ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỊNH THỨC

Chương 3
ĐỊNH

THỨC

_________________________________
Ta muốn tìm một tiêu chuẩn thuận tiện để biết khi nào một ma trận vuông khả nghịch. Xét ma trận
a b 
A= 
.
c d 
Ta thấy
0 
 d − b  a b  ad − bc
= (ad - bc)I.
− c a   c d  =  0
ad − bc 


 
Từ đây suy ra: Nếu ad - bc ≠ 0, thì A khả nghịch. Ta đã biết ad - bc là định thức cấp 2 (của ma trận
A). Ta muốn mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ để tìm được tiêu chuẩn khả
nghịch cho ma trận n×n.

3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
CƠ
Ơ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC

Để mở rộng khái niệm định thức cho ma trận n×n bất kỳ, ta nghiên cứu xem định thức cấp 2 được
xác định bởi các tính chất gì. Ký hiệu định thức của ma trận A có cỡ 2×2 là detA, hoặc |A|, hoặc
det(c1, c2) (cj là cột thứ j của A).

Tính chất 3.1.1 detI = 1.
detI =

1 0
= 1⋅1 - 0⋅0 = 1.
0 1

Tính chất 3.1.2 Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột.
det(c1, c2) =

a b
b
= ad - bc, det(c2, c1) =
c d
d

a
= bc -ad. Suy ra det(c1, c2) = -det(c2, c1).
c


Định nghĩa Ta nói hàm số f : Rn→R là hàm tuyến tính, nếu với mọi v1, v2 ∈Rn và mọi x1, x2 ∈R
thì f(x1v1 + x2v2) = x1f(v1)+ x2f(v2).

Tính chất 3.1.3 Định thức là hàm tuyến tính đối với một cột khi cố định những cột còn lại.
Ta xem det(c1, c2) như một hàm 2 biến, mỗi biến thuộc R2.
a '
Giả sử c'1 =   , c"1 =
b' 

a"
b" và c1 = x1c'1+x2c"1 =
 

det(x1c'1+x2c"1, c2) =

 x1 a '+ x 2 a"
 x b'+ x b" , thì
 1
2


x1a '+ x2 a" b
= (x1a'+x2a")d - b(x1c'+x2c")
x1c'+ x2 c" d

= x1(a'd - bc') + x2(a"d - bc") = x1

a' b
a" b
+ x2
= x1det(c'1, c2) + x2det(c"1, c2).
c' d
c" d

Tương tự, det(c1, x1c'2+x2c"2) = x1det(c1, c'2) + x2det(c1, c"2).
Nhận xét quan trọng

Nếu hàm g: A a g(A) có 3 tính chất như trên:
1. g(I) =1

2. g(c2, c1) = -g(c1, c2)
3. g(x1c'1+x2c"1, c2) = x1g(c'1, c2) + x2g(c"1, c2); g(c1, x1c'2+x2c"2) = x1g(c1, c'2) + x2g(c1, c"2)

thì g(A) ≡ detA với mọi ma trận A cỡ 2×2.

Thật vậy, ký hiệu e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) là hai cột của I, thì mọi ma trận
a b 
A= 

c d 

có biểu diễn của hai cột qua e1, e2 là c1 = ae1+ce2, c2 = be1+de2.
Theo Tính chất 3
g(A) = g(c1, c2) = g(ae1+ce2, be1+de2) = ag(e1, be1+de2) + cg(e2, be1+de2)
= a[bg(e1, e1) + dg(e1, e2)]+ c[bg(e2, e1) + dg(e2, e2)].
Do Tính chất 1, g(e1, e2) = 1.
Do Tính chất 2, đổi chỗ e1 với e1, ta có g(e1, e1) = -g(e1, e1). Suy ra g(e1, e1) = 0. Tương tự, g(e2, e2)
= 0, còn g(e2, e1) = -g(e1, e2) = -1.
Từ đó ta có g(A) = ad - bc = detA. Như vậy
Tính chất 1, 2, 3 xác định hoàn toàn định thức cấp 2.

Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được:
Có duy nhất một hàm số từ tập các ma trận n×n vào R mà thỏa các Tính chất 1, 2, 3.


Ta ký hiệu hàm số này là det. Khẳng định quan trọng cho phép tổng quát hóa khái niệm định thức
cấp 2.
Định nghĩa Hàm số det từ tập các ma trận n×n vào R, thỏa mãn các Tính chất 1, 2, 3, được gọi là
định thức cấp n. Với A là ma trận n×n ta gọi detA là định thức của A.

