De thi va DA vao lop 10 chuyen

sở giáo dục và đào tạo
Hải Dơng
Đề số 1
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn thi : toán
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu I: ( 2.0 điểm )
Tính giá trị của biểu thức :
P =
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )x y z y z x z x y xyz + +
Trong đó x , y , z là các số thực dơng thỏa mãn :
4x y z xyz+ + =
Câu II: (1.5 điểm)
Chứng minh rằng nếu x
0
là nghiệm của phơng trình :

2
( 1) 0x a x b+ + + =

thì :
2 2
0
2( 1)x a b a< + + +
.
Câu III: (2.5 điểm )
Giải hệ phơng trình :

( )
4 2

2
697
81
4 3 4
x y
x y xy x y

+ =



+ + = + +

Câu IV: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC không cân , đờng tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các
cạnh AB , AC , BC tơng ứng tại D , E , F . Đờng phân giác của góc B cắt đờng thẳng
DE tại H . Gọi K là hình chiếu của F trên DE
1) Chứng minh :
ã
0
90BHC =
2) Chứng minh :
ã
ã
BKF CKF=
Câu V: ( 1.0 điểm )
Tìm các cặp số ( x;y) nguyên thỏa mãn :
x
4
+ 2x

3
+ 3x
2
+ 2x = y
2
+ y
sở giáo dục và đào tạo
Hải Dơng
kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2008 - 2009
Môn thi : toán
Hớng dẫn chấm
H ớng dẫn chấm đề số 1
Câu Nội dung Điểm
Câu I
2 điểm
có
4x y z xyz+ + =

4 4 4 4 16x y z xyz + + + =
Nên :

( ) ( )
2
(4 )(4 ) (16 4 4 )
(4 4 4 4 4 4 )
(4 4 ) 2 2
x y z x z y yz
x x y z xyz z y yz
x x xyz yz x x yz x x yz

= +
= + + + +
= + + = + = +
( vì x, y, z là các số dơng)
2x xyz= +
Biến đổi tơng tự ta đợc :
(4 )(4 )y z x
=
2 y xyz+
(4 )(4 )z x y
=
2z xyz+
Vậy :

2 2 2
2( )
2.4 8
P x xyz y xyz z xyz xyz
x y z xyz
= + + + + +
= + + +
= =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

CÂU 2
1.5 điểm
Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức:
( )
2
2 2 2 2
( )( ) , (1)ax by a b x y+ + +
Thật vậy (1)
2 2 2 2 2
2 ( ) 0abxy a y b x ay bx +
( đúng )
Đẳng thức xảy ra khi ay = bx
Vì x
0
là nghiệm của phơng trình : x
2
+ (a+1)x + b = 0, nên ta có :

[ ]
2
0 0
2
4
0 0
( 1)
( 1)
x a x b
x a x b
= + +
= + +

áp dụng BĐT (1) ta có :
[ ]
2
4 2 2 2
0 0 0
( 1) ( 1) ( 1)x a x b a b x

= + + + + +

4 2 2 2
0 0
2 2 2
0
2 2 2
0
2 2
0
1 ( 1) ( 1)
1 ( 1)
2( 1)
2( 1)
x a b x
x a b
x a b a
x a b a

< + + +

< + +
< + + +

< + + +
Hệ phơng trình:
4 2
2 2
697
,(1)
81
3 4 4 0 ,(2)
x y
x y xy x y

+ =




+ + + =

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III
2.5điểm
Nếu có (x;y) thỏa mãn (2) thì phơng trình bậc hai ẩn x sau :
x
2
+ (y-3)x + y

2
- 4y +4 = 0 phải có nghiệm:
2 2
2
( 3) 4( 4 4) 0
3 10 7 0
7
1 ,(3)
3
y y y
y y
y
= +
+

Tơng tự xét điều kiện phơng trình bậc hai ẩn y
2 2
( 4) 3 4 0y x y x x+ + + =
có nghiệm ta đợc :
4
0 ,(4)
3
x
Từ (3) và (4)
4 2
4 2
4 7 697
3 3 81
x y

+ + =
ữ ữ

Nên :
4 2
697
81
x y+ =
khi x
4
3
=
và y
7
3
=
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x;y) =
4 7
;
3 3

ữ

0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
Câu IV

3điểm

K
Q
P
H
D
E
O
A
B
C
F
1) Do tam giác ABC không cân ,gọi O là tâm đờng tròn nội tiếp
tam giác ABC . Theo định lí tổng 3 góc trong các
,BOC ABC
ã
à
à
à à
0
0 0 0
180
180 180 90
2 2 2
B C A A
BOC
+
= = = +

Từ đó suy ra :
ã
ã
à
0 0
180 90
2
A
HOC BOC= =
,(1)
Ta có :
ADE
cân tại A do AD = AE ( theo tính chất tiếp tuyến)
ã
à à
0
0
180
90
2 2
A A
AED

= =
,(2)
Mà
ã
ã
HEC AED=
(đối đỉnh) , (3)

Từ (1), (2), (3)
ã
ã
.HEC HOC =
Suy ra tứ giác HEOC nội tiếp
Mà
ã
0
90OEC =
( theo tính chất tiếp tuyến )
ã
ã
0 0
90 90OHC Hay BHC = =
2) Hạ
,BP DE CQ DE
ta có BP// FK // CQ
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Theo định lí Ta - let :
BF PK
FC QK
=
.
Theo tính chất của tiếp tuyến : BF = BD , CF = CE nên ta có
BD PK

CE QK
=
, (4)
Mặt khác :
ã
ã
ã
ã
.BDP ADE AED QEC= = =
Suy ra :
BPD CQE :
Từ đó ta có :
BP PD BD
CQ EQ CE
= =
,(5)
Từ (4) và (5)
BD PK PD BP
CE QK EQ CQ
= = =
Mà :
ã
ã
0
90BPK CQK= =
Nên
BPK CQK :
ã
ã
PKB QKC =

mà
ã
ã
0
90 .PKF QKF= =
Vậy
ã
ã
.BKF CKF=
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu v
1.0 điểm
Có x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x = y
2
+ y


x
4

+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = y
2
+ y +1


(x
2
+ x +1)
2
= y
2
+ y +1 , ( 1)
Do x,y là số nguyên nên từ (1) suy ra : y
2
+ y +1 phải là số chính
phơng
- Nếu y > 0
2 2 2
1 ( 1)y y y y < + + < +
- Nếu y < -1
2 2 2
( 1) 1y y y y + < + + <
Cả hai trờng hợp này
2
1y y + +
không thể là số chính phơng

Nên từ (1)

y = 0 hoặc y = -1
và (x
2
+ x + 1)
2
= 1 , (2)
Do x
2
+ x + 1 =
2
1 3
0 ,
2 4
x x

+ + >
ữ


(x
2
+ x + 1)
2
= 1

x
2
+ x + 1 = 1

x = 0 hoặc x = -1
Vậy các cặp số ( x;y ) nguyên thỏa mãn đề bài là :
(0;0) , ( 0;-1) , ( -1;0) ,(-1;-1)
0.25
0.25
0.25
0.25