Một số mở rộng và ứng dụng của định lý helly (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ VĂN THƯỜNG

MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG
CỦA ĐỊNH LÝ HELLY
Chuyên ngành:
Mã số:

Toán Giải Tích
60 46 01 02

Demo Version - Select.Pdf SDK

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC HẢI

Huế, 2014
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa được công bố trong bất kì
công trình nào khác.

Học viên

Lê Văn Thường

Demo Version - Select.Pdf SDK

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo, TS.
Nguyễn Ngọc Hải, tôi xin gửi đến thầy sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc cũng như
nguyện vọng được tiếp tục nghiên cứu toán dưới sự hướng dẫn của thầy.
Tôi xin được trình bày lòng biết ơn đến quý thầy giáo đã giảng dạy lớp cao học
toán khóa 21 của trường Đại học sư phạm Huế cũng như toàn thể quý thầy cô trong
khoa toán trường Đại học sư phạm Huế vì sự giảng dạy nhiệt tình, sự quan tâm, khích
lệ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH, phòng sau ĐH trường ĐHSP Huế, Sở Giáo
Dục, Sở Khoa Học Công Nghệ tỉnh Đồng Nai, Trường ĐH Đồng Nai, Trường THCSTHPT Huỳnh Văn Nghệ đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập, nghiên
cứu của mình.
Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến gia đình, tất cả người thân bạn

Demo Version - Select.Pdf SDK

bè, vì sự quan tâm động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.

Học viên

Lê Văn Thường

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

LỜI LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

LỜI MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. ĐỊNH LÝ HELLY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.Một số chứng minh của Định lý Helly. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1. Dùng định lý tách chứng minh Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.2. Dùng Định lý Carathéodory chứng minh Định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Demo Version - Select.Pdf SDK

Chương 2. MỞ RỘNG CỦA ĐỊNH LÝ HELLY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.Các bất đẳng thức hàm lồi và định lý Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.Các định lý kiểu Helly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ HELLY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.Ứng dụng của định lý Helly trong hình học tổ hợp. . . . . . . . . . . . .

24

3.2.Định lý Chebyshev về xấp xỉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.3.Ứng dụng của định lý Helly trong tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.4.Ứng dụng của định lý Helly trong toán phổ thông . . . . . . . . . . . . . .

37

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

1


LỜI MỞ ĐẦU
Định lý Helly là một trong những định lý nổi tiếng nhất của hình học tổ hợp. Nó
có một phát biểu đơn giản như sau: Cho F là một họ hữu hạn những tập lồi trong Rn
với ít nhất n + 1 tập. Nếu mọi họ con gồm n + 1 tập lồi của F đều có giao không rỗng
thì cả họ F sẽ có giao không rỗng. Định lý Helly là cơ sở chứng minh cho nhiều định
lý quan trọng trong giải tích lồi như các định lý Jung, Krasnosselsky, trong hình học
tổ hợp như định lý Kirchberger, trong lý thuyết xấp xỉ như định lý Chebyshev, . . . .
Ngay trong hình học sơ cấp, nhiều bài toán cũng có thể giải được nhờ áp dụng Định
lý Helly.
Đặc biệt đây là định lý của toán học hiện đại nhưng lại có ứng dụng trong việc
giải toán ở bậc phổ thông. Vì vậy, sau khi tìm hiểu sơ lược và được sự gợi ý của thầy
giáo TS. Nguyễn Ngọc Hải, tôi đã quyết định chọn đề tài “Một số mở rộng và ứng dụng
của định lý Helly” làm đề tài cho luận văn Thạc sĩ của mình.

Demo Version - Select.Pdf SDK
Về nội dung, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia làm ba chương. Phần chính của luận văn là chương 2 và chương 3
Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả trong giải tích
lồi và một số kiến thức liên quan khác cần thiết cho các chương sau. Sau đó, chúng tôi
trình bày Định lý Helly cùng một vài biến thể của nó.
Chương 2 chúng tôi trình bày các mở rộng của định lý Helly gồm những điều kiện
đảm bảo cho giao của một họ tập hợp là khác rỗng và trình bày những kết quả có dạng
chung sau đây: Nếu tất cả các tập lồi của họ F đều có tính chất (P ) thì giao của họ
F là không rỗng và cũng có tính chất (P ).
Trong chương 3 trước tiên chúng tôi sẽ trình bày những kết quả tương đối đa dạng
trong giải tích lồi, hình học tổ hợp, lý thuyết xấp xỉ, . . . . Một số kết quả phát biểu

hoàn toàn không liên quan tới tính lồi nhưng chứng minh của nó lại ngắn gọn và đơn
giản khi sử dụng định lý Helly. Tiếp theo chúng tôi nêu một số bài toán hình học phổ

2


thông mà việc dùng định lý Helly để giải sẽ cho một cái nhìn tổng quát hoặc đơn giản
hơn so với những cách giải đơn lẻ khác.
Do kiến thức còn hạn chế nên khi làm khóa luận không tránh khỏi những sai sót.
Chúng tôi kính mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô
và bạn đọc.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Demo Version - Select.Pdf SDK

3