Lý thuyết Toán 12 (Cực Hot !!!)

Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
PHẦN 1
CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )
Hàm số bậc ba :
3 2
y ax bx cx d= + + +
Hàm số bậc bốn :
4 2
y ax bx c= + +
Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+

( )
0, 0c ad bc≠ − ≠
• Tập xác đònh : D = R
• Đạo hàm : y’= . . . . .
y’= 0
⇔
x = ?
lim ?
x
y
→−∞
=

lim ?
x
y
→+∞
=
• Bảng biến thiên :

⇒
Các khỏang đồng biến , nghòch biến , điểm
cực đại , điểm cực tiểu .
• y’’= . . . . .
y’’= 0
⇔
x = ?
Bảng xét dấu y’’:
⇒
Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn .
• Vẽ đồ thò :
• Tập xác đònh : D = R\
d
c
 
−
 
 
• Đạo hàm : y’=
( )
2
ad bc
cx d

−
+

' 0y⇒ >
( hoặc y’<0 ) ,
x D∀ ∈
y’ không xác đònh
d
x
c
⇔ = −
• Tiệm cận :
. Tiệm cận đứng :
d
x
c
= −
.Tiệm cận ngang :
a
x
c
=
• Bảng biến thiên :

⇒
Các khỏang đồng biến (hoặc nghòch
biến ) . Hàm số không có cực trò
• Vẽ đồ thò :
Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số :
a/ y=

3 2
2 1x x x− + + b/ y=
3 2
3 3 1x x x− + − − c/ y=
4 2
1 3
4 2
x x− +
d/ y=
4
2
3
2 2
x
x+ −

e/ y=
4
2 x−
f/ y =
3
2
x
x
−
−
g/
2
2 2
1

x x
y
x
− +
=
−
h/
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Chú ý :
• y’ (x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x
0
; y
0
)
• Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x
0
) = a
• Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x
0

) =
a
1
−
Bài tập :
GV Trần Công Tòan - 1 -
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thò hàm số y = f ( x) tại điểm M (x
0
;

y
0
) là:
y – y
0
= y’ (x
0
) . ( x – x
0
)
Trong phương trình trên có ba tham số x
0
; y
0
; y’(x
0
) .Nếu biết một trong ba số đó
ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y
0
= f (x

0
) ; y’(x
0
)= f ’(x
0
)
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
2
1
x
x
−
+
tại giao điểm của nó với trục hoành
3/ Cho hàm số y =
132
3
2
3
++−
xx
x
có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại điểm có hoành độ x
0
=
2
1

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1
4/ Cho hàm số y =
4 2
2 3x x− − có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung .
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1
Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài toán: Dựa vào đồ thò ( C) của hàm số y =f(x) ,
Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).
Cách giải :

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài toán: Tìm giátrò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• Kết luận :
( )
;
max
CD
a b
y y=

hoặc
( )
;
min
CT
a b

y y=


• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M , kết luận :
[ ]
;
max
a b
y M=
Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :
[ ]
;
min
a b
y m=
Bài tập
5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
a/
( )
3 2
2 3 12 1f x x x x= − − +
trên

5
2;
2
 
−
 
 
b/
( )
2
.lnf x x x=
trên
[ ]
1;e
c/
( )
4
1
2
f x x
x
= − + −
+
trên
[ ]
1;2−
e/
xxy
2
cos

+=
trên
]
2
;0[
π
f/
2
4).2( xxy
−+=
trên tập xác đònh g/ y = x
3
+ 3x
2
- 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ]
h/ y = x + 2
1
1x −
trên
( )
1;+∞
m/ y=
2 cos2 4sinx x+
trên
0;
2
π
 
 
 

6/ Tìm tiệm cận của đồ thò các hàm số sau :
GV Trần Công Tòan - 2 -
• Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)
• Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng
(d) : y= h (m)
• Dựa vào đồ thò (C ) , ta có kết quả :
( . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn .
. Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm .
. Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
1/ y =
2 1
2
x
x
−
+
2/ y =
3 2
3 1
x
x
−
+
3/ y =
2
2 3
6 5
x x
x

+ −
−
4/ y =
5
2x
−
+
5/
2
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
−

CÁC DẠNG TĨAN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
A. TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1. Giao điểm của hai đồ thị.
Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x) (1)
Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong.
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong.
a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M(x
0
; y
0

) nếu
chúng có tiếp chung tại M. Khi đó, M gọi là tiếp điểm.
b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm
Nghiệm của hê trên là hòanh độ tiếp điểm.
B.BÀI TẬP.
1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a) y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x
3
+ 3x
2
+ 1 và y = 2x + 5
c) y = x
3
– 3x và y = x
2
+ x – 4 d) y = x

4
+ 4x
2
– 3 và y = x
2
+ 1
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x
2
+ mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân
biệt
3) Tìm m để đồ thị hàm số y =
mxx
+−
3
3
1
cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.
4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 khơng cắt trục hòanh.
5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2x
2
– (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt.
6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =
1
12

+
−
x
x

a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị..
7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =
1
332
2
+
++
x
xx
a) Tại hai điểm phân biệt .
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
8) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số
y =
12
2
+
+
x
x
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
9) Chứng minh rằng (P) : y = x
2
-3x – 1 tiếp xúc với (C) :

1
32
2
−
−+−
x
xx
.
10) Tìm m sao cho (C
m
) : y =
1
2
−
+
x
mx
tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.
GV Trần Công Tòan - 3 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh.
12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx
2
– 3.

