Không gian lp,q và một số bất đẳng thức cơ bản (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU

KHÔNG GIAN Lp,q
VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG
THỨC CƠ BẢN
Demo Version - Select.Pdf SDK

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG

HUẾ, 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn
là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và
chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào
khác.
Dương Thị Quỳnh Châu

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo
của TS. Trương Văn Thương. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính
trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy đối với bản thân
tôi không những trong thời gian làm luận văn mà còn trong suốt quá
trình học tập.
Tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy
cô đã giảng dạy Lớp Toán Giải Tích khóa XXI cũng như toàn thể quý
thầy cô Khoa Toán Trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến
thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
học tập cũng như trong thời gian thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,
bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường
học tập vừa qua.
Huế, tháng 9 năm 2014
Dương Thị Quỳnh Châu
Demo Version - Select.Pdf SDK

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các kí hiệu và định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm
sắp xếp
giảm dần
. . . . . . SDK
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Demo
Version
- Select.Pdf
1.3 Một số bất đẳng thức trong không gian Lp . . . . . . . . . . . .

4
4

7
15

không gian Lp,q
Định nghĩa các không gian Lp,q . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số tính chất của hàm . pq . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một số tính chất của không gian Lp,q . . . . . . . . . . . . . . .

16
16
19
26

Lp,q
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

35
35
38
42

2 Các
2.1
2.2
2.3

3 Một số bất đẳng thức cơ bản trong không
3.1 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . .

3.2 Bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii . . . . .
3.3 Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov . . . .

gian
. . .
. . .
. . .

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

1


Mở đầu
Lý thuyết hàm là một ngành quan trọng của giải tích toán học nghiên cứu
lớp gồm các hàm đo được trên một không gian có độ đo. Với các cấu trúc đại
số và tôpô trên lớp các hàm ta được cấu trúc của các không gian tựa chuẩn,
không gian định chuẩn. Các kết quả nghiên cứu về tính chất đầy đủ, tính khả
ly, . . . có được phụ thuộc vào các lớp không gian hàm. Vào những năm 1950,
G. Lorentz đã nghiên cứu và đưa ra một không gian mới đó là không gian Lp,q .
Đây là không gian tổng quát hơn không gian Banach Lp .
(Ω, Σ, µ) là không gian độ đo σ-hữu hạn và 0 < p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞. Khi đó,
không gian Lp,q (Ω, µ) (xem [11]) là tập hợp tất cả các hàm f đo được sao cho
f pq < ∞ với


1
∞
q
q

1

dt
t p f ∗-(t)
nếu
0 < p < ∞, 0 < q < ∞
DemoVersion
Select.Pdf
SDK
t
f pq =
0
1


nếu 0 < p ≤ ∞, q = ∞
sup t p f ∗ (t)
t>0

trong đó
µf (λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ 0
f ∗ (t) = inf{λ ≥ 0 : µf (λ) ≤ t}, t ≥ 0.
Không gian (Lp,q , . pq ) đã được chứng minh trong [11] là không gian định chuẩn
khi và chỉ khi 1 ≤ q ≤ p < ∞ hoặc p = q = ∞. Một phần của luận văn chúng

tôi sẽ giới thiệu về không gian Lp,q và một số tính chất của không gian Lp,q .
Trên lớp không gian Lp , các nhà toán học trong và ngoài nước đã nghiên
cứu một số bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất
đẳng thức Bernstein-Nikolski, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov. Trong luận
văn này chúng tôi sẽ chứng minh bất đẳng thức Holder trong không gian Lp,q
và trường hợp tổng quát cho n hàm với độ đo phi hạt nhân. Từ đó, chứng minh
bất đẳng thức nội suy trong không gian Lp,q . Phần tiếp theo của luận văn chúng
tôi sẽ trình bày kết quả nghiên cứu của H. H. Bang và N. M. Cong trong bài
báo [4] về bất đẳng thức Bernstein-Nikolski.
2


Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov
f (k)

n
∞

≤ K(k, n) f

n−k
∞

f (n)

k
∞,

với 0 < k < n được nghiên cứu đầu tiên bởi Landau và Hadamard với trường
hợp n = 2. Năm 1939, Kolmogorov đã chứng minh bất đẳng thức trên R với

hằng số tối ưu Ck,n . Sau đó Hadamard, Gorny, Matorin nghiên cứu trên R+
nhưng hằng số chưa tối ưu. Năm 1970, Schoenberg và Cavaretta đã tìm ra hằng
+
tối ưu cho bất đẳng thức trên R+ . Năm 2004, H. H. Bang và M. T. Thu
số Ck,n
đã chứng minh bất đẳng thức cho hàm số trong không gian Nφ (R+ ) với hằng
+
. Dựa vào phương pháp chứng minh của tài liệu [4], chúng tôi sẽ chứng
số Ck,n
minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng cho không gian Lp,q (R+ ) với
+
hằng số Ck,n
trong đó 1 < q ≤ p < ∞.
Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu, hệ thống hóa các tính chất của không
gian Lp,q , tổng quan một số kết quả đã được nghiên cứu và chứng minh một số
bất đẳng thức trong không gian Lp,q .
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Hệ thống hóa một số khái niệm không gian hàm, hàm suy rộng, biến đổi
Fourier, hàm trơn hóa. Trình bày một số kiến thức về hàm phân bố, hàm sắp
Demo
- Select.Pdf
xếp giảm dần,
mộtVersion
số bất đẳng
thức trongSDK
không gian Lp cần thiết cho các
chương sau.
Chương 2: Các không gian Lpq .
Giới thiệu về không gian Lpq , chuẩn trong không gian Lpq và một số tính

chất của không gian Lpq .
Chương 3: Một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lpq .
Chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian Lpq như bất
đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Landau- Kolmogrov và
tổng quan kết quả về bất đẳng thức Bernstein-Nikolskii.

3