TRÌNH CHIẾU LUẬN VĂN “Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T co suy rộng trong không gian b mêtric nón”

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ T -CO SUY RỘNG
TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN

NGUYỄN XUÂN LONG
Lớp Cao học 23 - Toán Giải tích
Cán bộ hướng dẫn: PGS. TS. Đinh Huy Hoàng

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

1 / 34


Lời nói đầu
• Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề được nhiều nhà toán
học quan tâm và nghiên cứu. Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn
liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder,
Kakutani,. . .
• Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lý thuyết điểm bất động
là nguyên lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach (1922).
• Năm 2007, các nhà toán học Trung Quốc: Huang Long Guang và Zhang
Xian ([6]) đã thay giả thiết hàm mêtric nhận giá trị trong tập hợp các số
thực không âm bởi nhận giá trị trong một nón định hướng trong không gian
Banach và đưa ra khái niệm không gian mêtric nón.
• Sau đó, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả về
sự tồn tại điểm bất động trong không gian mêtric nón. Những người thu
được nhiều kết quả theo hướng này là: J. S. Ume, R. A. Stoltenbeg, C. S.

Wong, H. L. Guang và Z. Xian,. . .
Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

2 / 34


Lời nói đầu
• Khái niệm không gian b-mêtric được đưa ra và nghiên cứu bởi S. Czerwik
[5]. Trong [7], N. Hussain và các cộng sự đã mở rộng lớp không gian bmêtric và mêtric nón bằng cách đưa ra khái niệm không gian b-mêtric nón
và chứng minh một số tính chất tôpô và sự tồn tại điểm bất động trong lớp
không gian này.
• Năm 2013, M. Kir và H. Kiziltunc [8] đã chứng minh sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co kiểu Kannan và kiểu Chatterjea trong không gian
b-mêtric.
• Mới đây (2014), Z. Mustaja và các cộng sự [9] đã mở rộng các kết quả
của Kannan, Chatterjea, Choudhury [4] và A. Razani, Parvanneh [10] về sự
tồn tại điểm bất động của ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu
suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trong không gian mêtric cho không gian
b-mêtric.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

3 / 34


Lời nói đầu

• Một vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên là, các kết quả tương tự về sự
tồn tại điểm bất động trong không gian b-mêtric, đặc biệt là kết quả của Z.
Mustafa và các cộng sự [9] có thể mở rộng được cho không gian b-mêtric
nón hay không?
• Vì thế chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Về sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón”.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

4 / 34


Cấu trúc luận văn

• Chương 1. Không gian b-mêtric nón
• Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ
T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

5 / 34


Chương 1. Không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

6 / 34


Chương 1. Không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,....

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

6 / 34


Chương 1. Không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,....

1.2. Nón trong không gian Banach
Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trong
không gian Banach.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

6 / 34


Chương 1. Không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không
gian b-mêtric nón làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, không gian b-mêtric, không gian Banach, ánh xạ liên tục,....

1.2. Nón trong không gian Banach
Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trong
không gian Banach.

1.3. Không gian b-mêtric nón
Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của không gian
b-mêtric nón,...
Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

6 / 34


1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Luận văn đã đưa ra các nội dung
• Khái niệm không gian mêtric [1], Khái niệm không gian b-mêtric [5];
• Đưa ra chú ý không gian mêtric là trường hợp đặc biệt của không gian
b-mêtric khi s = 1;
• Đưa ra ví dụ về không gian b-mêtric [9] và ví dụ chỉ ra rằng có những
không gian b-mêtric nhưng không phải là không gian mêtric;
• Đưa ra các định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy, không gian b-mêtric đầy
đủ trong không gian b-mêtric và một số nội dung khác cần thiết trong

Luận văn.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

7 / 34


1.2. Nón trong không gian Banach

Luận văn đã đưa ra các nội dung
• Đưa ra Định nghĩa và một số ví dụ nón trong không gian Banach;
• Đưa ra Bổ đề 1.2.4 và Bổ đề 1.2.5 trong [4] phục vụ cho chứng minh các
định lí trong chương 2.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

8 / 34


1.3. Không gian b-mêtric nón
Luận văn đã đưa ra các nội dung
• Đưa ra định nghĩa không gian b-mêtric nón [7];

• Đưa ra chú ý:
- Không gian mêtric nón là trường hợp đặc biệt của không gian b-mêtric
nón khi s = 1;
- Tồn tại những không gian b-mêtric nón mà không phải là không gian
mêtric nón (ví dụ [7]);
- Chỉ ra rằng không gian b-mêtric là trường hợp đặc biệt của không
gian b-mêtric nón khi lấy E = R và P = [0, ∞);
• Đưa ra định nghĩa dãy hội tụ, dãy Cauchy, không gian b-mêtric nón đầy
đủ trong không gian b-mêtric nón [7];
• Đưa ra định nghĩa ánh xạ liên tục, hội tụ dãy, hội tụ theo dãy con và điểm
bất động của ánh xạ f trong không gian b-mêtric.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

9 / 34


Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy
rộng trong không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

10 / 34


Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy
rộng trong không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón.

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không
gian b-mêtric
Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

10 / 34


Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy
rộng trong không gian b-mêtric nón
Chương này trình bày một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ T -co suy rộng trong không gian b-mêtric nón.

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không

gian b-mêtric
Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất
động của các ánh xạ co và T -co suy rộng trong không gian b-mêtric.

