.

Hơn nữa, nếu K là polyhedric tại G(¯
z ) thì C (¯
z ) = C0 (¯
z ), ở đó
C0 (¯
z ) := (∇F (¯
z ))⊥ ∩ Ker∇H (¯
z ) ∩ ∇G(¯
z )−1 (cone(K − G(¯
z ))).

13


Định lý 2.1.7. Cho z¯ là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (2.5)-(2.7).
Giả sử các giả thiết (H 2.1)–(H 2.4) được thỏa mãn và K là polyhedric tại G(¯
z ). Khi
đó, tồn tại (e∗ , v ∗ ) ∈ Λ(¯
z ) sao cho
∇2zz L(¯
z , e∗ , v ∗ )(d, d) = ∇2 F (¯
z )d2 + e∗ , ∇2 G(¯
z )d2 + v ∗ , ∇2 H (¯
z )d2 ≥ 0

với mọi d ∈ C (¯

z ).

2.2

Điều kiện cần bậc hai

Định nghĩa 2.2.1. Cặp chấp nhận được (¯
y, u
¯) được gọi là một nghiệm tối ưu địa
phương của (BP ) nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi cặp chấp nhận được (y, u) thỏa
mãn y − y¯ W 1,r (Ω) + u − u¯ Lq (Γ) ≤ , ta có F (y, u) ≥ F (¯
y, u
¯).
Chúng ta đưa ra một số giả thiết cho bài toán (BP ):
(A2.1) L : Ω × R → R là một hàm Carathéodory, thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai,
L(x, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0, tồn tại một số dương kLM sao cho
|Ly (x, y )| + |Lyy (x, y )| ≤ kLM ,
|Ly (x, y1 ) − Ly (x, y2 )| + Lyy (x, y1 ) − Lyy (x, y2 ) ≤ kLM |y1 − y2 |

với h.k. x ∈ Ω và mọi y, yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2.
(A2.2) : Γ × R × R → R là một hàm Carathéodory, thuộc lớp C 2 đối với biến (y, u),
(x, 0, 0) ∈ L1 (Γ) và với mỗi M > 0, tồn tại số dương k M và hàm rM ∈ L∞ (Γ) sao
cho
| y (x, y, u)| + | u (x, y, u)| ≤ k M |y| + |u|q−1 + rM (x),
| y (x, y1 , u1 ) −

y (x, y2 , u2 )|

≤ k M (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),

| u (x, y1 , u1 ) −

u (x, y2 , u2 )|

≤ k M |y1 − y2 | +

|u1 − u2 |q−1−j |u2 |j ,
j≥0, q−1−j>0

yy (x, y1 , u1 )

−

yy (x, y2 , u2 )

≤ k M (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |),

yu (x, y1 , u1 )

−

yu (x, y2 , u2 )

≤ k M (|y1 − y2 | + εq |u1 − u2 |q−1 ),

và | uu (x, y1 , u1 ) − uu (x, y2 , u2 )| ≤ k M |y1 − y2 | + εq j≥0, q−2−j>0 |u1 − u2 |q−2−j |u2 |j
với h.k. x ∈ Γ và mọi y, ui , yi ∈ R thỏa mãn |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2, và εq = 0 nếu 1 <
q ≤ 2, εq = 1 nếu q > 2.
(A2.3) h : Ω × R → R là một hàm Carathéodory, thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai,
và thỏa mãn các tính chất sau

h(·, 0) ∈ LN r/(N +r) (Ω), hy (x, y ) ≥ 0

14

h.k. x ∈ Ω


và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Ch,M > 0 sao cho
hy (x, y ) + hyy (x, y ) ≤ Ch,M ,

hyy (x, y1 ) − hyy (x, y2 ) ≤ Ch,M |y2 − y1 |

với h.k. x ∈ Ω và |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M .
(A2.4) g : Γ × R → R là một hàm Carathéodory, thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai,
g (·, 0) ∈ Lq (Γ) h.k. x ∈ Γ và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Cg,M > 0 sao cho
gy (x, y ) + gyy (x, y ) ≤ Cg,M ,

gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 ) ≤ Cg,M |y2 − y1 |

với h.k. x ∈ Γ và |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M .
(A2.5) b0 (x) + gy [x] ≥ 0 h.k. x ∈ Γ.
Xét các ánh xạ
H : Z → V,

H (z ) = H (y, u) := (Ay + h(x, y ); ∂ν y + b0 y − u),

G : Z → E,

G(z ) = G(y, u) := g (., y ) + u,

và tập hợp K := {v ∈ Lq (Γ) | a(x) ≤ v (x) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ}.
Bài toán (BP ) được đưa về bài toán sau:

sao cho

Min F (z )

(2.14)

H (z ) = 0,

(2.15)

G(z ) ∈ K.

