Đáp an đề thi môn toán THPT tỉnh Lạng Sơn năm 2009-2010

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN
THI VÀO THPT NĂM HỌC 2008-2009 TỈNH LẠNG SƠN
Câu 1 (2 điểm)
a) Với x > 1, rút gọn biểu thức:
4 3 2
x 2x x
A
x 1
− +
=
−
;
1 x 2 x
B 1 1
x 1 x 1
  
−
= + −
 ÷ ÷
+ −
  
b) Tìm x để tích A.B = 8
Giải:
a) Với x > 1 ta có:
( )
2 2
4 3 2
2
x (x 2x 1)
x 2x x
A

x 1 x 1
x(x 1)
x(x 1)
x
x 1 x 1
− +
− +
= =
− −
−
−
= = =
− −
1 x 2 x 1 x x 1 2 x x 1
B 1 1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 x 1 2
.
x 1 x 1 x 1
     
− − + + − +
= + − =
 ÷ ÷  ÷ ÷
+ − + −
     
+
= =
+ − −
Vậy A = x ;
2

B
x 1
=
−
b) Vì A.B = 8 và x > 1 nên:
2
x. 8
x 1
=
−

2x 8 x 8⇔ = −
2
x 4 x 4 0
( x 2) 0
x 2
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ =
x 4⇔ =
(thoả mãn điều kiện x > 1)
Vậy x = 4
Câu 2: (1 điểm)
a) Hãy biểu diễn hai điểm A(2; 3); B(-2; -1) trên mặt phẳng toạ độ.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B.
Giải
a) Biểu diễn điểm A, B trên mặt phẳng toạ độ Oxy:
b) Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a ≠ 0) (d)
Theo đầu bài A ∈ (d) ⇒ 3 = 2a + b (1)
B ∈ (d) ⇒ -1 = -2a + b (2)

Từ (1) và (2) giải hệ:
2a b 3 2b 2 b 1
2a b 1 2a b 3 2a 1 3
+ = = =
  
⇔ ⇔
  
− + = − + = + =
  
b 1 a 1
2a 2 b 1
= =
 
⇔ ⇔
 
= =
 
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + 1
Câu 3: (2 điểm)
Cho phương trình (ẩn x) : x
2
– 2(m + 1)x + m
2
= 0
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
sao cho: x

2
– x
1
= 3, khi đó
tính x
1
, x
2
.
Giải
a) Khi m = 1 ta có: x
2
– 4x + 1 = 0
∆’ = 4 – 1 = 3
1
2
x 2 3
x 2 3
= −
= +
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1 2
x 2 3 ; x 2 3= − = +
b) Ta có:

2 2 2 2
' (m 1) m m 2m 1 m
2m 1
∆ = + − = + + −
= +

Phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
, x
2
⇔ ∆’ ≥ 0
⇔ 2m + 1 ≥ 0
⇔
1
m
2
−
≥
Với
1
m
2
−
≥
phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khi đó theo Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2(m + 1); x
1
x

2
= m
2
theo đầu bài: x
2
– x
1
= 3
⇔ (x
2
– x
1
)
2
= 9 (bình phương 2 vế)
⇔
2 2
1 2 1 2
x x 2x x 9+ − =
⇔
( )
2
1 2 1 2
x x 4x x 9+ − =
⇔ 4(m + 1)
2
– 4m
2
= 9
⇔ 4(m

2
+ 2m + 1) – 4m
2
= 9
⇔ 4m
2
+ 8m + 4 – 4m
2
= 9
⇔ 8m = 5
⇔
5
m
8
=
(thoả mãn
1
m
2
−
≥
)
Với
5
m
8
=
ta có:
2 1
2 1

5
x x 2 1
8
x x 3

 
+ = +

 ÷
 


− =


2 1 2
2 1 1 2
13 25
x x 2x
4 4
x x 3 x x 3
 
+ = =
 
⇔ ⇔
 
 
− = = −
 
2 1

1 2
25 1
x x
8 8
25 1 25
x 3 x
8 8 8
 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
 
