MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GRUSS TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR
¨
USS
TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Bình Định - Năm 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
HUỲNH ĐỨC KHÁNH
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC GR
¨
USS
TRONG KHÔNG GIAN n CHUẨN
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC
Bình Định - Năm 2013
MỤC LỤC
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến tính 2-chuẩn. . . . . 4
1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn . . . 11
1.2.1. Không gian n-tích vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2. Không gian tuyến tính n-chuẩn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong không gian n-chuẩn . 13
1.3.1. Trực giao trong không gian 2-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2. Trực giao trong không gian n-chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn . . . 20
2.1.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn thực . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-chuẩn tổng quát . . . . . 30
2.2. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn . . . . 41
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Quyết định giao đề tài luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
MỞ ĐẦU
Trong Toán học, có rất nhiều bài toán vô cùng phức tạp, nhưng nếu sử dụng
công cụ khác thì có thể vô cùng khó khăn để giải quyết chúng nhưng nếu áp
dụng bất đẳng thức thích hợp thì bài toán sẽ là điều vô cùng dễ dàng. Hoặc có
nhiều định lí, mệnh đề, hệ quả muốn hoàn thành việc chứng minh các đánh giá,
ước lượng thì điều cần thiết không thể thiếu sự xuất hiện của bất đẳng thức.
Cùng với vai trò của các bất đẳng thức như bất đẳng thức Holder; Bất đẳng
thức Minkowski;. . . , năm 1935, nhà toán học người Đức GERHARD GR
¨
USS đã
chứng minh một bất đẳng thức tích phân cho sự liên hệ giữa tích phân
của một tích hai hàm số và tích phân của từng hàm số và nó được mang
tên ông đó là bất đẳng thức Gr¨uss, nó cho nhiều ứng dụng và áp dụng nhiều
trong lĩnh vực khác nhau của Toán học.
Hiện nay rất nhiều nhà toán học trên thế giới như S. S. Dragomir, Y. J. Cho,
S. M. Kang, S. S. Kim, J. S. Jung, Pau C. S. Lin, Seong Sik Kim, Aleksander
Misiak, J. Roumeliotis, Y. H. Kim, M. Mati´c, N. Urievi´c, Dah-Yan Hwang, Gou-
Sheng Yang, D. S. Mitrinovi´c, J. E. Peˇcari´c, A. M. Fink, I. Budimir . . . vv nghiên

cứu về bất đẳng thức này và có nhiều kết quả của nó trong các không gian Hilbert,
không gian vectơ tuyến tính, không gian n-chuẩn,
Dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC, đề tài Một số
bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian n-chuẩn đã được chọn làm đề tài
luận văn Thạc sĩ toán học. Nội dung luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và
Tài liệu tham khảo, được chia làm hai chương:
Chương 1, Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày lại các kiến
thức cơ bản liên quan đến luận văn như: không gian 2-tích vô hướng, không gian
tuyến tính 2-chuẩn, không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến tính n-chuẩn,
trực giao trong không gian tuyến tính 2-chuẩn và trực giao trong không gian
tuyến tính n-chuẩn. Ngoài ra, tác giả còn nêu ra và chứng minh một số định lý
cơ bản để dùng cho chương 2.
Chương 2, Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss. Đây là nội dung chính của
luận văn. Trong chương này trình bày một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong
không gian 2-chuẩn và cả trong không gian n-chuẩn.
2
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Thầy PGS.
TS. ĐINH THANH ĐỨC. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sự kính
trọng sâu sắc nhất đến Thầy hướng dẫn, Thầy đã tận tình trong việc giảng dạy,
cũng như giúp đỡ và truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và kinh
nghiệm trong quá trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn
này một cách tốt nhất. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong
Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa Toán, Trung tâm Thông tin - Tư liệu
Trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp Cao
học Toán khóa 14 đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Nhân đây, tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán
khóa 14, gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, mặc dù tác giả đã có sự đầu tư nghiêm túc, sự cố gắng và nỗ lực

hết sức, nhưng do điều kiện thời gian, trình độ kiến thức có hạn, kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tác giả rất mong nhận được sự thông cảm, những lời góp ý chân thành của quý
thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Các khái niệm về 2-tích vô hướng và không gian 2-tích vô hướng đã được chú
ý nghiên cứu của nhiều tác giả trong ba thập kỷ qua. Một bài trình bày có hệ
thống về các kết quả gần đây liên quan đến lý thuyết về không gian 2-tích vô
hướng cũng như một danh sách đầy đủ các tài liệu tham khảo liên quan có thể
được tìm thấy trong cuốn sách [1].
Các khái niệm về không gian tuyến tính 2-chuẩn được đưa ra và nghiên cứu
bởi S. G¨ahler vào năm 1960. Chủ đề đã được nghiên cứu bởi những nhà toán
học lớn như A. White, Y. J. Cho, R. W. Freese, S. C. Gupta, A. H. Siddique
và những người khác, họ đóng góp rất nhiều cho việc mở rộng này của nghành
Toán học. Gần đây nhiều nhà toán học đã đưa ra những kết quả trong không
gian 2-chuẩn, tương tự với điều đó trong không gian định chuẩn cổ điển.
Một số tính chất trong không gian 2-tích vô hướng tương tự như không gian
tích thông thường. Các không gian này thỏa mãn một nguyên lý hoàn toàn tương
tự như đẳng thức hình bình hành, cụ thể
a + b, c
2
+ a − b, c
2
= 2

a, c
2
+ b, c
2


.
Không gian tuyến tính 2-chuẩn thỏa mãn đẳng thức hình bình hành đã xác định
trên nó một 2-tích vô hướng được suy ra từ 2-chuẩn
a, b =