TIẾP TUYẾN
A.TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M
0
(x
0
; y
0
)
)(C
∈
y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ
số góc k.
Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
0
là:
y = y’(x

0
)(x – x
0
) + y
0
Giải phương trình y’(x
0
) = k tìm x
0
và y
0
.
3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua
A(x
A
; y
A
)
Gọi
)(
∆
là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k
Phương trình của
)(
∆
: y = k(x – x
A
) + y
A
.

)(
∆
tiếp xúc (C)



=
+−=
⇔
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(
có nghiệm, nghiệm của hệ là hòanh độ
tiếp điểm.
B. BÀI TẬP.
1. Cho (C) : y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C).
b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d
1
: y = 9x – 5.
d) Vng góc với đường thẳng d
2
: x + 24y = 0.

2. Cho (C) : y =
2
2
+
−
x
x
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
b) Song song với đường thẳng d
1
: y = 4x – 5.
c) Vng góc với đường thẳng d
2
: y = -x.
d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y =
1
1
2
−
−+
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):
a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vng góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x

3
– 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
GV Trần Công Tòan - 4 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
b) y =
2
3
3
2
1
24
+−
xx
đi qua điểm A(0 ;
)
2
3
.
c) y =
2
2
−
+
x
x
đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =
2
54
2

−
+−
x
xx
đi qua điểm A(2 ; 1).
Phần 2
HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a
≠
)
• b
≤
0 : pt vô nghiệm
• b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)

• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a= ⇔ =
2/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( a> 0 ,
0a
≠
)
• b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
• b>0 :
.
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
.
log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
Dạng

log
a
x b>
( a> 0 ,
0a
≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ
Bài tập
7/ Giải các phương trình :
1/
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + + 2/ 2.16
x
- 17.4

x
+ 8 = 0 3/ log
4
(x +2 ) = log
2
x
4/
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +
− + = 5/
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + = 6/
( )
3 3
log log 2 1x x+ + =

7/
2 3 3 7
7 11
11 7
x x− −
   
=
 ÷  ÷
   
8/
2

5 4
1
4
2
x x− +
 
=
 ÷
 
9/
1 1
3 3 10
x x+ −
+ =
10/
4
7
log 2 log 0
6
x
x− + =
11/ log
02log.3
2
1
2
3
=++
xx
12/

9
4log log 3 3
x
x + =

13/ lnx + ln(x+1) = 0 14/ 3.25
x
+ 2. 49
x
= 5. 35
x

15/
3 27
9 81
1 log 1 log
1 log 1 log
x x
x x
+ +
=
+ +
8 / Giải các bất phương trình :
1/
2
3
2 4
x x− +
<
2/ 16 4 6 0

x x
− − ≤ 3/
( )
1
3
log 1 2x − ≥ −
4 /
( ) ( )
3 9
log 2 log 2x x+ > +
5/ 2
( ) ( )
3 1
3
log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
6/
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
Bài 1: LUỸ THỪA
GV Trần Công Tòan - 5 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
5 1
3 7 1 1
2
3 3

2 4 4 2
3 5 :2 : 16 : (5 .2 .3
−
   
   
   
b)
1 2 2 3 3
1 4 5 2
(0,25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
4 3 4 3
− − −
 
+
 
 
Bài 2: a) Cho a =
1
(2 3)
−
+
và b =
1
(2 3)
−
−
. Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1

b) cho a =
4 10 2 5+ +
và b =
4 10 2 5− +
. Tính A= a + b
Bài 4: a) Biết 4
-x
+ 4
x
= 23. Tính 2
x
+ 2
-x

b) Biết 9
x
+ 9
-x
= 23. Tính A= 3
x
+ 3
-x
Bài 5: Tính
a) A =
2 2 2 . 2 2 2 . 2 2. 2− + + +
b) B =
5
3
2 2 2
c) C =

3
3
2 3 2
3 2 3
d) D =
3
3 9 27 3
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 6: Giản ước biểu thức sau
a) A =
4
( 5)a − b) B =
4 2
81a b
với b ≤ 0
c) C =
3 3
25 5
( )a (a > 0) d) D =
2 4 2 2
1
3 9 9 9
( 21)( )( 1)a a a a
+
+ + −
với a > 0
e) E =
2
1 1 1
2 2 2

1 1 1
2 2 2
( )
2
( )
x y x y x y
xy
x y x y
−
 
+ + −
 ÷
− −
 ÷
 ÷
+ +
 
với x > 0, y > 0
f ) F =
2
2
2 1
1
a x
x x
−
+ −
với x =
1
2

a b
b a
 
+
 ÷
 ÷
 
và a > 0 , b > 0
g) G =
a x a x
a x a x
+ − −
+ + −
Với x =
2
2
1
ab
b +
và a > 0 , b > 0
h)
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
. 1 .( )
( ) 2
a b c b c a
a b c
a b c bc

− −
−
− −
 
+ + + −
+ + +
 ÷
− +
 
i) I =
3
2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 2 4 6 2 3
2 2 2 2 3 2 3 3
1 ( ) 2
3 3 )
2 ( )
b a a b
a a b a b b
a a b b a
−
 