(2.16)

Kí hiệu Φq := Q ∩ G−1 (K ) là tập ràng buộc của bài toán (2.14)-(2.16), ở đó
Q := {z = (y, u) ∈ Z | H (z ) = 0}.

Chúng ta sẽ sử dụng Định lý 2.1.6 để thiết lập các điều kiện cần bậc hai cho bài toán
(BP ). Chúng ta cần chỉ ra rằng với (A2.1)–(A2.4) thì các giả thiết (H 2.1)-(H 2.4)
đều được thỏa mãn.
Bổ đề 2.2.2. Giả sử các giả thiết (A2.1)–(A2.4) được thỏa mãn. Khi đó F, H và
G thuộc lớp C 2 .
Bổ đề 2.2.3. Với giả thiết (A2.3), ∇y H (ˆ
y, u
ˆ) là song ánh với mọi (ˆ
y, u
ˆ) ∈ Z .

Bổ đề 2.2.4. Giả sử các giả thiết (A2.3)–(A2.5) được thỏa mãn. Khi đó, các khẳng
định sau là đúng:
(i) (Điều kiện chính quy) Với một hằng số δ > 0 nào đó, ta có
0∈

z )(T (Q, z ) ∩ BZ ) − (K − G(¯
z )) ∩ BE ] ;
[∇G(¯
z∈BZ (¯
z ,δ)∩Q

(ii) ∇G(¯
z )(T (Q, z¯)) = Lq (Γ).
15

(2.18)


Từ các Bổ đề 2.2.2–2.2.4, các giả thiết (H 2.1)-(H 2.4) được thỏa mãn.
Hàm Lagrange của bài toán (BP ) là
L(z, ψ, v ∗ ) = F (z ) + v ∗ H (z ) + ψG(z )
N

L(·, y )dx +

=
Ω

(·, y, u)dσ +
Γ

h(·, y )v1 dx −

+
Ω

aij (·)Di yDj v1 + a0 (·)yv1 dx
Ω

i,j=1

(∂ν y + b0 y − u)v2 dσ +

∂ν yv1 dσ +
Γ

Γ

(g (·, y ) + u)ψdσ,
Γ

1

ở đó v ∗ = (v1 , v2 ) ∈ V ∗ = W 1,r (Ω) × W r ,r (Γ), ψ ∈ Lq (Γ)∗ = Lq (Γ). Trong trường
hợp v1 = φ, v2 = T φ, chúng ta kí hiệu
L(z, ψ, φ) := L(z, ψ, v ∗ ) =

(·, y, u)dσ +

L(x, y )dx +

Ω

Γ

h(·, y )φdx
Ω

N

aij (·)Di yDj φ + a0 (·)yφ dx +

+
Ω

(b0 y − u)T φdσ +
Γ

i,j=1

(g (·, y ) + u)ψdσ.
Γ

Xét ánh xạ đa trị K : Γ ⇒ R, xác định bởi K(x) = [a(x), b(x)] h.k. x ∈ Γ. Khi đó,
K = {v ∈ Lq (Γ) | v (x) ∈ K(x) h.k. x ∈ Γ}. Đặt
Γa = {x ∈ Γ | G(¯
z )(x) = g (x, y¯(x)) + u
¯(x) = a(x)},
Γb = {x ∈ Γ | G(¯
z )(x) = g (x, y¯(x)) + u
¯(x) = b(x)}.

