BAI GIANG TRONG TAM MU LOGARITH

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 1

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t p : / / LUYỆN
w wTHI
wĐẠI
. tHỌC
a TRỰC
i l i TUYẾN
eupro.co
http://ww
w .VIÖT
t a HïNG
ilieupro.co
§ÆNG

h t t p :BÀI
/ / wGIẢNG
w w . TRỌNG

t a i l i eTÂM
upro.co

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

MŨ – LOGA

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 2

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u



( )




lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i( l) i e u p r o . c
h t( t) p :( )/ / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
h t t p :( / / ) w( w) w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH

I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA

1) Khái niệm về Lũy thừa

Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =

n

m

a

với m, n là số tự nhiên.

1

Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .

2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
 a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1:  1
 a = a, ∀a

 a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
 am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m
m
 a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:

Nhóm công thức 2:

a m .a n = a m + n

n

am = a n =

n

ab = n a . n b ,

n

a na
=
, ∀a ≥, b > 0
b nb

m

am
= a m−n
an
am

n

= a mn = a n

m

n

m

a

1


→ a = a2 ;

1

3

1

a = a3 ; n a = an

∀a, b ≥ 0

Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .

d) D = 3

b) B = 5

23 3 2
.
3 2 3

b3 a
.
a b

C = 5 23 2 2 .

c)

e) D = 4 3 a8 .

f) F =

5

3

b2 b

.

b b

Ví dụ 2: Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2

1

−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .

−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .

1
 
a

c)

−0,2

1

d) (1 − a )

−

1
3

> (1 − a )

−

1
2

e) ( 2 −

.

3
a)4

 1 2  1 
f)   >  
a
a

> (2 − a) .
2

< a2 .

−

1
2

.

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:


a) A = 


3+ 2 −

3− 2

1
2



 

3+ 2

1
2

+


3− 2


−1

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 3

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
http://ww
( )w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
h t t p :( /) / w (w) w . t a i l i e u p r o . c
h t t ( p) : /( /) w w (w) . t a i ( l i) e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .

4x
.
4x + 2
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
 1 
 2 
 2010 
b) Tính tổng S = f 
+ f 
 + ... + f 
.
 2011 
 2011 
 2011 
Ví dụ 5: So sánh các cặp số sau

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) =

5

π 2
π
a)   và  
2
2

6

d)  
7

3

7
và  
8

10
3

2

π
b)  
2

2

π
và  
5

π
e)  
6

5

π
và  
5

3

 3
c)  
5

10
4

 4
và  
7

5
2

2

Ví dụ 6: Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?

1) 4 x = 5 1024
4) ( 3 3 )

2x

5 2

 
25

2)

1
= 
9

x−2

x +1

x

2  8 
5)   .  
 9   27 

1
 0, 25 
.322 x −8 = 

0,125
 8 
x
x
1
10) ( 12 ) . ( 3 ) =
6

−x

8
125

=

−x

3) 81 − 3 x =
3
6)  
2

27
=
64

11) 71− x.41− x =

x 2 −5 x + 6

3 x −7

 9 
9)  
 49 

8) 0, 2 x = 0,008

7)

1
32

=1

7
= 
3

7 x −3

1
28

II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH

1) Khái niệm về Logarith

Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức logarith sau

log 2 4;

log 3 81;

log

2

32; log

2

8 2

Hướng dẫn giải:

• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2 
→ log 2 4 = 2
y

• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4 
→ log3 81 = 4
• log

32 = y ⇔
2

• log

2

2

8 2 =y⇔

y

= 32 = 25 =

2

y

2

10

⇔ y = 10 
→ log

= 8 2 = 23. 2 =

2

7

2

32 = 10

⇔ y = 7 
→ log

2

8 2 =7

Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là lenx)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith

• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔ 
b < c ⇔ 0 < a < 1

3) Các công thức tính của Logarith

Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

( 2)

Trang 4

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u



h t t p : / / w w w . t a i l i e u p( r) o . c o



lieupro.c
h t t p( : /) / w w w . t a i l i e u p r o . c
)
(
lieupro.c
lieupro.c
)
h t t p : / / w( w
w.tailieupro.c
lieupro.c
h (t )t p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw

a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Ví dụ 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log

2

24 = log

8

2

= 8...

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) P = log 1

a

a 5 a 3 a2
a4 a

b) Q = log

.

a

a a a a.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

b) Ta có

a 5 a 3 a2
a4 a

=

1
2
a.a 5 .a 3
1
1
a 2 .a 4

=

a a a a = a a

1 2
1+ +
a 5 3

1 1
+
a2 4

1
a.a 2

=

28
a 15
3
a4

= a

=

28 3
−
a 15 4

=

67
a 60


→ P = log 1

67
a 60

a

3
a.a 4

=

7
a.a 8

=

15
a 16


→ Q = log

67

 1 − 60
67
= log 1   = − .
 a 
60
a

a

15
a 16

= log

a

a

15
8

=

15
.
8

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) log 1 125 = .....................................................

2)

5

log

2

64 = ....................................................................

3) log16 0,125 = ..................................................

4) log 0,125 2 2 = ..........................................................

5) log 3 3 3 3 3 = ................................................

6)

log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................

b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................

Công thức 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at
Ví dụ 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6,

3

log 3 4

 1

= ( 3 ) 2 



log 3 4

= ( 3 )


1

1

log 3 4

 2 = ( 4 ) 2 = 2...


log 2

64

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

1) 2log8 15 = .....................................................
 1 log81 5
3)  
= .....................................................
 3 
3

9

log3 4

2) 2

2

= ....................................................................

4)

= ....................................................................

Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
 x = a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có 

→ x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y
log a y
 y = a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3
b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
4
4 10

a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 5

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u
h t t p : / / w w w . t a i( l) i e( u) p r o . c o





( )

http://www
.tailieupro.co
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : (/ ) / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / /( w
w w .( t )a i (l i) e u p r o . c
)
lieupro.c
lieupro.c
3

3

b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3

3

3

c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log


Công thức 4: log a 

Chứng minh:

−3

1
3

−

1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1  
 3 
 3 
3
3
3
3
3

5

2

32 = log

23 + log
2

2 = log
2

1
3

1
10
= −3 − = − .
3
3

6

2

2 + log

2

2

2

= 6 + 2 = 8.

x
 = log a x − log a y , (4)
y

 x = a log a x
x a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có 

→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
 y = a
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
 y
4

5

32
5 4 7
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
3
2 3 6
16
m
Công thức 5: log a b = m.log a b , (5)
Chứng minh:

Ví dụ: log 2

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b

m

= a m.loga b

Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm

log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6

Ví dụ 1:

1

log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =

1
5
log 2 32 =
4
4

Ví dụ 2:

−4

1

62.45
1
2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1   = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3

1
50 3
Ví dụ 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
Công thức 6: log a n b = log a b , (6)
n
Chứng minh:

Đặt log a n b = y ⇒ a n

y

= b ⇔ a ny = b

Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
hay log a n b =

1
log a b
n

1
log a b ⇒ dpcm
n

1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
log 2 16 = log 1 16 =

Ví dụ 1 :

Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m =
Ví dụ 2: log 3 5 4 125 = log

1

3 4

1
53

5

3
9
= 4 log 5 5 = ;
1
4
3

m
log a b
n

log 2

2

32 2 = log

11

( 2)

3

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

2

=

11
log
3

2

2=

11
.
3

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 6

ep

u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

) w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / /( w




h t t p : / / w w w (. t) a i l i e u p r o . c o
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức A =

log 3 3 27 = log 3

2

3 3

3

 27 
log 1  5  = log − 1
3 2
3  9 

log

3

 33

 52
3

 27 
log 3 3 27 + log 1  5 
9
3 

.
4

1
1
log 3 + log 1  
81
3
3  
Hướng dẫn giải:

=2

 1
13
13
26
=
log 3 3 5 = −2. = − .
1

5
5
 −
2

1
= log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8 
→A=
81
32

 27 

log 3 3 27 + log 1  5 
3  9 

1
1
log 3 + log 1  
81
3
3 
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:

4

26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−

Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =

log c b
⇒ dpcm
log c a

Nhận xét :

+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
=
.
log b a log b a
Ví dụ 1: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a 
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a 
→ B = log 25 15 = ?

Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .

1
1− a

log 3 5 = − 1 =

1
1

a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=


→
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 = a
 5
1− a
1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =

→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a
Ví dụ 2: Cho log a b = 3. Tính

a) A = log

b
a

b
.
a

b) B = log

ab

b
.
a

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =

1

3

.

a)

A = log

b
a

b
= log
a

b

a

b − log

b
a

a=

1
1
−
=
 b
 b  log
log b 
 log a 

 a 
 a 

b

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

1
b − log

a
b

−

log

a

1
b − log

a

a

=

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 7

ep
u rpor .oc. oc m
o

thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w w . t a i (l i ) e u p r o . c
) w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w( w
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
http://www
.tailieupro.c
( )
lieupro.c
lieupro.c
=

1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=

→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3

b
2
log a
 b
b
a = log a b − 1 = 3 − 1
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
=
log

=
2 

b

 b 
a log b
log a b − 2
a
3−2

  a 
a2
a
a 2
 a 
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
. = log ab b − log ab a =
−
=
−
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b

a

b

=

1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
=
−
=

→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+
1
log b a +
+

2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
 b 
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2 

( ab )  a 
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
=

1

−

b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................

1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 4: Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b) B = log b 3 ab 2 .
3
b
a
Ví dụ 5: Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b 
→ P = log 3 5
=?
8
b
b) Cho log ab a = 2 
→ Q = log ab
=?
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:

c) log 2

Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c

Ví dụ 1: 49

log 7 2

=2

log 7 49

= 2 = 4;
2

2

log 2 27

= 27

log 2 2

logb a

= c logb a ⇒ dpcm

1
2

= 27 = 3 3...

Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 36log6 5 + 3

log3 4

− 3log9 36 = ..........................................................................

32 − log3 2.4 2
= ...........................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .......................................................................
log

3

b) B =

BÀI TẬP LUYỆN TẬP :

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau
1) log 25−1 5 4 5

2) log 3 3 729

3) log

9
3

1

4) log 9

3

3

 1 log27 81
7)  
 3 

5)

log 33

3 3

8) 103+ 2log10 3

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

12
6)  
9

27

log 3 4

9) 43log8 3+2log16 5

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 8

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
1

10) 9 2

log3 2−2log 27 3

13) 25log5 6 + 49log7 8

1+log 9 4

16) 3

+4

2−log 2 3

+5

log125 27

log 9 2−log 1 5

11) 42+log 2 3

12) 3

14) 10 3 log10 8

15)

17)

25

1
log 8 5

+ 49

3

log 7 16
log 7 15 − log 7 30

1
log 6 7

Bài 2. Quy đổi các biểu thức sau theo các ẩn đã cho

a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b.

b) Cho log53 = a, tính log2515.
c) Cho log96 = a, tính log1832.
d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308.

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)

a+b 1
= ( lg a + lg b ) , với a2 + b2 = 7ab.
3
2
1
b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , với a2 + 4b2 = 12ab
2
log c a + log c b
2a + 3b
c) log c
=
, với 4a2 + 9b2 = 4ab
4
2
d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1.
log a c
log a b + log a x
e)
f) log ax bx =
= 1 + log a b
log ab c
1 + log a x
log a N − log b N log a N
1

1
1
k (k + 1)
g)
, với b2 = ac.
h)
+
+ ... +
=
=
logb N − log c N log c N
log a x log a 2 x
log a k x 2log a x

a) lg

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 9

ep

u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
)
h t t p : /( / )w( w
w.tailieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1).

• Tập xác định: D = R.
• Tập giá trị: T = (0; +∞).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
2. Hàm số logarit y = loga x (với a > 0, a ≠ 1)

• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

3. Giới hạn đặc biệt

1
x) x

x

 1
= lim 1 +  = e
x →0
x →±∞ 
x
ln(1 + x)
ln(1 + u )
lim

= 1 
→ lim
=1
x →0
u
→
0
x
u
ex −1
eu − 1
• lim
= 1 
→ lim
=1
x →0 x
u →0 u
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:
• lim (1 +

•

• lim

x →0

−

x
3

−1
x →0
x
ln(1 + 4 x)
5) lim
x →0
2x

e2 x − 1
1) lim
x →0
x
ln(1 + 3 x)
4) lim
x →0
x

2) lim

e

sin x
sin u ( x)
= 1 
→ lim
=1
x →0 u ( x )
x

e3 x − e 2 x
x →0
x
e−4 x − 1
6) lim
x →0
3x
3) lim

Hướng dẫn giải:

 e2 x − 1 
e −1
1) lim
= lim 
.2  = 2
x →0
x →0
x
 2x

2x

2) lim
x →0

e

−

 −x

 e 3 − 1  −1  
−1
1
= lim 
.   = −
x
→
0
−
x
x
3
 3 

 3


x
3

e3 x − 1 − e 2 x − 1
e3 x − e 2 x
e3 x − 1
e2 x − 1
= lim
= lim
− lim
= 3 − 2 = 1.

x →0
x →0
x →0
x →0
x
x
x
x

3) lim
4) lim

ln(1 + 3 x)
 ln(1 + 3 x) 
= lim 
.3 = 3
x →0
x
 3x


5) lim

ln(1 + 4 x)
 ln(1 + 4 x) 
= lim 
.2  = 2
x
→
0

2x
 4x


x →0

x →0

 e −4 x − 1  −4  
e−4 x − 1
4
= lim 
.   = −
x →0
x
→
0
3x
3
 −4 x  3  

6) lim

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Tính các giới hạn sau:
ln (1 + 4 x )
1) lim
x →0
x
sin

