(Luận văn thạc sĩ) Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ NĂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

VŨ THỊ NĂM

MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2018


✐

❉❛♥❤ ♠ö❝ ❤➻♥❤
✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✶✳✺
✶✳✻
✶✳✼
✶✳✽
✶✳✾
✶✳✶✵
✶✳✶✶
✶✳✶✷

❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇ê s✉♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➙♠ I ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❛✮ P Q ✤✐ q✉❛ I ❀ ❜✮ P Q ✤✐ q✉❛ IC ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❝✮ P Q ✤✐ q✉❛ IA ❀ ❞✮ P Q ✤✐ q✉❛ IB ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✤è✐ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣

■▼❖ ✷✵✶✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹
✷✳✺
✷✳✻
✷✳✼
✷✳✽
✷✳✾
✷✳✶✵

❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❚ê♥❣ ❞✐➺♥ t➼❝❤ ❝→❝ ❤➻♥❤ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❦❤æ♥❣
◆❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❣✐↔✐ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❣✐↔✐ ✤↕✐ sè✲❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❙❝❤❡❧❧❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳
❑❤✐ R = 21 ❀ a = sin α, b = sin β, c = sin γ ✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ♣❤ö ✶ ✈➔ ♣❤➨♣ ❞ü♥❣ ♣❤ö ✷ ✳ ✳ ✳
P❤➨♣ ❞ü♥❣ ❜➡♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦●❡❜r❛✱ ♥➠♠
❇➔✐ t♦→♥ ❆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❇➔✐ t♦→♥ ❇ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✻
✼
✽
✾
✶✵

✶✶
✶✷
✶✸
✶✹
✶✻
✶✼
✶✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
♣❤↔✐ ❧➔ ❧î♥ ♥❤➜t
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✵✶✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵
✷✶
✷✹
✷✺
✷✻
✷✽
✷✾
✸✵
✸✷
✸✸

✸✳✶ ❛r❜❡❧♦s ✲ ❤➻♥❤ ✧❝♦♥ ❞❛♦ t❤ñ ✤è♥❣ ❣✐➛②✧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
✸✳✷ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶
✸✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❇❛♥❦♦❢❢ t❤ù ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷


✐✐

✸✳✹
✸✳✺
✸✳✻
✸✳✼
✸✳✽
✸✳✾
✸✳✶✵
✸✳✶✶
✸✳✶✷

❇❛ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ❆❇❈ ✳
❈→❝❤ ❞ü♥❣ t❤ù t÷ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥❤➜t ✈➔ t❤ù ❤❛✐
✣à♥❤ ❧þ ❇❛♥❦♦❢❢ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥➠♠ ✈➔ t❤ù s→✉
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❜↔②✱ t❤ù t→♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❝❤➼♥ ✈➔ ❝➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ✳ ✳ ✳
❈➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ♠ët ✈➔ ❝➦♣ t❤ù ♠÷í✐ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✹✸
✹✺
✹✻

✹✼
✹✽
✹✾
✺✵
✺✶
✺✷


✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ð ✤➛✉
✶ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

✶✳✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳✶ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t
✶✳✷✳✷ ❚ø ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸ ⑩♣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐

✷✳✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸ ▲í✐ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳✶ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✸✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤↕✐ sè✲❤➻♥❤ ❤å❝ ❝õ❛ ❙❝❤❡❧❧❜❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❦✐➸✉ ▼❛❧❢❛tt✐ ❣è❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✶ ❍❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ✤➲✉ ✈➔ ❤➻♥❤ ✈✉æ♥❣
✷✳✹✳✸ ❇➔✐ t♦→♥ ▼❛❧❢❛tt✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸ ✣÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❛r❜❡❧♦s

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✈✐
✶
✹
✹
✹
✼
✾
✶✷
✶✹
✶✼

✷✵

✷✵
✷✷
✷✹
✷✹
✷✻
✸✶
✸✶
✸✹
✸✼

✸✽

✸✳✶ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽


✐✈

✸✳✷ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✷✳✶ ❚➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❆r❜❡❧♦s ✳ ✳
✸✳✷✳✷ ❈→❝❤ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❛r❜❡❧♦s ❆❇❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s tr♦♥❣ ❛r❜❡❧♦s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸✳✶ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥❤➜t ✈➔ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳
✸✳✸✳✷ ❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜❛ ✈➔ t❤ù t÷ ✳ ✳ ✳ ✳
✸✳✸✳✸ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ♥➠♠ ✈➔ t❤ù s→✉
✸✳✸✳✹ ❈→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s t❤ù ❜↔② ✈➔ t❤ù t→♠