Định ngĩa 2.2.6. Cặp z = (y, u) ∈ W 1,r (Ω) × Lq (Γ) được gọi là một hướng tới hạn
của bài toán (BP ) tại z¯ = (¯
y, u
¯) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) ∇F
z )z = Ω (Ly [x]y (x)dx + Γ ( y [x]y (x) + u [x]u(x)) dσ ≤ 0;
 (¯
− N D (a (·)D y ) + a (·)y + h [·]y = 0
trong Ω,
i
0
y
i,j=1 j ij
(ii)
∂ν y + b0 y = u
trên Γ;

≥ 0 h.k. x ∈ Γ ,
a
(iii) gy [x]y (x) + u(x)
≤ 0 h.k. x ∈ Γb .
Kí hiệu Cq (¯
z ) là tập tất cả các hướng tới hạn như vậy.
Định lý 2.2.7. Giả sử các giả thiết (A2.1)-(A2.5) được thỏa mãn và z¯ là một
nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (BP ). Khi đó, tồn tại duy nhất một cặp
(φ, ψ ) ∈ W 1,r (Ω) × Lq (Γ) với r ∈ (1, NN−1 ) sao cho các khẳng định sau là đúng:
(i) Phương trình liên hợp:

A∗ φ + h [·]φ = −L [·]
trong Ω,

y
y
(2.21)
∂ν ∗ φ + b0 φ = − y [·] − gy [·]∗ ψ trên Γ,
A

16


ở đó A∗ là toán tử liên hợp hình thức của A, và
N

∂νA∗ φ =

aij (x)Dj φ(x)νi (x);
i,j=1

(ii) Điều kiện dừng theo u:
∇u L(¯
z , ψ, φ) =

u [·]

−φ+ψ =0

trên Γ;

(2.22)

(iii) Điều kiện bù với ψ :

ψ (x)





≤ 0

≥0



= 0

h.k. x ∈ Γa ,
(2.23)

h.k. x ∈ Γb ,
nếu ngược lại;

(iv) Điều kiện bậc hai không âm:
∇2zz L(¯
z , ψ, φ)(y, u)2 ≥ 0

∀z = (y, u) ∈ Cq (¯
z ),

ở đó
∇2zz L(¯

z , ψ, φ)(y, u)2 =

Lyy [x]y (x)2 + φhyy [x]y (x)2 dx
Ω

2
yy [x]y (x)

+

+2

yu [x]y (x)u(x)

+

2
uu [x]u(x)

+ ψ (x)gyy [x]y (x)2 dσ.

Γ

2.3

Điều kiện đủ bậc hai

Xét bài toán (BP ) cho trường hợp p = 2 và hàm mục tiêu có dạng
F (y, u) :=

[ϕ(x, y (x)) + α(x)u(x) + β (x)u2 (x)]dσ,

L(x, y (x))dx +
Ω

(2.30)

Γ

ở đó ϕ : Γ × R → R là một hàm Carathéodory và α, β ∈ L∞ (Γ). Chú ý rằng vì
p > N − 1, ta có N = 2. Ngoài ra, chúng ta cần giả thiết sau.
(A2.2) Hàm ϕ thỏa mãn giả thiết (A2.1) với ϕ thay thế cho L và Γ thay thế cho Ω.
Hơn nữa, tồn tại γ > 0 sao cho β (x) ≥ γ với h.k. x ∈ Γ.
Định nghĩa 2.3.1. Hàm F được gọi là thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai tại
z¯ ∈ Φ nếu tồn tại > 0, δ > 0 sao cho
F (z ) ≥ F (¯
z ) + δ z − z¯

với mọi z ∈ Φ2 thỏa mãn z − z¯

Z

≤ .

17

2
Z

Định lý 2.3.2. Giả sử các giả thiết (A2.1), (A2.2) , (A2.3), (A2.4) được thỏa mãn,
N = 2, z¯ ∈ Φ2 , tồn tại các nhân tử φ ∈ W 1,r (Ω), ψ ∈ L2 (Γ), r ∈ (1, 2) để các điều
kiện (2.21)– (2.23) của Định lý 2.2.7 là đúng, và
∇2zz L(¯
z , ψ, φ)(d, d) > 0,

∀d ∈ C2 (¯
z ) \ {0}.

(2.31)

Khi đó, F thỏa mãn điều kiện tăng trưởng bậc hai tại z¯. Đặc biệt, z¯ là một nghiệm
tối ưu địa phương của bài toán (BP ).
Từ các Định lý 2.2.7 và 2.3.2, chúng ta thu được điều kiện tối ưu không cách biệt
trong trường hợp này.
Nhận xét 2.3.4. Các kết quả trên vẫn đúng nếu hàm mục tiêu có dạng
F (y, u) =

[ϕ(x, y (x)) + α(x)u(x) + β (x)u2 (x) + α0 (x)y (x)u(x)]dσ,

L(x, y (x))dx +
Ω

Γ

ở đó α0 ∈ L∞ (Γ).
Ví dụ 2.3.5. Ví dụ này minh họa cách sử dụng các điều kiện cần và đủ bậc hai để
tìm các điểm cực trị.
Tiếp theo, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện đủ bậc hai cho bài toán (BP ) trong
trường hợp F (y, u) được cho bởi (2.30), ở đó α(x) và β (x) có thể bằng không.

