Luận văn rã vi phạm số lepton thế hệ của lepton mang điện ei ejγ trong mô hình zee

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ QUỲNH LÂM

RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ
HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN
ei → ej γ
TRONG MÔ HÌNH ZEE

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ QUỲNH LÂM

RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ
HỆ CỦA LEPTON MANG ĐIỆN
ei → ej γ
TRONG MÔ HÌNH ZEE
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8 44 01 03
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HUY THẢO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI—2018


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn
Huy Thảo người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong quá trình
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô tại viện Vật lý Viện khoa học và công nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị cho tối
những kiến thức vô cùng quý báu trong quá trình học tập, nghiên cứu
dưới mái trường Sư phạm 2.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau Đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học
tập và làm việc.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm tới gia đình đã động viên, ủng hộ và
tạo điều kiện về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Lâm


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có. Tôi cũng xin
cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ
rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 18 tháng 06 năm 2018
Học viên

Nguyễn Thị Quỳnh Lâm


Mục lục

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mở đầu

1

1 Giới thiệu mô hình

4

1.1

Một số mở rộng mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Mô hình Zee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2 Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã nhánh
2.1

2.2

15

Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng và rã
vi phạm số lepton thế hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh . . . . . .

17

3 Khảo sát số

34

Kết luận

38

Phụ lục

38

A Các hàm Passarino - Veltman

39

Danh mục các công trình

42


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
Trong Vật lý hạt cơ bản, các hạt cơ bản và các lực tương tác
sinh ra thế giới vật chất. Ngày nay, cùng với sự phát triển của thực
nghiệm dựa trên năng lượng hoạt động ngày càng lớn của các máy
gia tốc hiện tại và tương lai, việc dự đoán, xác định các đặc tính
mới của hạt vật lý trong các mô hình lý thuyết đã và đang đóng
góp nhiều vai trò quan trọng. Để giải thích tính chất của các hạt và
sự tương tác giữa chúng, các nhà Vật lý xây dựng được lý thuyết
mô hình chuẩn (SM), dự đoán hầu hết các hạt đã biết và được thực
nghiệm xác nhận với độ chính xác rất cao. Vì thế mô hình chuẩn
được xem là một mô hình lý thuyết hạt cơ bản thành công nhất.
Tuy nhiên SM vẫn có một số hạn chế nhất định. Trong mô hình
chuẩn các lepton được phân làm ba thế hệ. Mỗi thế hệ bao gồm
một trong các lepton mang điện e, µ, τ và một neutrino phân cực
trái tương ứng. Các neutrino đều có khối lượng bằng không và
không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao
động neutrino). Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối
lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các
neutrino khác thế hệ. Sự chuyển hóa lẫn nhau của các lepton trung
hòa khác thế hệ chính là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế
hệ trong thế giới hạt cơ bản. Điều này vượt ra ngoài dự đoán của
mô hình chuẩn. Vì vậy người ta phải nghiên cứu cơ chế và nguồn

2

gốc sinh khối lượng và dao động neutrino trong các mô hình mở
rộng của mô hình chuẩn.
Một trong số các mô hình được biết đến rộng rãi nhất giải thích
khối lượng neutrino được đề xuất bởi Zee. Mô hình Zee được Anthony Zee đề xuất vào năm 1980, xây dựng bằng cách thêm vào SM
một lưỡng tuyến Higg mới và một đơn tuyến vô hướng mang điện
đơn. Khi đó, khối lượng nhỏ của neutrino được sinh ra ở bậc một
vòng qua hạt ảo là vô hướng mang điện chứa tương tác vi phạm số
lepton thế hệ (LFV) một cách tường minh. Mô hình này được xây
dựng dựa trên mô hình rất phổ biến là hai lưỡng tuyến Higgs, tương
ứng với việc thêm vào SM một lưỡng tuyến Higgs với số lượng tử
giống hệt lưỡng tuyến Higgs trong SM. Tuy nhiên hai lưỡng tuyến
Higgs riêng lẻ không thể sinh được khối lượng neutrino, bởi vì nó
không tạo ra được số hạng tương tác phá vỡ số lepton thế hệ. Vì
vậy, Zee đã thêm vào một đơn tuyến mang điện h+ , cho phép xuất
hiện thêm số hạng tương tác ba trong thế Higgs phá vỡ số lepton
thê hệ. Tương tác này đủ để sinh khối lượng neutrino qua giản đồ
một vòng. Như vậy mô hình Zee sẽ chứa toàn bộ các tương tác đã
có trong mô hình chuẩn, ngoài ra mô hình còn chứa đựng các tương
tác mới ngoài SM, đặc biệt là các tương tác sinh ra các quá trình
rã LFV mà thực nghiệm đang tìm kiếm. Mô hình này được kì vọng
sẽ mang lại cho Vật lý các kết quả rất thú vị, có thể là tín hiệu
vật lý mới được thực nghiệm tìm thấy trong thời gian tới. Vì vậy
tôi chọn đề tài nghiên cứu: “RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ
CỦA LEPTON MANG ĐIỆN ei → ej γ TRONG MÔ HÌNH ZEE”
.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tính tỉ lệ rã nhánh (Br – Branching ratio) cho quá trình rã