(a, a| b),
chính là 2-chuẩn đưa ra cho không gian.
4
1.1. Không gian 2-tích vô hướng, không gian tuyến
tính 2-chuẩn
1.1.1. Không gian 2-tích vô hướng
Định nghĩa 1.1. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên
trường số K (K = R, C) và (·,·|·) là một hàm K-giá trị trên X × X × X thỏa mãn
các điều kiện sau
(2I
1
) (x, x|z) ≥ 0,
(x, x|z) = 0 khi và chỉ khi x và z phụ thuộc tuyến tính,
(2I
2
) (x, x|z) = (z, z|x),
(2I
3
) (x, y|z) = (y, x|z),
(2I
4
) (αx, y|z) = α (x, y|z) với mọi α ∈ K,
(2I
5

) (x + x

, y|z) = (x, y|z) + (x

, y|z).
Khi đó (·,·|·) được gọi là 2-tích vô hướng trên X và (X, (·,·|·)) được gọi là một
không gian 2-tích vô hướng (hoặc một không gian 2-tiền Hilbert).
Từ định nghĩa của 2-tích vô hướng (·,·|·), ta có một số tính chất (xem [1])
1) Nếu K = R, thì (2I
3
) trở thành
(x, y| z) = (y, x| z) .
2) Từ (2I
3
) và (2I
4
), ta có
(0, y| z) = 0, (x, 0| z) = 0
và
(x, α y| z) = α (x, y| z) . (1.1)
3) Sử dụng từ (2I
2
) đến (2I
5
), ta có
(z, z| x ± y) = (x ± y, x ± y| z) = (x, x| z) + (y, y| z) ± 2 Re (x, y| z)
và
Re (x, y| z) =
1
4

[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] . (1.2)
Khi K = R, thì (1.2) trở thành
(x, y| z) =
1
4
[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] (1.3)
5
và dễ dàng thấy rằng
(x, y| αz) = α
2
(x, y| z) , ∀α ∈ R. (1.4)
Trong trường hợp K = C, sử dụng (1.1) và (1.2), ta có
Im (x, y| z) = Re [−i (x, y| z)] =
1
4
[(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] ,
kết hợp với (1.2), ta được
(x, y| z) =
1
4
[(z, z| x + y) − (z, z| x − y)] +
i
4
[(z, z| x + iy) − (z, z| x − iy)] .
(1.5)
Sử dụng công thức trên và (1.1), ta được
(x, y| αz) = |α|
2
(x, y| z) , ∀α ∈ C. (1.6)
Tuy nhiên, với α ∈ R, thì (1.6) trở thành (1.4). Cũng từ (1.6) ta có được

(x, y| 0) = 0.
4) Cho tùy ý ba vectơ x, y, z ∈ X, xét vectơ u = (y, y| z) x − (x, y| z) y. Từ
(2I
1
), ta biết rằng (u, u| z) ≥ 0 với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u và x là
phụ thuộc tuyến tính. Từ bất đẳng thức (u, u| z) ≥ 0 có thể viết rằng
(y, y| z)

(x, x| z) (y, y| z) − |(x, y| z)|
2

≥ 0. (1.7)
Cho x = z, thì (1.7) trở thành
− (y, y| z)|(z, y| z)|
2
≥ 0,
điều đó có nghĩa là
(z, y| z) = (y, z| z) = 0 (1.8)
với y và z là độc lập tuyến tính. Rõ ràng, khi y và z là phụ thuộc tuyến
tính thì (1.8) cũng đúng. Do đó (1.8) là đúng với bất kỳ hai vectơ y, z ∈ X.
Bây giờ, nếu y và z là độc lập tuyến tính thì (y, y| z) ≥ 0 và từ (1.7), ta có
bất đẳng thức sau
|(x, y| z)| ≤ (x, x| z)
1
2
(y, y| z)
1
2
.
(1.9)

Bất đẳng thức (1.9) là nội dung của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong
không gian 2-tích vô hướng.
6
Ví dụ 1.1. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian tích vô hướng thì 2-tích vô hướng
(·,·|·) được xác định trên X bởi
(x, y| z) :=






(x| y) (x| z)
(y| z) (z| z)






= (x| y)z
2
− (x| z) (y| z)
với mọi x, y, z ∈ X.
Chứng minh. (2I
1
) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.9), ta có
(x, x| z) :=







(x| x) (x| z)
(x| z) (z| z)






= x
2
z
2
− (x| z)
2
≥ 0.
Hơn nữa (x, x|z ) = 0 khi và chỉ khi (x, x) (z, z) = (x, z)
2
tức là đẳng thức trong
bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi
x và z phụ thuộc tuyến tính.
(2I
2
) Ta có
(x, x|z ) = (x, x) (z, z) − (x, z)
2
và