Định thức của ma trận A còn được ký hiệu là |A| hoặc det(c1, c2, ..., cn) với cj là cột thứ j của A.

Từ ba tính chất cơ bản nói trên ta suy ra những tính chất sau đây.
Tính chất 3.1.4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0.
Ví dụ 1 Giả sử det(c1, c2, c3) có c1 = c3. Do Tính chất 2

det(c1, c2, c3) = - det(c3, c2, c1) = - det(c1, c2, c3),
nên det(c1, c2, c3) = 0.
Tính chất 3.1.5 detA không đổi khi trừ một cột của A đi một bội của cột khác của A.
Ví dụ 2 Đối với det(c1, c2, c3) ta thay c2 bởi c2 - xc1, thì do Tính chất 3

det(c1, c2 - xc1, c3) = det(c1, c2, c3) - xdet(c1, c1, c3) = det(c1, c2, c3) - x0 = det(c1, c2, c3).
Tính chất 3.1.6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức của nó bằng 0.
Ví dụ 3 Giả sử det(c1, c2, c3) có c2 = 0 = (0, 0, ..., 0), thì

det(c1, 0, c3) = det(c1, 00, c3) = 0det(c1, 0, c3) = 0.
Tính chất 3.1.7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích các phần tử trên đường chéo =

a11 a 22 L a nn .
Ví dụ 4

a11 a12
0 a 22
0
0

a13
a 23 = a11a22a33.
a33

Tính chất 3.1.8 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi detA ≠ 0.
Tính chất 3.1.9 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, thì det(AB)= detAdetB.


Tính chất 3.1.10 detAT= detA.
Ví dụ 5

a b
a c
=
.
c d
b d

Nhận xét

1) Tính chất 10 thực chất đã nhân đôi bản liệt kê các tính chất của định thức. Mọi tính chất của định
thức đã phát biểu với cột cũng có thể phát biểu cho hàng, chẳng hạn như: Định thức đổi dấu khi
hai hàng đổi chỗ. Nếu ma trận vuông có hàng toàn 0 hoặc hai hàng giống nhau thì định thức của
nó bằng 0. Định thức là một hàm tuyến tính đối với mỗi hàng khi cố định các hàng còn lại.
2) Từ Tính chất 3 và 4 suy ra nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định thức của nó bằng 0.
3) Từ Tính chất 3 suy ra det(cA) = cndetA (với n là cấp của A).
4) AA-1=I nên từ Tính chất 9 suy ra detA-1 = 1/detA.

Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma trận vuông A để đơn giản hóa việc tính detA.
Chẳng hạn ta có thể đưa việc tính detA về việc tính định thức của một ma trận tam giác.
Ví dụ 6 Ta ký hiệu Pαβω là ma trận hoán vị nhận được khi sắp xếp các hàng 1, 2, 3 của ma trận đơn

vị 3×3 thành các hàng α, β, ω.
1



P123 =  1  P231 =

1

 1 

1 P312=

1


1

1



 1 

1


1 P213 =
P132 = 
 1 

 1 
1

 P =

 321

1

1

 1 .


1


Tính định thức của các ma trận hoán vị này.
Giải Mỗi cách sắp xếp 3 số 1, 2, 3 theo một thứ tự nào đó có dạng (α, β,ω) là một hoán vị của

chúng. Có tất cả 3! hoán vị của như vậy.
(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2),
(1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1).
Trừ hoán vị (1, 2, 3), mỗi hoán vị này có thể nhận được từ hoán vị (1, 2, 3) khi thực hiện liên tiếp
một số phép đổi chỗ hai số trong (1, 2, 3):
(1, 2, 3)→(2, 1, 3)→(2, 3, 1)
(1, 2, 3)→(1, 3, 2)

(1, 2, 3)→(1, 3, 2)→(3, 1, 2)

(1, 2, 3)→(2, 1, 3)

(1, 2, 3)→(3, 2, 1).