2

2

2) lim

x →0

e x − cos x
x2

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

eax − ebx
x
x →0

3) lim

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 10

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
(
h t t p : (/ / w) w w
.)( t a) i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
esin 2 x − esin x
4) lim
x
x →0
 x +1 
7) lim 

x →+∞  x − 2 

 x 
5) lim 

x →+∞  1 + x 

2 x −1

x

 3x − 4 
8) lim 

x →+∞  3 x + 2 

 1
6) lim  1 + 
x →+∞ 
x

x +1

3

x +1
x

 2x + 1 
9) lim 

x →+∞  x − 1 

x

4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith
 y = a x 
→ y′ = a x .ln a
Hàm mũ: 
 y = au 
→ y ′ = u ′.au .ln a
 y = e x 
→ y′ = e x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
 y = eu 
→ y ′ = u ′.eu

1

→ y′ =
 y = log a x 
x.ln a
Hàm logarith: 

u′
 y = log u 
→ y′ =
a

u.ln a
1

→ y′ =
 y = ln x 
x
Đặc biệt, khi a = e thì ta có 
u′
 y = ln u 
→ y′ =

u
Chú ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp:

Hàm sơ cấp

Hàm hợp

y = k 
→ y′ = 0

y = ku 
→ y ′ = k .u ′

1

1

→ y′ = − 2
x
x
1
y = x 
→ y′ =
2 x

1
u′

→ y′ = − 2
u
u
u′
y = u 
→ y′ =
2 u

y=

y = x n 
→ y′ = n.x n −1 ⇒

 y = sin x 
→ y′ = cos x

→ y ′ = − sin x

 y = cos x 
1

→ y′ =
 y = tan x 
cos 2 x

−1
 y = cot x 
→ y′ =

sin 2 x

y=

y = u n 
→ y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒

 y = sin u 
→ y′ = u ′.cos u

→ y ′ = −u ′.sin u
 y = cos u 
u′

→ y′ =
 y = tan u 
cos 2 u

−u ′

 y = cot u 
→ y′ =

sin 2 u
u
uv′ − u ′v

→ y′ =
 y = 
v
v2

 y = u.v 
→ y′ = uv′ + u ′v


Ví dụ 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

x2 − x + 1
y = 4 x3 − 3 x + 2
x+3
Hướng dẫn giải:

1) y = 4 x3 − 3 x + 2

1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2

1

2) y = 3

3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1)

2) y = 3

1
4

1

→ y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2
4

−3
4

3

−
′
x2 − x + 1  x2 − x + 1 3
1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1 
=
→ y′ = . 
 
 .
 =
x+3
3  x+3   x+3 
 x+3 

3

3

−
−
′
1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4
= .
 .
 = .
 .
3  x+3  
( x + 3) 2
( x + 3) 2
 3  x+3 

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 11

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t p( : / )/ w w w (. t) a i l i e u p r o . c o

h t t p : / / w w w . t a i l i e u p( r o ). c o
h t t p : / / w w w .(( t a)) i l i e u p r o . c o
(
)

h t t p : / / (w) w w . t a i l i e u p r o . c o
lieupro.c
lieupro.c
h t t (p ):( / / ) w w w( .) t a i l i e u p r o . c
(
)
lieupro.c
http://w
w) w . t a i l i e u p r o . c
(
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
2
2
1
4
1
3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3 
→ y′ = .
. ( sin ( 2 x − 1) )′ = .
cos ( 2 x − 1)
3
3
3 sin ( 2 x − 1)
3 sin ( 2 x − 1)

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 + 3 1 + 5x
11
1) y =
2) y = 9 + 6 5 x9
1 + 2x

x−

1
3

8) y =

x+4
3

6) y = e−3 x .sin 4 x

5) y = x5 − x e −2 x

4) y = x 2 − 4 x + 4 e x
7) y = x.e

3) y = 4 sin

e2 x + e x
e2 x − e x

9) y = esin 3 x −

4x

10) y = cos x.ecot x

11) y = 2 x.ecos x

12) y = ln x 2 + 4 x − sinx

13) y = ecos x .ln ( cos x )

14) y = ln x + x 2 + 1

15) y =

16) y = log 1 x 4 − cos 2 x

17) y =

ln

2

x − cot x

ln ( 2 x + 1)
x +1

18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x)

3x − 4

Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn hệ thức chỉ ra tương ứng?
1) y = x.e

−

x2
2

2) y = ( x + 1) .e x 
→ y '− y = e x


→ xy ' = 1 − x 2 y

3) y = e 4 x + 2e − x 
→ y '''− 13 y '− 12 y = 0
5) y = e − x .sin x 
→ y ''+ 2 y '+ 2 y = 0
1
7) y = x 2 .e x 
→ y ''− 2 y '+ y = e x
2

8) y = x 2 + 1 . e x + 2011 
→ y' =
10) y =

6) y = esin x 
→ y '.cos x − y.sin x − y '' = 0

2 xy
+ e x x2 + 1
2
x +1

1


→ xy ' = y ( y.ln x − 1)
1 + x + ln x

1

→ xy '+ 1 = e y
1+ x
1 + ln x
11) y =

→ 2x2 y ' = x2 y 2 + 1
x (1 − ln x )

9) y = ln

Ví dụ 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau, với các hàm số cho dưới đây?
1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1

1
f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x
x
3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5
4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1)
1
5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5
2

2) f '( x) +

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 12

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c

lieupro.c
h t t p : / / w (w) w . (t) a i l i e u p r o . c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PHẦN 1

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Khái niệm: Là phương trình có dạng a x = b , trong đó 0 < a ≠ 1.
Cách giải:
+ Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu b ≤ 0 thì a x = b ⇔ x = log a b
Ví dụ mẫu:

Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .

Hướng dẫn giải:

Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x.

1
5

x

7
 2
5
⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5
5
 5
2
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5.
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342
2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3x −1 + 3x − 2
4) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351
7) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x
x

1 1
  + 
2 2

x +1

1
+ 
2

2) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1

3)

5) 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x − 2 + 3x − 3
8) 4 x +1 + 4 x −1 = 2.6 x − 4.6 x − 2

6) 7.5 x − 2.5x −1 = 11
9)

x −2

= 22

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

a = 1
Cơ sở phương pháp: Sử dụng các công thức lũy thừa đưa phương trình về dạng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ 
 f ( x) = g ( x)
m
n
m+ n
a .a = a

Các công thức lũy thừa cơ bản:

am
= a m−n
an

n

am

n

= a m.n = a n.m = a n
m
n

a = a 
→ a−n =
m

m

1
an

Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
1) 2 x

2

+3 x −2

= 16 x +1

2) 3− x

2

1
243
Hướng dẫn giải:

+4 x

=

x +10

x +5

3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15

x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0 
→
 x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2
2
 x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔ 
243

x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.

1) 2 x

3)

2

+3 x −2

x +10
16 x −10

=

= 16 x +1 ⇔ 2 x

x +5
x
0,125.8 −15 ,

2

+3 x − 2

(1) .