(z, z|x) = (z, z) (x, x)− (z, x)
2
.
Mà (x, z) = (z, x), do đó ta được (x, x|z ) = (z, z|x).
(2I
3
) Do






(x, y) (x, z)
(y, z) (z, z)






=






(y, x) (y, z)
(x, z) (z, z)







nên (x, y|z ) = (y, x|z ) .
(2I
4
) Ta có
(αx, y|z ) = (αx, y) (z, z) − (αx, z) (y, z)
= α (x, y) (z, z) − α (x, z) (y, z)
= α ((x, y) (z, z) − (x, z) (y, z))
= α (x, y |z ).
(2I
5
) Ta có
(x + x

, y|z ) = (x + x

, y) (z, z) − (x + x

, z) (y, z)
= (x, y) (z, z) + (x

, y) (z, z) − (x, z) (y, z) − (x

, z) (y, z)
= (x, y) (z, z) − (x, z) (y, z) + (x


, y) (z, z) − (x

, z) (y, z)
= (x, y|z ) + (x

, y|z ).
7
1.1.2. Không gian tuyến tính 2-chuẩn
Định nghĩa 1.2. [1] Cho X là không gian tuyến tính có số chiều lớn hơn 1 trên
trường số K (K = R, C) và ·,· là hàm lấy giá trị thực trên X × X thỏa mãn các
điều kiện sau
(2N
1
) x, y ≥ 0 và x, y = 0 khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính,
(2N
2
) x, y = y, x,
(2N
3
) αx, y = |α|x, y với mọi α ∈ K,
(2N
4
) x, y + z ≤ x, y + x, z.
Khi đó ·,· được gọi là 2-chuẩn trên X và (X,·,·) được gọi là một không
gian tuyến tính 2-chuẩn.
Ví dụ 1.2. Cho (X, (·,·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng. Khi đó ánh xạ
x, y =

(x, x|y), ∀x, y ∈ X

xác định một 2-chuẩn trên X. Khi đó ta nói chuẩn x, y được cảm sinh từ tích
vô hướng (x, x|y).
Chứng minh. Ta kiểm tra các tính chất của 2-chuẩn.
(2N
1
) x, y = 0 ⇔

(x, x|y ) = 0 ⇔ (x, x|y ) = 0 ⇔ x, y phụ thuộc tuyến tính.
(2N
2
) x, y =

(x, x|y ) =

(y, y|x) = y, x.
(2N
3
) αx, y =

(αx, αx|y ) =

α
2
(x, x|y ) = |α|x, y.
(2N
4
) Ta có
x, y + z
2
= (x, x|y + z )

= (y + z, y + z |z )
= (y, y|x) + (y, z|x) + (z, y|x) + (z, z|x)
= y, x
2
+ 2 (y, z|x) + x, z
2
≤ y, x
2
+ 2

(y, y|x)

(z, z|x) + (x, z)
2
≤ x, y
2
+ 2y, xx, z + x, z
2
= (x, z + x, y)
2
.
Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz |(x, y|z )| ≤ x, zy, z.
8
Từ định nghĩa của 2-chuẩn ·,·, ta có một số tính chất sau (xem [1])
1) x, y + αx = x, y với mọi α ∈ K.
Thật vậy, ta có
x, y + αx = y + αx, x ≤ y, x + αx, x = y, x = x, y
và
x, y = y + αx − αx, x ≤ y + αx, x+−αx, x = y + αx, x = x, y + αx .
2) |x, z − y, z| ≤ x − y, z.

Thật vậy, vì
x, z = x − y + y, z ≤ x − y, z + y, z
nên
x, z − y, z ≤ x − y, z .
Thay đổi vai trò của x và y, ta được
y, z − x, z ≤ y − x, z = x − y, z .
3)
(x, y|z) =
1
4

x + y, z
2
− x − y, z
2

, ∀x, y, z ∈ X. (1.10)
Thật vậy, ta có
x + y, z
2
− x − y, z
2
= (x + y, x + y|z ) − (x − y, x− y |z )
= (x, x + y |z ) + (y, x + y |z ) − (x, x− y |z ) + (y, x − y|z )
= (x, x|z ) + (x, y|z ) + (y, x|z ) + (y, y|z )
− (x, x|z ) + (x, y|z ) + (y, x|z ) − (y, y|z )
= 4 (x, y |z ).
4) Bất đẳng thức hình bình hành
x + y, z
2

+ x − y, z
2
= 2

x, z
2
+ y, z
2

, ∀x, y, z ∈ X. (1.11)
Thật vậy, ta có
9
x + y, z
2
= (x + y, x + y|z )
= (x, x|z ) + 2 (x, y |z ) + (y, y|z )
= x, z
2
+ 2 (x, y |z ) + y, z
2
và
x − y, z
2
= (x − y, x − y|z )
= (x, x|z ) − 2 (x, y |z ) + (y, y|z )
= x, z
2
− 2 (x, y |z ) + y, z
2
Nếu (X,·,·) là một không gian tuyến tính 2-chuẩn trong đó điều kiện