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✵
✹✵

✹✹
✹✺
✹✺
✹✽
✹✾
✺✵

✺✹


✈

❇↔♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
stt
✶
✷
✸
✹
✺
✻
✼
✽
✾
✶✵
✶✶

❑þ ❤✐➺✉
O9
ρa
(ABC)

(O)
(OA , rA )
[ABC]
(P Q)
O(r)
ab
t=
a+b
(Wk ), (Wk )
(CXY )

◆ë✐ ❞✉♥❣ ❦þ ❤✐➺✉
❚➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ❊✉❧❡r
✺
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ tr♦♥❣ A
✻
✣÷í♥❣ trá♥ ✤✐ q✉❛ ✸ ✤✐➸♠ A, B, C
✶✶
✣÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O
✶✼
❚➙♠✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ▼❛❧❢❛tt✐ tr♦♥❣ A ✷✹
❍➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s
✷✷
◆û❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ P Q
✸✽
✣÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ r
✸✽
❇→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s

✹✺

❈➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s
✣÷í♥❣ trá♥ ❇❛♥❦♦❢❢ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s

✹✻
✹✼




ớ ỡ
t ữủ ởt tổ ổ
ữủ sỹ ữợ ú ù t t ừ P t
rữớ ồ Pỏ ổ t
tọ ỏ t ỡ s s t ỷ ớ tr t ừ tổ ố ợ
ỳ t tổ
ổ t ỡ ỏ t qỵ t
ổ ợ ồ rữớ ồ ồ
ồ t t tr t ỳ tự qỵ
ụ ữ t tổ t õ ồ
ổ ỷ ớ ỡ t t tợ ỳ
ữớ ổ ở ộ trủ t ồ tổ tr sốt
q tr ồ t tỹ
tr trồ ỡ

Pỏ t
ữớ t
ụ

ử ừ t
t ữớ trỏ ổ ỳ t ữủ
t ồ q t t sỹ t ú ừ ữớ trỏ
ợ t tờ ừ t ồ ữ t t t
r t tt t ữớ trỏ tr ồ
rs ừ tủ õ ỹ t tứ t
s t ũ ự ử ừ ú t
q tt ớ ừ ồ t t ữớ
trỏ t ú t t t ú ử ữủ
t tổ ồ t ởt số t ữớ trỏ
t ú ử ừ t
t q ữớ trỏ t ú t
t t r t tt t ữớ
trỏ t ú tr ồ rs
r ộ t ợ ỳ ở ữủ t t tr
tỹ t sự ừ t qt ợ ừ t t
q
t ồ rút r tứ t ử t
ồ s ọ ờ tổ
ỗ ữù ỹ õ trữớ P
õ t ồ s ồ ọ ổ ồ




ở ừ t ỳ qt
r ởt tố t õ tr ử ữủ

t t ừ ữớ trỏ t ú t ở
ữỡ

ữỡ ứ t t t r
t t t t t r ố
ỳ ú t r ởt tr ỳ t
t ừ ồ tr q t ợ
ự ữỡ ỗ
ợ t t t t t r
t ỡ
ử

ữỡ t tt
ợ t t tt t tt ố r
tt ớ t t tt t t ý t ừ
t s ữớ trỏ tt ổ ừ t ttố
ú ừ t õ ữỡ ỗ ử s
ợ t t tt
ớ ừ t tt ố
ớ t tt
ởt số t tt ố

ữỡ ữớ trỏ t ú tr ồ rs
ồ rs ự ỷ ữớ trỏ t ú ỳ rs
ữủ tứ ỳ , , , , , , t rs
ỷ ữớ trỏ ợ ữớ tr ởt ữớ t q
trỹ q ữớ t ồ rs ừ tủ õ


