Nghiệm viscosity của phương tình hamilton jacobi và áp dụng vào trò chơi vi phân (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯƠNG QUANG PHÚ

NGHIỆM VISCOSITY
CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI
VÀ ÁP DỤNG VÀO TRÒ CHƠI VI PHÂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

Demo Version - Select.Pdf SDK
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN HOÀNG

Huế, Năm 2014.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.

Trương Quang Phú

Demo Version - Select.Pdf SDK

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của
thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hoàng. Tôi xin phép được gửi đến thầy sự kính trọng
và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của thầy không những trong thời gian
hướng dẫn tôi thực hiện luận văn mà còn trong quá trình giảng dạy các chuyên
đề.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo, người đã
đem lại cho tôi những kiến thức bổ trợ, vô cùng có ích trong những năm học vừa
qua.
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành tới Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo
sau đại học và Khoa Toán, Đại học Sư Phạm Huế, đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn của mình.
Cuối cùng, tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn dến người thân, bạn bè, và tập
thể các anh chị trong lớp Cao học Toán K21 đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi
trong thời gian thực hiện luận văn cũng như quãng đường học tập vừa qua.

Trương Quang Phú

Demo Version - Select.Pdf SDK


Mục lục
Mục lục

2

Phần mở đầu

3

Phần nội dung

5

1 Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi
1.1 Định nghĩa, và các tính chất về nghiệm viscosity . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa nghiệm viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các tính chất cơ bản của nghiệm viscosity. . . . . . . . . .
1.2 Công thức kiểu Hopf xác định nghiệm viscosity với Hamiltonian
là hàm không lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
7
18

Demo Version - Select.Pdf SDK
2 Lý thuyết trò chơi vi phân
2.1 Chiến lược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hàm giá trị, sự tồn tại và đặc trưng của nó . . . . . . .
2.2.1 Hàm giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự tồn tại và đặc trưng của hàm giá trị . . . . .
2.2.3 Biểu diễn hàm giá trị theo công thức kiểu Hopf
2.3 Chi trả cân bằng cho trò chơi vi phân tổng khác không
2.3.1 Chi trả cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Đặc trưng của chi trả cân bằng Nash . . . . . .
2.3.3 Sự tồn tại của chi trả cân bằng Nash . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

3 Áp dụng trò chơi vi phân vào thực tế

3.1 Công thức xác định tập có thể đạt được trong vấn đề tránh va chạm
3.1.1 Tập có thể đạt được (The Reachable Set) . . . . . . . . . .
3.1.2 Vấn đề tránh va chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Mức cảnh báo trong dữ liệu cải tiến hệ thống quản lí giao thông
(ETMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

26
26
29
29
38
43
44
45
46
49
52
52
52
59
63


3.2.1
3.2.2
3.2.3
3.2.4

Chính xác hóa thông số từ dữ liệu ETMS

Chọn lựa thời gian, tính toán thời gian .
Lựa chọn chiến lược . . . . . . . . . . . .
Phương pháp phát hiện xung đột . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

63
64
65
66

Phần kết luận

69

Tài liệu tham khảo

70

Demo Version - Select.Pdf SDK

2


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Xuất xứ, ý nghĩa và lí do chọn đề tài
Phương trình Hamilton-Jacobi đã được nghiên cứu bằng các phương pháp cổ
điển từ rất lâu và đã đem lại nhiều kết quả quan trọng. Tuy nhiên, do bản chất
phi tuyến của một số bài toán vật lí và ứng dụng thì các nghiệm địa phương
tỏ ra kém hiệu quả vì người ta muốn nhận được những thông tin đầy đủ hơn.
Trước những yêu cầu của thực tế đó, những nghiên cứu về nghiệm toàn cục của
phương trình Hamilton-Jacobi ra đời, điển hình là các công trình nghiên cứu của
Lax, Hopf, Oleinik, Fleming, Benton,... và gần đây là Crandall, Lions, Evans,
Subbotin, Ishii,... nó đã thu hút sự quan tâm lớn của các nhà toán học trên thế
giới.
Xã hội ngày một phát triển nên nhu cầu ứng dụng lý thuyết phương trình
Hamilton-Jacobi vào các lĩnh vực như lý thuyết điều khiển tối ưu, lý thuyết trò
chơi vi phân, lý thuyết sóng,...ngày càng tăng. Do đó, việc nghiên cứu nghiệm
toàn cục của phương trình Hamilton-Jacobi trở nên cần thiết. Từ năm 1983 trở
đi một loạt các bài báo của Crandall, Lions, Evans, Ishii... xuất hiện. trong đó
đã đề cập đến khái niệm nghiệm viscosity, với khái niệm này việc nghiên cứu
Demo Version - Select.Pdf SDK

phương trình Hamilton-Jacobi trở nên hiệu quả hơn. Thay vì buộc nghiệm thỏa
mãn phương trình hầu khắp nơi thì ở đây ta chỉ đòi hỏi nghiệm phải liên tục và
thỏa mãn cặp bất đẳng thức vi phân thông qua các hàm thử đủ trơn, hoặc thông
qua khái niệm trên vi phân, dưới vi phân.
Sự xuất hiện của khái niệm nghiệm viscosity đã thúc đẩy nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học phát triển, trong đó có lý thuyết trò chơi vi phân. Trong trò
chơi vi phân người ta xây dựng hàm giá trị cho đối tượng thông qua khái niệm
hàm giá trị trên, hàm giá trị dưới; hàm giá trị cho đối tượng sẽ tồn tại và duy
nhất nếu hàm giá trị trên và hàm giá trị dưới bằng nhau. Do đó có thể nói sự tồn
tại của hàm giá trị cho đối tượng tham gia trò chơi và đặc trưng của nó như là sự
tồn tại và duy nhất nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi-Isaacs.
Lý thuyết trò chơi vi phân là một trong các lĩnh vực toán học khá thú vị và có sự
ứng dụng khá mạnh trong thực tiễn đặc biệt là lĩnh vực kinh tế. Do đó, nó đã và
đang thu hút sự quan tâm của một lượng lớn các nhà toán học, theo đó các bài
báo cũng xuất hiện ngày một nhiều điển hình như các bài báo của Cardaliaguet
Pierre, Fleming, Soner, Barron, Subbotin,....
Mặc dầu mới tiếp xúc với nghiệm viscosity qua chuyên đề "Phương trình đạo


hàm riêng phi tuyến cấp 1" nhưng tôi đã bị thu hút bởi các tính chất và ứng
dụng của nó trong trò chơi vi phân. Với mong muốn tìm hiểu thêm về nghiệm
viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi cùng với ứng dụng của nó trong trò
chơi vi phân và được sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hoàng tôi
chọn đề tài "Nghiệm viscosity của phương trình Hamilton-Jacobi và
áp dụng vào trò chơi vi phân" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.
2. Nội dung nghiên cứu
Nội dung của luận văn gồm ba chương
• Chương một, tôi khảo sát tổng quan tính chất nghiệm viscosity của phương

trình Hamilton-Jacobi, đặc biệt là nghiên cứu và trình bày tường minh công

thức Hopf cho nghiệm của phương trình Hamilton-Jacobi trong trường hợp
Hamiltonian là hàm không lồi.
• Chương hai, tôi trình bày tổng quan các khái niệm chiến lược, hàm giá trị

trong trò chơi vi phân và các ứng dụng của nghiệm viscosity vào lý thuyết
trò chơi vi phân.
• Chương ba, tôi tìm hiểu bài toán thực tế ứng dụng lí thuyết trò chơi vi

phân để giải quyết vấn đề.

Demo Version - Select.Pdf SDK

4