Toán BD HSG Bất đẳng thức

A/ KIẾN THỨC CẦN NẮM
I/ ĐỊNH NGHĨA:
Với A, B là 2 biểu thức bất kì:
A >B <=> A – B > 0 A < B <=> A – B < 0
A
≥
B <=> A – B
≥
0 A
≤
B <=> A – B
≤
0
+ Nếu A > B => C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B
+ Nếu A > B <=> C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng thức tương
đương.
II/ TÍNH CHẤT:
1/ A >B <=> B < A
2/ A >B và B > C => A > C
3/ A >B <=> A + C >B + C Hệ quả A >B + C <=> A – C > B
4/ A >B và C > D => A + C > B + D
A > B và C < D => A – C > B – D
5/ A > B và C > 0 <=> AC > BC
A > B và C < 0 <=> AC < BC
6/ A > B > 0 và C > D > 0 => AC > BD
7/ A > B > 0, n nguyên dương => A
n
> B
n
8/ A > B > 0, n nguyên dương =>
nn

BA
>
. Hệ quả: a
2

≥
b
2
<=> a
≥
b <=>
ba
≥
(a,b
≥
0)
9/ A > B, AB > 0 =>
BA
11
<
10/ A > 1, m và n nguyên dương, m > n => A
m
> A
n
0 < A < 1, m và n nguyên dương, m > n => A
m
< A
n
1
Chú ý: CẦN TRÁNH CÁC SAI LẦM SAU:

1/ Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều
2/ Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không
âm.
3/ Bình phương vế của 2 bất đẳng thức mà không có giả thiết các vế không âm.
4/ Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu
5/ Nghòch đảo và đổi chiều của bất đẳng thức khi chưa có giả thiết 2 vế cùng dấu.
6/ Thừa nhận x
m
> x
n
với m, n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x.
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC
III/ CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯC THỪA NHẬN:
∀
a: a
2

≥
0; -a
2

≤
0; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
-|a|
≤
a
≤
|a|; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
|a|
≥

0 ; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0
a
i

≥
0 (i = 1, 2, …, n; n
∈
N*) => a
1
+ a
2
+ … + a
n

≥
0

BÀI TẬP
Bài 1: Cho x, y là 2 số thực bất kỳ khác không. CMR :
222
22
)(
4
yx
yx
+
+
2
2
y

x
+
2
2
x
y

≥
3. dấu đẳng
thức xảy ra khi nào?
Bài 2: Cho cặp số (x, y) thoả mãn các điều kiện: -1
≤
x
≤
1; -1
≤
xy + x + y
≤
1> Chứng
minh rằng: |x|
≤
2; |y|
≤
2
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR:
ba
a
+
+
cb

b
+
+
ac
c
+
<
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực tuỳ ý thoả mãn:



≤≤−
=++
1;;1
0
zyx
zyx
CMR: x
2

+ y
4
+ c
6

≤
2. Đẳng thức có thể xảy ra được không?
Bài 5: Với a, b là các số thực dương. CMR: 4(a
3
+ b
3
)
≥
(a + b)
3
Bài 6: Cho a và b là 2 số dương. Biết rằng phương trình: x
3
– x
2
+ 3ax – b = 0; có 3 nghiệm
(không nhất thiết phân biệt). CMR:
3
3
b
a
+ 27b
≥
28
Bài 7: 1/ a
2

+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca
∀
a, b, c
2/ x
4
+ y
4
+ z
4

≥
xyz(x + y + z)
∀
x, y, z
Bài 8: x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6
Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
+ z
2

≥
3

Bài 9: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất
đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng
Cách 2:Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng
thức cần chứng minh.
cbabacacbcba
111111
++≥
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x
2
+ 4y
2
= 1. Chứng minh rằng: |x + y|
≤

2
5
Bài 11: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức:
x
1
+
y
2

+
z
3
= 6. Xét biểu thức P = x + y
2
+ z
3
a/ Chứng minh: P
≥
x + 2y + 3z – 3
b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho a, b, c > 1. Chứng minh:
1
−
b
a
+
1
−
c
b
+
1
−
a
a

≥
12. Đẳng thức xảy ra khi
nào?