(1.11) được thỏa mãn cho mọi x, y, z ∈ X thì ta có thể định nghĩa một
2-tích vô hướng (·,·|·) trên X theo điều kiện (1.10).
5) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (1.9) được viết lại
|(x, y| z)| ≤ (x, x| z)
1
2
(y, y| z)
1
2
= x, zy, z . (1.12)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x, y, z phụ thuộc tuyến tính.
Với bất kì x
1
, x
2
, , x
n
trong X khác không, cho V (x
1
, x
2
, , x
n
) kí hiệu không
gian con của X được sinh ra bởi x
1
, x
2
, , x
n

. Bất cứ khi nào kí hiệu V (x
1
, x
2
, , x
n
)
được dùng, nó sẽ được hiểu x
1
, x
2
, , x
n
độc lập tuyến tính.
Ví dụ 1.3. Xét không gian tuyến tính P
n
là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn
hoặc bằng n nhận giá trị trên đoạn [0, 1]. Cho dãy {x
i
}
2n
i=0
với 2n + 1 điểm tùy ý
nhưng phải là những điểm cố định phân biệt trên đoạn [0, 1]. Với f, g ∈ P
n
ta
định nghĩa
f, g =








0 nếu f, g phụ thuộc tuyến tính,
2n

i=0
|f(x
i
)g(x
i
)| nếu f, g độc lập tuyến tính.
Khi đó ·,· là 2-chuẩn trên P
n
.
Chứng minh. (2N
1
) Nếu f và g phụ thuộc tuyến tính thì f, g = 0
Nếu
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
)| = 0 thì f(x
i

)g(x
i
) = 0 với mọi i = 0, 1, , 2n. Suy ra hoặc
f hoặc g phải triệt tiêu tại ít nhất n + 1 điểm. Vì deg f ≤ n và deg g ≤ n nên hoặc
f ≡ 0 hoặc g ≡ 0. Suy ra f và g phụ thuộc tuyến tính.
10
(2N
2
) Nếu f, g = 0 thì f và g phụ thuộc tuyến tính. Do đó g, f = 0 = f, g.
Ngoài ra ta có
f, g =
2n

i=0
|f(x
i
)g(x
i
)| =
2n

i=0
|g (x
i
) f (x
i
)| = g, f .
(2N
3
) Lấy α ∈ R. Nếu α = 0 thì 0.f, g = 0 = 0.f, g. Xét trường hợp α = 0

và αf, g = 0. Khi đó vì αf và g phụ thuộc tuyến tính nên f và g cũng phụ
thuộc tuyến tính. Do đó trường hợp này ta cũng có αf, g = 0 = αf, g. Ngoài
ra,
αf, g =
2n

i=0
|αf (x
i
) g (x
i
)| = |α|
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
)| = |α|f, g .
(2N
4
) Nếu f + h và g phụ thuộc tuyến tính thì
f + h, g = 0 ≤ f, g + h, g .
Trường hợp còn lại ta có
f + h, g =
2n

i=0
|(f + h) (x

i
) g (x
i
)|
=
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
) + h (x
i
) g (x
i
)|
≤
2n

i=0
|f (x
i
) g (x
i
)| +
2n

i=0
|h (x

i
) g (x
i
)|
= f, g + f

, g.
Vậy f, g định nghĩa như trên là 2-chuẩn trên P
n
.
Ví dụ 1.4. Trên không gian L
p
(X) ta có thể định nghĩa 2-chuẩn như sau
f, g
p
=


1
2

X

X







det


f(x) f(y)
g(x) g(y)








p
dxdy


1/p
, 1 ≤ p < ∞,
và
f, g
∞
= sup
x∈X
sup
y∈X







det


f(x) f(y)
g(x) g(y)








, p = ∞.
Ví dụ 1.5. Trên không gian C[a, b] ta có thể định nghĩa 2-chuẩn như sau
f, g = max
x∈[a,b]
max
y∈[a,b]






det



f(x) f(y)
g(x) g(y)








với mọi f, g ∈ C[a, b].
11
1.2. Không gian n-tích vô hướng, không gian tuyến
tính n-chuẩn
1.2.1. Không gian n-tích vô hướng
Định nghĩa 1.3. [1] Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, X là một không gian
tuyến tính có chiều lớn hơn hoặc bằng n và (·,·|·, ,·) là một hàm lấy giá trị thực
trên X
n+1
= X × X × × X
  
n+1
thỏa mãn các điều kiện sau
(nI
1
) (i) (a, a|a
2
, , a
n
) ≥ 0,

(ii) (a, a|a
2
, , a
n
) = 0 nếu và chỉ nếu a, a
2
, , a
n
phụ thuộc tuyến tính,
(nI
2
) (a, b|a
2
, , a
n
) = (b, a|a
2
, , a
n
),
(nI
3
) (a, b|a
i
2
, , a
i
n
) = (a, b|a
2

, , a
n
) với mỗi nhóm hoán vị (i
2
, , i
n
) của
(2, , n),
(nI
4
) (a, a|a
2
, a
3
, a
n
) = (a
2
, a
2
|a, a
3
, a
n
),
(nI
5
) (αa, b|a
2
, , a

n
) = α (a, b|a
2
, a
n
) với mỗi số thực α,
(nI
6
) (a + a

, b|a
2
, , a
n
) = (a, b|a
2
, , a
n
) + (a

, b|a
2
, , a
n
).
Khi đó (·,·|·, ,·) được gọi là n-tích vô hướng trên X và (X, (·,·|·, ,·)) được
gọi là không gian n-tích vô hướng.
1.2.2. Không gian tuyến tính n-chuẩn
Định nghĩa 1.4. [1] Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1, X là một không gian
tuyến tính có chiều lớn hơn hoặc bằng n và ·, ,· là một hàm giá trị thực xác