− − −
+ + + +
 
+ + −
 
j) J =
2
1 1

1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a a
− −
−
 
− − +
 
+
 
− −
 
với 0 < a ≠ 1, 3/2
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 7 chứng minh :
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − =
với 1≤ x ≤ 2
Bài 8 chứng minh :
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + − = +
GV Trần Công Tòan - 6 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Bài 9: chứng minh:
2
3 3 1 1
1
2 2 2 2

2
1 1
2 2
( ) 1
x a x a
ax
x a
x a
  
− −
 ÷
 
+ =
 ÷
 
−
 ÷
−
 
  
với 0 < a < x
Bài 10 chứng minh:
1
4 3 3 4 2 2
2
1
2 2 1
3 ( )
( ) : ( ) 1
2 ( )

x x y xy y y x y
x y x y
x xy y x x y
−
−
 
+ + + −
+ + + =
 ÷
+ + −
 

Với x > 0 , y > 0, x ≠ y , x ≠ - y
Bài 11 Tìm x biết
a) 2
x
= 1024 b) (1/3)
x
= 27
Bài 2: HÀM SỐ LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 12 tìm tập xác đònh của hàm số
a)
1
3
(1 2 )x
−
−
b)
2

2
3
(3 )x−
c) (x
2
– 2)
-2
d)
2 3
( 2 3)x x− −
e) a)
( )
2
2
3
3 4x x+ −
c)
( )
3
2
4 x−
Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số
Bài 13: Tính đạo hàm các hàm số
a)
( )
2
2
3
3 4x x+ −
b)

( )
3
2 1x
π
−
c)
( )
3
2
4 x−
d)
( )
1
2
3
3 2x x
−
− + −
e)
( )
2
2
2x x
π
−
− −
f)
( )
3
2

4 3x x− −
g)
( )
1
2
5
x x+
h)
( )
2 1x
π
−
i) ) (x
2
– 2)
-2

Vấn đề 3: Khảo sát sự biến thien và vẽ đồ thò hàm số
Bài 14
a) y = x
-4/3
b) y = x
3
c) y =
1
3
(1 2 )x
−
−
d) y = x

4/3
e) y = x
-3
f) y =
1
2
2
(1 )x−
Bài 3: LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 15 Tính logarit của một số
A = log
2
4 B= log
1/4
4 C =
5
1
log
25
D = log
27
9
E =
4
4
log 8
F =
3
1

3
log 9
G =
3
1
5
2
4
log
2 8
 
 ÷
 ÷
 
H=
1
3
27
3 3
log
3
 
 ÷
 ÷
 
I =
3
16
log (2 2)
J=

2
0,5
log (4)
K =
3
log
a
a
L =
52 3
1
log ( )
a
a a
GV Trần Công Tòan - 7 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Bài 16 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
A =
2
log 3
4
B =
9
log 3
27
C =
3
log 2
9
D =

3
2
2log 5
3
2
 
 ÷
 
E =
2
1
log 10
2
8
F =
2
1 log 70
2
+
G =
8
3 4log 3
2
−
H =
3 3
log 2 3log 5
9
+
I =

log 1
(2 )
a
a J =
3 3
log 2 3log 5
27
−
Vấn đề 2: Tìm cơ số X
Bai 17: Tìm cơ số X biết
a) log
x
7 = -1 b)
10
log 3 0,1
x
=
c)
log 8 3
x
=
d)
5
log 2 8 6
x
= −
e)
3
log 2 3
4

x
=
f)
5
3
log 2
5
x
= −
Bài 18: Tim X biết
a)
81
1
log
2
x =
b)
1
log log 9 log 5 log 2
2
a a a a
x = − +
c)
( )
2 2 2
1
log 9log 4 3log 5
2
x = −
d)

0,1
log 2x = −
e)
2 1
log log 32 log 64 log 10
5 3
a a a a
x = − +
Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức
Bài 19: Rút gọn biểu thức
A =
4
3
log 8log 81
B =
1
5
3
log 25log 9
C =
3
2 25
1
log log 2
5
D =
3 8 6
log 6log 9log 2
E =
3 4 5 6 8

log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
F =
2
4
log 30
log 30
G =
5
625
log 3
log 3
H =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
−
I =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27+ −
J =
log log
a b
b a
a b−
Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 20: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghóa)
a)

log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
b)
1 2 .
1 1 1 ( 1)
...
log log log 2log
n
a
a a a
n n
x x x x
+
+ + + = →
c) cho x, y > 0 và x
2
+ 4y
2
= 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2

d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0
Chứng minh: log
a
x .
2
2
1
log (log )
2
a
a
x x=
Từ đó giải phương trình log
3
x.log
9
x = 2
e) cho a, b > 0 và a
2
+ b
2
= 7ab chứng minh:
2 2 2
1
log (log log )
3 2
a b
a b
+
= +

GV Trần Công Tòan - 8 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 21: tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
2
3
log
10 x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
2
1
log
1
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
5
2 3
log ( 2)
x

x
−
−
f) y =
1
2
2
log
1
x
x −
g) y =
2
1
2
log 4 5x x− + −
h) y =
2
1
log 1x −
i) lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
Bài 22: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e

x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2
-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
1
3
x
j) y= 2
x
e

x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
2
1
4
x
x −
Bài 23 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
2
2
x
c) ln(
2
1x x+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2

