Các tính chất vi phân của hàm nửa lõm và ứng dụng (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ MINH THU

CÁC TÍNH CHẤT VI PHÂN
CỦA HÀM NỬA LÕM VÀ
ỨNG DỤNG

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Demo Version - Select.Pdf SDK

Batch PDF Me
Huế, năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ MINH THU

CÁC TÍNH CHẤT VI PHÂN
CỦA HÀM NỬA LÕM VÀ
ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Select.Pdf SDK
NgườiDemo
hướng Version
dẫn khoa -học:
PGS. TS .NGUYỄN HOÀNG

Batch PDF Me
Huế, năm 2014


Mục lục

Danh mục các kí hiệu

3

Lời nói đầu

4

Chương 1

Các tính chất vi phân của hàm lõm

6

1.1

Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Hàm lõm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Tính
liênVersion
tục của -hàm
lõm, hàmSDK
nửa liên tục trên.
Demo
Select.Pdf

9

1.4

Trên vi phân của hàm lõm, phép toán tính đơn
điệu của trên vi phân và gradient. . . . . . . . . .

Chương 2
2.1

2.2

10

Các tính chất vi phân của hàm nửa lõm 14

Hàm nửa lõm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . .

14

2.1.2

Hàm nửa lõm với modulus tuyến tính . . .

20

2.1.3

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Trên vi phân của hàm nửa lõm . . . . . . . . . .

28

Chương 3

Một số ứng dụng vào phương trình

Hamilton-Jacobi

32

3.1

32

Phương trình Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . .
1


3.2

3.1.1

Nghiệm viscosity . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1.2

Tính nửa lõm và nghiệm Viscosity . . . . .

39

Lan truyền của tập kì dị. . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2.1

Sự lan truyền dọc cung Lipschitz . . . . .

44

3.2.2

Tập kì dị với chiều cao hơn . . . . . . . . .

46

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

Demo Version - Select.Pdf SDK

2

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Chúng ta dùng các kí hiệu sau đây:
• Trong không gian Rn , chuẩn được cho bởi . là chuẩn
Euclide thông thường.
• Với mọi x, y ∈ Rn , tích vô hướng của hai vector x, y kí hiệu
là x, y .
• [x, y] là đoạn thẳng với hai điểm đầu nút là x, y, với mọi
x, y ∈ Rn .
• Br (x) hay B(x, r) là hình cầu mở tâm x, bán kính r. Tại
x = 0 ta có thể kí hiệu đơn giản hơn bởi Br .
• dC (x) là khoảng cách từ điểm x ∈ Rn tùy ý đến tập C.
• dist(S, C) là khoảng cách từ tập A đến tập B. Nghĩa là
dist(S, C) = min{dC (x) với mọi x ∈ S}.

Demo
Version
Select.Pdf
SDK
• W k·∞
(Rn ) là
tập hợp- tất
cả các hàm
có hàm suy rộng có
đạo hàm riêng đến cấp k (không gian Sobolev).
• dim D+ u(x0 ) là số chiều của D+ u tại x0 .
• Liploc Ω là tập tất cả các hàm liên tục Lipschitz địa phương
trên Ω.
• diamD+ u(x) là bán kính của D+ u(x).

3


LỜI NÓI ĐẦU
Trong những thập kỷ gần đây, giải tích không trơn là một
hướng phát triển của ngành giải tích, có nhiệm vụ nghiên cứu
tính chất các hàm số không khả vi theo nghĩa cổ điển. Lớp hàm
khá gần với hàm khả vi trên là các hàm lồi hoặc lõm vì những
hàm như vậy là khả vi hầu khắp nơi trên miền xác định. Mở rộng
ra, người ta xây dựng khái niệm hàm nửa lõm (hoặc nửa lồi).
Những hàm này tuy không có được “dáng điệu lõm” nhưng vẫn
giữ được những tính chất quan trọng của hàm lõm và có nhiều
ứng dụng quan trọng khi nghiên cứu các bài toán phi tuyến.
Có rất nhiều cách để giới thiệu “hàm nửa lõm” như ta có thể
nói rằng hàm là hàm nửa lõm nếu nó có thể biễu diễn địa phương
như tổng của một hàm lõm cộng với hàm trơn.
Các nghiên cứu hiện đại về phương trình Hamilton-Jacobi
có nhiều thành tựu nổi bật với các khái niệm nghiệm suy rộng

Demo Version - Select.Pdf SDK

như nghiệm Lipschitz, nghiệm viscosity,. . . Trong các thập niên
1950-1980, các nhà toán học nghiên cứu về nghiệm suy rộng
Lipschitz. Các định lý về sự tồn tại nghiệm được thiết lập nhờ
phương pháp biến phân, phương pháp triệt tiêu độ nhớt nhưng
tính duy nhất nghiệm là bài toán khó. Do vậy, người ta đưa ra
khái niệm hàm nửa lõm và với một số điều kiện của Hamiltonian,
nghiệm Lipschitz là duy nhất trong lớp hàm nửa lõm. Từ thập
niên 1980 trở đi, nghiệm viscosity xuất hiện. Mặc dù tính duy

nhất của nghiệm viscosity không cần kết hợp điều kiện hàm nửa
lõm nhưng hàm nửa lõm vẫn cần thiết trong nghiên cứu các tính
chất chính quy của nghiệm viscosity, để làm đẹp và hoàn thiện
thêm kết quả nghiệm viscosity.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Huế dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo PGS.
4


TS. Nguyễn Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất
đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm
trong học tập và nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau
đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Huế.
Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong
tổ Giải tích của khoa Toán - Trường Đại học Huế đã nhiệt tình
giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập.
Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn
bè, đặc biệt là bạn bè trong lớp Cao học K21 - chuyên ngành
Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt
quá trình học tâp và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể
tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy cô và
bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.

Demo Version - Select.Pdf SDK

Huế, ngày 1 tháng 5 năm 2014
Tác giả
Hoàng Thị Minh Thu

5