Bài 13: Cho P(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c và Q(x) = x
2
+ x + 2005.
Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô
nghiệm. Chứng minh P(2005) >
64
1
Bài 14: Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1
a/ Chứng minh rằng 1
≤
x + y
≤

2
b/ Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P =
x21
+
+
y21
+
Bài 15: Chứng minh: (a + b + c)







++
cba
111
≥
9
p dụng giải bái tập: a/
2
3
≥
+
+
+
+
+
ba
c
ac
b
cb
a
b/ Giải phương trình:
c
xba
−+
+

a
xcb
−+
+
b
xca
−+
+
cba
x
++
4
=1
Bài 16: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:
a
2
b + b
2
c + c
2
a + ca
2
+ bc
2
+ ab
2
– a
3
– b
3

– c
3
> 0
Bài 17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
1/ Chứng minh bất đẳng thức : ab + bc + ca
≤
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
2/ CMR nếu (a + b + c)
2
= 3(ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác đều.
Bài 18: Giả sử: a
≥
b; c
≥
d. Chứng minh: ac + bd
≥
bc + ad
Bài 19: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:
cb
a
+
2
+
ca

b
+
2
+
ab
c
+
2
≥

2
cba
++
Bài 20: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a
2
+ b
2

+ c
2
≥

3
1
Bài 21: Cho a
≥
b
≥
c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
a

c
c
b
b
a
++
=
b
c
c
a
a
b
++
Bài 22: Cho 3 số a, b, c sao cho 0
≤
a
≤
2; 0
≤
b
≤
2; 0
≤
c
≤
2 và a + b + c = 3. Chứng
minh:
a
2

+ b
2
+ c
2

≤
5
Bài 23: Cho a; b; c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2
Bài 24: Cho 3 số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong 3 số đó
không bé hơn tích của 3 số đó.
3
Bài 25: Cho |a| < 1; |a – c| < 1999; |b – 1| < 1999. Chứng minh rằng |ab – c| < 3998
Bài 26: 1/ Chứng minh nếu x > 0; y > 0 thì
yx
11
+

≥

yx
+
4
2/ Chứng minh nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, ta có:
cba
−+
1
+
acb
−+
1
+
bca
−+
1
≥

cba
111
++
Bài 27: Cho a; b; c > 0> Chứng minh
cb
+
1
+
ac
+
1
+

ba
+
1
>
cba
++
3
Bài 28: Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(–a + b + c)
≤
abc với a; b; c là độ dài 3
cạnh một tam giác.
Bài 29: Cho a, b là 2 số thoả mãn: 2a
2
+
4
1
2
2
b
a
+
= 4. Chứng minh ab
≥
-2. Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?
Bài 30: Cho các số a; b; c
∈
[0; 1]. Chứng minh rằng: a + b
2
+ c

3
– ab – bc – ca
≤
1
Bài 31: Chứng minh rằng: với mọi a, b có đẳng thức: (a
2
+ b
2
)(a
2
+ 1)
≥
4a
2
b
Bài 32: Cho m
2
+ n
2
= 1 và a
2
+ b
2
= 1. Chứng minh: –1
≤
am + bn
≤
1
Bài 33: Cho các số: x, y, z
≥

0 và x + y z = 1. Chứng minh rằng:
x + 2y + z
≥
4(1 – x)(1 – y)(1 – z)
Bài 34: Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+
+

≥

2
3
Bài 35: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a/ a
3
+ b
3

≥
a
2

b + ab
2
b/
abcba
++
33
1
+
abccb
++
33
1
+
abcca
++
33
1

≤

abc
1
Bài 36: Cho 3 số dương a, b, c. CMR:
ba
11
1
+
+
cb
11

1
+
+
ca
11
1
+

≤

2
cba
++
Bài 37: Cho 3 số dương a, b, c. CMR:






+






+







+
a
c
c
b
b
a
111

≥
8
Bài 38: Cho a . b và ab = 1. Chứng minh rằng:
2
222
)(
)(
ba
ba
−
+
≥
8 (1)
Bài 39:
≥
+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
ad
bd
dc
ac
cb
db
ba
ca
4 (a, b, c, d > 0)
Bài 40: Cho 3 số dương a, b, c> Chứng minh rằng: a/ a
3
b + b
3
c + c
3
a
≥
abc(a + b + c)
b/
c
ba

3
+
b
ca
3
+
c
ab
3
+
a
cb
3
+
b
ac
3
+
a
bc
3

≥
6abc
Bài 41: a/ Chứng minh: x
4
+ y
4

≥

8
)(
4
yx
+
b/ Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x
4
+ y
4
) +
xy
1

≥
5
Bài 42: Cho x > 0, y > 0 và x + y
≤
1. Chứng minh:
xyyxyx
+
+
+
22
11

≥
4
Bài 43: Cho x
≥

1; y
≥
1. Chứng minh: x
1
−
y
+ y
1
−
x

≤
xy
Bài 44: Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh:
)( cac
−
+
)( cbc
−

≤

ab
4
Bài 45: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
cba
111
++

≤

ab
c
ca
b
bc
a
++
< 2(
cba
111
++
)
Bài 46: Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Gọi P = abc(a + b)(b + c)(c + a).
Chứng minh P <
64
1
Bài 47: Cho 2 số dương x, y thoả: x
3
+ y
3
= x – y. Chứng minh rằng: x
2

+ y
2
< 1
Bài 48: Chứng minh rằng: a/
13
1

2
12
...
6
5
.
4
3
.
2
1
−
≤
−
n
n
n
b/
109
2
1994
1993
...
6
5
.
4
3
.
2

1
<
Bài 49: Cho a, b, c là các số không âm thoả a + b + c = 1. Chứng minh: b + c
≥
16abc
Bài 50: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả: a + b + c = 0. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≤
6
Bài 51: Chứng minh: a + b
≤

)(2
22
ba
+
p dụng tìm x để A =
xx
−+−
53
đạt giá trò lớn nhất.
Bài 52: a/ Cho a
≥
0, b
≥
0. Chứng minh: a + b

≥

ab
ab
+
9
12
b/ a
2
+ b
2

≥

4
1
. Chứng minh: a
2
+ b
2

≥

32
1
Bài 53: Cho x
≥
1; y
≥
1. Chứng minh:

2
1
1
x
+
+
2
1
1
y
+

≥

xy
+
1
2
Bài 54: a/ Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh:
yx
yx
−
+
22

≥
2
2
b/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả: a + b + c = 2.
Chứng minh: a

2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2
Bài 55: Chứng minh rằng:
2
2
b
a
+
2
2
a
b







+−
a
b
b
a
3
+ 4

≥
0
Bài 56: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2
33
3
5
bab
ab
+
−
+
2
33
3
5
cbc
bc
+
−
+
2
33
3
5
aca
ca
+
−

≤
a + b + c
Bài 57: Chứng minh nếu a + b = 2 thì: a
3
+ b
3

≤
a
4
+ b
4
BÀI GIẢI
Bài 1:
222
22
)(
4
yx
yx
+
+
2
2
y
x
+
2
2
x

y

≥
3. (1)
<=> (
222
22
)(
4
yx
yx
+
- 1) + (
2
2
y
x
- 1) + (
2
2
x
y
- 1)
≥
0
5
<=>
≥









−
+
+
−−
22
222
222
222
)(
)(
)(
yx
yx
yx
yx
0 <=> (x
2
– y
2
)
2









+
−
22222
)(
11
yxyx

≥
0
<=> (x
2
– y
2
)
2
.
22222
2244
)( yxyx
yxyx
+
++

≥
0 (2)

Bất đẳng thức (2) đúng, suy ra bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy
ra khi x
2
= y
2
<=> x =
±
y
Bài 2: Từ đề bài suy ra:



≤++≤
≤+++≤
2)1)(1(0
3)1()1(1
yx
yx
. Đặt x + 1 = a; y + 1 = b ta có:



