Đề thi HSG khối 10(có đáp án)

Sở GD – ĐT Bình Định Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009
Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Môn: TOÁN ( thời gian làm bài 120 phút)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: ( 3 điểm)
a) Giải bất phương trình:
1 5
5 2x 4
2x
2
x
x
− < − +
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2
1 1y x x x x= + + + − +
.
Bài 2: ( 3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:
( )
3 3
3
2010 2010
4
x y x y
x y z
z x y
+ + + +
≤
+ +

+ +
.
Bài 3: ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao CH, H∈AB. Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các
đoạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và
cạnh BC tại N.
Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ.
Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 4:( 1 điểm)
Số
3 2009
n
+
, n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà
bạn khẳng định.
------------------------------------------------------------Hết---------------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài Nội dung từng ý Điểm
1.a
+ Đưa bất phương trình về dạng:
1 1
5 2 4
4x
2
x x
x
 
 
+ < + +
 ÷

 ÷
 
 
0,25đ
+ Đặt
1
, 2
2
t x t
x
= + ≥
, x > 0 và tính được
2
1
x 1
4x
t+ = −
0,5đ
+ Viết được bất phương trình theo t: t
2
− 5t + 2 > 0 ⇔ ( t > 2
∨
t <
1
2
(loại))
0,25đ
+ Viết được bất phương trình

( )

2
3 3
2 4 1 0 2 0 2
2 2
x x x x
 
− + > ⇔ > + ∨ < < −
 ÷
 
0,5đ
1.b
+ Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng thức
cauchy biến đổi từ TBC sang TBN.
0,25đ
+ Viết được:
( ) ( )
2 2 4 2
4
4
2 1 1 2 1 2y x x x x x x≥ + + − + = + + ≥
0,5đ
+ Đẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x


+ + = − +

⇔ =

+ + =


0,5đ
+ Luận được y ≥ 2, dấu " = " xảy ra khi x = 0. Do đó:
min (0) 2y y= =
¡

0,25đ
2
+ Viết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh:
( )
3 3
3
4 x y x y+ ≥ +
. 0,5đ
+ Viết được
( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 3
4 3 0x y x y x y x y+ − + = + − ≥
1,5đ
+ Suy được:
( )

3 3
3
4z x y z x y+ + ≥ + +
. 0,5đ
+ Kết luận được
( )
3 3
3
2010 2010
4
x y x y
x y z
z x y
+ + + +
≤
+ +
+ +
0,5đ
3
+ Chọn hệ trục tọa độ như hình bên và viết được
tọa độ của H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c)
0,25đ
+ Suy được tọa độ các điểm
;0 , 0;
2 2
a b c
I K
+
   
 ÷  ÷

   
0,25đ
+ Viết được phương trình của (d):y = m, 0< m <c;
phương trình đường thẳng AC: cx + ay –ac = 0,
phương trình đường thẳng BC: cx + by – bc = 0.
0,5đ
+ Lập luận và tìm được tọa độ của các điểm M
( )
;
a c m
m
c
− 
 ÷
 
, N
( )
,
b c m
m
c
− 
 ÷
 
, P
( )
;0
b c m
c
− 

 ÷
 
,
J
( ) ( )
;
2 2
a b c m
m
c
+ − 
 ÷
 
1đ
+ Tính được tọa độ các vectơ:
( )
; , IJ ;
2 2 2 2
m a b
a b c m
IK
c
+ 
+
 
= − = −
 ÷
 ÷
 
 

uur ur
0,5đ
+ Viết được:
IK .IJ
c
m
=
uur uur
nên ba điểm I, J, K thẳng hàng . 0,5đ
4
+ Viết được 184 = 8.23 và
2
3 1
m
−
chia hết cho 3
2
– 1 = 8. 0,25đ
+ Viết được nếu n = 2m (chẵn), thì
2 2
3 2009 3 1 251.8 2
m m
+ = − + +
không chia hết cho 8
+ Nếu n = 2m + 1 (lẻ), thì
( )
2 1 2
3 2009 3 3 1 251.8 4
m m+
+ = − + +

cũng không chia hết 8.
+ Kết luận được
n
+
∀ ∈ ¢
, 3
n
+ 2009 không chia hết cho 184.
0,75đ

Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng căn cứ từng phần của biểu điểm để cho điểm.