(B 2.1) Hàm L : Ω × R → R là một hàm Carathéodory, thuộc lớp C 2 đối với biến
thứ hai, L(x, 0) ∈ L1 (Ω) và với mỗi M > 0 tồn tại hằng số CL,M > 0 và hàm số
LM ∈ L2 (Ω) sao cho
|Ly (x, y )| ≤ LM (x), |Lyy (x, y )| ≤ CL,M , h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
|Lyy (x, y1 ) − Lyy (x, y2 )| <

h.k. x ∈ Ω, ∀y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.

(B 2.2) Hàm ϕ thỏa mãn giả thiết (B 2.1), ở đó ϕ và Γ lần lượt được thay thế bởi L
và Ω, tương ứng.
(B 2.3) Hàm h : R → R thuộc lớp C 2 thỏa mãn
h(x, 0) = 0,

hy (x, y ) ≥ 0

h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R

và với mỗi M > 0, tồn tại hằng số Ch,M > 0 sao cho
|hy (x, y )| + |hyy (x, y )| ≤ Ch,M

h.k. x ∈ Ω, ∀y ∈ R, |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mọi M > 0 và > 0, tồn tại một số dương δ > 0 sao cho
|hyy (x, y1 ) − hyy (x, y2 )| <

18

h.k. x ∈ Ω,

với mọi y1 , y2 ∈ R, |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.
(B 2.4) Hàm g : Γ × R → R là một hàm liên tục, thuộc lớp C 2 đối với biến thứ hai,
g (·, 0) ∈ L2 (Γ), và với mỗi M > 0 tồn tại hằng số Cg,M > 0 sao cho
|gy (x, y )| + |gyy (x, y )| ≤ Cg,M với h.k. x ∈ Γ và ∀y ∈ R thỏa mãn |y| ≤ M.

Hơn nữa, với mỗi M > 0 và > 0, tồn tại một số dương δ > 0 sao cho
|gyy (x, y1 ) − gyy (x, y2 )| <

với h.k. x ∈ Γ và với mọi y1 , y2 ∈ R thỏa mãn |y1 |, |y2 | ≤ M, |y1 − y2 | < δ.
(B 2.5) α, β ∈ L∞ (Γ) và β (x) ≥ 0 với h.k. x ∈ Γ. Hơn nữa
βa ∈ L∞ (Γa ),

βb ∈ L∞ (Γb ).

Trong phần tiếp theo, chúng ta kí hiệu · ∗ = · L2 (Ω) + ·
Với mỗi τ ≥ 0, chúng ta xác định một nón tới hạn sau:

L2 (Γ) .

C2τ (¯
z ) = z = (y, u) ∈ Z1 | z thỏa mãn (C 2.1) − (C 2.3)

(C 2.1)
(C 2.2)

(C 2.3)

(ϕy [x]y (x) + αu(x) + 2β u¯u(x)) dσ ≤ τ y ∗ ;

Ly [x]y (x)dx +
Ω

với

Γ

− N D (a (·)D y ) + a (·)y + h [·]y = 0
i
0
y
i,j=1 j ij
∂ν y + b0 y = u

≥ 0 nếu x ∈ Γ ,
a
gy [x]y (x) + u(x)
≤ 0 nếu x ∈ Γb .

trong Ω,
trên Γ;

Rõ ràng, C2 (¯
z ) ⊂ C2τ (¯
z ) với mọi τ ≥ 0.
Định lý 2.3.6. Giả sử rằng N = 2, z¯ ∈ Φ∗ và các giả thiết (A2.5), (B 2.1)–(B 2.5)
được thỏa mãn và tồn tại các nhân tử ψ ∈ L2 (Γ) và φ ∈ W 1,r (Ω), r ∈ (1, 2) để các
điều kiện (2.21)–(2.23) là đúng, và tồn tại các hằng số γ, τ > 0 sao cho
∇zz L(¯

z , ψ, φ)(z, z ) ≥ γ y

2
∗

∀z = (y, u) ∈ C2τ (¯
z ).