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 13

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

(
http://w
w )w . t a i l i e u p r o . c o



h t t p : / / w w w . t a( ) i l i e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
h t t( p)( : /) / w w w( . t) a i l i e u p r o . c

lieupro.c
lieupro.c
(
)
(
)
(
)
( )
lieupro.c
h t t( p) : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
( )
h t t p : / /( w) w w . t a i l i e u p r o . c
h t( t p) :( / / ) w w w . t a i l i e u p r o . c
h t( t p)( : /) / w( w) (w .) (t a) i l i e u p r o . c
h t (t p) : /( / w) w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
 x − 10 ≠ 0  x ≠ 10
Điều kiện: 
⇔
 x − 15 ≠ 0
 x ≠ 15

x +10

x +5

4.
3.
1
x + 10
x+5
= 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8
x − 10
x − 15
x
=
0

4( x + 10)
60
⇔
=
⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150 
→
x − 10
x − 15
 x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

Do 16 = 24 ; 0,125 =

x

x

27
2 9
1)   .   =
64
3 8

2) 4.9

x −1

=3 2

3) (

2 x +1

5 + 2)

x −1

=(

x −1

5 − 2 ) x +1

Hướng dẫn giải:

x

x

x

3

x

3

27
2 9
2 9 3
3 3
1)   .   =
⇔  .  =   ⇔   =   
→ x = 3.
64
3 8
3 8 4
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

2) 4.9

x −1

=3 2

2 x +1

⇔

4.9x −1

3.2

2x − 3

=1 ⇔ 3

2 x +1
2

.2

2−

2 x +1
2

2x − 3

=1⇔ 3

.

2

3− 2x

 3 
=1⇔ 

 2

2x − 3

0

3
 3 
=1 = 
 ⇔ x = 2.
 2

3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2

x

Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16.
3) (

5 + 2)

=(

x −1

81x
 81  18.81  9 
= 9.2.4 x ⇔   =
⇔ 
81
16
 4
 2

2x

3

3
9
=  ⇔ x= .
2
2

x −1

5 − 2 ) x +1 , (1) .

Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.

1
= 5+2

5+2
1− x
1 

x =1
⇔ ( x − 1)  1 +
(1) ⇔ x − 1 =
 = 0 ⇔  x = −2
x +1
x +1


Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do

5+2

5 − 2 = 1 
→ 5−2=

−1

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

1)  2 2


1

x +3 2


x



2
x −1

=4

2)

3+ 2

x 2 −5 x

=

3− 2

6

2

3) 5 x − 3x

2

+1

= 2 5x

2

−1

− 3x

2

−2

Hướng dẫn giải:


1)  2 2


1

x +3 2

(

3

(1) ⇔ 2 (
x

)

x +1


x



2
x −1

(1) .

= 4,

) = 22 ⇔ 3

x > 0
Điều kiện: 
x ≠1

x +1

x −1

x

x −1

= 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.

2)

Do

3+ 2

x2 −5 x

3+ 2

=

6

3− 2 ,

( 2 ).

3 − 2 = 1 
→

3− 2 =

1

3+ 2

=

3+ 2

−1

.

x = 2
⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ 
x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.

( 2) ⇔

3+ 2

x2 −5 x

=

3+ 2

−6

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

(

)⇔5

Trang 14

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u


h t t( p ) : /( / w
ww.tailieupro.co
)
h t t ( p) : / / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : (/ ) / w w w . t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / / w w w( . ) t a( i l ) i e u p r o . c o

http://w

ww.tailieupro.c
( )
lieupro.c
h t t p : / / w (w) w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. t( w
ei ul iperuop. cr oo .mc
)a i. lt ia
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / (/ w
ww.tailieupro.c
)
lieupro.c
2

3) 5 x − 3x

2

+1

= 2 5x

2

−1

− 3x

2

−2

x2

2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
− 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x
5
9
5
9

x2

x2

3

3 2 25 2

125
5
5
5
⇔ 5 x = 3x ⇔   =
⇔   =   
→ x = ± 3.
5
9
27
3
 3
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) ( 0, 2 )

x − x2

4 x −1

3+ 2 2

x2 − x

4) 9. 3
1
7)  
8

=5

3
2)  
2

6 x −10

= 3− 2 2

= 81

= 16.

3

x

5) 10

x

8) 9

4

1  1 
10) 3x.  =  
 3   27 

 2
= 
 3

2 x +3

3)

2 x +3

x −1

x −1

x 2 − x −5

5 x 2 − 4 x −1

x 2 − 4 x −1

=1

1
= 
 3

x

10 − 3

11)

6) e

5 x −7

9)

5 x −3 x3

= 19 + 6 10

x 2 −1

1
= 
e

x +1
27 x −1

x 2 −3

4 x−2

1
= .81 x + 2
9

2 x 2 −1

DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ MŨ

 a f ( x ) = ...
Cơ sở phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0 
→  f ( x)
= ...
 a
2
1
Chú ý: a − n = n ; a 2 n = a n
a
Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1. Giải các phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:

Phương trình đã cho tương đương: 5 x

2

− 30.5 x + 125 = 0 .

Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.

t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔ 
t = 25
x

+ Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+ Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:

3x = 1 = 30
x = 0
− 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1
⇔
−
2
3 = = 3
 x = −2

9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.

1
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9. 3x
3

2

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
1) 5

x

1− x

−5

+4=0

2) 3

x

x
2
− 8.3

+ 15 = 0

3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0

Hướng dẫn giải:

1) 5

x

− 51−

+ 4 = 0, (1) .

x

Điều kiện: x ≥ 0.

(1) ⇔ 5

x

−

5

5

x

+4=0⇔ 5

x

2

+ 4.5

x

5
− 5 = 0 
→
5

x

x

 x =0
x = 0
⇔
⇔
x = 1
= 5  x = 1
=1

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 15

w
w
.
t
a
e
u

p
r
o
.
c
o
( l) ii lei u
thttpt :p/://w/ w
w
w
.
t
a
i
p
r
o
.
c
o
m
( ) ( )
h t t p : / / w w w . t (a) i l i e u p r o . c o






lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
 3 x =3
x
2x
x
x = 2

2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0 
→
⇔
x
x = log 3 5 = log 3 25
 3 =5 

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.
2 x +8

3) 3

− 4.3

x+5

2( x + 4)

+ 27 = 0 ⇔ 3

− 4.3

x+4

2( x + 4)

.3 + 27 = 0 ⇔ 3

− 12.3

x+4

3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
+ 27 = 0 
→  x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 92 x − 32 x − 6 = 0
2) 2 x − 4 x−1 = 1
4) 100 x − 10 x+1 + 16 = 0
5) 9 x − 10.3x + 9 = 0

3) 25 x − 5 x − 12 = 0
6) 3x + 2.32− x = 9

DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Loại 1: Phương trình có chứa a f ( x ) ,b f ( x ) , c f ( x ) , d f ( x )
m

n

a c
d 
=   =   . Để giải phương trình dạng này ta chia cả hai vế cho b f ( x ) với b = min {a, b, c, d } hay
b b
b
gọi một cách dân rã, ta chia cả hai vế của phương trình cho biểu thức lũy thừa mà có cơ số nhỏ nhất.
Ví dụ 1. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
trong đó

Hướng dẫn giải:

 3  x 2
  = ⇒ x = −1
2x

x
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔ 
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

−

1

−

1

−

1

2) 4 x + 6 x = 9 x
4) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

1) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

x

1) Chia cả hai vế của (1) cho 9 ta được

 4  x 4
  =
12
16
4
4
3
3
x =1
→   x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0 
2

x = 2
 9

9
3
3
 4  16  4 
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
2) Điều kiện: x ≠ 0.
 3 t 1 + 5
  =
t
t
2t
t
1
9
6
3
3
2
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t

x
4 4
2
2
 3  1− 5
<0
  =

2
 2 
x

x

2x

x

t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log 1+ 5   .
 