2.2. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng trong không
gian b-mêtric nón
Trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản của nón trong
không gian Banach.
Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

10 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric

2.1.1. Định nghĩa
Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric f và T : X → X là hai ánh xạ
1
i) Ánh xạ f được gọi là T -co nếu tồn tại hằng số α ∈ [0, ) sao cho
s
d (Tfx, Tfy ) ≤ αd (Tx, Ty ), ∀x, y ∈ X .

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

11 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
2.1.1. Định nghĩa
ii) Ánh xạ f được gọi là T -co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1 , α2 , α3 ,
1
α4 , α5 ∈ [0, ) sao cho
s
d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 d (Tx, Ty ) + α2 d (Tx, Tfy ) + α3 d (Ty , Tfx)
+ α4 d (Tx, Tfx) + α5 d (Ty , Tfy ), ∀x, y ∈ X .

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

12 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
2.1.1. Định nghĩa
ii) Ánh xạ f được gọi là T -co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1 , α2 , α3 ,
1

α4 , α5 ∈ [0, ) sao cho
s
d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 d (Tx, Ty ) + α2 d (Tx, Tfy ) + α3 d (Ty , Tfx)
+ α4 d (Tx, Tfx) + α5 d (Ty , Tfy ), ∀x, y ∈ X .
Ta thấy ánh xạ T -co là trường hợp riêng của ánh xạ T -co suy rộng khi
α2 = α3 = α4 = α5 = 0.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

12 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
2.1.1. Định nghĩa
ii) Ánh xạ f được gọi là T -co suy rộng nếu tồn tại các hằng số α1 , α2 , α3 ,
1
α4 , α5 ∈ [0, ) sao cho
s
d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 d (Tx, Ty ) + α2 d (Tx, Tfy ) + α3 d (Ty , Tfx)
+ α4 d (Tx, Tfx) + α5 d (Ty , Tfy ), ∀x, y ∈ X .
Ta thấy ánh xạ T -co là trường hợp riêng của ánh xạ T -co suy rộng khi
α2 = α3 = α4 = α5 = 0.
Ta kí hiệu

Φ1 = {ϕ : [0, +∞) → [0, +∞)| ϕ liên tục, không giảm và

ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0}.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

12 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
2.1.2. Định lí
Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f và
T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 sao cho với mọi x, y ∈ X , ta có
d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 sd (Tx, Ty ) + α2 [d (Tx, Tfy ) + d (Ty , Tfx)]
+α3 s[d (Tx, Tfx) + d (Ty , Tfy )] − ϕ(d (Tx, Ty )),

(1)

trong đó α1 , α2 , α3 là các hằng số không âm sao cho

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

13 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
2.1.2. Định lí
1
α1 + 2α2 + 2α3 ≤ ,
s
1
α2 + α3 < 2 ,
s
1
α1 + 2α2 ≤ 2 .
s

(2)
(3)
(4)

Khi đó,
1) Với mỗi x0 ∈ X , dãy {Tf n x0 } hội tụ;
2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có một điểm bất động duy nhất;
3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi x0 ∈ X , dãy {f n x0 } hội tụ tới
điểm bất động của f .
Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

14 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
Trong Định lí 2.1.2, nếu ta lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất, tức
1
T (x) = x, với mọi x ∈ X . Đặt α1 = 2 , α2 = α3 = 0. Khi đó, ta nhận
s
được Hệ quả sau

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

15 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
Trong Định lí 2.1.2, nếu ta lấy T : X → X là ánh xạ đồng nhất, tức
1
T (x) = x, với mọi x ∈ X . Đặt α1 = 2 , α2 = α3 = 0. Khi đó, ta nhận
s
được Hệ quả sau

2.1.3. Hệ quả
Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với hằng số s ≥ 1 và ánh xạ
f : X → X thỏa mãn
1
d (fx, fy ) ≤ d (x, y ) − ϕ(d (x, y )), ∀x, y ∈ X
s
trong đó ϕ ∈ Φ1 . Khi đó, f có duy nhất điểm bất động.

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

15 / 34


2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
Trong Định lí 2.1.2, nếu ta thay ϕ(d (Tx, Ty )) bởi ϕ(λd (Tx, Ty )), thì ta
nhận được Hệ quả sau

Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

16 / 34

2.1. Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co suy rộng
trong không gian b-mêtric
Trong Định lí 2.1.2, nếu ta thay ϕ(d (Tx, Ty )) bởi ϕ(λd (Tx, Ty )), thì ta
nhận được Hệ quả sau

2.1.4. Hệ quả
Giả sử (X , d ) là không gian b-mêtric đầy đủ với tham số s ≥ 1, f và
T : X → X là hai ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) T đơn ánh và liên tục;
ii) Tồn tại ϕ ∈ Φ1 và các hằng số không âm α1 , α2 , α3 , sao cho với mọi
x, y ∈ X , ta có
d (Tfx, Tfy ) ≤ α1 sd (Tx, Ty ) + α2 [d (Tx, Tfy ) + d (Ty , Tfx)]
+ α3 s[d (Tx, Tfx) + d (Ty , Tfy )] − ϕ(λd (Tx, Ty )),

(5)

trong đó λ > 0 và
Nguyễn Xuân Long (CH23)

Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ T -co

Vinh, 08/2017

16 / 34