Khi đó, tồn tại ρ, ε > 0 sao cho
F (z ) ≥ F (¯
z ) + ε y − y¯

2
∗

∀z = (y, u) ∈ BZ1 (¯
z , ρ) ∩ Φ∗ ,

ở đó Φ∗ := {(y, u) ∈ Z1 | (y, u) thỏa mãn (2.2) và (2.3)}.

19


Chương 3

Tính nửa liên tục trên và liên tục của ánh xạ nghiệm
cho một bài toán điều khiển biên chứa tham số
Cho Ω là một miền bị chặn trong R2 với biên Γ thuộc lớp C 1,1 . Xét bài toán điều
khiển tối ưu chứa tham số (P ): Xác định một hàm điều khiển u ∈ L2 (Γ) và một
¯ làm cực tiểu hóa hàm mục tiêu

hàm trạng thái tương ứng y ∈ H 1 (Ω) ∩ C (Ω)
L(x, y (x), µ(1) (x))dx +

F (y, u, µ) =
Ω

(x, y (x), u(x), µ(2) (x))dσ,

(3.1)

Γ

sao cho

Ay + f (x, y ) = 0
∂ν y = u + λ(1)

trong Ω,

(3.2)

trên Γ,

a(x) ≤ g (x, y ) + u(x) + λ(2) ≤ b(x) h.k. x ∈ Γ,

(3.3)

ở đó L : Ω ×R×R → R, l : Γ ×R×R×R → R, f : Ω ×R → R và g : Γ ×R → R là các
hàm; a, b ∈ L2 (Γ), a(x) < b(x) với h.k. x ∈ Γ; (µ, λ) ∈ (L∞ (Ω) × L∞ (Γ)) × (L2 (Γ))2
là một véc tơ các tham số với µ = (µ(1) , µ(2) ) và λ = (λ(1) , λ(2) ). Toán tử elliptic bậc

hai A được xác định như trong Chương 2 với N = 2.
¯ , U := L2 (Γ), Π := L∞ (Ω) × L∞ (Γ), Λ := (L2 (Γ))2 .
Đặt Y := H 1 (Ω) ∩ C (Ω)
Với mỗi λ ∈ Λ, tập ràng buộc Φ(λ) := {(y, u) ∈ Y ×U |(y, u) thỏa mãn (3.2) và (3.3)}.
Khi đó, bài toán (3.1)-(3.3) có thể được viết dưới dạng

F (y, u, µ) → inf,
P (µ, λ)
(3.4)
(y, u) ∈ Φ(λ).
Kí hiệu S (µ, λ) là tập nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3) hoặc P (µ, λ) ứng với (µ, λ),
¯ ) là điểm tham chiếu, và P (¯
¯ ) là bài toán gốc.
(¯
µ, λ
µ, λ

3.1

Các giả thiết và kết quả chính

¯ ) ∈ Π × Λ và 0 > 0. Kí hiệu hz là đạo hàm theo biến z của một hàm
Cố định (¯
µ, λ
cho trước h. Chúng ta cần các giả thiết sau:
(A3.1) L : Ω × R × R → R và l : Γ × R × R × R → R là các hàm Carathéodory sao cho
y → L(x, y, µ(1) ) và (y, u) → (x , y, u, µ(2) ) là các hàm khả vi Fréchet liên tục với h.k.
20

x ∈ Ω, x ∈ Γ và với mọi µ(1) , µ(2) ∈ R thỏa mãn |µ(1) − µ
¯(1) (x)| + |µ(2) − µ
¯(2) (x )| ≤ 0 .
Hơn nữa, với mỗi M > 0 tồn tại CLM , ClM > 0 và r1M ∈ L1 (Ω), r2M ∈ L1 (Γ),
r3M ∈ L∞ (Ω), r4M ∈ L∞ (Γ) sao cho
|L(x, y, µ(1) )| ≤ r1M (x),
|Ly (x, y, µ(1) )| ≤ r3M (x),