3

ei → ej γ trong mô hình Zee, so sánh kết quả với thực nghiệm.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về mô hình Zee.
• Tính biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh của quá trình rã ei → ej γ.
• Khảo sát số và so sánh với thực nghiệm.
4. Đối tượng nghiên cứu.
• Quá trình rã ei → ej γ trong mô hình Zee.
5. Phương pháp nghiên cứu.
• Quy tắc Feynman.
• Lí thuyết trường lượng tử.
• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số.


4

Chương 1
Giới thiệu mô hình
1.1

Một số mở rộng mô hình chuẩn

Mô hình chuẩn là một mô hình thống nhất mô tả tương tác mạnh, tương
tác yếu và tương tác điện từ. Đây là mô hình lí thuyết dựa trên cấu trúc
nhóm chuẩn SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗U (1)Y . Trong đó nhóm đối xứng SU (3)C
mô tả tương tác mạnh và là nhóm đối xứng màu của quark, hạt truyền
tương tác là 8 gluon không khối lượng. Nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y

mô tả tương tác điện yếu, hạt truyền tương tác là 4 boson chuẩn. Phổ
hạt trong mô hình chuẩn được sắp xếp như sau:
- Higgs Boson:


+ 

φ 
 ∼ (1, 2, 1).
Φ=


 0 
φ
- Fermion: được chia thành 2 loại là lepton và các quark được sắp
xếp thành 3 thế hệ, trong đó lepton là đơn tuyến đối với nhóm màu, các
quark là tam tuyến đối với nhóm màu.
Lepton
+ Lepton phân cực trái biến đổi theo lưỡng tuyến SU (2)L và có siêu


5

tích yếu bằng tổng các điện tích của lưỡng tuyến:



 νaL 



La = 



 ∼ (1, 2, −1).
eaL
trong đó a = 1, 2, 3 tương ứng với e, µ, τ .
+ Lepton phân cực phải biến đối theo đơn tuyến SU (2)L : eR , µR , τR ∼
(1, 1, −2).
Quark
1
+ Quark phân cực trái:(uL , dL )T , (cL , sL )T , (tL , bL )T ∼ (3, 2, ).
3
−2
4
).
+ Quark phân cực phải: uR , cR , tR ∼ (3, 1, ) và dR , sR , bR ∼ (3, 1,
3
3
Lagrangian của mô hình chuẩn không kể số hạng động năng hiệp biến
của trường chuẩn là:
L =iLi γ µ Dµ Li + ieRi γ µ Dµ eRi − Yiie Li φeRi + h.c.
+ iQLi γ µ Dµ QLi + iuRi γ µ Dµ uRi + idRi γ µ Dµ dRi
− Yiju QLi φ˜ uRj + Yijd QLi φ dRj + h.c.
+ Dµ φ† Dµ φ − V (φ).
trong đó thế Higgs có biểu thức sau:
V (φ) = −µ2 φ+ φ + λ φ+ φ

2

.