định trên X
n
và thỏa mãn các điều kiện sau
(nN
1
) a
1
, , a
n
 = 0 nếu và chỉ nếu a
1
, , a
n
phụ thuộc tuyến tính,
(nN
2
) a
1
, , a
n
 = a
i
1
, , a
i
n
 với mỗi nhóm hoán vị (i
1
, , i
n

) của (1, , n),
(nN
3
) αa
1
, , a
n
 = |α|a
1
, , a
n
 với mọi số thực α,
(nN
4
) a
1
+ a
1

, a
2
, , a
n
 ≤ a
1
, a
2,
, a
n
 + a

1

, a
2
, , a
n
.
Khi đó ·, ,· được gọi là n-chuẩn trên X và (X,·, ,·) được gọi là một
không gian tuyến tính n-chuẩn.
12
Cũng như trong không gian 2-tích vô hướng, ta có bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz trong không gian n-tích vô hướng
|(a, b|a
2
, , a
n
)| ≤

(a, a|a
2
, , a
n
)

(b, b|a
2
, , a
n
). (1.13)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a, b, a

2
, , a
n
phụ thuộc tuyến tính.
Áp dụng (nI
1
) đến (nI
6
) và (1.13), dễ dàng thấy rằng công thức
a
1
, a
2
, , a
n
 =

(a
1
, a
1
|a
2
, , a
n
) (1.14)
xác định một n-chuẩn trên X và được gọi là n-chuẩn sinh bởi n-tích vô hướng.
Hơn nữa, ta có đồng nhất thức
(a, b|a
2

, , a
n
) =
1
4

a + b, a
2
, , a
n

2
− a − b, a
2
, , a
n

2

(1.15)
và quy tắc hình bình hành
a + b, a
2
, , a
n

2
+ a − b, a
2
, , a

n

2
= 2

a, a
2
, , a
n

2
+ b, a
2
, , a
n

2

. (1.16)
Ví dụ 1.6. Nếu X là một không gian tích vô hướng với tích vô hướng (·|·) thì
hàm (·,·|·, ,·) xác định trên X
n+1
bởi
(a, b| a
2
, , a
n
) =












(a| b) (a| a
2
) ··· (a| a
n
)
(a
2
| b) (a
2
| a
2
) ··· (a
2
| a
n
)
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
(a
n
| b) (a
n
| a
2
) ··· (a
n
| a
n
)











là một n-tích vô hướng trên X và được gọi là n-tích vô hướng cơ bản. Khi đó

n-chuẩn sinh bởi tích vô hướng này chính là thể tích hình hộp sinh bởi các vectơ
a
1
, , a
n
.
Với X = R
n
ta có n-chuẩn
a
1
, , a
n
 = |det(a
ij
)|
với a
i
= (a
i1
, , a
in
) ∈ R
n
, i = 1, 2, , n.
13
1.3. Trực giao trong không gian 2-chuẩn và trong
không gian n-chuẩn
Trong không gian định chuẩn có các công thức khác nhau cho trực giao giữa
hai vectơ. Ít nhất, có ba định nghĩa nổi tiếng của trực giao, cụ thể là Pythagorean,

cân và Birkhoff-James trực giao. Trong không gian tích vô hướng, ba định nghĩa
là tương đương với trực giao bình thường.
1.3.1. Trực giao trong không gian 2-chuẩn
Như trong không gian định chuẩn, một số nhà nghiên cứu đã nghiên cứu các
khái niệm của tính trực giao trong không gian 2-chuẩn. Ví dụ, lấy ý tưởng từ
Pythagorean, cân và Birkhoff-James trực giao. Khan và Siddiqui (xem [15]) đã
định nghĩa tính trực giao trong không gian 2-chuẩn như sau. Cho (X,·,·) là
một không gian 2-chuẩn và x, y ∈ X.
(A
1
) x⊥
P
y ⇔ x, z
2
+ y, z
2
= x + y, z
2
với mọi z ∈ X.
(A
2
) x⊥
I
y ⇔ x − y, z = x + y, z với mọi z ∈ X.
(A
3
) x⊥
BJ
y ⇔ x, z ≤ x + αy, z với mọi α ∈ R, z ∈ X.
Trong [16], Gunawan cho thấy rằng định nghĩa trên “quá chặt chẽ” để người

ta không thể tìm thấy hai vectơ khác không x và y trực giao trong trường hợp
tiêu chuẩn. Họ sửa đổi lại khái niệm tính trực giao như sau.
(B
1
) x⊥
P
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, z
2
+ y, z
2
= x + y, z
2
với mọi z ∈ V .
(B
2
) x⊥
I
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x − y, z = x + y, z với mọi z ∈ V .
(B
3
) x⊥
BJ
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, z ≤ x + αy, z với mọi α ∈ R, z ∈ V .
Định nghĩa 1.5. [1] (G-trực giao trong không gian 2-tích vô hướng) Cho (X, (·,·|·))
là một không gian 2-tích vô hướng. Với x, y ∈ X, ta nói x là G-trực giao với y,
kí hiệu x⊥
G

