Bài giảng điều khiển tự động - Chương 4

1
1
Ba
Ba
ứ
ứ
i gia
i gia
ỷ
ỷ
ng
ng
moõn ho
moõn ho
ù
ù
c
c
ẹ
ẹ
ie
ie


u Khie
u Khie
ồ
ồ
n T
n T
ửù

ửù
ẹ
ẹ
o
o
ọ
ọ
ng
ng
GV: Nguyeón TheỏHuứng 01/2009
GV. NGUYN TH HNG 201/2009
Chng 4
4.1_ Khỏi nim tớnh n nh
4.2_ Tiờu chun n nh i s
(Routh, Hurwitz)
4.3_ Tiờu chun n nh tn s
(Nyquist, Bode)
4.4_ Phng phỏp qu o nghim
Kho sỏt tớnh n nh
ca h thng
2
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 301/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
n Ổn định làyêu cầu cơ bản của hệ thống ĐKTĐ.
n Ổn định BIBO: (Bound Input-Bound Output, vào ch ặn ra chặn)
Hệ thống được gọi là ổn định BIBO nếu với tín hiệu vào hữu hạn
thìtín hiệu ra cũng hữu hạn. Tức lànếu |r(t)|<∞ thì|y(t)|< ∞.
Vídụ: hệổn định BIBO ⇔ với r(t) = 1(t) thìy(∞) = const.
Hệ thống
r(t)

y(t)
Hệổn định
không ổn định
giới hạn ổn định
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 401/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
n Ổn định tiệm cận (Lyapunov): Hệổn định tiệm cận nếu
như khi cónhiễu tức thời đánh bật hệ ra khỏi trạng thái
cân bằng thì sau đó hệ cókhả năng tự quay về trạng thái
cân bằng ban đầu.
ổn định
giới hạn ổn định
không ổn định
n Với hệ tuyến tính thìhai khái niệm ổn định nêu trên là
tương đương. Hệ tuyến tính đạt ổn định BIBO thìcũng
sẽổn định tiệm cận và ngược lại.
3
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 501/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
n Xét hệ thống tuyến tính cóPTVP:
y
0
(t)_ lànghiệm riêng của PTVP.
y
qđ
(t)_ Lànghiệm tổng quát của PTVP khi vế phải bằng 0.
y(t) = y
0
(t) + y
qđ

(t)
11
1010
11
nn
nn
nn
mm
mm
mm
dydydrdr
aa...ay(t)bb...br(t)
dtdtdtdt
−−
−−
−−
+++=+++
Đáp ứng của hệ cũng lànghiệm PTVP:
Nếu tín hiệu vào làhữu hạn thìy
0
(t) cũng hữu hạn. Vìvậy:
Tính ổn định của hệ chỉ phụ thuộc thành phần quá độ y
qđ
(t).
Vídụ, xét hệ cóPTVP:
5()()()ytytrt+=
&
Với r=1(t) thìy(t)= 1-e
-t/5
trong đó y

0
(t)=1 ; y
qđ
(t)=-e
-t/5
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 601/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
Từ nhận xét nêu trên ta cóth ể định nghĩa cách khác vềổn định:
Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quátrình quá
độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu QTQĐ tăng
dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định nếu QTQĐ không đổi hoặc dao
động với biên độ không đổi .
Tổng quát:
C
i
_làhằng số phụ thuộc thông số của hệ và điều kiện đầu.
s
i
_lànghiệm của phương trình đặc tính:
s
i
cũng gọi làcực của hệ thống.
s
i
cóthể làsốthực (= α
i
) hay số phức (= α
i
± jω
i

)
1
10
...0
nn
nn
asasa
−
−
+++=
Hệổn định ⇔
1
0
i
n
st
i
tt
i
lim(t)limCe
→∞→∞
=
==
∑
qñ
y
1
()
i
n

st
i
i
ytCe
=
=
∑
qñ
4
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 701/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
Hệổn định
Không ổn định
Giới hạn ổn định
-Hệổn định ⇔ Mọi α
i
= Re{s
i
} <0 ⇔ Mọi s
i
đều lànghiệm trái.
-Hệkhông ổn định ⇔ ∃ s
i
có α
i
>0 ⇔∃s
i
lànghiệm phải.
-Hệởgiới hạn ổn định ⇔ ∃α
i

= 0, các nghiệm còn lại có α
i
<0.
⇔∃s
i
nằm trên trục ảo , các nghiệm còn lại lànghiệm trái.
Kết luận: Tính ổn định của hệ phụ thuộc các nghiệm s
i
của PTĐT.
Xét các trường hợp cụ thể, ta có:
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 801/2009
4.1 Khái niệm tính ổn định
Vídụ, xét hệ cóhàm truyền:
2
(s8)(s6s13)0+++=
Phương trình đặc tính:
2
2s5
G(s)
(s8)(s6s13)
+
=
+++
PTĐT có3 nghiệm: s
1
= -8 vàs
2,3
= -3 ±2j
Cả 3 nghiệm đều cóphần thực âm nên hệ thống ổn định.
Để tránh phải giải PTĐT, ta cócác phương pháp

xét ổn định một cách gián tiếp, tiện dụng hơn. Đólà:
- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh, Hurwitz.
-Tiêu chuẩn ổn định tần số Nyquist, Bode.
- Phương pháp quỹ đạo nghiệm.
-…
5
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 901/2009
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
- Tiêu chuẩn đại số tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số
của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định.
-Áp dụng được cho cả hệ hở vàhệkín.
Vídụ, xét hệ có PTĐT:
32
s4s5s70−++=
42
s5s6s20+++=
432
s4s5s6s20++++=
→Không ổn định vìhệsố a
2
<0
→ Không ổn định vìhệsố a
3
=0
→ Chưa kết luận được,
mới thoả ĐK cần
4.2.1 Điều kiện cần
ĐK cần để hệổn định là Tất cả các hệ số của PTĐT đều >0.
PTĐT: a
n

s
n
+ a
n-1
s
n-1
+…+a
0
=0 → ĐK cần: a
0
,a
1
,…,a
n
>0
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1001/2009
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
4.2.2 Tiêu chuẩn Routh
Xét hệ có phương trình đặc tính:
1
10
...0
nn
nn
asasa
−
−
+++=
Lập bảng Routh gồm (n+1) hàng:
6

GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1101/2009
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Phát biểu tiêu chuẩn Routh:
- Cần và đủ để hệ thống ổn định làcác hệ sốởcột một
bảng Routh đều dương.
-Sốlần đổi dấu ở cột một bằng số nghiệm của phương
trình đặc tính cóphần thực dương (=số nghiệm phải).
Vídụ1. Xét ổn định hệ thống có PTĐT:
432
s2s7s4s30++++=
Vídụ2. Xét ổn định hệ thống có PTĐT:
432
2s5ss10s30++++=
Vídụ3. Xét hệ thống có sơ đồ khối:
Hãy tìm khoảng giátrị của K để hệ thống ổn định.
2
1
G(s)
s(3s2)(s4s1)
=
+++
r
G(s)
y
K
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1201/2009
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
1K.G(s)0+=
K
0

K74/7
0214
K113
Giải. Phương trình đặc tính của hệ:
32
s(3s14s11s2)K0⇔++++=
2
K
10
s(3s2)(s4s1)
⇔+=
+++
432
3s14s11s2sK0⇔++++=
7449K
37
−
Điều kiện để hệổn định:
7449K0
K0
−>


>

74
0K
49
⇔<<
Bảng Routh:

7
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1301/2009
4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số
Vídụ4. Xét hệ thống có sơ đồ khối:
a) Cho K
D
=2; K
P
= 38. Tìm khoảng giátrị của K
I
để hệ thống
luôn ổn định.
r
I
PD
K
K++Ks
s
y
2
16
s12s20++
b) Cho K
D
=2. Tìm biểu thức quan hệ giữa K
P
vàK
I
đểhệthống
luôn ổn định.

IP
0K44K55⇔<<+
Đáp số:
a)
b)
I
0K1727⇔<<
I
I
(44)(628)16K0
K0
−>


>

PI
I
44(2016K)16K0
K0
+−>


>

GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1401/2009
4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.3.1 Nguyên lý góc quay
Xét PTĐT bậc n cócác nghiệm s
i

( i=1,2,…,n) :
nn1
nn10
A(s)asas...a0
−
−
=+++=
Đa thức đặc tính:
n12n
A(s)a(ss)(ss)...(ss)=−−−
Thay s=jω ta được đa thức đặc tính tần số:
n12n
A(j)a(js)(js)...(js)ω=ω−ω−ω−
Biểu diễn trên mặt phẳng phức:
8
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1501/2009
4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
m
i
i1
arg(j-s)-m
−∞<ω<∞
=
∆ω=π
∑
nm
i
i1
arg(j-s)(n-m)
−

−∞<ω<∞
=
∆ω=π
∑
4.3.1 Nguyên lý góc quay (tt)
Dùng ký hiệu ∆arg để chỉ góc quay, ta có:
i
-
arg(j-s)=
0
∞<ω<∞
+π


∆ω−π



Nếu s
i
lànghiệm trái
Nếu s
i
lànghiệm phải
Nếu s
i
ở trên trục ảo
n
i
i1

argA(j)arg(j-s)(n-2m)
−∞<ω<∞ −∞<ω<∞
=
∆ω=∆ω=π
∑
Nếu PTĐT cóm nghiệm phải và(n-m) nghiệm trái thì:
Góc quay của A(jω) = tổng góc quaycủa các véctơ (jω-s
i
).
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1601/2009
4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
Trong thực tế ta chỉ cần xét ω
thay đổi từ 0 đến +∞. Khi đó:
m
i
0
i1
arg(j-s)-m
2
<ω<∞
=
π
∆ω=
∑
nm
i
0
i1
arg(j-s)(n-m)
2

−
<ω<∞
=
π
∆ω=
∑
0
argA(j)(n-2m)
2
<ω<∞
π
∆ω=
Suy ra:
9
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1701/2009
4.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
4.3.3 Tiêu chuẩn Nyquist
n Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ kín (hình a) dựa
vào biểu đồ Nyquist của hệ hở (hình b).
n Tiện dụng vì đáp ứng tần số cóthể thu được từ thực nghiệm.
n Áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống cókhâu trễ e
-τs
.
R
G(s)
Y
H(s)
R
G(s)
Y

H(s)
Y
1
a) Hệ kín
b) Hệ hở (vòng hở)
k
h
GG
G
1GH1G
==
++
h
GGH=
4.3.2 Tiêu chuẩn Mikhailov (xem GT.ĐKTĐ trang 114)
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1801/2009
4.3.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Phát biểu tiêu chuẩn:
n Hệ kín ổn định nếu hệ hởổn định hay ở giới hạn ổn định và
đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1,j0).
n Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở
bao điểm (-1,j0) một góc bằng mπ theo chiều ngược kim đồng
hồ khi ω thay đổi từ 0 đến ∞; trong đó m làsốnghiệm của PTĐT
cóphần thực dương (nghiệm phải).
n Hệ kín ở giới hạn ổn định
nếu đường Nyquist hệ hở
đi qua điểm (-1,j0) .
Chứng minh:
Ứng dụng nguyên lý góc quay.
(xem GT. ĐKTĐ trang 116-117)