Y
Bµ .
2
Cho dù rất thành công nhưng SM vẫn còn một số hạn chế nhất định:

Đạo hàm hiệp biến định nghĩa như sau Dµ = ∂µ − igT a W a − ig

trong SM các neutrino có khối lượng bằng không và không có sự chuyển
hóa lẫn nhau giữa các lepton thế hệ mặc dù thực nghiệm đã chỉ ra rằng
neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn
nhau giữa các lepton trung hòa khác thế hệ. Chính vì vậy người ta đã
nghiên cứu, xây dựng một số mô hình mở rộng mô hình chuẩn để giải
thích cho vấn dề này. Dưới đây là một số mô hình mở rộng của SM:


6

- Mô hình Seesaw: đây là mô hình đơn giản nhất mở rộng từ mô
hình chuẩn bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrino phân cực phải,
dẫn đến sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới và số hạng khối
lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh khối lượng cho tất cả
các neutrino trong mô hình. Cơ chế này giúp giải thích hợp lí tại sao
neutrino hoạt động có khối lượng nhỏ như đã được thực nghiệm phát
hiện, đồng thời các neutrino mới có khối lượng lớn thoát khỏi tầm phát
hiện của các thiết bị dò hiện nay.
- Mô hình Zee: là mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn bằng cách
thêm vào một lưỡng tuyến Higgs mới biến đổi hoàn toàn giống như mô
hình SM và một đơn tuyến Higgs mang điện đơn, cho phép xuất hiện

thêm số hạng tương tác ba trong thế Higgs phá vỡ số lepton thế hệ,
tương tác này đủ để sinh ra khối lượng neutrino qua giản đồ một vòng.
Tuy nhiên thực nghiệm cho thấy neutrino còn trộn với nhau, góc trộn
của neutrino là không phù hợp với thực nghiệm.
- Mô hình Babu: Babu đã phát triển mô hình Zee bằng cách thêm
vào các hạt mang điện tích đơn h+ và điện tích đôi k ++ . Ở mô hình này
khối lượng neutrino sẽ xuất hiện thông qua bổ đính hai vòng và chỉ ra
được góc trộn neutrino là phù hợp với thực nghiệm.
Trong phạm vi luận văn của mình tôi chỉ dừng lại ở việc nghiên
cứu mô hình Zee để giải quyết vấn đề khối lượng neutrino thông qua bổ
đính một vòng.

1.2

Mô hình Zee

• Phổ hạt mô hình Zee.
Mô hình Zee được Anthony Zee đề xuất vào năm 1980, là một
trong số các mô hình được biết đến rộng rãi nhất giải thích khối
lượng neutrino. Mô hình này được xây dựng bằng cách thêm vào


7

mô hình chuẩn một lưỡng tuyến Higgs mới và một đơn tuyến vô
hướng mang điện đơn. Các hạt trong mô hình được sắp xếp như
sau:[1]
- Lepton: Các hạt phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến, còn
các hạt phân cực phải được xếp vào đơn tuyến của nhóm SU ()2)L
+ ψaL = (νa , ea )TL ∼ (1, 2, −1).

+ eaR ∼ (1, 1, −2).
- Quark: Các hạt phân cực trái được xếp vào lưỡng tuyến, còn
các hạt phân cực phải xếp vào đơn tuyến của nhóm SU (2)L
1
+ QaL = (ua , da )TL ∼ (3, 2, ).
3
4
+ uaR ∼ (3, 1, ).
3
2
+ daR ∼ (3, 1, − ).
3
Với a = 1, 2, 3 tương ứng là chỉ số thế hệ, còn bộ 3 số trong ngoặc
đơn tương ứng là số lượng tử của các nhóm SU (3)C , SU (2)L , U (1)Y .
- Vô hướng:
0
+ Φ 1 = φ+
1 , φ1

T

∼ (1, 2, 1).

0
+ Φ 2 = φ+
2 , φ2

T

∼ (1, 2, 1).

+ h+ ∼ (1, 1, 2).
Thành phần lưỡng tuyến được biểu diễn với sự xuất hiện của các
giá trị trung bình chân không v1 , v2 như sau:


φ+

1

Φ1 = 

1

 √ v1 + φ01R + iφ01I
2


φ+

2

Φ2 = 

1

 √ v2 + φ02R + iφ02I
2







.








.




(1.1)


8

Trong mô hình Zee, thế Higgs tổng quát được viết cụ thể:
λ1 + 2 λ2 + 2
(φ φ1 ) + (φ2 φ2 )
2 1
2
λ5
+

+
+
2
+λ3 (φ+
φ
)(φ
φ
)
+
λ
(φ
φ
)(φ
φ
)
+
(φ+
1
2
4
2
1
1
2
1
2
1 φ2 ) + h.c
2
(1.2)
+µ2h h+ h− + λh (h+ h− )2 + λ6 (h+ h− )(φ+

1 φ1 )

2 +
V =µ21 φ+
1 φ1 + µ2 φ2 φ2 +

+
∗ +
+λ7 (h+ h− )(φ+
2 φ2 ) + µ(φ1 iσ2 φ2 h + h.c)
+
2
+
+
+ −
+(φ+
1 φ2 + φ2 φ1 )(−µ12 + λ8 φ1 φ1 + λ9 φ2 φ2 + λ10 h h ).

