Đề&ĐA Toán thi vào 10 Thanh Hóa 2009

A ề bài ( A)
Bài 1 (1,5đ):
Cho phơng trình: x
2
4x + m (1) với m là tham số.
1. Giải phơng trình (1) khi m = 3
2. Tím m để phơng trình (1) có nghiệm.
Bài 2 (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:



=+
=+
42
52
yx
yx
Bài 3 (2,5đ):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x
2
vào diểm A(0;1).
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm Â(0;1) và có hệ số góc k.
2. Chứng minh rằng đờng thẳng (d)luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt M và N với mọi k.
3. Gọi hoành độ của hai điểm M và N lần lợt là x
1
và x
2
. Chứng minh rằng:
x

1
.x
2
= -1, từ đó suy ra tam giác MON là tam giác vuông.
Bài 4 (3,5đ):
Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy
điểm E ( E khác với điểm A). Từ các điểm E, A và B kẻ các tiếp tuyến với nửa
đờng tròn (O).Tiếp tuyến kẻ từ E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B lần lợt
tại C và D.
1. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ E tới nửa đờng tròn (O). Chứng
minh tứ giác ACMO nội tiếp đợc trong một đờng tròn.
2. Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác BED, từ đó suy ra:

CE
CM
DE
DM
=
3. Đặt AOC =

. Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BD theo R và

.
Chứng tỏ rằng tích AC.BD chỉ phụ thuộc và R, không phụ thuộc và

.
Bài 5 (1đ):
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn: y
2
+yz + z

2
= 1 -
2
3
2
x
.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x+y+z
B - ỏp ỏn A
Cõu 1: khi m = 3 phng trỡnh tr thnh:
034
2
=+
xx
1. Phương trình này có dạng a+b+c = 0, nên có hai nghiệm là:
1
1
=
x
; x
2
=3
2.
m
−=∆
4'
Để phương trình có nghiệm thì:
0'
≥∆
hay m

4
≤
Bài 2:




=+
=+
42
52
yx
yx


⇔




=+
=+
842
52
yx
yx





−=
=
⇔
1.24
1
x
y




=
=
⇔
1
2
y
x
Bài 3
a) Phương trình đường thằng d đi qua A(0;1) và có hệ số góc k là:
y=kx+1
b) Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
x
2
= kx + 1
 x
2
-kx-1=0 (1)
4
2

+=∆
k
Vì k
2
+4 > 0 với mọi k nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt. Do đó đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và
N với mọi k.
c) Áp dụng hệ thức Viet vào phương trình (1) ta có : x
1
.x
2
= -1
Ta có :
∆
> 0 với mọi k nên phương trình luôn có hai nghiệm phân
biệt.
Do đó đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt
M(x
1
; x
1
2
) ; N(x
2
2
).
Phương trình đường thẳng OM là: y = x
1
.x
Phương trình đường thẳng ON là: y = x

2
.x
T ích hai hệ số góc của hai đường thẳng trên lµ: x
1
.x
2
= -1
Vậy hai ®ường th¼ng OM vµ ON vu«ng gãc víi nhau, do ®ã tam gi¸c OMN
lµ tam gi¸c vu«ng tại O.
Bµi 4: D
1. tø gi¸c ACMO cã

0
90
=∠=∠
CMOCAO
M
=> tø gi¸c ACMO néi tiÕp trong C
O
E
®êng trßn ®êng kÝnh OC. A B
2. Tam giác AEC và tam giác BED c ó :
góc E chung
0
90
=∠=∠
EBDEAC
AEC
∆⇒
đồng dạng với

BED
∆
(g-g)
=>
DB
DE
CA
CE
=

m CA = CM ; DB = DMà
V ậy
DM
DE
CM
CE
=
hay
CE
CM
DE
DM
=
3. Tam giác vuông AOC c ó : AC = R.tg
α
Tam giác vuông OBD c ó : BD=
α
tg
R
Từ đó ta c ó: AC . BD =

.
α
Rtg
α
tg
R
= R
2
Vậy , tích AC . BD chỉ phụ thuộc vào R, không phụ thuộc vào
α
Bài 5: cho các số thực x, y, z thỏa mãn: z
2
+ yz + y
2
= 1 -
2
3
2
x
Tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất của biểu thức:
A = x + y + z
Đáp án:
Từ
2
3
1
2
22
x
yyzz

−=++
, biến đổi thành:
222
32222 xyyzz
−=++
222222
2222222
=+−++−++++++⇔
xxyyxxzzxyxzyzzyx
2)()()(
222
=−+−+++⇔
yxzxzyx
⇔
222
)()(2)( zxyxzyx
−−−−=++
Vì
2)()(2
22
≤−−−−
zxyx
với mọi x, y, z nên :
2)(
2
≤++
zyx

⇒

2
≤++
zyx
(Dấu “=” xảy ra khi x=y=z)
22
≤++≤−⇒
zyx

Vậy D
min
=
2
, đạt được khi x = y = z =
3
2
D
max
= -
2
, đạt được khi x = y = z = -
3
2
* Chú ý : Các đề B, C, D cách làm tương tự , chỉ khác kí hiệu.