Bài giải câu IV hình thi vào 10 tỉnh nghệ an

Võ Minh Thành THCS Nghĩa Phú-Nghĩa Đàn-Nghệ An
Bài giải câu 4 đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009 Tỉnh Nghệ An
Đề bài:
Cho đờng tròn (O;R),đờng kính AB cố
định và CD là một đờng kính thay đổi
không trùng với AB.Tiếp tuyến của đờng
tròn (O;R) tại B cắt các đờng thẳng
AC,AD lần lợt tại E và F.
1,Chứng minh rằng BE.BF= 4R
2
2, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đ-
ợc trong đờng tròn
3,Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ
giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn
nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài giải:
1, CD là đờng kính của đờng tròn nên

CAD =1v

V
EAF vuông tại A, AB là
đờng cao của tam giác này nên ta có:
BE.BF = AB
2
= 4R
2
2, Dễ thấy ADBC là hình chữ nhật nên

BAD =

ADC
Mà

BAD =

AEB (cùng phụ với

F
1
)
Suy ra

ADC =

AEB



AEB +

CDF =

AEB +(180
0
-

ADC ) = 180
0
.
Vậy tứ giác CEFD nội tiếp đợc trong đờng tròn

3, Vẽ đờng trung trực của EF cắt EF tại K,vẽ đờng trung trực của CD,hai trung trực này cắt
nhau tại I. Gọi H là giao của AK và CD.
AK là đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông EAF
nên

KAF =

F
1

V
AOD cân tại O nên

OAD =

ADO.


ADO +

KAF =

OAD +

F
1
=

ABF =1v

AHD =1v hay AK

CD


AK// OI (1)
Mặt khác :KI // AO (do cùng vuông góc với EF) (2)
Từ (1) và(2) suy ra AOIK là hình bình hành

KI= AO =R
Do AB cố định nên đờng thẳng EF cố định, IK =R không đổi nên tâm I của đờng tròn ngoại
tiếp tứ giác CEFD luôn chạy trên đờng thẳng song song với đờng thẳng EF cố định và cách
EF một khoảng không đổi bằng R
1
H
K
I
E
F
O
D
C
B
A