• Lagrangian tương tác của mô hình Zee.
Do việc thêm vào các vô hướng mới, Lagrangian tổng quát trong
mô hình Zee là:
Ltot = LSM + LZee .
Trong đó, số hạng thứ nhất là Lagrangian tương tự như đối với
mô hình chuẩn (SM), số hạng thứ hai là đặc trưng cho mô hình Zee.
Lagrangian tương tác Yukawa các lepton ở trạng thái đầu:
LYl = −LL f1+ Φ1 + f2+ Φ2 ER −(LL )C f iσ2 LL h+ −µΦ+ iσ2 Φ∗2 h+ +h.c.
(1.3)
với LL = (L1L , L2L , L3L )T , ER = (E1R , E2R , E3R )T , LCL là liên hợp
điện tích LCL = (LL )C = CLL = CLTL .
f1+ , f2+ là tương tác Yukawa tổng quát.

Từ điều kiện cực tiểu của thế Higgs, ta xác định được khối lượng
của các Higgs boson và Higgs mang điện. Ma trận khối lượng của
các lepton mang điện:
v
mE = √ (cβ f1+ + sβ f2+ )
2
√
2mE
− tβ f2+ .
⇒ f1+ =
cβ v


9

v2
và v = v12 + v22 ≈ 246GeV Ta làm việc trên cơ
v1
sở mE là ma trận khối lượng của lepton mang điện được chéo hóa,

trong đó tβ =

mE = diag(me , mµ , mτ ). Để đơn giản ta chuyển về cơ sở Higgs.
Kí hiệu các trạng thái của Higgs Boson mang điện là:
H1
H2
⇒

Φ1
Φ2

cos β

=

=

sin β

Φ1

− sin β cos β

Φ2

cos β − sin β

H1

sin β

H2

cos β

(1.4)

Φ1 = cβ H1 − sβ H2

⇒

Φ2 = sβ H1 + cβ H2

Khi đó lưỡng tuyến Higgs có dạng:


+
G
.

H1 =
1
√ v + ϕ01 + iG0
2


+
H

.
H2 =
1
√ ϕ02 + ia
2

(1.5)

Với ϕ01 , ϕ02 là trường Higgs CP - chẵn trung hòa, a là trường Higgs
CP - lẻ trung hòa. G+ , G0 là các Goldstone Boson chúng bị ăn bởi
W + , Z.

H+
G+
⇒

φ+
1
φ+
2

=

=

cos β − sin β

φ+
1

sin β

cos β

φ+
2

sin β

+

cos β

− sin β cos β

H

G+

(1.6)


10

A

=

G0
φ0I1
φ0I2

⇒

=

cos β − sin β

φ0I1

sin β

φ0I2

cos β

cos β

sin β

A

− sin β cos β

G0

(1.7)

Sự trộn giữa các trường CP-chẵn φ0R1,2 được mô tả dưới góc trộn α
h

=

H
φ0R1

⇒

− sin α cos α
cos α

=

φ0R2

sin α

− sin α cos α
cos α

sin α

φ0R1
φ0R2

(1.8)

h
H

φ0R1 = −sα h + cα H

⇒

φ0R2 = cα h + sα H

Tương ứng ta có sự trộn các trường CP-chẵn trung hòa ϕ01,2 là:
h
H
⇒

ϕ01
ϕ02

sin(β − α)

=

cos(β − α) − sin(β − α)

ϕ02

sin(β − α)

h

=

cos(β − α)

cos(β − α) − sin(β − α)
⇒

h+
1
h+
2
h

H+

(1.9)

H

ϕ01 = sβ−α h + cβ−α H
ϕ02 = cβ−α h − sβ−α H

=

+

⇒

ϕ01

cos(β − α)

=

sin ϕ

cos ϕ

cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ

cos ϕ

cos ϕ − sin ϕ

h+
H+
h+
1
h+
2

(1.10)