✸

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❛r❜❡❧♦s✱ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ♥➯✉ ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✽ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s ❝õ❛
♠ët ❛r❜❡❧♦s✱ ❝➟♣ ♥❤➟t ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ♣❤→t ❤✐➺♥ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❜❛♦ ❣ç♠✿
✸✳✶✳ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ✤ì♥ ❣✐↔♥
✸✳✷✳ ✣÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s✳
✸✳✸✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ❝➦♣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❆r❝❤✐♠❡❞❡s tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❛r❜❡❧♦s✳


✹

❈❤÷ì♥❣ ✶
❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ❜➔✐ t♦→♥
❋❡✉❡r❜❛❝❤
◆❣÷í✐ t❛ ❤❛② ♥â✐ ✤➳♥ ✈➫ ✤➭♣ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝✳ ❱➟② ✤➙✉ ❧➔ ✈➫ ✤➭♣ ❝õ❛ ♥â❄
✣æ✐ ❦❤✐ ❝❤➾ ①✉➜t ♣❤→t tø ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝ö t❤➸ ❧↕✐ ❞➝♥ tî✐ ♠ët ❜ù❝ tr❛♥❤
t❤➟t ✤➭♣✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ ❜ù❝ tr❛♥❤ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ t♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣✱
①✉➜t ♣❤→t tø ♥❤ú♥❣ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ❜✐➺t✱ t÷ð♥❣ ♥❤÷ ❦❤æ♥❣ ❝â q✉❛♥ ❤➺ ❣➻
♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❣➢♥ ❝❤➦t ✈î✐ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ s➩ ①➨t ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ♥ê✐
t✐➳♥❣ ✈➲ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝✿ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t✳
❈❤ó♥❣ ✤÷ñ❝ ❦❤→♠ ♣❤→ ❜ð✐ ❤❛✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ð ♥❤ú♥❣ ❦❤♦↔♥❣
t❤í✐ ❣✐❛♥ r➜t ①❛ ♥❤❛✉✿ ✤à♥❤ ❧þ t❤ù ♥❤➜t r❛ ✤í✐ ❝→❝❤ ✤à♥❤ ❧þ t❤ù ❤❛✐ ✶✶✻
♥➠♠✳ ❚r↔✐ q✉❛ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ ❞➔✐✱ ♠é✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝â ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ♣❤➨♣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞ü❛ tr➯♥ ♥❤ú♥❣ ❝→❝❤ ♥❤➻♥ ♥❤➟♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❑❤æ♥❣ ❤➲ ♥â✐ q✉→
r➡♥❣ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ♥➔② ♥❤÷ ❤❛✐ ❝❤à ❡♠ r✉ët✿ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤→❝
♥❤❛✉ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët sü ❦✐➺♥ t♦→♥ ❤å❝✳

✶✳✶ ●✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t
✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

✶✳✶✳✶ ❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

❚❛ ❜➢t ✤➛✉ ❜➡♥❣ ♠ët ✈➔✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❜✐➳t✳ ❚r♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣
t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❝❤➼♥ ✤✐➸♠ s❛✉ ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët ✤÷í♥❣ trá♥✿ ❜❛ ❝❤➙♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦
D, E, F ❀ ❜❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝→❝ ❝↕♥❤ M, N, P ✈➔ ❜❛ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣




ố trỹ t ợ t ỵ HA , HB , HC ữớ trỏ q
õ ữủ ồ ữớ trỏ ỹ t ữủ
t r t ồ t t r r
õ ỏ õ t ồ ữớ trỏ r r
ự ữủ ỵ õ t t ừ ữớ trỏ
t ờ t ự ú ữớ ỏ ồ ữớ trỏ
ữớ trỏ r

ỵ t r r ồ t ữớ trỏ
t ú ợ ữớ trỏ ở t ữớ trỏ t

ợ r ữớ trỏ t ữớ trỏ t ú ợ ởt
t ừ ữ ữớ trỏ t
t ABC ự ợ õ A ữớ trỏ t ú ợ BC
AB B AC C ộ t õ
ữớ trỏ t ừ ỵ r r
ởt t ồ ữớ ự tr ừ trt ồ ờ
t r ồ t s tờ ổ
tr t sữ t ồ ừ trữớ s t t ố r
ố s t ừ r t
ữỡ tr r ừ tố õ ồ