2
2
2
t
 
2

2
2

3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 16

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
h t t p : / / w w( w)( . t) a( i l)( i e) u p r o . c

h t t p : / / w w( w)( . t) a( i l)(i e) u p r o . c
h t t p : / / w w w . ( t a) i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . ( t a) i l i e u p r o . c
h t ( t p) :( / /) w w w . t( a )i l( i e) u p r o . c
lieupro.c
t ph :t( /t /p)w:( /w/) w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
(
h t( t p)( : /) / w
w) ( w ) . t a( i l) i( e )u p r o . c
( w
) w . t a i l i e u p r o . c
h t( t p) : / / w
lieupro.c
h t t p :( / /) w w( w) . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
 3  x 4  3  −2
  = =  
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔ 


→ x = −2.
x

4
4
2
2
3



= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
4) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3
.  =
x
x
x
3x
2x
x
2
2
 12   18 
 27 
3
3

3

⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔

→ x = 1.
x

8 8
 8 
2
2
2
3


.
= −2 < 0
  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) 10.25 x − 29.10 x + 10.4 x = 0
2) 5.36 x = 3.16 x + 2.81x
3) 25 x + 3.15 x + 2.9 x = 0

4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0
2

2

5) 4.49 x − 17.14 x = 392.4 x

2

6) 25 x + 4.9 x = 5.15 x

Loại 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1

Cách giải:

Do ab = 1 ⇔ ( ab )

f ( x)

= 1 
→ b f ( x) =

1

a

f ( x)

Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
→ b f ( x) =

1
t

Chú ý:

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

2 +1

2 − 1 = 1;

2 + 3 2 − 3 =1

5+2

5 − 2 = 1;

7 + 4 3 7 − 4 3 = 1...

3± 2 2 =

2 ±1

Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:

2

2

7 ± 4 3 = 2 ± 3 ...

Ví dụ mẫu. Giải các phương trình sau:
1)

x

2+ 3

+

2− 3

x

=4

2)

3) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x

3

3+ 8

4) ( 2 + 3 )

x

x

( x −1)

+
2

3

3− 8

+ (2 − 3)

x

=6

x − 2 x −1
2

=

4
2− 3

Hướng dẫn giải:

1)

Do

2+ 3

x

+

2+ 3

2− 3

x

= 4,

2 − 3 =1⇔

(1) .

2+ 3

x

.

x

2− 3

= 1 
→

2− 3

x

=

1

x

2+ 3

Đặt

2+ 3

x

= t ,(t > 0) 
→

2− 3

x

1
= .
t

t = 2 + 3
1
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 
→
t

t = 2 − 3
Với t = 2 + 3 ⇔

2+ 3

x

=2+ 3 =

2+ 3

2


→ x = 2.

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 17

2 + 3 ) = 2 − 3 = ( 2 + 3 ) = ( 2 + 3 ) 

→ x = −2.
(
p
:
/
/
w
w
w
.
t
a
i
l
i
ep
u
://www.tailieu

o
thttpt
rpor .oc. oc m
http
( : ) /( / w
) w w . t a i l i e u p r o . c o
) ( w)( w) . (t a) i( l i ) e u( p ) r o . c o
h t t p( : )(/ / w
(
)
h t t p( : ) / / w w

w
(
) . t a i l i e u p r o . c o

h t t p : / (/ w) w w( .) t a i l i e u p r o . c o
h t t p : / ( / w) w w
(
). t( a) i ( l i) e u p r o . c o

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / / w w ( w) . t a (i l )i e u p r o . c
h ( t t) p : / / w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
−2

−1

x

Với t = 2 − 3 ⇔

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

2)

Do

3

x

3+ 8

3

+

3+ 8

3

3

x

3− 8

( 2).

= 6,

3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔

3

3+ 8

x

3

.

3− 8

x

= 1 
→

3

3− 8

x

1

=

3

Đặt

3

3+ 8

x

= t ,(t > 0) 
→

3

3− 8

x

3+ 8

x

1
= .
t

t = 3 + 8
1

Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 
→
t
t = 3 − 8
Với t = 3 + 8 ⇔

3

3+ 8

Với t = 3 − 8 ⇔

3

3+ 8

x

x

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8

= 3− 8 = 3− 8

x
3

−1

= 3 + 8 

→ x = 3.

⇔ 3+ 8

x
3

= 3− 8

−1


→ x = −3.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.

3) ( 5 −

21 )

x

+ 7 (5 +

21 )

x

x

x

=2

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 
⇔
 + 7.
 = 8,
 2 

2 

x

x

( 3) .
x

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 
1
Ta có 
.
→

 
 = 
 = 1 
 =
x

 2  
2   2
2 
 2 
 5 + 21 



2 
x

x

 5 + 21 
 5 − 21  1
Đặt 
→
 = t ,(t > 0) 
 = .
 2 

2 
t

t = 1
1
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0 
→ 1
t
t =
 7
x

 5 + 21 
Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
x

 5 + 21 
1
1
Với t = ⇔ 
→ x = log 5+
 = 
7

2 
7

21

2

1
 .
7

x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log

5 + 21  
7

2

4) ( 2 + 3 )

( x −1)2

+ (2 − 3)

2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 )

Đặt t = ( 2 + 3 )

x2 − 2 x

x 2 − 2 x −1

x2 − 2 x

=

x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

= 4,

( 4 ).

1
= .
t

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 18

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

h t t( p :) /( / w) w w . t a i ( l i e) ( u p) r o . c o
h t t( p) :( / /) w w w . t a i( l i) e( u) p r o . c o
) (
)
(

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
(
(


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 

→
⇔
t
t = 2 − 3
 2+ 3


)
)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

=2+ 3

 x2 − 2 x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.

x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x = 2 ± 2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) ( 5 +

24 )

x

+ (5 −
x

3)

5−2 6

5)

2 −1 +

7)

5 + 21 +

x

x

24 )

x

x

+ 5+2 6

= 10
x

= 10

4)

2 +1 − 2 2 = 0

6)

x

x

x

7+3 5 
7−3 5 
2) 
 + 7 
 =8
2 
2 


4 − 15

10 + 3

x2

x

+

+ 4 + 15

x

x2 − 1

10 − 3

=8

= 10 + 4

x

5 − 21 = 5.22

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 19

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t (p : /) / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : / / w w w . t a i l( i e )u p r o . c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw

a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
(
)
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : / / w w (w) . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH

DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ BẢN

Khái niệm:
Là phương trình có dạng log a f ( x) = log a g ( x), (1) .
trong đó f(x) và g(x) là các hàm số chứa ẩn x cần giải.
Cách giải:
a > 0; a ≠ 1

- Đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa  f ( x) > 0
 g ( x) > 0