11

⇒

+
h+ = sin ϕh+
1 + cos ϕh2

+
H + = cos ϕh+
1 − sin ϕh2
√
2 2µMW
, M1 , M2 lần lượt là khối lượng
Trong đó sin 2ϕ =
g(m2h+ − m2h+ )
2

1

của boson vô hướng mang điện h+
1,2 .
Tất cả các tương tác được đưa ra từ Lagrangian tổng quát của
mô hình, tuy nhiên chúng tôi chỉ chú ý đến các tương tác dẫn đến
quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ (LFV) ei → ej γ.
Khối lượng bổ đính của neutrino được xác định từ các đóng góp ở
bậc một vòng. Trong cơ sở khối lượng, số hạng khối lượng neutrino
ˆ ν νL .
được viết (1/2)ν c M
L

Trong đó:
ˆ ν U † = A[f m2 + m2 f T − √ v
Mν = U ∗ M
(f mE f2 + f2T mE f T )],
E
E
2cosβ
với U = VP M N S là ma trận trộn PMNS.
Các đỉnh tương tác được xác định thông qua các trạng thái vật
lí. Nghĩa là khi đó ta phải làm việc trong các hệ cơ sở mới mà ma
trận khối lượng của các fermion có dạng chéo. Sự chuyển đổi giữa
cơ sở thế hệ νaL , eaL,R và cơ sở khối lượng được νaL , eaL,R được định
nghĩa như sau:
eaL,R = eaL,R ,
e¯aL,R = e¯aL,R ,
νaL = Uab νbL .
trong đó Uab là các ma trận chuyển cơ sở của các lepton. Ở đây chú
ý rằng:
c

∗ c
= (¯
νaL )c = Uab
ν¯bR ,
ν¯aR
c T
) ,
νac = νa ≡ (νaL , νaR


12

νaL = PL νac = PL νa ,
c
= PR νac = PR νa .
νaR

Các đỉnh tương tác giữa lepton và vô hướng được xác định từ số
hạng Lagrangian Yukawa. Từ các biến đổi trên thay vào biểu thức
Lagrangian Yukawa ta được:
√
+
(f
)
2mE
2
ab
−LYl = νaL
− δab
tβ

cβ
v

+
EbR cϕ h+
1 − sϕ h2

+
− 2(νaL )C fab EbL sϕ h+
1 + ϕz h2

+ EaL

(f2 )+
mE sα δab
+ cβ−α √ ab
−
vcβ
2cβ

+ EaL

(f2 )+
mE cα
δab − sβ−α √ ab
vcβ
2cβ

+ iEaL

(f2 )+
mE tβ
−
δab + √ ab
v
2cβ

EbR h

(1.11)

EbR H
EbR a + h.c.

Các đỉnh tương tác của photon và Higgs mang điện được xác
định từ số hạng Lagrangian chứa số hạng động năng hiệp biến sau:
L = (Dµ H1 )+ (Dµ H1 ) + (Dµ H2 )+ (Dµ H2 ) + (Dµ h+ )+ (Dµ h+ ).
1
∗ Dµ H2 = (∂µ − igW T − ig Bµ )
2
3

=

∂µ H +

trong đó: tw =

0

3

−

ig
2

H+
0

W 3 + tw Bµ

0

H+

0

−W 3 + tw Bµ

0

g
, Wµ3 = cw Zµ + sw Aµ ,
g

−s2w
Zµ + sw Aµ .
Bµ = −sw Zµ + cw Aµ ⇒ tw Bµ =
cw

⇒ Dµ H2 =

∂µ H +
0

ig
−
2

2sw Aµ 0
0

0

H+
0


13

∂µ H + − igsw Aµ H +

=

0

(Dµ H2 )+ =

∂ µ H − − igsw Aµ H − , 0

⇒ (Dµ H2 )+ (Dµ H2 ) = (∂ µ H − + igsw Aµ H − )(∂µ H + − igsw Aµ H + )
= igsw Aµ [−(∂ µ H − )H + + H − (∂µ H + )] (1.12)
∗ Dµ h+ = (∂µ −ig Bµ )h+ = ∂µ h+ −ig cw Aµ h+ = ∂µ h+ −igsw Aµ h+
(Dµ h+ )+ = (∂ µ + ig B µ )h− = ∂ µ h− + ig cw Aµ h−
= ∂ µ h− + igsw Aµ h−
⇒ (Dµ h+ )+ (Dµ h+ ) = (∂ µ h− + igsw Aµ h− )(∂µ h+ − igsw Aµ h+ )
= igsw Aµ [−(∂ µ h− )h+ + h− (∂µ h+ )]