Mặt khác, những ma trận trên nhận được khi sắp xếp lại các hàng 1, 2, 3 của I theo hoán vị tương
ứng như đã liệt kê ở trên, nên theo Tính chất 2

|P123| = |P231|=|P312| = 1, |P132| = |P213|=|P321| = -1.
Nói chung, có n! ma trận hoán vị cấp n và một nửa có định thức bằng 1, nửa còn lại có định
thức bằng -1. Ma trận hoán vị có định thức bằng 1(tương ứng -1) khi và chỉ khi nó nhận được từ I
nhờ thực hiện liên tiếp một số chẵn (lẻ) phép đổi chỗ các hàng.
Ví dụ 7

Tính định thức
1 + 2a
4
1 + 2b − 5
1 + 2c
6
1 + 2d
2

a
b
c
d

x
x
.
x
x

Giải Theo Tính chất 3 và Nhận xét 2)

1 4
1 −5
1 6
1 2
Ví dụ 8

a x 2a 4 a
b x 2b − 5 b
+
c x 2c
6 c
d x 2d
2 d

x
x
= 0 + 0 = 0.
x
x

Tính định thức
0 1 2
D= 1 0 3.
3 −3 4

Giải Đổi chỗ cột 2 với cột 1

1 0 2
D=- 0 1 3
−3 3 4
Lấy hàng 3 trừ đi (-3) lần hàng 1, ta có
1
D=-0
0

0 2
1 3
3 10

LÊy hµng 3 trõ ®i 3 lÇn hµng 2, ta cã

1
D=-0
0

0
1
0

2
3 = -1.
1

3.2 MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐỊNH THỨC

Ta muốn tìm những công thức tính trực tiếp detA theo các phần tử của ma trận A.

Công thức quan trọng
Ta ký hiệu Pαβ...ω là ma trận hoán vị nhận được khi sắp xếp các hàng 1, 2, ..., n của I thành các hàng
α, β,..., ω.
Ví dụ 1

a
0
0 a12
a11 a12
a
0 a11 0
0 a12 0 a12
+
= 11
= 11
+
+
+
a21 a22 a21 a22
a21 a22
a 21 0 0 a22 a21 0 0 a 22

detA =

=

1 0
0 1
a11a22 +

a12a21= (detP12)a11a22 + (detP21)a12a21.
0 1
1 0

Ta thấy mỗi hoán vị (α, β) của 1, 2 tương ứng với một số hạng (detPαβ)a1αa2β của detA.
Ví dụ 2

Tương tự Ví dụ 1

a11

a12

a13

detA = a 21

a 22

a23 =

a31

a32

a33

a11

a12

+

a 22
a33

a13
a 23 + a 21

a31

a11

a12

+

a32

a13

a 23 + a 21
a32

+

a33

a 22
a31

= (detP123)a11a22a33 + (detP231)a12a23a31 +(detP312)a13a21a32
+ (detP132)a11a23a32 + (detP213)a12a21a33 + (detP321)a13a22a31
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31.
Ta thấy mỗi hoán vị (α, β, ω) của 1, 2, 3 tương ứng với một số hạng (detPαβω)a1αa2βa3ω của detA.
Nói chung ta có
Công thức quan trọng

Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là aij. Với mỗi hoán vị (α, β,..., ω) của 1, 2, ... , n ta thành
lập (detPαβ...ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω. Ta có
detA = tổng tất cả các số hạng dạng (detPαβ...ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω =Σ(detPαβ...ω)a1αa2β⋅⋅⋅anω.

Đối với định thức cấp 3 ta có Quy tắc Sarrus để tìm nhanh các số hạng: Viết thêm hai cột 1

và 2 vào bên phải ma trận A = (aij)

a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32


Những số hạng a11a22a33, a12a23a31, a13a21a32 tương ứng với các "đường chéo đi xuống", còn những
số hạng - a11a23a32, - a12a21a33, - a13a22a31 tương ứng với các "đường chéo đi lên".

Công thức phần phụ đại số
Định nghĩa Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là aij. Bỏ đi hàng i và cột j của A, được ma

trận (n-1)×(n-1), ký hiệu là Mij. Ta gọi số (-1)i+jdetMij là phần phụ đại số của aij, ký hiệu là Cij.
Ví dụ 3 Cho A là ma trận 3×3. Phần phụ đại số của a12 là
a 21 a 23
1+2

C12 = (-1) a
a = -a21a33 + a23a31.
31

33

Ví dụ 4 Theo Ví dụ 2

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33- a23a31) + a13(a21a33 - a22a31)
a 21 a 22
a
a 23
a
a 23
= a11(-1)1+1 22
+ a12(-1)1+2 21
+ a13(-1)1+3 a
a33
31
a 32 a 33
a 31 a33
= a11C11 + a12C12 + a13C13.
Nói chung ta có

Công thức Phần phụ đại số Cho A là ma trận n×n với n ≥ 2. Ta có:

detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin (Khai triển định thức theo hàng i),
detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(Khai triển định thức theo cột j).