+ 2x + 3)
Vấn đề 3: Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
Bài 24: khảo sát và vẽ đồ thò hàm số mũ , logarit
a) y = 3
x
b) y =
1
3
x
 
 ÷
 
c) y = log
4
x d) y = log
1/4
x
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 25 : Giải ác phương trình sau
a)
4
3
2 4
x−
=
b)
2

5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17
7 3
1
32 128
4
x x
x x

+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 26 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9

2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
GV Trần Công Tòan - 9 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =

g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
Dạng 3. Logarit hóa ï
Bài 27 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)

1
5 .8 500
x
x
x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 28: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3

x/2
= 2
x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 29: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9

(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 30: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2

x = 5/2
c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2

lg 16 l g 64 3
x
x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 31: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 32: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3

x+
 
<
 ÷
 
c)
6
2
9 3
x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +
−
 

<
 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
GV Trần Công Tòan - 10 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Bài 33: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3
c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25

x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8
g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 34: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
≤ 3 c) 5
x

– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
)
Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit
Bài 35: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2
( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log

8
( x- 3) > 2/3 f) log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
g)
1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
Bài 36: Giải các bất phương trình
a) log
2
2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2

x + log
2x
8 ≤ 4 d)
1 1
1
1 log logx x
+ >
−
e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x
−
− ≤
Bài 37. Giải các bất phương trình
a) log

3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5
(2
x
+ 1) < 5 – 2x
c) log
2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
PHẦN 3 TÍCH PHÂN
Nguyªn hµm cđa c¸c hµm Ph©n thøc.
a. Lý thut
1)
∫
++=
+
Cbax
abax
dx
ln
1
(a

0
≠
) 2)
∫
+
−
−
−
=
−−
C
bx
ax
ba
dx
bxax
dx
ln
1
))((
(a
)b
≠
3)
∫
+
+
−
=
−

C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22
4)
C
baxa
bax
dx
+
+
−
=
+
∫
1
.
1
)(
2
(a
)0
≠
5)

Caxx
ax
dx
+++=
+
∫
2
2
ln
B. Bµi tËp tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)
∫
+−
45
3
2
xx
xdx
2)
∫
−
dx
x
x
1
2
3)
∫
−−
−−

dx
xx
xx
32
2035
2
2

4)
∫ ∫ ∫
+
+
=
+
−=
+
=
+
C
x
x
xd
xxxx
xdx
xx
dx
1
ln
2
1

)()
1
11
(
2
1
)1()1(
2
2
2
22222
GV Trần Công Tòan - 11 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
5)
∫
+
)1(
4
xx
dx
6)
∫
+
)2(
5
xx
dx
7)
∫ ∫ ∫
+

−
+
=
+
−+
=
+
222
)2(
1
)2(
1
[
2
1
)2(2
)2(
)2( x
xx
dx
xx
xx
xx
dx
]dx=
C
xx
x
+
+

+
+
)2(2
1
2
ln
4
1
8)
∫
+
3
)2(xx
dx
9)
∫
++
2
)2)(1( xx
dx
10)
∫
+
)2(
2
xx
dx
11)
∫
+−++

−
dx
xxxx
x
)13)(15(
1
22
2
=
∫ ∫
+
++
+−
=
−+++
+
=
+−++
−
C
xx
xx
x
x
x
x
x
xd
dx
x

x
x
x
x
15
13
ln
8
1
)3
1
)(5
1
(
)
1
(
)
1
3)(
1
5(
1
1
2
2
2

12)
∫

+−
+
dx
xx
x
13
1
24
2
13)
∫
++
dx
xx
x
12
2
3
14)
∫
+
210
)1(xx
dx
15)
∫
+−−
−
dx
xxxx

x
)15)(5(
1
54
4
.
Nguyªn hµm cđa c¸c hµm lỵng gi¸c
A. D¹ng :
∫
+
+
dx
xdxc
xbxa
cossin
cossin.

I . C¸ch lµm : t×m A ; B sao cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)’
Ta ®ỵc
∫
+
+
dx
xdxc
xbxa
cossin
cossin.
=Ax+Bln
xdxc cos.sin.
+

+C
II .Ap dơng : tÝnh
1)
∫
+
dx
xx
x
sin2cos
sin
2)
∫
−
−
dx
xx
xx
cos3sin2
cos2sin3
( häc sinh lµm t¹i líp ý 1vµ 2. Gv ch÷a)
VN 3)
∫
+
dx
tgx1
1
4)
∫
+
tgx

dx
34
B. Mét sè d¹ng kh¸c
1)
∫
+
+
dx
x
xx
2sin3
cossin
. Ta cã :

∫
+
+
dx
x
xx
2sin3
cossin
=
∫ ∫ ∫









−+
−
+
−−
−
=
−−
+
)cos(sin2
cos(sin
)cos(sin2
)cos(sin
4
1
)cos(sin4
cossin
2
xx
xxd
xx
xxd
dx
xx
xx
=
C
xx
xx

+
−−
−+
)cos(sin2
)cos(sin2
ln
4
1
.
2)
∫
−−
dx
xxx
x
2sin36sin4sin3
3sin
.
GV Trần Công Tòan - 12 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
3)
∫
+
)
6
sin(.sin
π
xx
dx
( §s : 2