| (x , y, u, µ(2) )| ≤ r2M (x ) + ClM (1 + |u|2 ),

|Ly (x, y1 , µ(1) ) − Ly (x, y2 , µ(1) )| ≤ CLM |y1 − y2 |,

| y (x , y, u, µ(2) )|+| u (x , y, u, µ(2) )| ≤ ClM (|y| + |u|) + r4M (x ),
| y (x , y1 , u1 , µ(2) )− y (x , y2 , u2 , µ(2) )| ≤ ClM (|y1 − y2 | + δ|u1 − u2 |),
| u (x , y1 , u1 , µ(2) )− u (x , y2 , u2 , µ(2) )| ≤ ClM |y1 − y2 | + |u1 − u2 | ,

với δ ≥ 0, h.k. x ∈ Ω, x ∈ Γ, mọi µ(1) , µ(2) , y, ui , yi ∈ R thỏa mãn
|µ(1) − µ
¯(1) (x)| + |µ(2) − µ
¯(2) (x )| ≤ 0 và |y|, |yi | ≤ M , i = 1, 2.
(A3.2) Hàm u → (x , y, u, µ(2) ) là lồi với mọi (x , y, µ(2) ) ∈ Γ ×R2 và |µ(2) − µ
¯(2) (x )| ≤
2
1
0 . Hơn nữa, với mỗi M > 0 tồn tại các hàm aM ∈ L (Γ) và bM ∈ L (Γ) thỏa mãn
(x , y, u, µ(2) ) ≥ aM (x )u + bM (x )
với h.k. x ∈ Γ, mọi y, u, µ(2) ∈ R thỏa mãn |y| ≤ M , |µ(2) − µ
¯(2) (x )| ≤ 0 .
(A3.3) Tồn tại hàm liên tục η : Γ × R3 → R và 0 ≤ θ ≤ 1, α, β > 0 sao cho
| u (x , y, u, µ(2) ) −

u (x

u (x

, y, u, µ
¯(2) (x )| ≤ η (x , |y|, |µ(2) |, |µ
¯(2) (x )|)|u|θ |µ(2) − µ
¯(2) (x )|α ,

, y¯(x ), u, µ
¯(2) (x )) −

u (x

, y¯(x ), u
¯, µ
¯(2) (x )), u − u¯(x ) ≥ β|u − u¯(x )|2

với h.k. x ∈ Γ, mọi y, u, µ(2) ∈ R thỏa mãn |µ(2) − µ
¯(2) (x )| ≤ 0 .
(A3.4) f : Ω × R → R và g : Γ × R → R là các hàm Carathéodory, thuộc lớp C 1 đối
với biến thứ hai và thỏa mãn các tính chất:
f (·, 0) = 0, fy (x, y ) ≥ 0

h.k. x ∈ Ω,

g (·, 0) = 0, gy (x , y ) ≥ 0

h.k. x ∈ Γ

và với mỗi M > 0, tồn tại các hằng số Cf M , CgM > 0 sao cho
fy (x, y ) ≤ Cf M ,

fy (x, y1 ) − fy (x, y2 ) ≤ Cf M |y1 − y2 |,

gy (x , y ) ≤ CgM ,

gy (x , y1 ) − gy (x , y2 ) ≤ CgM |y1 − y2 |,

với h.k. x ∈ Ω, x ∈ Γ, mọi y, y1 , y2 ∈ R thỏa mãn |y|, |y1 |, |y2 | ≤ M.
Định lý sau là kết quả chính trong chương này.
Định lý 3.1.1. Giả sử các giả thiết (A3.1)–(A3.4) được thỏa mãn. Khi đó, các khẳng
định sau là đúng:
(i) S (µ, λ) = ∅ với mọi (µ, λ) ∈ Π × Λ;
21


¯ );
(ii) S : Π × Λ → Y × U là nửa liên tục trên tại (¯
µ, λ
¯ ) chỉ gồm một phần tử thì S (·, ·) là liên tục tại
(iii) Nếu có thêm điều kiện S (¯
µ, λ
¯ ).
(¯
µ, λ

3.2

Một số kết quả bổ trợ

3.2.1

Một số tính chất của tập ràng buộc

Bổ đề 3.2.2. Với giả thiết (A3.4), tập ràng buộc Φ(λ) là một tập đóng và khác rỗng
với bất kì λ ∈ Λ.
Bổ đề 3.2.3. Giả sử giả thiết (A3.4) được thỏa mãn và {λn } là một dãy hội tụ mạnh
ˆ trong Λ. Khi đó, các khẳng định sau là đúng:
đến λ
ˆ ), tồn tại một dãy {(yn , un )}, (yn , un ) ∈ Φ(λn ) hội tụ mạnh
(i) Với bất kì (ˆ
y, u
ˆ) ∈ Φ(λ
đến (ˆ
y, u
ˆ) trong Z .
(ii) Với dãy {(yn , un )}, (yn , un ) ∈ Φ(λn ) bất kì , tồn tại một dãy con {(ynk , unk )} và
ˆ ) sao cho
(ˆ
y, u
ˆ) ∈ Φ(λ
ynk → yˆ và unk
u
ˆ.