= − = =
 
 
Vậy
5
m
8
=
và
1 2
1 25
x ; x
8 8
= =
Câu 4 (4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R. Hai đường

chéo AC và BD cắt nhau tại E. Hạ DH, EG vuông góc với AB (điểm H, G thuộc
AB), DH cắt AC tại K. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ADEG, BCKH nội tiếp được đường tròn.
b) AD
2
= AK.AC
c) AE.AC+BE.BD = 4R
2
d) M là một điểm nằm trên đường tròn đường kính AB. Xác định vị trí
của điểm M để MA + MB lớn nhất, tính giá trị đó.
Giải:
L
J
K
G
H
E
O
A
B
C
D
M
a) Ta có:
·
0
ADB 90=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒
·
0

ADE 90=

·
0
EGA 90=
(gt)
⇒
·
·
0
ADE EGA 180+ =
⇒ Tứ giác ADEG nội tiếp.
Chứng minh tương tự ta có tứ giác BCKH nội tiếp.
b) Giả sử DH cắt (O) tại J ta có: AB ⊥ DJ ⇒ sđ
º
AJ =
sđ
»
AD
mà:
·
º
1
ADJ sdAJ
2
=
và
·
»
1

ACD sdAD
2
=

⇒
·
·
ADJ ACD=
⇒
·
·
ADK ACD=
Xét ∆ADK và ∆ACD ta có:
·
·
ADK ACD=
(cmt) và
µ
A
chung.
⇒ ∆ADK đồng dạng ∆ACD
⇒
2
AD AK
AD AK.AC
AC AD
= ⇒ =
c) Ta có ∆AGE đồng dạng ∆ACB (góc nhọn góc vuông)
⇒
AE AG

AE.AC AG.AB
AB AC
= ⇒ =
(1)
Tương tự: BE.BD = BG.AB (2)
Từ (1) và (2) ta có: AE.AC + BE.BD = AG.AB + BG.AB
= AB(AG+BG)=AB.AB
= 4R
2
Vậy AE.AC + BE.BD =4R
2
d) Hạ ML⊥AB tại L ta có:
MA
2
+ MB
2
= AB
2
(đl pitago)
⇔ (MA+MB)
2
– 2MA.MB = 4R
2
⇔ (MA+MB)
2
= 4R
2

+ 2MA.MB
2

MA MB 4R 2MA.MB⇔ + = +
2
MA MB 4R 2ML.AB⇔ + = +
2 2
MA MB 4R 4ML.R 2 R ML.R⇔ + = + = +
MA+MB lớn nhất ⇔ ML lớn nhất ⇔ ML = R
Vậy M là điểm chính giữa của cung AB ⇒ MA+MB =
2 2
2 R R 2R 2+ =

Câu 5 (1 điểm)
Cho a.b ≥ 1. Chứng minh: a
2
+ b
2
≥ a + b, dấu bằng xảy ra khi nào ?
Giải
Xét a.b ≥ 1 ta có: a, b ≥ 0 hoặc a, b <0
Trường hợp 1: với a <0; b <0 hiển nhiên a
2
+ b
2
> a + b (loại)
Trường hợp 2: với a ≥ 0; b ≥ 0 theo bất đẳng thức coshi ta có:
a
2
+ b
2
≥ 2ab mà ab ≥ 1 ⇒ a
2

+ b
2
≥ 2 ⇒ a
2
+ b
2
– 2 ≥ 0
Giả sử: a
2
+ b
2
≥ a + b
⇔ 2a
2
+ 2b
2
≥ 2a + 2b
⇔ 2a
2
+ 2b
2
– 2a – 2b ≥ 0
⇔ (a
2
– 2a +1) + (b
2
– 2b + 1) + (a
2
+b
2

– 2) ≥ 0
⇔ (a - 1)
2
+ (b - 1)
2
+ (a
2
+b
2
– 2) ≥ 0 luôn đúng
Vậy: a
2
+ b
2
≥ a + b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
------------Hết-----------
Nguyễn Trần Khánh – Phòng GD&ĐT huyện Cao Lộc - Lạng Sơn