- Biến đổi (1) về các dạng sau: (1) ⇔

f ( x) = g ( x)

a =1

Chú ý:

- Với dạng phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = ab

- Đẩy lũy thừa bậc chẵn: log a x 2 n = 2n log a x , nếu x > 0 thì n log a x = log a x n

- Với phương trình sau khi biến đổi được về dạng

 g ( x) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 
2
 f ( x) = [ g ( x)]

log a a x = x; a log a x = x

- Các công thức Logarith thường sử dụng:

 x
log a ( xy ) = log a x + log a y; log a   = log a x − log a y
 y
m
1
log an x m = log a x; log a b =
n
log b a

Ví dụ mẫu:

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

1
2) lg x = lg ( x + 1)
2

1) log 1 x 2 + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 )
3

3) log 2

3

8− x 1
= log 1 x
4
2
2

4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2

Hướng dẫn giải:

 x > 1

 x + 3x − 4 > 0
x > 1
  x < −4



2
1) log 1 x + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) ⇔ 2 x + 2 > 0
⇔  x > −1
⇔   x = 2 

→ x = 2.
 2
 2
  x = −3
3
3
 x + 3x − 4 = 2 x + 2
 x + x − 6 = 0 

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2

x > 0

x > 0

1+ 5
x
>
0

x
>
0
1
1+ 5



  x =

2) lg x = lg ( x + 1) ⇔  x + 1 > 0
⇔
⇔
⇔
→x =


2 
2
2

lg x = lg ( x + 1)  x = x + 1 
2
2
2lg x = lg x + 1

( ) 

 x = 1 − 5
 
2

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 20

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u




h t t p( : / /) w w w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t (p : / /) w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c

lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
3) log 2

8− x 1
= log 1 x,
4
2
2

1+ 5
.
2

( 3) .

8 − x > 0
Điều kiện: 
⇔ 0 < x < 8.
x > 0

Khi đó ( 3) ⇔ log 2

−
8− x
1
8− x

8− x
1
= − log 2 x ⇔
=x 2 ⇔
=
⇔ x (8 − x ) = 4
4
2
4
4
x
1

⇔ − x 2 + 8 x = 16 ⇔ ( x − 4 ) = 0 
→ x = 4.
2

Nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = 4.

4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2,

( 4)

x < 5
5 − x > 0
x < 5


Điều kiện: 5 − x ≠ 1
⇔ x ≠ 4

⇔
x ≠ 4
 2

2
x
−
2
x
+
65
>
0
x
−
1
+
64
>
0,
∀
x
∈
R
)

(
Khi đó ( 4 ) ⇔ x 2 − 2 x + 65 = ( 5 − x ) ⇔ 8 x + 40 = 0 
→ x = −5.
2

Nghiệm x = –5 thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có nghiệm x = –5.
Bình luận:
Trong các ví dụ 3 và 4 chúng ta cần phải tách riêng điều kiện ra giải trước rồi sau đó mới giải phương trình. Ở
ví dụ 1 và 2 do các phương trình tương đối đơn giản nên ta mới gộp điều kiện vào việc giải phương trình ngay.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4

2)

1
1
log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log5 ( 2 x + 1)
2
2

 1 
3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1 
=0
4.2 x − 3 
2

Hướng dẫn giải:

1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4,

(1) .

x + 3 > 0

 x > −3
Điều kiện: 
⇔
⇔ x > 2.
x − 2 > 0 x > 2

Khi đó, (1) ⇔ lg ( x + 3) − lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ⇔ lg
2

( x + 3)
2
( x − 2)

= lg 0, 4 ⇔

( x + 3)
2
( x − 2)

= 0, 4 =

2
2
⇔ 2 ( x − 2 ) − 5 ( x + 3) = 0
5

x = 7
⇔ 2 x − 13 x − 7 = 0 
→
x = − 1


2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 7.
1
1
2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log 5 ( 2 x + 1) , ( 2 ) .
2
2
2


 x > −5
x
+
5
>
0



Điều kiện:  x − 3 > 0 ⇔  x > 3 ⇔ x > 3.
2 x + 1 > 0

1

x > −

2

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 21

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u

)
h t t p( : / / w
ww.tailieupro.co

) p r o . c o
h t t p : / (/ w w) w . t a i ( l i e u
h t t ( p : / )/ w w w . t a i l i e u p r o . c o


h t t p( : /) / w w w( . t a) i l i e u p r o . c

h t t p( : / )/ w w w (. t a) i l i e u( ( p r) ) o . c
h t t p( : / /) w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
1
1
1
Khi đó, ( 2 ) ⇔ log5 ( x + 5 ) + log 5 ( x − 3) = log 5 ( 2 x + 1) ⇔ log 5 ( x + 5 )( x − 3)  = log 5 ( 2 x + 1)
2
2
2
⇔ ( x + 5 )( x − 3) = 2 x + 1 ⇔ x 2 + 2 x − 15 = 2 x + 1 ⇔ x 2 = 16 
→ x = ±4.
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 4.
 1 
3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1 
 = 0, ( 3) .
4.2 x − 3 
2

x
x
4 + 15.2 + 27 > 0, ∀x ∈ R
Điều kiện:  x
4.2 − 3 > 0

2
 x
 1 
 1  
x
Khi đó ( 3) ⇔ log 2 4 x + 15.2 x + 27 + 2log 2 
=
0
⇔
log
4
+
15.2
+
27

2


 =0
x
x
 4.2 − 3 
 4.2 − 3  



2x = 3
2
22 x + 15.2 x + 27
 1 
2x
x
⇔ 4 + 15.2 + 27 
= 1 ⇔ 15.2 − 39.2 − 18 = 0 
→ x
 =1⇔
x
2x
x
2 = − 2 < 0
16.2 − 24.2 + 9
 4.2 − 3 

5
x

x

Giá trị 2 x = 3 thỏa mãn điều kiện, từ đó ta được 2 x = 3 ⇔ x = log 2 3 là nghiệm của phương trình.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

1) log3(2x + 1)(x – 3) = 2

2) log5(x2 – 11x + 43) = 2

4) log 3 x 2 − 4 x + 3 = log 3 ( 3x + 21)

5) log 5 x 2 − 11x + 43 = 2

3) log3(2x + 1) + log3(x – 3) = 2
x+2
2
6) log 1
= log 1
10
x +1
5
5

7) log x−1 4 = 2

8) log 2x 10 − log x 10 − 6 = 0

9) log x 3 x 2 − 5 x − 3 = 2

10) log x 2 x 2 − 3 x − 4 = 2

11) log x +1 x 2 − 3x + 1 = 1

12) log x 3 x 2 − 8 x + 3 = 2

13) log x −1 3 x 2 − 7 x − 2 = 2

14) log3 ( x − 2 ) + log3 x = log3 8

15) lg ( x − 9 ) + 2lg 2 x − 1 = 2

16) log 4 ( x + 3) − log 4 ( x − 1) = 2 − log 4 8
17) 2log 2 x + log

2

18) log9 ( x + 1) − log9 (1 − x ) = log9 ( 2 x + 3)

x + log 1 x = 9
2

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI TRÌNH LOGARITH

Chúng ta thường đặt ẩn phụ khi phương trình có chứa biểu thức phức tạp khi thực hiện các phép biến đổi.