)
6
sin(
sin
ln
π
+
x
x
).
4)
∫
+
dx
x
gx
9
sin1
cot
=
∫ ∫
+
+
=
+
=
+
C
x
x

xx
xd
dx
xx
x
9
9
99
sin1
sin
ln
9
1
)sin1(sin
)(sin
)sin1(sin
cos
5)
∫
dx
xx
dx
53
cos.sin
(§S :
)
2
1
ln3
2

3
4
1
2
24
C
xtg
tgxxtgxtg
+−++
.
VN häc sinh lµm c¸c bµi tËp sau : tÝnh
1)
∫
+
4
)cos(sin xx
dx
2)
∫
+
dx
xx
x
66
cossin
4sin
3)
∫
+
2

)cos2(sin xx
dx
4)
∫
++
dxxgxtg )
6
(cot)
3
(
ππ
5)
∫
dx
x
x
4
6
sin
cos
6)
∫
dx
x
x
6
2
cos
sin
TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn

A. Lý thut
Mét sè d¹ng vµ c¸ch ®ỉi biÕn: víi a d¬ng
1)
∫
+
β
α
22
xa
dx
; ta ®Ỉt x=atgt (t
)
2
;
2
(
ππ
−∈
)
2)
∫∫
−
−
22
22
;
xa
dx
dxxa

β
α
ta ®Ỉt x=a.sint (t
]
2
;
2
[
ππ
−∈
) hc x=a.cost (t
];0[
π
∈
)
B.Bµi tËp tÝnh :
1) I=
∫
−
1
3
1
2
14
2
dx
xx
dx
. Ta cã : I=
∫

−
1
3
1
2
2
1
4
2
dx
x
x
dx
; ®Ỉt t=
x
1
.
Ta ®ỵc :









=⇒=
=⇒=
−

=
11
3
3
1
1
2
tx
tx
dx
x
dt

3
44
3
1
2
1
3
2
π
==
−
=
−
−=⇒
∫∫

t

dt
t
dt
I
2) I=
∫
−
1
0
23
1 dxxx
Hd : ®Ỉt x=sint (t
])
2
;
2
[
ππ
−
∈
GV Trần Công Tòan - 13 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
§ỵc ®s lµ I=
15
2
.
3) I=
∫
−
e

xx
dx
1
1
2
ln1
(§S : I=-
2
π
)
4) I=
∫
+
1
0
6
2
3x
dxx
(§S : I=
54
3
π
)
( Häc sinh lµm b¶ng vµ nh¸p, Gv chÊm ,ch÷a)
C. Bµi tËp vỊ nhµ TÝnh :
1)
∫
−
2

3
2
2
1xx
dx
(§s:
)
12
π
2)
∫
+
4
0
4
3
cos1
sin4
π
x
xdx
(§s:
5
223
ln2
+
)
3)
∫
+

2
2
1
2
1
ln
dx
x
x
(§s : 0) 4)
∫
+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
(§s :
)
3
π
5)
∫
+
3

0
25
1 dxxx
(§s :
)
105
848
.
TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
A. Lý thut
∫∫
−=
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
(trong ®ã u=u(x) ; v=v(x) lµ c¸c hµm cã ®¹o hµm liªn tơc trªn [a;b].
B. Bµi tËp
Bµi 1 tÝnh:
1) I=
∫
1
0
3
2
dxex

x
.
Gi¶i: ta cã I=
2
1
.
2
1
)(
2
1
1
0
1
0
22
2
===
∫∫
dyeyxdex
yx
.
2) I=
∫
2
0
3sin
.cos.sin.
2
π

dxxxe
x
.
GV Trần Công Tòan - 14 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Gi¶i : ®Ỉt t=sin
2
x







=⇒=
=⇒=
=
⇒
1
2
00
cos.sin2
tx
tx
xdxxdt
π
Ta ®ỵc I=
2
2

2
1
2
1
)1(
1
0
1
0
1
0
−
==








−=−
∫∫∫
e
dttedtedtte
ttt

.
3) I=
∫

2
0
sin
π
dxx
.
Gi¶i : ®Ỉt t=









=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇒
ππ
tx
tx
tdtdxdx
x
dt
x
2
00
2

2
1
Ta ®ỵc I=
π
π
2sin2
0
==
∫
tdtt
.
4) I=
∫
π
e
dxx
1
)cos(ln
( Hd : ®Ỉt t=lnx ta ®a vỊ tÝch ph©n míi )
H/s lµm ; Gv chÊm , ch÷a ; ®s:
)1(
2
1
+
−
π
e
.
Bµi 2 tÝnh:
1) I=

∫
e
e
dxx
1
ln
(§S : 2-
)
2
e
−
2) I=
∫
1
0
2
)(sin. dxxe
x
π
(§S :
)
4
1
−
e
3) I=
∫
4
0
2

.
π
xdxtgx
(§S:
)
2
2ln
324
2
−−
ππ
4) I=
∫
10
1
2
lg xdxx

(§S: 50-
)
10ln4
99
10ln
50
2
+
C. Bµi tËp vỊ nhµ
1)
∫
2

1
)sin(ln
π
e
dxx
(§S :
))1(
2
1
2
+
π
e
2)
∫
+
2
0
)cos1ln(.cos
π
dxxx
(§S:
)1
2
−
π
3)
∫
−
2

