6 đề ts 10 có đáp án

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 1
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho biểu thức A =
2 2 1 2 2
1 :
2
2 2 2 4
a a
a
a a a a a
   
− −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ + + +
   
với điều kiện biểu thức có nghĩa
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi a =
2009 2 2008−
Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x : x
2
– 2mx + 2m – 2 = 0
a) Chứng minh rằng pt có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Giả sử x
1
; x
2

là hai nghiệm của pt. Tìm m để biểu thức y = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hàm số
2
1
2
y x= −
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B nằm trên (P) và có hoành độ lần lượt là – 1 ; 2 .
Bài 4.
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn
AB kẻ đường kính PQ của đường tròn, đường kính này cắt AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại M, các dây AB và QM cắt
nhau tại K.
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM.
c) Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường (O) thay đổi nhưng
luôn đi qua hai điểm A, B
Giải
Bài 1. a) Ta có A =
2 2 2 1 2 2
:
2
2 ( 2) 2( 2)
a a a
a

a a a a
   
+ −
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
+ + + +
   
=
( )
2
2
1 2 2
:
2
2 ( 2)( 2)
a
a
a
a a a
−
 
−
 ÷
 ÷
+
+ + +
 
=

( )
2
2
2 2 2
:
2
( 2)( 2)
a
a a
a
a a
−
+ −
+
+ +
=
( ) ( )
2 2
2 2
:
2
( 2)( 2)
a a
a
a a
− −
+
+ +
=
( )

( )
2
2
2
( 2)( 2)
.
2
2
a
a a
a
a
−
+ +
+
−
=
2a +
b) Ta có a =
2009 2 2008−
=
( )
2
2008 1−
⇒
2a +
=
2008 1−
+ 2 =
2008 1+

Bài 2.
a) Ta có : ∆’ = m
2
– 2m + 2 = m
2
– 2m + 1 + 1 =(m – 1)
2
+ 1 > 0, ∀m
chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m
b) y = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= 4m
2
– 2(2m – 2) = 4m
2
– 4m + 4 = 4(m

2
– m + 1)
= 4[(m
2
– 2.
1
2
m +
1
4
+
3
4
) = 4(m -
1
2
)
2
+ 3 ≥ 3 , ∀m
y đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi và chỉ khi m =
1
2
Bài 3. a) Vẽ đồ thị hàm số
2
1
2
y x= −
Lập bảng giá trị :
x
2−

−1 0 1 2
y
2−
1
2
−
0
1
2
−
2−
vẽ đồ thị hàm số
f(x)=-(1/2)x^2
x(t)=-2 , y(t)=t
x(t)=t , y(t )=-2
x(t)=2 , y(t)=t
x(t)=-1 , y(t)=t
x(t)=t , y(t )=-1/2
f(x)=-(1/2)*x-1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)

b) giả sử pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b
Ta có A( – 1 ;
1
2
−
) và B(2 ; – 2), nên tọa độ của chúng thỏa pt đường thẳng :
1
1.
2
2 2.
a b
a b

− = − +



− = +

⇔
1
2
1
a
b

= −




= −

Vậy pt đường thẳng AB :
1
1
2
y x= − −
Bài 4.
Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn
AB kẻ đường kính PQ của đường tròn, đường kính này cắt AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại M, các dây AB và QM cắt
nhau tại K.
a) Chứng minh CM.CP = CA.CB
b) Chứng tỏ rằng MC là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM.
c) Giả sử A, B, C cố định. Chứng minh đường thẳng QM luôn đi qua một điểm cố định khi đường (O) thay đổi nhưng
luôn đi qua hai điểm A, B
Giải :
a) Chứng minh : CM.CP = CA.CB
Ta có :
∆CMB ∼ ∆CAP
A
B
1
1
2
y x= − −
2
1
2
y x= −
(Góc C chung,

·
·
CBM CPA=
cùng chắn cung AM)
Suy ra :
CB CM
CP CA
=
⇒ CM.CP = CA.CB
b) Theo gt : PQ vuông góc dây cung AB⇒
»
»
QA QB=
nên
·
·
AMQ BMQ=
Do đó : MQ là phân giác của góc
·
AMB
Mặt khác MQ ⊥ MP (
·
PMQ
= 1v chắn nửa đường tròn)
C, M P thẳng hàng nên MQ ⊥ MC
Vậy MC là phân giác của góc ngoài đỉnh M của tam giác ABM
c) Khi (O) thay đổi nhưng luôn qua hai điểm A, B , suy ra O chạy trên đường thẳng PQ
với
»
»

QA QB=
do đó MQ luôn là phân giác trong của ∆AMB
Suy ra MQ cắt AB tại K thuộc AB , theo tính chất phân giác , ta có :
KA MA CA
KB MB CB
= =
mà A, B, C cố định nên
CA
CB
không đổi ⇒ K cố định
Vậy MQ luôn đi qua điểm K cố định
K
M
P
Q
D
C
A
B
O
GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh :
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
3
2
+ + −

=
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74
( 2) ( 4) 18
x y
x y

+ =


+ + + =


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị
nhỏ nhất này.