y nếu và chỉ nếu tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1
sao cho (x, y|z) = 0 với mọi z ∈ V .
14
1.3.2. Trực giao trong không gian n-chuẩn
Như trong không gian 2-tích vô hướng và không gian 2-chuẩn, chúng ta định
nghĩa các khái niệm G-trực giao trong không gian n-tích vô hướng và P-, I- và
BJ - trực giao trong không gian n-chuẩn như sau.
Định nghĩa 1.6. [1] (G-trực giao trong không gian n-tích vô hướng) Cho
(X, (·,·|·, ,·)) là một không gian n-tích vô hướng. Với x, y ∈ X, ta nói x là
G-trực giao với y, kí hiệu x⊥
G
y nếu và chỉ nếu tồn tại một không gian con
V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho (x, y| x
2
, , x
n
) = 0 với mọi x
2
, , x
n
∈ V .
Định nghĩa 1.7. [17] (P-, I-, và BJ-trực giao trong không gian n-chuẩn) Cho
(X,·, ,·) là một không gian n-chuẩn. Với x, y ∈ X, ta định nghĩa
a) x⊥
P
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, x
2
, , x
n


2
+ y, x
2
, , x
n

2
= x + y, x
2
, , x
n

2
với mọi x
2
, , x
n
∈ V .
b) x⊥
I
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x − y, x
2
, , x
n
 = x + y, x
2
, , x
n

 với mọi x
2
, , x
n
∈ V .
c) x⊥
BJ
y ⇔ tồn tại một không gian con V ⊆ X với codim(V ) = 1 sao cho
x, x
2
, , x
n
 ≤ x + αy, x
2
, , x
n
 với mọi x
2
, , x
n
∈ V và α ∈ R.
1.4. Một số định lý cơ bản
Cho (X; (·, ·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường K (K = R, C).
Nếu (f
i
)
1≤i≤n
là các vectơ độc lập tuyến tính trong không gian 2-tích vô hướng
trên X, và mỗi z ∈ X, (f
i

, f
j
| z) = δ
ij
với mọi i, j ∈ {1, , n}, ở đây δ
ij
là hệ số
Kronecker (ta nói rằng họ (f
i
)
1≤i≤n
là z-trực giao), khi đó bất đẳng thức sau
tương ứng với bất đẳng thức Bessel (xem [18])
n

i=1
|x, f
i
| z|
2
≤ x, z
2
, ∀x ∈ X. (1.17)
Định lý 1.1. [2] Cho a, x, z, A là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng
(X, (·, ·|·)) trên trường K (K = R, C), với a = A. Khi đó
Re (A− x, x − a| z) ≥ 0 (1.18)
15
nếu và chỉ nếu





x −
a + A
2
, z




≤
1
2
A − a, z . (1.19)
Chứng minh. Ta đặt
I
1
:= Re (A− x, x − a| z) ≥ 0
và
I
2
:=
1
4
A − a, z
2
−





x −
a + A
2
, z




2
.
Bằng phép tính đơn giản ta thấy
I
1
= I
2
= Re [(x, a| z) + (A, x| z)] − Re (A, a| z) − x, z
2
.
Do đó I
1
≥ 0 khi và chỉ khi I
2
≥ 0. 
Định lý 1.2. [2] Cho x, z, e ∈ X là các vectơ trong không gian 2-tích vô hướng
(X, (·, ·|·)) trên trường K (K = R, C), với e, z = 1. Khi đó ta có kết quả sau đây
0 ≤ x, z
2
− |(x, e| z)|
2

= inf
λ∈K
x − λe, z
2
. (1.20)
Chứng minh. Ta thấy rằng
(x − λe, x − (x, e| z) e| z) = x, z
2
− |x, e| z|
2
− λ

(e, x| z) − (e, x| z)e, z
2

= x, z
2
− |x, e| z|
2
với mọi λ ∈ K.
(1.21)
Sử dụng bất đẳng thức Schwarz (1.12) cho 2-tích vô hướng, ta có

x, z
2
− |x, e| z|
2

2
= |(x − λe, x − (x, e| z) e| z)|

2
≤ x − λe, z
2
x − (x, e| z) e, z
2
= x − λe, z
2

x, z
2
− |(x, e| z)|
2

(1.22)
hay
x, z
2
− |x, e| z|
2
≤ x − λe, z
2
, λ ∈ K. (1.23)
Lấy infimum trong (1.23) trên λ ∈ K, ta được
x, z
2
− |x, e| z|
2
≤ inf
λ∈K
x − λe, z

2
. (1.24)
Đẳng thức xảy ra khi λ
0
= (x, e| z), khi đó ta có
x − λ
0
e, z
2
= x, z
2
− |x, e| z|
2
. (1.25)