0
2
dxxe
x
(§S : 4-
)
8
e
4)
∫
2
1
2
)(lncos
π
e
dxx
(§S :
)1(
5
2
2
+
π
e
)
GV Trần Công Tòan - 15 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
5)
∫

2
4
2
sin
π
π
x
xdx
(§S :
)2ln
4
+
π
6)
∫
3
4
)ln(.sin
π
π
dxtgxx

(§S :
))12ln(3ln
4
3
−−
−
7)
∫

−
3
3
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
(§S :
)
12
5
ln2
3
4
ππ
tg
−
8)
∫






3

2
0
3
sin
π
dxx
(§S: 3
)6
−
π
TÝch ph©n cđa mét sè hµm ®Ỉc biƯt
A.Lý thut
CMR:
1) NÕu f(x) lµ hµm ch½n, liªn tơc trªn [-a;a] th×
∫∫
−−
=
a
a
a
a
dxxfdxxf )(2)(
2) NÕu f(x) lµ hµm lỴ, liªn tơc trªn [-a;a] th×
0)(
=
∫
−
a
a
dxxf

3) NÕu f(x) lµ hµm tn hoµn víi chu k× T, liªn tơc trªn [0;T]; [a;a+T] th×
∫∫
=
+
TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
.
4) Víi a>0, f(x) lµ hµm ch½n, liªn tơc trªn R, Víi mäi sè thùc
α
ta cã :
∫∫
−−
=
+
α
α
α
α
dxxf
a
dxxf
x
)(
2
1
1
)(

.
5) NÕu f(x) liªn tơc trªn [0;
]
π
th×
∫∫
=
dxxfdxxxf )(sin
2
)(sin
0
π
π
6) NÕu f(x) liªn tơc trªn [
]
2
;0
π
th×
a)
∫∫
=
2
0
2
0
)(cos)(sin
ππ
dxxfdxxf
.

b)
∫∫
=
2
0
2
0
)()(cot
ππ
dxtgxfdxgxf
.
Gi¸o viªn chøng minh c¸c bµi to¸n trªn , yªu cÇu h/s biÕt c¸ch chøng minh vµ nhí kÕt qu¶.
B. Bµi tËp
Bµi 1 tÝnh :
GV Trần Công Tòan - 16 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
1) I=
∫
−
+−+−
4
4
2
357
cos
173
π
π
dx
x

xxxx
.
HD +) Cm bµi to¸n 2
+) CM hµm f(x)=
x
xxxx
2
357
cos
73
−+−
lµ hµm lỴ.
+) Ta ®ỵc : I=
∫∫
−
−
+
4
4
2
4
4
cos
)(
π
π
π
π
x
dx

dxxf
=
4
4
π
π
−
tgx
=2.
2)
∫
π
2
0
2005
sin xdx
(§S : 0) (H/s lµm ë líp phÇn 2;3)
3)
∫
−
π
2004
0
2cos1 dxx
(§S: 4008
2
).
VN
4)
∫

−
−
+
2
2
2
sin4
cos
π
π
dx
x
xx
(§S
)3ln
2
1
5)
∫
−
++
2
2
2
)1ln(.cos
π
π
dxxxx
(§S 0).
Bµi 2 tÝnh

1) I=
∫
−
+
1
1
4
12
dx
x
x
.
Gi¶i : ®Ỉt t=-x





−=⇒=
=⇒−=
−=
⇒
11
11
tx
tx
dxdt
Ta ®ỵc
I=
GV Trần Công Tòan - 17 -

Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009

Idxxdxxdttdttdt
t
dt
t
xtt
t
t
t
−=
+
−=
+
−=
+
=
+
=−
+
−
∫∫∫∫∫∫
−−−−−
−
−
1
1
4
1
1

4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
)
12
1
1()
12
1
1(
12
2
1
2
1
)(
12
)(
Do
vËy I=

5
1
2
1
1
1
4
==
∫
−
dxx
.
2)
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
(§S:
)
4
π
VN 3)
∫
−
+

2
2
2
12
sin
π
π
dx
xx
x
(§S :
)2
−
π
4)
∫
−
+
2
2
1
5cos.2sin.sin
π
π
dx
e
xxx
x
(§S: 0)
5)

∫
−
+
+
4
4
66
16
cossin
π
π
dx
xx
x
(§S :
)
32
5
π
.
Bµi 3 tÝnh
1) I=
∫
π
0
2
cos.sin. xdxxx
.
Gi¶i
§Ỉt:x=






=⇒=
=⇒=
−=
⇒−
0
0
tx
tx
dtdx
t
π
ππ
I=
Ixdxxxdxxxdtttt
−=−=−−−−
∫∫∫
ππ
π
πππππ
0
2
0
2
0
2

cos.sincos.sin).())((cos)sin()(
Do vËy I=
3
.cos.sin
2
0
2
ππ
π
==
∫
dxxx
.
2)
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
. (§S:
)
4
2
π
VN

GV Trần Công Tòan - 18 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
3)
∫
π
0
34
sin.cos. xdxxx
(§S :
)
35
2
π
4)
∫
+
π
0
2
cos49
sin
dx
x
xx
.
Bµi 4
1) CMR :
∫∫
=
2