≤≤
≤+≤
20
31
ab
ba
)2(
)1(

Từ (2) suy ra một trong 2 số a, b bằng 0 hoặc 2 số đó cùng dấu.
+ Nếu một trong 2 số bằng 0, chẳng hạn a = 0 khi đó 1
≤
b
≤
3
+ Nếu hai số cùng dấu thì thì từ (1) suy ra: a > 0; b > 0.
Khi đó cũng từ (1) ta có a < 3; b < 3 suy ra 0 < a; b < 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:




≤≤
≤≤
30
30
a
a
<=>



≤≤−
≤≤−
21
21
y
x
Suy ra: |x|
≤

2; |y|
≤
2
Bài 3:
cb
a
+

≥

)( cba
a
+
.
Theo bất đẳng thức Cosi thì:
)(
2
)(
cba
cba
+≥
++
> 0
Suy ra
cba
++
2

≤

)(
1
cba
+
=>
)( cba
a
+

≥

cba
a
++
2
Hay
cb
a
+

≥
cba
a
++
2
Tương tự:
ac
b
+

≥
cba
a
++
2
,
ba
c
+

≥
cba
a
++
2
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta có:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+

≥
2

Dấu đẳng thức không xảy ra, vì nếu trái lại thì a = b + c, b = c + a và c = a + b, từ đó
ta có: a + b + c = 0, vô lí.
Vậy:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
> 2 (1)
Ta lại có:
ba
a
+
cba
ca
++
+
−
=
))(( cbaba
bc
+++
−
−

< 0
Suy ra
ba
a
+
<
cba
ca
++
+
Tương tự ta có:
cb
b
+
<
cba
ba
++
+
;
ac
c
+
<
cba
bc
++
+
Do đó:
ba

a
+
+
cb
b
+
+
ac
c
+
<
cba
ca
++
+
+
cba
ba
++
+
+
cba
bc
++
+
= 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 4: Xét y
4
– y

2
= y
2
(y
2
– 1)
6
Do -1
≤
y
≤
1 nên 0
≤
y
2

≤
1, suy ra y
2
(y
2
– 1)
≤
0, Vậy y
4

≤
y
2
Tương tự z

6

≤
z
2
. Suy ra x
2
+ y
4
+ z
6

≤
x
2
+ y
2
+ z
2
(1)
Do -1
≤
x; y; z
≤
1 =>



≥−−−
≥+++

0)1)(1)(1(
0)1)(1)(1(
zyx
zyx
=> (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 – x)(1 – y)(1 – z)
≥
0
<=> 2xy + 2yz + 2xz + 2
≥
0
<=> x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2yz + 2xz + 2
≥
x
2
+ y
2
+ z
2
<=> (x + y + z)
2
+ 2
≥
x
2

+ y
2
+ z
2
=> x
2
+ y
2
+ z
2

≤
2 (2)
Từ (1) và (2) => x
2
+ y
4
+ z
6

≤
2
Bài 5: 4(a
3
+ b
3
)
≥
(a + b)
3

<=> 4(a
3
+ b
3
) – (a + b)
3
≥
0 <=>… <=> 3(a + b)(a – b)
2

≥
0 là
bất đẳng thức đúng nên bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.
Lưu ý: Các bài toán tương tự: 1/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+e
2

≥
a(b + c + d + e)(HD: trước khi
chuyển sang dạng a – b nhận 2 vế cho 4)
2/ a
2
+ 9b

2
+ c
2
+
2
19
> 2a + 12b + 4c
3/
∀
a; b; c: a
2
+ 4b
2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c – 14
4/ x
5
+ y
5

≥
x
4
y + xy
4

5/ (a
2
+ b

2
)(a
2
+ 1)
≥
4a
2
b với mọi a, b
6/
∀
a, b
∈
Q, chứng minh a
4
+ a
3
b + ab
3
+ b
4