Đặt t = log a x thì ta không cần điều kiện gì của t.

log a [ f ( x) ]

2n

Một số biểu thức cần lưu ý khi đẩy lũy thừa

= 2n log a f ( x)

log 2a f ( x) = [ log a f ( x ) ]

2

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
2
1) log 22 ( x − 1) = 5 + log 2 ( x − 1)

2) log 22 ( 2 − x ) − 8log 1 ( 2 − x ) = 5
4

2



x2
4) log 1 (4 x)  + log 2
=8
8
 2


3) log 1 x − 3. log 1 x + 2 = 0
3

3

Hướng dẫn giải:

1) log 22 ( x − 1) = 5 + log 2 ( x − 1) ,
Điều kiện: x > 1.
2

(1) .

2

2
2
2
Đặt t = log 2 ( x − 1) 
→ log 22 ( x − 1) =  log 2 ( x − 1)  =  2log 2 ( x − 1)  = 4t 2



Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 22

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww

ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
3

 log 2 ( x − 1) = −1  x − 1 = 1
t = −1
x=




2
2
Khi đó (1) ⇔ 4t − t − 5 = 0 ⇔  5 
→
⇔
⇔
 log ( x − 1) = 5
5
5
t =


2
4
4
 4

4
x
−
1
=
2
x
=
1
+
2



2

5

3
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ; x = 1 + 2 4 .
2

2) log 22 ( 2 − x ) − 8log 1 ( 2 − x ) = 5, ( 2 ) .
4

Điều kiện: x < 2.

( 2 ) ⇔ log 22 ( 2 − x ) −

 log ( 2 − x ) = 1
8
log 2 ( 2 − x ) = 5 ⇔ log 22 ( 2 − x ) + 4log 2 ( 2 − x ) − 5 = 0 ⇔  2
−2
 log 2 ( 2 − x ) = −5

Với log 2 ( 2 − x ) = 1 ⇔ 2 − x = 2 ⇔ x = 0.
Với log 2 ( 2 − x ) = −5 ⇔ 2 − x =

1
63
⇔x= .
32

32

Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0; x =

3) log 1 x − 3. log 1 x + 2 = 0,
3

( 3) .

63
.
32

3

x > 0

Điều kiện: log x ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1.
1
 3

( 3) ⇔  log 1
3


1
 log 1 x = 1

log 1 x = 1
2

x=



 3
3
3
x  − 3. log 1 x + 2 = 0 ⇔ 
⇔

→

 log 1 x = 2
x = 1
3

log 1 x = 4

 3
3
81


1
1
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ; x = .
3
81
2



x2
= 8,
4) log 1 (4 x)  + log 2
8
 2

Điều kiện: x > 0.

( 4).

2

Ta có



2
2
2
log 1 (4 x)  = [ − log 2 (4 x) ] = −
 ( log 2 4 + log 2 x )  = ( log 2 x + 2 )
 2


log 2

x2
= log 2 x 2 − log 2 8 = 2log 2 x − 3

8

Khi đó ( 4 ) ⇔ ( log 2 x + 2 ) + 2log 2 x − 3 = 8 ⇔ ( log 2 x )
2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x =

2

x = 2
log 2 x = 1
+ 6log 2 x − 7 = 0 ⇔ 
⇔
 x = 2−7 = 1
log
x
=
−
7
 2
128


1
.
128

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1
1) 2log 5 x − 2 = log x

5

9
+ log 2x 5
4
 x3  1
3
4) log 3   .log 2 x − log 3 
 = + log 2 x
 x
 3 2

2) log x 5 + log x 5 x =

3) log 2 x x 2 − 14log16 x x3 + 40log 4 x x = 0

Hướng dẫn giải:

1
1) 2log 5 x − 2 = log x ,
5

(1) .

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 23

ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u







lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
h t t p : (/ / w) (w w) . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw

a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
h t t p : / /( w w) w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Điều kiện: x > 0; x ≠ 1.
1
1
2
= 0 ⇔ ( log5 x ) − 2log 5 x + 1 = 0 ⇔ log 5 x = 1 
→ x = 5.
(1) ⇔ 2. log5 x − 2 = − log x 5 ⇔ log5 x − 2 +
2
log 5 x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.
9
2) log x 5 + log x 5 x = + log 2x 5, ( 2 ) .
4
Điều kiện: x > 0; x ≠ 1.
5
1
2
2
log x 5 =

1
9 1
1
1

5





2
Ta có ( 2 ) ⇔ log x 5 + (1 + log x 5 ) = +  log x 5  ⇔  log x 5  − 3.  log x 5  + = 0 
→2
1
1
2
4 2
2
2
4





 log x 5 =
2
2
5
5


log 5 = 5
Từ đó ta được  x


→x = 5 ⇔ x = 5
log
5
=
1
x
=
5
 x

x = 5
Các nghiệm này đều thỏa mãn, vậy phương trình có hai nghiệm x = 5; x = 5 5.

3) log 2 x x 2 − 14log16 x x 3 + 40log 4 x x = 0, ( 3) .
x > 0

x > 0
x ≠ 1
2 x ≠ 1
2



Điều kiện: 
⇔
1
16 x ≠ 1  x ≠ 16
 4 x ≠ 1


x ≠ 1

4

Khi đó ( 3) ⇔ 2log 2 x x − 42log16 x x + 20log 4 x x = 0 ⇔

2

log x ( 2 x )

−

42
20
+
=0
log x (16 x ) log x ( 4 x )

2
42
20
2
42
20
−
+
=0⇔
−
+
= 0, ( *) .

log x x + log x 2 log x x + log x 16 log x x + log x 4
1 + log x 2 1 + log x 16 1 + log x 4
1
21
10
Đặt t = log x 2, (*) ⇔
−
+
= 0 ⇔ (1 + 4t )(1 + 2t ) − 21(1 + t )(1 + 2t ) + 10 (1 + t )(1 + 4t ) = 0
1 + t 1 + 4t 1 + 2t
t = 2
2
2
2
2
⇔ 8t + 6t + 1 − 21 2t + 3t + 1 + 10 4t + 5t + 1 = 0 ⇔ 6t − 7t − 10 = 0 
→
t = − 5

6
2
Với t = 2 ⇔ log x 2 = 2 ⇔ x = 2 
→ x = ± 2.
⇔

5
5
Với t = − ⇔ log x 2 = − ⇔ x
6
6

−

5
6

 −5 
= 2 ⇔ x 6 





−

6
5

=2

−

6
5


→x = 2

−

6
5

=

5

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 2; x =

5

1
64

1
.
64

 x3  1
3
4) log 3   .log 2 x − log 3 
 = + log 2 x ,
x
 3 2
Điều kiện: x > 0.

( 4).