0
2
0
cossin
ππ
xdxdxx
nn
.
2) TÝnh:
a)
∫
+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x
nn
n
.
b)
dxxx )cossin(
2
0
−
∫
π

c)
∫
+
−
2
0
3
)cos(sin
sin6cos7
π
dx
xx
xx
.
DiƯn tÝch h×nh ph¼ng-ThĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay.
A. Lý thut
1) MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b cã diªn tÝch:
S
D
=
∫
−
b
a
dxxgxf )()(
2) MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trơc Ox nã t¹o ra
vËt trĨ trßn xoay cã thĨ tÝch : V
Ox
=
∫

b
a
dxxf )(
2
π
3) MiỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trơc Oy nã
t¹o ra vËt trĨ trßn xoay cã thĨ tÝch : V
Oy
=
∫
b
a
dyyf )(
2
π
B.Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh diƯn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
1) y=
34
2
+−
xx
;y=3 (§S: 8(®vdt))
2) y=
5;1
2
+=−
xyx
(§S:
(

3
73
®vdt))
GV Trần Công Tòan - 19 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
3) x=
y
; x+y-2=0 ;y=0. (§S:
(
6
5
®vdt))
4) y=x
2
; y=
x
y
x 8
;
8
2
=
(§S: 8ln3)
5) y=x
2
; y=
x
y
x 27
;

27
2
=
(§S: 27ln3)
6) y=x
2
; x=y
2
.
7) y=e
x
; y=e
-x
;x=1.
Bµi 2 : TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thĨ trßn xoay sinh ra khi quay miỊn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
1) y=4-x
2
; y=2+x
2
quanh Ox. (§S : 16
)
π
2) y=x
2
; x=y
2
quanh Ox.
3) y=2x-x
2
; y=x

2
-2x quanh Ox. (§S :
)
5
16
π
.
4) y=-x
2
+4x ; trơc Ox :
a) Quanh Ox. (§S :
)
15
512
π
b) Quanh Oy. (§S :
)
3
128
π
5) y=(x-2)
2
;y=4
a) Quanh Ox (§S :
)
5
256
π
b) Quanh Oy (§S :
)

3
128
π
6) y=x
2
+1 ; Ox ; Oy ; x=2.
a) Quanh Ox (§S :
)
15
206
π

b) Quanh Oy (§S : 12
)
π
TÝch ph©n ¤N §AI HOC
I.C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
1. TÝnh tÝch ph©n b»ng ®Þnh nghÜa ,tÝnh chÊt vµ b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n
2. Ph ¬ng ph¸p ®ỉi biÕn sè
GV Trần Công Tòan - 20 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Bµi to¸n: TÝnh
( )
b
a
I f x dx=
∫
,
*Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng I
§Þnh lÝ . NÕu 1) Hµm ( )x u t= cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n

[ ]
;
α β
,
2) Hµm hỵp
( ( ))f u t
®ỵc x¸c ®Þnh trªn
[ ]
;
α β
,
3) ( ) , ( )u a u b
α β
= = ,
th×
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt
β
α
= =
∫ ∫
.
VÝ dơ 1. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
1
2 3
0

5I x x dx= +
∫
b)
( )
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx
π
= +
∫
Gi¶i: a) Ta cã
( )
( )
3
3 2 2
5
5 3
3
d x
d x x dx x dx
+
+ = ⇒ =

( )
1
3
3
0
5

5
3
d x
I x
+
⇒ = +
∫

( )
1
1
1
3
1
2
3 3 3 3
2
0
1 1
1 1 ( 5) 2
5 ( 5) ( 5) 5
1
0 0
3 3 9
1
2
x
x d x x x
+
+

= + + = = + +
+
∫

4 10
6 5
3 9
= −
.
b) Ta cã
2
4
0
(sin 1) (sin )J x d x
π
= +
∫

5
1 6
sin sin
2
5 5
0
x x
π
 
= + =
 ÷
 

VÝ dơ 2. H·y tÝnh c¸c tÝch sau:
GV Trần Công Tòan - 21 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
a)
4
2
0
4 x dx−
∫
b)
1
2
0
1
dx
x+
∫

Gi¶i: a) §Ỉt 2sin , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 
 
. Khi x = 0 th× t = 0. Khi
2x =
th×
2

t
π
=
.
Tõ
2sinx t= ⇒ 2cosdx tdt=

4
2 2
2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos− = − = =
∫ ∫ ∫
x dx t tdt tdt
π π
π
.
b) §Ỉt , ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
. Khi
0x =
th×
0t =
, khi

1x =
th×
4
t
π
=
.
Ta cã:
2
cos
dt
x tgt dx
t
= ⇒ =
.