≥
0
7/ a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca
8/ Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:a/
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
++≥++
( Có áp dụng Cosi)
b/
cba
c
ab
b
ac
a
bc
++≥++
( Có thể áp dụng Cosi)
c/
)
111
(2
cbaab
c
ac
b
bc

a
−+≥++
9/ a
6
+ 1
≥
a
2
(a
2
+ 1)
10/ a + b
≥

ab
ab
+
9
12
với a > 0; b > 0
11/ CMR với 4 số a, b, c, d > 0, ta có: a/ a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
≥
(a + b)(c + d)

b/
dbcadcba
+
+
+
≤
+
+
+
11
1
11
1
11
1
12/ Cho a > 0, b > 0. Chứng minh:
ba
ab
+
2
ab
≤
13: a/ 2(a
4
+ b
4
)
≥
ab
3

+ a
3
b + 2a
2
b
2
, với mọi a, b
b/
22
ba
−
+
2
2 bab
−
> a, với a > b > 0
14: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh:
a(b – c)
2
+ b(c – a)
2
+ c(a + b)
2
> a
3
+ b
3
+ c
3
15: x

2
+ y
2
+ z
2

3
)(
2
zyx
++
≥
;
∀
x, y, z
7
Bài 6: Gọi x, y, z là 3 nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Viet ta có: x + y + z =
1; xy + yz + xz = 3a; xyz = b.
Do a, b > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0. p dụng bất đẳng thức Cosi với 3 số dương ta có:
xy + yz + xz
≥
3
3
2
)(xyz
<=> 3a
≥
3
3 2
b

<=> 27a
3

≥
27b
2
<=> a
3

≥
b
2
> 0 <=>
3
3
b
a
≥
b
1
Vậy
3
3
b
a
+ 27b
≥
b
1
+ 27b =

b
b 127
2
+
=
b
bbb 28)1)(127(
+−−
= 28 +
b
bb )1)(127(
−−
Do xy + yz + xz
≥
3
3
2
)(xyz
nên 1
≥
3
3
b
=> 27b
≤
1. Do đó: (27 – 1)(b – 1)
≥
0
Suy ra
3

3
b
a
+ 27b
≥
28. dấu đẳng thức xảy ra <=>





=
=
33
27
1
ba
b
<=>





=
=
9
1
27
1

a
b
Bài 7: 1/ Ta có: (a – b)
2

≥
0 <=> a
2
+ b
2

≥
2ab
Tương tự: b
2
+ c
2

≥
2bc
a
2
+ c
2

≥
2ac
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a
2
+ b

2
+ c
2
)
≥
2(ab + bc + ca)
<=> a
2
+ b
2
+ c
2

≥
ab + bc + ca
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = z
2/ p dụng câu 1/ ta có: x
4
+ y
4
+ z
4

≥
x
2
y
2
+ y
2

z
2
+ z
2
x
2
(1)
Và x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z
2
x
2
≥
xy.yz + yz.xz + zx.xy
<=> x
2
y
2
+ y
2
z
2
+ z

2
x
2

≥
xyz(x + y + z) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x
4
+ y
4
+ z
4

≥
xyz(x + y + z)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Bài 8: Ta có: (x – 1)
2

≥
0 <=> x
2
+ 1
≥
2x. Tương tự: y
2
+ 1
≥
2y; và z
2

+ 1
≥
2z
Suy ra: x
2
+ y
2
+ z
2
+ 3
≥
2x + 2y + 2z (1)
Mặt khác: (x – y)
2

≥
0 <=> x
2
+ y
2

≥
2xy; và y
2
+ z
2

≥
2yz; và x
2

+ z
2

≥
2xz
Suy ra: (2)
Từ (1) và (2) ta được: 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 3
≥
2(xy + yz + xz + x + y + z)
=> 3(x
2
+ y
2
+ z
2
) + 3
≥
6.2 <=> 3(x
2
+ y
2
+ z
2
)

≥
9 <=> (x
2
+ y
2
+ z
2
)
≥
3
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 9: Theo bất đẳng thức tam giác ta có a + b – c > 0, b + c – a > 0; c + a – b > 0.
Với x, y > 0, ta có x + y
≥
2
xy
<=> (x + y)
2
≥
4xy <=>
xy
yx
+
≥

yx
+
4
<=>
xx

11
+
≥
yx
+
4
(*)
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y
p dụng (*), ta được:
acbcba
−+
+
−+
11
≥

b2
4
=
b
2
8