Đề thi, dáp án HAG toán 8-Tiên Lãng-0809

Phòng Giáo dục & Đào tạo Huyện Tiên Lãng
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8
Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử
a/ x
3
- x
2
- 2x + 2.
b/ (x - a)b
3
- (x-b)a
3
+ (a- b)x
3
.
Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình:
a/
2 2 2
2 4 1
4 2 2
x
x x x x x
−
− =
− + −
b/
67 88 33 11 12 89
33 12 67 89 88 11
x x x x x x− − − − − −

+ + = + +

Bài 3: ( 2 điểm)
a/ Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính
phương.
b/ Cho các số dương x, y thoả mãn x
3
+y
3
= x-y. Chứng minh rằng: x
2
+ y
2
< 1
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM =
1
3
BC. Trên
tia đối của tia CD lấy điểm N sao cho CN =
1
2
BC. AM cắt BN tại I và CI cắt AB tại
K. Chứng minh: KM
⊥
AC.
Bài 5: ( 2 điểm)
Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trung tuyến AM, phân giác AD. Trên nửa
mặt phẳng bờ AD không chứa điểm M vẽ tia Ax sao cho AD là tia phân giác của
·

xAM
. Ax cắt BC tại N. Chứng minh rằng :
2
2
NB AB
NC AC
=
.
**************Hết**************
Hướng dẫn chấm
bài thi học sinh giỏi môn toán lớp 8
Năm học 2008 - 2009
Bài 1 ( 2 điểm) : Phân tích thành nhân tử
a/ x
3
- x
2
- 2x + 2 = x
2
(x-1) - 2(x-1) 0.25đ
= (x-1)(x
2
-2) 0.25đ
= (x-1)(x-
2
)(x+
2
) 0.25đ
b/ (x - a)b
3

- (x-b)a
3
+ (a- b)x
3
= (x - a)b
3
-xa
3
+ ba
3
+ ax
3
- bx
3
0.25đ
= (x - a)b
3
+ax(x
2
-a
2
) - b(x
3
-a
3
)

0.25đ
= (x-a)(b
3

+ ax
2
+ a
2
x - bx
2
-abx - a
2
b) 0.25đ
= (x-a)(x-b)(a
2
+ax-b
2
-bx) 0.25đ
= (x-a)(x-b)(a-b)(a+b+x) 0.25đ
Bài 2: ( 2 điểm) Giải các phương trình:
a/
2 2 2
2 4 1
4 2 2
x
x x x x x
−
− =
− + −
ĐKXĐ: x
≠
±
2; x
≠

0. 0.25đ
Quy đồng mẫu, khử mẫu được:
2x - (x-4)(2-x) = x+2 0.25đ
⇔
(x-2)(x-3) = 0 0.25đ
⇔
2( «ng tho¶ m·n §KX§)
3( ¶ m·n §KX§)
x Kh
x Tho
=


=

Vậy phương trình có nghiệm là x = 3. 0.25đ
b/
67 88 33 11 12 89
33 12 67 89 88 11
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +

⇔
100 100 100 100 100 100
33 12 67 89 88 11
x x x x x x− − − − − −
+ + = + +
0.25đ
⇔
1 1 1 1 1 1

( 100)
33 12 67 89 88 11
x
 
− + − − − +
 ÷
 
= 0 0.25đ
⇔
x – 100 = 0 0.25đ
⇔
x = 100
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 100. 0.25đ
Bài 3: ( 2 điểm)
a/ Gọi 4 số nguyên dương liên tiếp là a, a+1, a+2, a +3 (a
∈
N*). 0.25đ
Tích của chúng là P = a(a+1)(a+2)(a+3)
= (a
2
+3a)(a
2
+3a+2) 0.25đ
P = (a
2
+3a)
2
+2(a
2
+3a) >(a

2
+3a)
2
(Do a là số nguyên dương). 0.25đ
P = (a
2
+3a+1)
2
- 1 <(a
2
+3a+1)
2
.
Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.0.25đ
b/ Do x, y dương nên có x-y = x
3
+y
3
> x
3
-y
3
đo đó x - y > (x-y)(x
2
+xy+y
2
) 0.25đ
⇔
(x-y)(x
2

+xy+y
2
-1) < 0 . 0.25đ
Do x, y dương nên x-y = x
3
+y
3
> 0 suy ra x
2
+xy+y
2
< 1 0.25đ

⇒
x
2
+ y
2
< 1 ( do xy > 0) 0.25đ
Bài 5: ( 2 điểm)
K
I
P
A
B
D
C
M
N
Bài 4: ( 2 điểm)

Kẻ NH, MK lần lượt vuông góc với AB và AC ( H thuộc AB, K thuộc AC)
Dễ thấy các tam giác ANH và AMK đồng dạng nên có
AM MK
AN NH
=
.
0.25đ
Lại có
.
.
AMC
ANB
S
CM MK AC
BN S NH AB
= =
0.5đ
⇒
.
.
CM AM AC
BN AN AB
=
0.25đ
Tương tự có
.
.
CN AN AC
BM AM AB
=

0.5đ
⇒
2
2
.
CM CN AC
BN BM AB
=
0.25đ
Mà BM = CM nên
2
2
NB AB
NC AC
=
0.25đ
**************Hết**************