(1.13)

Ở đây ta chỉ xét các tương tác giữa một photon và hai Higgs
mang điện do đó ta bỏ qua số hạng (Dµ H1 )+ (Dµ H1 ) và số hạng
chứa Aµ H − Aµ H + , Aµ h− Aµ h+ , (∂ µ h− )(∂µ h+ ), (∂ µ H − )(∂µ H + ).
Từ 1.12 và 1.13 ta có:
L = igsw Aµ [−(∂ µ H − )H + + H − (∂µ H + )] + [−(∂µ h− )h+ + h− (∂µ h+ )]
= −igsw Aµ

µ −

∂ h , ∂ H

+

= −igsw Aµ

µ

−

h , H

∂ µ h−
1,

−

−

∂ µ h−
2

h+
H+
∂µ h+
∂µ H +
h+
1
h+
2

+

h−
1,

h−
2

∂µ h+
1

∂µ h+
2

+
−
+
µ − +
−
+
= −igsw Aµ {[−(∂ µ h−
1 )h1 + h1 (∂µ h1 )] + [−(∂ h2 )h2 + h2 (∂µ h2 )]}
−
+ −
= −igsw Aµ {[(ip−µ ) + (−ip+µ )]h+
1 h1 + [(ip−µ ) + (−ip+µ )]}h2 h2
−
+ −
= −gsw [(p+µ − p−µ )Aµ h+
1 h1 + (p+µ − p−µ )Aµ h2 h2 ]

(1.14)


14

Tương tác của các boson chuẩn với các fermion mang điện được
xác định từ số hạng Lagrangian của các đa tuyến fermion sau:
Lfkin ⊃

¯ µ Dµ ψ

ψiγ
f

1
1
Dµ ψaL = (∂µ − igW 3 T 3 − ig Bµ )
2
2
=

⇒ Lkin =

∂µ νaL
∂µ eaL

ν¯aL , e¯aL

−

ig
2

g
γµ
2

√

√

0

νaL
eaL
√
2Wµ+

νaL

0

eaL

2Wµ−

0
2Wµ−

√

2Wµ+
0

g
= √ ν¯aL γ µ Wµ+ eaL + e¯aL γ µ Wµ− νaL
2
g
∗
= √ Uab
ν¯b γ µ PL Wµ+ ea + e¯a γ µ Wµ− Uab νb PL

2
g
∗ µ
γ PL ν¯b Wµ+ ea + Uab γ µ PL e¯a Wµ− νb
= √ Uab
2

νaL
eaL
(1.15)


15

Chương 2
Các biểu thức giải tích tính tỉ lệ rã
nhánh
2.1

Đỉnh tương tác liên quan đến đóng góp bậc 1
vòng và rã vi phạm số lepton thế hệ

Từ các kết quả trên ta có các đỉnh tương tác cho các giản đồ rã vi phạm
số lepton thế hệ của lepton mang điện ei → ej γ trong mô hình Zee như
sau:
Bảng 2.1: Đỉnh tương tác liên quan đến quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ trong
mô hình Zee

Đỉnh

Hệ số

Aµ h+ (p+ )h− (p− )

ig (p+ − p− )µ sw

E¯a Wµ− νb

ig
√ Uab γµ PL
2

ν¯a Wµ+ Eb

ig ∗
√ Uab
γµ PL
2

Aµ (q)Wµ+ (p)Wµ− (p )

−ie[(q − p)λ gµν + (p − p )µ gνλ +(p − q)ν gλµ ]