16
Định lý 1.3. [3] Cho (X, (·, ·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường
K (K = R, C) và {e
i
}
i∈I
là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phần
hữu hạn của I và m
i
, M
i
∈ K (i ∈ F). Khi đó
Re



i∈F
M
i
e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
|z

≥ 0 (1.26)
tương đương với





x −

i∈F
M
i
+ m
i
2
e

i
, z





≤
1
2


i∈F
|M
i
− m
i
|
2

1
2
(1.27)
với x là vectơ trong X.
Chứng minh. Với a =

i∈F
m
i
e

i
, A =

i∈F
M
i
e
i
, ta có
A − a, z =






i∈F
(M
i
− m
i
) e
i
, z





=









i∈F
(M
i
− m
i
) e
i
, z





2


1
2
=


i∈F

|(M
i
− m
i
)|
2
e
i
, z
2

1
2
=


i∈F
|(M
i
− m
i
)|
2

1
2
.
(1.28)
Áp dụng Định lý 1.1 và (1.28) ta được điều cần chứng minh. 
Định lý 1.4. [3] Cho (X, (·, ·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường

K (K = R, C) và {e
i
}
i∈I
là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phần
hữu hạn của I và m
i
, M
i
∈ K (i ∈ F) và x là vectơ trong X sao cho một trong
hai điều kiện (1.26) hoặc (1.27) thỏa mãn. Khi đó ta có bất đẳng thức
0 ≤ x, z
2
−

i∈F
|(x, e
i
| z)|
2
≤
1
4

i∈F
|M
i
− m
i
|

2
− Re


i∈F
M
i
e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
| z

≤
1
4

i∈F
|M
i
− m
i
|
2
.

(1.29)
Chứng minh. Ta đặt
I
1
:=

i∈F
Re

(M
i
− (x, e
i
| z))

(x, e
i
| z) − m
i

và
17
I
2
:= Re


i∈F
M
i

e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
| z

.
Ta thấy rằng
I
1
=

i∈F
Re

M
i
(x, e
i
| z)

+

i∈F
Re [m

i
(x, e
i
| z)]
−

i∈F
Re [M
i
m
i
] −

i∈F
|(x, e
i
| z)|
2
và
I
2
= Re


i∈F
M
i
(x, e
i
| z) +


i∈F
m
i
(x, e
i
| z)
−x, z
2
−

i∈F

j∈F
M
i
m
i
(e
i
, e
j
| z)


=

i∈F
Re


M
i
(x, e
i
| z)

+

i∈F
Re [m
i
(x, e
i
| z)]
−x, z
2
−

i∈F
Re [M
i
m
i
].
Do đó, lấy I
1
trừ I
2
vế theo vế, ta được
x, z

2
−

i∈F
|x, e
i
| z|
2
=

i∈F
Re

(M
i
− (x, e
i
| z))

(x, e
i
| z) − m
i

− Re


i∈F
M
i

e
i
− x, x −

i∈F
m
i
e
i
| z

.
(1.30)
Sử dụng bất đẳng thức cơ bản Re

ab

≤
1
4
|a + b|
2
,∀a, b ∈ K, với
a = M
i
− (x, e
i
| z) , b = (x, e
i
| z) − m

i
(i ∈ F )
ta được

i∈F
Re

(M
i
− (x, e
i
| z))

(x, e
i
| z) − m
i

≤
1
4

i∈F
|M
i
− m
i
|
2
. (1.31)

Kết hợp (1.30), (1.31) và (1.26), ta đi đến (1.29). 
Định lý 1.5. [4] Cho (X, (·, ·|·)) là một không gian 2-tích vô hướng trên trường
K (K = R, C) và {e
i
}
i∈I
là một họ của z–vectơ trực giao trong X, F là một phần
hữu hạn của I và m
i
, M
i
∈ K (i ∈ F) và x là vectơ trong X sao cho một trong
hai điều kiện (1.26) hoặc (1.27) thỏa mãn. Khi đó ta có bất đẳng thức
0 ≤ x, z
2
−

i∈F
|(x, e
i
| z)|
2
≤
1
4

i∈F
|M
i
− m

i
|
2
−

i∈F




M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)




2
.
(1.32)
18
Chứng minh. Ta đặt
I
1
:=






x −

i∈F
M
i
+ m
i
2
e
i
, z





2
=


x −

i∈F
M
i

+ m
i
2
e
i
, x−

j∈F
M
j
+ m
j
2
e
j
|z


= x, z
2
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i

| z) −

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z)
+

i∈F

j∈F

M
i
+ m
i
2

M
j
+ m
j
2

(e

i
, e
j
| z)
= x, z
2
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z)
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z) +

i∈F





M
i
+ m
i
2




2
và
I
2
:=

i∈F




M
i
+ m
i
2
− (x, e

i
| z)




2
=

i∈F

M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)

M
i
+ m
i
2
− (x, e
i
| z)

=


i∈F





M
i
+ m
i
2




2
+ |(x, e
i
| z)|
2
−
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z) −

M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z)

=

i∈F




M
i
+ m
i
2




2
+

i∈F
|(x, e

i
| z)|
2
−

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z) −

i∈F
M
i
+ m
i
2
(x, e
i
| z).
Do đó, lấy I
1
trừ I
2
vế theo vế, ta được






x −

i∈F
M
i
+ m
i
2
e
i
, z





2
−

i∈F




M
i

+ m
i
2
− (x, e
i
| z)