Bài 3.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x=
và (d) là đồ thị của hàm số
1
1
2
y x= +
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Dùng đồ thị (P) và (d) suy ra nghiệm của phương trình x
2
– x – 2 = 0
Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung AB (M khác A và B).
Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D.
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
GIẢI :
Bài 1
a) Ta có :
9 3 11 2+
=
3 3 6 3 9 2 2 2+ + +
=
3 2 2 3
3 3 3. 2 3. 3 2 2+ + +
=
3

( 3 2)+
Tương tự
3
9 3 11 2 ( 3 2)− = −
Vậy
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
2
+ + −
=
3 2 3 2
3
2
+ + −
=
(đfcm)
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74
( 2) ( 4) 18
x y
x y

+ =


+ + + =



⇔
2 2
2 2
74
4 4 8 16 18
x y
x x y y

+ =


+ + + + + =


⇔
2 2
74
4 4 8 16 74 18
x y
x y

+ =

+ + + + =


⇔
2 2
74
4 8 76

x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2
74
2 19
x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2
(2 19) 74
2 19
y y
x y

+ + =

= − −

⇔

2
5 76 361 74
2 19
y y
x y

+ + =

= − −

⇔
2
5 76 287 0
2 19
y y
x y

+ + =

= − −

⇔
7
41
5
2 19
y
y
x y


= −





= −





= − −

⇔
13
5
5
7 41
5
x
x
y
y

= −

= −



∨
 
= −


= −



Vậy hệ có nghiệm là :
5
7
x
y
= −


= −

hoặc
13
5
41
5
x
y

= −





= −


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất. hãy tính giá trị
nhỏ nhất này.
a) Ta có : ∆’ = m
2
– 2m + 5 = m
2
– 2m + 1 + 4 = (m – 1)
2
+ 4 > 0 , với mọi m
vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Ta có :
( )

2
1 2
x x
−
=
( )
2
1 2
x x
−
=
( )
2
1 2 1 2
4 .
x x x x
+ −
= 4m
2
– 4(2m – 5) = 4m
2
– 8m + 20
= 4(m
2
– 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)
2
+ 16 ≥ 16
Vậy
1 2
x x

−
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1
Bài 3.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x=
và (d) là đồ thị của hàm số
1
1
2
y x= +
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
Bảng giá trị của hàm số
2
1
2
y x=
x -2 -1 0 1 2
y 2
1
2
0
1
2
2
Bảng giá trị của hàm số
1
1

2
y x= +
x -2 0
y 0 1
Đồ thị (P) và (d)
f(x)=(1/2 )x^2
f(x)=(1/2 )x +1
x(t )=-1 , y(t )=t
x(t )=2 , y(t )=t
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
f(x)
b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :
2
1
2
x
=
1
1
2
x +

⇔ x
2
– x – 2 = 0
Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2
Suy ra nghiệm của phương trình x
2
– x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2
Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung AB (M khác A và B).
Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt là C và D.
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.
2
1
2
y x=
1
1
2
y x= +
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
a) AC.BD không đổi
D
C
B
O
A
M
Theo định lí hai tiếp tuyến ta có CA = CM và DM = DB (1)
Và OC là phân giác của góc
·

AOM
, OD là phân giác của góc
·
MOB
Mà
·
AOM
và
·
MOB
kề bù nên suy ra CO ⊥ OD
Mặt khác OM ⊥ CD và OM = R (CD tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm M)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có : MC.MD = OM
2
= R
2
(không đổi)
Kết hợp với (1) suy ra : AC.BD = MC.MD = R
2
(không đổi) khi M lưu động trên cung AB
b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng vuông góc với AB), suy ra
tứ giác ABDC là hình thang vuông
Diện tích
1
( )
2
ABDC
AB AC BD
S
= +

= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi
Nên
ABDC
S
nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất
Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B
⇔ M là điểm chính giữa của cung AB ,
¼
¼
MC MD=
GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 3
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho M =
2
2 2 2 4 3 1
3 :
3 1 1 3
x x x x
x x x x
+ − − +
 
+ − −
 ÷
+ +
 
(điều kiện biểu thức có nghĩa)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị nào của x thì M < 0

c) Tìm x để M có giá trị nguyên
Bài 2.
Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình :
x
2
– (m + 1)x + m
2
– 2m + 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Bài 3.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; AC = b nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kéo dài đường phân giác trong
AD của tam giác ABC cắt đường tròn O tại M. Vẽ các đường thẳng DE ⊥ AB , DF ⊥ AC.
a) Chứng minh AEDF là hình vuông.
b) Tính DE theo a, b , từ đó suy ra EF.
c) Chứng minh AB.AC = AM.AD và diện tích tam giác ABC luôn bằng diện tích tứ giác AEMF khi A di động
trên nửa đường tròn có đường kính BC.
Bài 4.
Tìm các số có hai chữ số biết rằng khi nhân số đó với 37 và lấy kết quả chia cho 31 ta được số dư 15.
GIẢI

Bài 1
a) Ta có
điều kiện : x ≠ 0 ; x ≠
1
2
; x ≠ −1
M =
2
( 2)( 1) 2.3 9 ( 1) 1 3 1
.
3 ( 1) 2 4 3
x x x x x x x x
x x x x
+ + + − + + − +
−
+ −
=
2 2
8 2 3 1
3 (2 4 ) 3
x x x
x x x
− + − +
−
−
=
2 2
4 1 3 1
3 (1 2 ) 3
x x x

x x x
− + − +
−
−
=
2 2
( 4 1) (1 2 )(3 1)
3 (1 2 )
x x x x
x x
− + − − − +
−
=
2
(1 2 )(1 2 ) (1 2 )(3 1)
3 (1 2 )
x x x x x
x x
− + − − − +
−
=
2
(1 2 ) (3 1)
3
x x x
x
+ − − +
=
2
3

x x
x
+
=
1
3
x +
b) M < 0 ⇔
1
3
x +
< 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
c) M ∈  ⇔
1
3
x +
∈  ⇔ x + 1 chia hết cho 3 ⇔ x + 1 = 3k, k ∈ 
⇔ x = 3k – 1 , k ∈ 
Hay x là số nguyên chia cho 3 dư là 2
Bài 2.
Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình :
x
2
– (m + 1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt.
Ta có : ∆ = (m + 1)
2
– 4(m
2
– 2m + 2) = – 3m
2
+ 10m – 7 = (1 – m )(3m – 7)