16

−ieγµ

Ea Aµ Ea
E¯a hEb

i

(f + )ab
mE δab sα
− cβ−α √2
vcβ
2cβ

PR +

mE δba sα
(f2 )ab
− cβ−α √
vcβ
2cβ

PL

E¯a HEb

i

(f + )ab mE δab cα
sβ−α √2
−
vcβ
2cβ

(f2 )ab mE δba cα

PR + sβ−α √
−
vcβ
2cβ

PL

E¯a aEb

mE δab tβ (f2+ )ab
− √
v
2cβ
√

E¯a h−
1 νb

icϕ
√

ν¯a h+
1 Eb

E¯a h−
2 νb

ν¯a h+
2 Eb

icϕ

PR −

mE δba tβ (f2 )ab
−√
v
2cβ

PL

2mE δab (f2 )ab
−
vtβ
cβ

PL Uab + 2ifab sϕ Uab PR

2mE δab (f2 )ab
−
vtβ
cβ

∗
∗
PR Uab
+ 2ifab sϕ Uab
PL

isϕ

(f2+ )ab
−
cβ

isϕ

(f2+ )ab
−
cβ

√

√

2mE δab
vtβ

PL Uab + 2ifab cϕ Uab PR

2mE δab
vtβ

∗
∗
PR Uab
+ 2ifab cϕ Uab
PL

17

2.2

Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh

Xem xét quá trình rã vi phạm của lepton mang điện ei → ej γ, trong
đó (ei , ej ) = (τ, µ), (τ, e), (µ, e). Biên độ rã được viết dưới dạng:[2, 3]
M = 2(p. )[CL u¯j (p2 )PL u1 (p1 ) + CR u¯j (p2 )PR u1 (p1 )]

(2.1)

+ DL u¯j (p2 ) PL u1 (p1 ) + DR u¯j (p2 ) PR u1 (p1 ).
với

µ

là vectơ phân cực của photon. Từ điều kiện bất biến chuẩn dẫn

tới mối liên hệ của hai số hạng DL,R và CL,R :
DL = −m1 CR − m2 CL , DR = −m1 CL − m2 CR .

(2.2)

Do đó bề rộng rã của quá trình ei → ej γ có thể được viết dưới dạng
chỉ phụ thuộc vào hàm CL,R như sau:
(m21 − m22 )3
(|CL |2 + |CR |2 )
Γ(ei → ej γ) =
3

16πm1
m61
=

m22
1− 2
m1
16πm31

3

(2.3)

(|CL |2 + |CR |2 )

m31
(|CL |2 + |CR |2 )
16π

do

m22
m21

1 .

trong đó m1 , m2 là khối lượng của trạng thái đầu và cuối của lepton
ei , ej .
Ta có biểu thức bề rộng rã nhánh như sau:
G2F m51

Γ(ei → ej ν¯j νi ) =
.
192π 3
Các biểu thức tỉ lệ rã nhánh:
Br(ei → ej γ) =

Br(ei → ej ν¯j νi ) =

Γ(ei → ej γ)
.
Γei
Γ(ei → ej ν¯j νi )
.
Γei

(2.4)


18

Khi đó ta có:
Br(ei → ej γ)
Γ(ei → ej γ)
m31
192π 3
2
2
=
=
(|CL | + |CR | ) × 2 5

Br(ei → ej ν¯j νi ) Γ(ei → ej ν¯j νi ) 16π
GF m1
(2.5)
12π 2
2
2
= 2 2 (|CL | + |CR | ).
GF m1
Vì vậy trong quá trình tính toán biên độ rã tôi chỉ xét đến các số
hạng liên quan đến CL , CR mà không tính đến các số hạng liên quan đến
DL , DR .
Xét trong chuẩn Unitary, các giản đồ Feynman đóng góp vào quá
trình rã vi phạm số lepton và biểu thức tính biên độ cụ thể được xét chi
tiết như sau:
Giản đồ 1:

Hình 2.1: Giản đồ 1
3

iM(1) =
b=1

i (− k + M0 ) ig ν∗
d4 k
ig ν
√ Uib γρ PL ui
γν PL
uj √ Ujb
4
(2π)

k 2 − M02
2
2

−i
(k + p2 )ν (k + p2 )α
να
×
g −
(k + p2 )2 − M22
M22
× −ie {(−q + k + p2 )β gµα + (−2k − p2 − p1 )µ gαβ
−i
(k + p1 )ρ (k + p1 )β
ρβ
+(k + p1 + q)α gβµ }
g −
(k + p1 )2 − M12
M12
3