2
= x, z
2
−

i∈F
|(x, e
i
| z)|
2
.
(1.33)
Từ (1.27) kết hợp với (1.33) ta có được (1.32). 
Chương 2
Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss
Năm 1935, Gerhard Gr¨uss đã chứng minh bất đẳng thức tích phân







1
b − a
b

a
f (x) g (x) dx −
1
b − a
b

a
f (x) dx.
1
b − a
b

a
g (x) dx






≤
1
4
(M − m) (N − n) (2.1)

nếu f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] thỏa mãn điều kiện
m ≤ f(x) ≤ M, n ≤ g(x) ≤ N
với mọi x ∈ [a; b] và m, M, n, N là những hằng số thực.
Hằng số
1
4
trong bất đẳng thức (2.1) là tốt nhất theo nghĩa rằng không thể
thay thế nó bằng một số khác nhỏ hơn và đẳng thức đúng khi
f (x) = g (x) = sign




x −
a + b
2




,
với M = N = 1 và m = n = −1.
20
2.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không
gian 2-chuẩn
2.1.1. Một số dạng bất đẳng thức Gr¨uss trong không gian 2-
chuẩn thực
Việc chứng minh bất đẳng thức (2.1) được tìm thấy trong [5], bất đẳng thức
(2.1) được gọi là bất đẳng thức Gr¨uss. Tổng quát hơn, bất đẳng thức Gr¨uss được
phát biểu như sau

Định lý 2.1. [6] Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] và n ≤ g(x) ≤ N với
mọi x ∈ [a; b], ở đây n, N là những hằng số thực. Khi đó ta có bất đẳng thức






1
b − a
b

a
f (x) g (x) dx −
1
b − a
b

a
f (x) dx.
1
b − a
b

a
g (x) dx







≤
N − n
2
.



1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx


2




1
2
.
(2.2)
Định lý đã được chứng minh bởi M. Mati´c, J. Peˇcari´c và N. Urievi´c (xem [6]) và
bất đẳng thức này cho ta một đánh giá tốt hơn bất đẳng thức của Gr¨uss (2.1).
Thật vậy, giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] thỏa mãn điều kiện
m ≤ f(x) ≤ M, n ≤ g(x) ≤ N
với mọi x ∈ [a; b] và m, M, n, N ∈ R. Áp dụng (2.2) với g = f, ta có
1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx



2
≤
M − m
2
.



1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx


2




1
2
hay



1
b − a
b

a
f
2
(x) dx−
1
(b − a)
2


b

a
f (x) dx


2




1
2
≤
M − m
2
. (2.3)
Như vậy ta có (2.1) nhờ vào (2.2) và (2.3). 
21
Định lý 2.2. [7] Cho f và g là hai hàm khả tích trên [a; b] và m ≤ f(x) ≤
M, n ≤ g(x) ≤ N với mọi x ∈ [a; b], ở đây m, M, n, N là những hằng số thực và
h : [a, b] → [0; +∞) là hàm khả tích và
b

a
h (x) dx > 0, khi đó ta có bất đẳng thức






b

a
h (x) dx.
b

a
f (x) g (x) h (x) dx −
b


a
f (x) h (x) dx.
b

a
g (x) h (x) dx






≤
1
4
(M − m) (N − n)


b

a
h (x) dx


2
. (2.4)
Chứng minh. Chúng ta chú ý đẳng thức sau
1
b


a
h (x) dx
b

a
f (x) g (x) h (x) dx
−
1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx
1
b

a
h (x) dx
.
b

a
g (x) h (x) dx
=
1
2


b

a
h (x) dx

2
b

a
b

a
(f (x) − f (y)) (g (x) − g (y)) h (x) h (y) dxdy.
(2.5)
Áp dụng bất đẳng thức tích phân Cauchy-Buniakowski-Schwarz cho tích phân
bội ta có







1
2

b

a

h (x) dx

2
b

a
b

a
(f (x) − f (y)) (g (x) − g (y)) h (x) h (y) dxdy







2
≤
1
2

b

a
h (x) dx

2
b


a
b

a
(f (x) − f (y))
2
h (x) h (y) dxdy
×
1
2

b

a
h (x) dx

2
b

a
b

a
(g (x) − g (y))
2
h (x) h (y) dxdy
22
=







1
b

a
h (x) dx
b

a
f
2
(x) h (x) dx −





1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx






2






×






1
b

a
h (x) dx
b

a
g
2
(x) h (x) dx −






1
b

a
h (x) dx
b

a
g (x) h (x) dx





2






.
(2.6)
Ta chú ý đến đẳng thức sau đây
1
b


a
h (x) dx
b

a
f
2
(x) h (x) dx −





1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx





2
=






M −
1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx










1
b

a
h (x) dx

b

a
f (x) h (x) dx − m





−
1
b

a
h (x) dx
b

a
(M − f (x)) (f (x) − m) h (x) dx.
Do (M − f (x)) (f (x) − m) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b], khi đó
1
b

a
h (x) dx
b

a
f
2

(x) h (x) dx −





1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx





2
≤





M −
1
b


a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx










1
b

a
h (x) dx
b

a
f (x) h (x) dx − m






.
(2.7)