Những công thức này còn được gọi là Khai triển Laplace theo hàng hay cột.


Pierre Simon Laplace
(1749 - 1827)

Ví dụ 5 Tính định thức
0 1 2
D= 1 0 3.
3 −3 4

Giải Khai triển theo hàng 1, ta có

D=-

1 3
1 0
+2
= -4 + 9 + 2(-3) = -1.
3 4
3 −3

Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên khai triển định thức theo hàng (hay cột) có

nhiều 0 nhất.

3.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC
Giải hệ phươ

ương
ươ trình tuyến tính
Định lí 3.3.1 (Quy tắc Cramer) Giả sử Ax = b là hệ n×n. Nếu detA≠ 0, thì Ax = b có nghiệm duy

nhất
x1 =

det B1
det B2
det Bn
, x2 =
, ..., xn =
.
det A
det A
det A

Trong đó ma trận Bj nhận được từ A khi thay vectơ b vào cột thứ j của nó.

Ta tìm hiểu chứng minh của định lý này thông qua trường hợp Ax = b là hệ 3×3. Ký hiệu cj là cột j
của A, thì hệ này có dạng phương trình vectơ là x1c1 + x2c2 + x3c3 = b. Do đó
detB1 = det(b, c2, c3) = det(x1c1 + x2c2 + x3c3, c2, c3)


= x1det(c1, c2, c3)+x2det(c2, c2, c3)+x3det(c3, c2, c3).
det(c2, c2, c3) và det(c3, c2, c3) bằng 0 vì có 2 cột giống nhau. Suy ra detB1 = x1detA hay x1 =

det B1
.
det A

Trong A lần lượt thay b vào vị trí của cột 2 và 3, rồi làm tương tự ta tính được x2 và x3. ☺
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

x1 + x2 + x3 = 1
-2x1 + x2
=0
+ x3 = 0.
-4x1
Giải

1 1 1
1 1 1
1 1 1
detA = 7, detB1= 0 1 0 =1, detB2 = − 2 0 0 = 2, detB3 = − 2 1 0 = 4.
0 0 1
−4 0 1
−4 0 0
Theo Quy tắc Cramer
x1 =

1
2
4
, x2 = , x3 = .
7
7
7

Công thức tìm A-1

Định nghĩa Giả sử A là ma trận n×n có các phần tử là aij. Cij là phần phụ đại số của aij. Ma trận
phần phụ đại số của A là

C11 C12
C
C 22
C =  21
 M
M

C n1 C n 2

L C1n 
L C 2 n 
.
O M 

L C nn 

Định lí 3.3.2 Nếu A khả nghịch thì

A-1 = CT/detA.

Ta tìm hiểu cách chứng minh định lý này thông qua trường hợp A là ma trận 3×3. Ta tính
 a11 a12 a13  C11 C 21 C31 
T
AC = a 21 a 22 a 23  C12 C 22 C 32 
 a31 a 32 a 33  C13 C 23 C 33 
Theo quy tắc nhân ma trận, phần tử hàng i, cột j của ACT bằng a i1C j1 + ai 2 C j 2 + ai 3C j 3 .
Khi i = j, theo Khai triển Laplace theo hàng i

a i1Ci1 + a i 2 C i 2 + a i 3C i 3 = detA.
Do đó tất cả các phần tử nằm trên đường chéo của ACT bằng detA.
Khi i = 1, j = 2, từ khai triển Laplace theo hàng 2 suy ra


a11C 21 + a12 C 22 + a13C 23

a11
= a11
a 31

a12
a12
a 32

a13
a13 = 0,
a 33

tức là phần tử nằm ở hàng 1, cột 2 của ACT bằng 0. Tương tự, khi i ≠ j thì
a i1C j1 + ai 2 C j 2 + ai 3C j 3 = 0,
hay là mọi phần tử bên ngoài đường chéo của ACT bằng 0.
Như vậy
0
0 
det A

T
AC =  0
det A

0  = (detA)I
 0
0
det A
Từ đây suy ra A(CT/detA) = I , hay A-1 = CT/detA.