1
4 4
2 2 2
0 0 0
1
. .
4
1 1 cos 4
0
⇒ = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
dx dt
dt t

x tg t t
π π
π
π
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thĨ gỈp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tỉng qu¸t h¬n nh:
NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng
2 2 2 2
,a x a x+ −
vµ
2 2
x a−
(trong
trong ®ã a lµ h»ng sè d¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®ỉi nµo kh¸c th× nªn ®ỉi sang c¸c hµm sè lỵng gi¸c
®Ĩ lµm mÊt c¨n thøc, cơ thĨ lµ:
• Víi
2 2
a x−
, ®Ỉt
sin , ;
2 2
x a t t
π π
 
= ∈ −
 
 

hc
[ ]
cos , 0;x a t t

π
= ∈ .
• Víi
2 2
a x+
, ®Ỉt
, ;
2 2
x atgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 

hc
( )
, 0;x acotgt t
π
= ∈ .
• Víi
2 2
x a−
, ®Ỉt
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t

π π
 
= ∈ −
 
 
GV Trần Công Tòan - 22 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
hc
;
cos
a
x
t
=
[ ]
0; \
2
t
π
π
 
∈
 
 
.
*Ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II
§Þnh lÝ : NÕu hµm sè
( )u u x=
®¬n ®iƯu vµ cã ®¹o hµm liªn tơc trªn ®o¹n
[ ]

;a b
sao cho
'
( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= =
th×
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
I f x dx g u du= =
∫ ∫
.
VÝ dơ 3: TÝnh
1
2 3
0
5I x x dx= +
∫
Gi¶i: §Ỉt
3
( ) 5u x x= +
.Tacã (0) 5, (1) 6u u= = .
Tõ ®ã ®ỵc:
( )
6
5
6
1 2 2 4 10

6 6 5 5 6 5
5
3 9 9 9 9
I udu u u= = = − = −
∫
VÝ dơ 4: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng ph¬ng ph¸p ®ỉi biÕn d¹ng II:
a)
( )
1
5
0
2 1x dx+
∫
b)
2
ln
e
e
dx
x x
∫
c)
1
2
0
4 2
1
x
dx
x x

+
+ +
∫
d)
2
2
1
(2 1)
dx
x −
∫
e)
2
3
3
2
cos(3 )
3
x dx
π
π
π
−
∫
Gi¶i: a) §Ỉt
2 1u x= +
khi
0x =
th×
1u =

. Khi
1x =
th×
3u =
Ta cã
2
2
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:
( )
1 3
6
5
5 6
0 1
3
1 1
2 1 (3 1)
1
2 12 12
u
x dx u du+ = = = −
∫ ∫
= 60
2
3
.
b)§Ỉt
lnu x=

. Khi
x e=
th×
1u =
. Khi
2
x e=
th×
2u =
.
GV Trần Công Tòan - 23 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
Ta cã
dx
du
x
=
⇒

2
2
1
2
ln ln 2 ln1 ln 2
1
ln
e
e
dx du
u

x x u
= = = − =
∫ ∫
.
c)§Ỉt
2
1u x x= + +
. Khi
0x =
th×
1u =
. Khi
1x =
th×
3u =
.
Ta cã (2 1)du x dx= + . Do ®ã:
1 3
2
0 1
3
4 2 2
2ln 2(ln3 ln1) 2ln3
1
1
x du
dx u
x x u
+
= = = − =

+ +
∫ ∫
.
d)§Ỉt
2 1u x= −
. Khi
1x =
th×
1u =
. Khi
2x =
th×
3u =
.
Ta cã
2
2
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:
2 3
2 2
1 1
3
1 1 1 1 1
( 1)
1
(2 1) 2 2 2 3 3
dx du
x u u

= = − = − − =
−
∫ ∫
.
e)§Ỉt
2
3
3
u x
π
= −
. Khi
3
x
π
=
th×
3
u
π
=
, khi
2
3
x
π
=
th×
4
3

u
π
=
.
Ta cã
3
3
du
du dx dx= ⇒ =
. Do ®ã:

2 4
3 3
3 3
4
2 1 1 1 4
3
cos(3 ) cos sin sin sin
3 3 3 3 3 3
3
x dx udu u
π π
π π
π
π π π
π
 
− = = = −
 ÷
 

∫ ∫

1 3 3 3
3 2 2 3
 
= − − = −
 ÷
 
.
3.Ph ¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn.
§Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tơc trªn
[ ]
;a b
th×:

( )
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
= −
∫ ∫
GV Trần Công Tòan - 24 -
Trường THPT Nguyễn Thò Minh Khai Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm học 2008 – 2009
hay
b b
a a

b
udv uv vdu
a
= −
∫ ∫
.
¸p dơng c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:
• Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng
'
udv uv dx=
b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hỵp cđa f(x) lµm
u(x) vµ phÇn cßn l¹i
'
( ) .dv v x dx=
• Bíc 2: TÝnh
'
du u dx=
vµ
'
( )v dv v x dx= =
∫ ∫
.
• Bíc 3: TÝnh
'
b b
a a
vdu vu dx=
∫ ∫
vµ
b

uv
a
.
• Bíc 5: ¸p dơng c«ng thøc trªn.
VÝ dơ 5: TÝnh
1
ln
e
x xdx
∫
Gi¶i: §Ỉt
lnu x
dv xdx
=


=


2
2
dx
du
x
x
v

=



⇒


=



2 2 2 2
1 1
1 1
ln ln
1 1
2 2 2 4 4
e e
e e
x e x e
x xdx x xdx
+
= − = − =
∫ ∫
.
VÝ dơ 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
2
5
1
ln x
dx
x
∫

b)
2
0
cosx xdx
π
∫
c)
1
0
x
xe dx
∫
d)
2
0
cos
x
e xdx
π
∫

Gi¶i: a) §Ỉt
5
4
ln
1
1
4
dx
u x

du
x
dv dx
v
x
x

=
=


 
⇒
 
=
 
= −



. Do ®ã:
GV Trần Công Tòan - 25 -