=
b=1

d4 k g 2 e ν ν∗ uj γν PL (− k + M0 )γρ PL ui
U U
(2π)4 2 jb ib
D0 D1 D2

µ

µ


19

× g

να

(k + p2 )ν (k + p2 )α
−
M22

g

ρβ

(k + p1 )ρ (k + p1 )β
−
M12

× {(2p2 + k − p1 )β gµα − (2k + p2 + p1 )µ gαβ
+(k + 2p1 − p2 )α gβµ }
3

d4 k g 2 e ν ν∗ uj γν kγρ PL ui
U U
(2π)4 2 jb ib
D0 D1 D2

=−
b=1

× g

να

(k + p2 )ν (k + p2 )α
−
M22

g

ρβ

µ

(k + p1 )ρ (k + p1 )β
−
M12

× {(2p2 + k − p1 )β gµα − (2k + p2 + p1 )µ gαβ
+(k + 2p1 − p2 )α gβµ }
g2e
=−
2

3
ν ν∗

Ujb
Uib (P1 + P2 + P3 )
b=1

Trong đó:
P1 =

d4 k uj γν kγρ PL ui µ να ρβ
g g {(2p2 + k − p1 )β gµα
(2π)4
D0 D1 D2
− (2k + p2 + p1 )µ gαβ + (k + 2p1 − p2 )α gβµ }

=

d4 k uj γν kγρ PL ui να ρβ
g g {(2p2 + k − p1 )β
(2π)4 D0 D1 D2

α

− 2gαβ (k + p1 ) + (k + 2p1 − p2 )α β }
=

d4 k uj γν kγρ PL ui
{(2p2 + k − p1 )ρ
4
(2π)
D0 D1 D2

ν

− 2gνρ (k + p1 ) + (k + 2p1 − p2 )ν ρ }
d4 k uj
k(2 p2 + k− p1 )PL ui
=
(2π)4
D0 D1 D2
d4 k 2uj k(k. + p1 . )PL ui
−
(2π)4
D0 D1 D2
d4 k uj ( k + 2 p1 − p2 ) k PL ui
+
(2π)4
D0 D1 D2
4
d k 2uj
k p2 PL ui
d4 k uj k 2 PL ui
=
+
(2π)4
D0 D1 D2
(2π)4 D0 D1 D2


20

−

−
+
=
−
−
+
+

P2 = −

k p1 PL ui
d4 k uj
d4 k 2uj kk. PL ui
−
(2π)4
D0 D1 D2
(2π)4 D0 D1 D2
d4 k 2p1 . uj kPL ui
d4 k uj k 2 PL ui
+
(2π)4 D0 D1 D2
(2π)4 D0 D1 D2
d4 k 2uj p1 k PL ui
d4 k uj p2 k PL ui
−
(2π)4
D0 D1 D2
(2π)4
D0 D1 D2
4

d k 2uj (2 kp2 − 2p2 k+ p2
k)PL ui
(2π)4
D0 D1 D2
d4 k uj
k p1 PL ui
d4 k 2uj kk. PL ui
−
(2π)4
D0 D1 D2
(2π)4 D0 D1 D2
d4 k uj k 2 PL ui
d4 k 2p1 . uj kPL ui
+
(2π)4 D0 D1 D2
(2π)4 D0 D1 D2
d4 k 2uj (2kp1 − 2p1 k+ k
p1 )PL ui
(2π)4
D0 D1 D2
d4 k uj k 2 PL ui
d4 k uj p2 k PL ui
−
(2π)4 D0 D1 D2
(2π)4
D0 D1 D2

1
d4 k
uj γν kγρ PL ui µ [g να (k + p1 )ρ (k + p1 )β

2
4
(2π) M2 D0 D1 D2

+ g ρβ (k + p2 )ν (k + p2 )α ]{(2p2 + k − p1 )β gµα
− (2k + p2 + p1 )µ gαβ + (k + 2p1 − p2 )α gβµ }
=−
+
−
−
+
−

d4 k uj
k( k+ p1 )(k + p1 )(2p2 + k − p1 )PL ui
(2π)4
M22 D0 D1 D2
d4 k 2uj ( k+ p1 ) k( k+ p1 )(k. + p1 . )PL ui
(2π)4
M22 D0 D1 D2
d4 k uj ( k + 2 p1 − p2 ) k( k+ p1 )(k. + p1 . )PL ui
(2π)4
M22 D0 D1 D2
d4 k uj ( k+ p2 ) k( k + 2 p2 − p1 )(k. + p2 . )PL ui
(2π)4
M22 D0 D1 D2
d4 k 2uj ( k+ p2 ) k( k+ p2 )(k. + p1 . )PL ui
(2π)4
M22 D0 D1 D2
d4 k uj ( k+ p2 ) k (k + p2 )(2p1 + k − p2 )PL ui

(2π)4
M22 D0 D1 D2