☺

Ví dụ 2 Tìm ma trận nghịch đảo của

0 1 3
A= 1 0 1  .
2 1 0
Giải Khai triển Laplace theo hàng 1, ta có |A| = 5,

C11 = (-1)1+1

0 1
1 1
1 0
=-1, C12 = (-1)1+2
= 2, C13 = (-1)1+3
= 1,
1 0
2 0
2 1

C21 = (-1)2+1

1 3

0 3
0 1
= 3, C22 =(-1)2+2
= -6, C23 = (-1)2+3
= 2,
1 0
2 0
2 1

C31= (-1)3+1

1 3
0 3
0 1
=1, C32 = (-1)3+2
= 3, C33= (-1)3+3
= -1.
0 1
1 1
1 0

Theo định lý trên
1
− 1 3
1
A =  2 − 6 3  .
5
 1
2 − 1
-1

Ứng dụng vào mã hóa tin báo

Phương pháp chung của gửi tin bằng mật mã là gán một số nguyên cho mỗi chữ cái trong bảng và
gửi tin như một dãy số nguyên. Chẳng hạn, tin báo
SEND MONEY
có thể mã hóa thành
5, 8, 10, 21, 7, 2, 10, 8, 3
Trong đó S được biểu diễn bởi 5, E bởi 8,v.v... Đáng tiếc là kiểu mã này nói chung dễ bị phá. Trong
một tin báo dài có thể đoán một số nguyên biểu diễn chữ cái nào dựa vào tần số xuất hiện số này.


Chẳng hạn, nếu 8 là số có tần số xuất hiện lớn nhất trong tin báo bằng mật mã, thì nó dường như
biểu thị chữ E, một chữ cái mà tần số xuất hiện lớn nhất trong tiếng Anh.
Ta có thể dấu tin báo khi sử dụng thêm phép nhân ma trận. Nếu A là một ma trận mà các phần
tử đều nguyên và định thức bằng ±1, thì do A-1 = ±CT, những phần tử của A-1 cũng nguyên. Ta có
thể sử dụng một ma trận để biến đổi tin báo. Tin báo đã biến đổi sẽ khó giải hơn. Để minh họa kỹ
thuật này ta cho
1 2 1 
A = 2 5 3
2 3 2

Tin báo bằng mật mã được đặt vào các cột của một ma trận B
 5 21 10
B =  8 7 8 
10 2 3 

Tích
 31 37 29
AB = 80 83 69 

54 67 50 

cho tin báo bằng mật mã để gửi đi:
31, 80, 54, 37, 83, 67, 29, 69, 50
Người nhận tin có thể giải nó bằng cách nhân với A-1
 1 − 1 1   31 37 29  5 21 10
2
0 − 1 80 83 69  =  8 7 8 

− 4 1 1  54 67 50  10 2 3 
Để xây dựng ma trận mã hóa A, ta có thể bắt đầu với ma trận I và áp dụng liên tiếp phép trừ

một hàng đi một bội nguyên của hàng khác, phép đổi chỗ hai hàng. Ma trận nhận được A sẽ có các
phần tử nguyên và do detA = ±detI = ±1 nên A-1 cũng sẽ có các phần tử nguyên.

Ứng dụng trong Hình học
1) Tích có hướng u × v của u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2, v3) bằng
i

j

u1 u 2
v1 v2

k
u3 = (u2v3-u3v2) i +(u3v1-u1v3) j +(u1v2-u2v1) k .
v3


2) Tích hỗn tạp ( u × v )⋅ w của ba vectơ u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), bằng

u1
det( u , v , w ) = v1
w1

u2
v2
w2

u3
v3 .
w3

3) Thể tích của hình hộp ABCD.A'B'C'D' bằng
|det( AB, AD, AA' )|.

4) Diện tích của tam giác ABC với A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) bằng trị tuyệt đối của
x1
1
x2
2
x3

y1 1
y2 1 .
y3 1

NHỮNG Ý CHÍNH TRONG
BÀI GIẢNG TUẦN 3
1. Định nghĩa định thức cấp n.
2. Các tính chất cơ bản của định thức.

3. Công thức phần phụ đại số và Công thức quan trọng.
4. Một số ứng dụng của định thức: giải hệ tuyến tính, tìm A-1, tính tích có hướng và tích hỗn tạp,

tính diện tích tam giác và thể tích hình hộp.