( 4 ) ⇔ (1 − log3 x ) .log 2 x −

1 1
1 1 1
+ log 2 x ⇔ (1 − log 3 x ) .log 2 x − 3log3 x + = + log 2 x
2 2
2 2 2

log 3 x3 − log 3 3 =

1
⇔ log 2 x − log 2 x.log 3 x − 3log3 x − log 2 x = 0 ⇔ log 2 x − 2log 2 x.log 3 x − 6log 3 x = 0
2
⇔ log 2 x (1 − 2log3 x ) − 6log3 x = 0, (*) .

Do log3 x = log3 2.log 2 x nên ( *) ⇔ log 2 x (1 − 2log3 x ) − 6log3 2.log 2 x = 0 ⇔ log 2 x (1 − 2log3 x − 6log3 2 ) = 0
x =1
x =1
 log 2 x = 0

⇔
⇔

→
 log 3 x = 1 − 6log 3 2 = 1 log 3  3 
x = 3
1
−
2log
x
−
6log

2
=
0
3
3

 


2
2
64
 
8

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 24

ep
u rpor .oc. oc m

o
thttpt :p/://w/ w
ww
ww
. t.at ial ii lei u



h t t p : / / w w( ) w .( t) a i l i e u p r o . c o
h t t p( : /) / ( w w )w . t a i l i e u p r o . c o


lieupro.c
h t t p : / / w w w (. ) t a(( i)) l i e u(( p r)) o . c
h t t p : / /( w) (w)( w) . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
h t t (p ): /( / w) w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
t ph :t /(t /p) w: /w/ ( w) w
. tw
a( i. )lt ia(ei u
pro.com
)l i e u p r o . c
h t t (p ): / / w w w . t a i l i e u p r o . c
h t t p : /{ / }w w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x =

3
.
8

Ví dụ 1. Giải phương trình sau:
a)

log 3 x
log 27 x
=
log 9 (3 x) log 243 (27 x)

Giải.

1
1
Điều kiện 0 < x ≠ ; x ≠
. Phương trình đã cho tương đương
3
27

log 3 x
log 27 x
2 log 3 x
5log 3 x
=
⇔
=
log 9 (3 x) log 243 (27 x)

log 3 3 x
3log 3 27 x

 log 3 x = 0
x = 1
log 3 x = 0
⇔
⇔
⇔
−13
log 3 x = −13
x = 3
5 1 + log 3 x = 6 log 3 27 + log 3 x

Kết luận nghiệm

b)

log8 4 x
log 2 x
=
log 4 (2 x) log16 (8 x)

Giải.

1
1
Điều kiện x > 0; x ≠ ; x ≠ .
2
8

Phương trình đã cho tương đương với ⇔

4 log 2 4 x
2 log 2 x
2 log 2 x 4 2 + log 2 x
=
⇔
=
log 2 2 x
3log 2 8 x
1 + log 2 x 3 3 + log 2 x

x = 2
t = 1
Đặt log 2 x = t ta có 3t t + 3 = 2 t + 2 t + 1 ⇔ t + 3t − 4 = 0 ⇔ 
⇔
x = 1
 t = −4
16

2

1 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm S =  ; 2  .
16 

c) log 2 2 x + 1 .log 2 2 x +1 + 2 = 6
Giải.

Điều kiện x ∈ ℝ

Phương trình đã cho tương đương

log 2 2 x + 1  log 2 2 + log 2 2 x + 1  = 6 ⇔ log 22 2 x + 1 + log 2 2 x + 1 − 6 = 0

2 x + 1 = 4
2 x = 3
t
=
2


Đặt log 2 2 x + 1 = t ta thu được t 2 + t − 6 = 0 ⇔ 
⇔ x
1⇔ x
7 ⇒ x = log 2 3

2 +1 =
2 =−
 t = −3
8
8



Kết luận nghiệm S = log 2 3 .

d) 4 log 3 x − 1 − log 3 x = 4
Giải.

Điều kiện x ≥ 3 .

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)


Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

Trang 25

/w
w
w
.at ial ii lei u
ep
u rpor .oc. oc m
o
thttpt :p/://w
w
w
.
t
h t t p : /( /) w w w . t( a) i l i e u p r o . c o

lieupro.c
(
)(
h t t( p)( : / / ) w
w
w) . ( t a i) l (i e)( u p) r o . c
h t t( p : / / w) (w( )( w . t)) a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
t ph :t /t /pw: /w/ w w
. tw
a i. lt iaei ul iperuop. cr oo .mc
lieupro.c
h t t p( : / / w) w w . t a i l i e u p r o . c
lieupro.c
lieupro.c
lieupro.c
1
Phương trình đã cho tương đương với 4 log 3 x − 1 − log 3 x = 4 ⇔ 8 log 3 x − 1 − log 3 x = 8
2

Đặt log 3 x = t t ≥ 1 thu được 8 t − 1 = t + 8 ⇔ 64 t − 1 = t 2 + 16t + 64 ⇔ t 2 − 48t + 128 = 0

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

a) log 3 x (9 x 4 ) + 2 log 9 x3 (27 x 4 ) + 3log

3x

9=

49
5

Điều kiện x > 0;3 x ≠ 1;9 x3 ≠ 1; 3 x ≠ 1

Phương trình đã cho tương đương với

2 log 3 x 3 + 4 log 3 x x + 6 log 9 x3 3 + 8 log 9 x3 x + 6 log

3x

3=

49
5

2
4
6
8
6
49

+
+
+
+
=
1 + log 3 x 1 + log x 3 2 + 3log 3 x 2 log x 3 + 3 log x + 1
5
3
2
2 + 4 log 3 x 6 + 8 log 3 x
12
49
⇔
+
+
=
1 + log 3 x
2 + 3log 3 x 2 log 3 x + 1 5
⇔

Đặt log 3 x = t ⇒

2 + 4t 6 + 8t
12
49
+
+
=
1 + t 2 + 3t 2t + 1 5

⇔ 4t + 2 6t 2 + 7t + 2 + 8t + 6 2t 2 + 3t + 1 + 12 3t 2 + 5t + 2 =

49
2t + 1 3t 2 + 5t + 2
5

⇔ 5 40t 3 + 112t 2 + 108t + 34 = 49 6t 3 + 13t 2 + 9t + 2

⇔ 94t 3 + 77t 2 − 99t − 72 = 0 ⇔ t − 1 94t 2 + 171t + 72 = 0

t = 1
x = 3


−171− 3 2497
−171 − 3 2497


⇔ t =
⇔ x = 3 188

188
−171+ 3 2497


188
 −171 + 3 2497

x
=

3

t
=

188

b) log 2 x (4 x ) + 2 log 2 x2
3

x3 58
=
8 15

Giải.

Điều kiện x > 0; 2 x ≠ 1; 2 x 2 ≠ 1 .

Phương trình đã cho tương đương với

3 − log 2 x 2 + 6 log 2 x 2 x − 3log 2 x2 2 =
⇔

58
6
18
1
58
⇔
−

+3−
=
15
log x 2 + 2 1 + 2 log 2 x
1 + log 2 x 15

6 log 2 x − 18
1
13
−
=
1 + 2 log 2 x 1 + log 2 x 15

Đặt log 2 x = t thu được

Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội)

Học online: www.moon.vn

Truy cập để có thêm nhiều tài liệu hay và thú vị nhé ;)