3.2.2

Điều kiện cần bậc nhất

Bổ đề 3.2.5. Giả sử (¯
y, u
¯) là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (3.1)–
(3.3). Khi đó, tồn tại duy nhất một phần tử φ ∈ H 1 (Ω) sao cho các khẳng định sau
là đúng:
(i) Phương trình liên hợp:

A∗ φ + f (·, y¯)φ = L (·, y¯, µ(1) )
trong Ω,
y
y
∂n ∗ φ + gy (·, y¯)φ = y (·, y¯, u
¯, µ(2) ) − u (·, y¯, u¯, µ(2) )gy (·, y¯) trên Γ,
A
ở đó A∗ là toán tử liên hợp hình thức của A.
(ii) Nguyên lý cực tiểu yếu:
(φ(x)+ u (x, y¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))(g (x, y¯(x)) + u¯(x) + λ(2) (x))
=

min

(φ(x) +

v∈[a(x),b(x)]

¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))v
u (x, y

h.k. x ∈ Γ.

(3.14)

Đặt
K := {v ∈ L2 (Γ)| a(x) ≤ v (x) ≤ b(x)

22

h.k. x ∈ Γ}.

(3.15)


Khi đó, từ (3.14), ta có
(φ(x) +

¯(x), u¯(x), µ(2) (x)))(v (x)
u (x, y

− g (x, y¯) − u
¯(x)) − λ(2) (x))dσ ≥ 0,

Γ

¯ suy ra Ly (·, y¯, µ(1) ) ∈ L∞ (Ω),
với mọi v ∈ K . Hơn nữa, từ giả thiết (A3.1) và y¯ ∈ C (Ω)
¯
¯, u¯, µ(2) ) − u (·, y¯, u¯, µ(2) )gy (·, y¯) ∈ L2 (Γ). Bởi vậy, ta có φ ∈ H 1 (Ω) ∩ C (Ω).
y (·, y

3.3

Chứng minh kết quả chính

(i) Tập S (µ, λ) khác rỗng.
(ii) Tính nửa liên tục trên của S (·, ·)
Chúng ta dùng phương pháp phản chứng. Giả sử S (·, ·) không nửa liên tục trên tại
¯ ). Khi đó, tồn tại các tập mở W1 in Y , W2 trong U và các dãy {(µn , λn )} ⊂ Π × Λ,
(¯
µ, λ
{(yn , un )} ⊂ Y × U sao cho


¯ ) ⊂ W1 × W2 ,

µ, λ

 S (¯
¯ ),
(3.16)
(µn , λn ) → (¯
µ, λ
µn − µ Π ≤ 0 ,



 (yn , un ) ∈ S (µn , λn ) \ (W1 × W2 ), ∀n ≥ 1.
Bởi Bổ đề 3.2.3, sau khi chọn một dãy con, chúng ta có thể giả sử
yn → y¯ trong Y

và un

u
¯ trong U

¯ ) nào đó. Nếu chúng ta có thể chỉ ra rằng (¯
¯ ) và un → u¯
với (¯
y, u
¯) ∈ Φ(λ
y, u
¯) ∈ S (¯
µ, λ
trong U khi n → +∞ thì (yn , un ) ∈ W1 × W2 với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với
(3.16) và chứng minh được hoàn thành.
(iii) Tính liên tục của S (·, ·)

3.4

Các ví dụ

Trong phần này, chúng ta đưa ra một số ví dụ minh họa cho Định lý 3.1.1. Một
¯ ) chỉ gồm một phần tử và ánh xạ nghiệm S (·, ·) là liên tục
ví dụ chỉ ra rằng S (¯
µ, λ
¯ ). Ví dụ còn lại chỉ ra rằng mặc dù bài toán gốc có một nghiệm duy nhất,
tại (¯
µ, λ
nhưng bài toán nhiễu có thể có nhiều nghiệm và ánh xạ nghiệm là liên tục tại điểm
tham chiếu.

23