ồ tr ự ỵ
r số sỷ ử ổ ử ữ ỵ
Pt tờ qtữ ụ õ ỳ ự t sỡ
ởt tr ỳ ự õ tở Prts t
ừ tr õ t ỵ r trữớ ủ r
ừ ỵ qt t r
ữỡ sỡ

ự sỷ O9, O, I, r, R ữ ỵ t QOS ữớ

ổ õ ợ BC F, N ừ O9 , I BC P
ừ A OQ
ữợ (O9) t ú tr ợ (I, r) O9I = R2 r ữợ ự
tỹ t sỡ ỗ s
ự P O = 2EF


✻

✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ IN.QP = M K.DN = M N.N K
R2
R2
2
✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ O9 I =
+ r − IN (QP + P O) =
+ r2 − Rr =
2
2
2
R

−r
2
2

❇÷î❝ ✷✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ (O9) t✐➳♣ ①ó❝ ♥❣♦➔✐ ✈î✐✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ✤÷í♥❣ trá♥ (Ia)
❜➔♥❣ t✐➳♣ tr♦♥❣ A✳ ❇÷î❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ t❤❡♦ sì ✤ç s❛✉✿
✶✳ ❍↕ Ia Xa ⊥ BC ✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M N.Xa K = M K.Xa D✳
✷✳ ❍↕ O9 L ⊥ Xa Ia ✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ O9 Ia2 =
M N.Xa K

OA2
+ Xa Ia2 + P O.Xa Ia +
4

2
R
R
=
✸✳ ❚ø ✤â ❜✐➳♥ ✤ê✐ t❤✉ ✤÷ñ❝
=⇒ O9 Ia =
+ ρa
+ ρa ✱
2
2
tr♦♥❣ ✤â ρa = ❜→♥ ❦➼♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ tr♦♥❣ A✳

O9 Ia2

❍➻♥❤ ✶✳✶✿ ❇➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

❱î✐ sì ✤ç ✤â t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✱ tr♦♥❣
♣❤➛♥ s❛✉ t❛ s➩ t✐➳♣ ❝➟♥ ❜➔✐ t♦→♥ ♥➔② ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❦❤→❝✳


✼

✶✳✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t
❑❤→❝ ✈î✐ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✱ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥ê✐ t✐➳♥❣ ♥❣÷í✐ P❤→♣ ❱✐❝t♦r ❚❤❡❜❛✉❧t
✭✶✽✽✷✲✶✾✻✵✮✱ t→❝ ❣✐↔ ❝õ❛ ❤ì♥ ✶✵✵✵ ✤à♥❤ ❧þ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✭r✐➯♥❣ ♠ët t↕♣ ❝❤➼
✧❆♠❡r✐❝❛♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦♥t❤❧②✧ ✤➣ ✤➠♥❣ ✺✽✷ ✤à♥❤ ❧þ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣
❝❤ó♥❣✮✳ ✣✐➲✉ ✤â ❝❤ù♥❣ tä ❚❤❡❜❛✉❧t ❧➔ ♠ët t→❝ ❣✐↔ ❝â ✉② t➼♥✳ ✣✐➲✉ ❦❤→
♥❣↕❝ ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❚❤❡❜❛✉❧t ❧ó❝ ✤â ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ♣❤♦♥❣ ❣✐→♦ s÷✳ ❑❤✐ ✤â ✭✈➔ ♥❣❛②
❝↔ ❜➙② ❣✐í✮ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣ ♠❛♥❣ ❧↕✐ ♠ët t❤✉ ♥❤➟♣ ✤→♥❣ ❦➸
♥➯♥ ❚❤❡❜❛✉❧t tr♦♥❣ s✉èt ♥❤✐➲✉ ♥➠♠ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ✈➝♥ ð tr♦♥❣ ♠ët ❝➠♥ ♣❤á♥❣
t❤✉➯ ❝õ❛ ♥❣➔♥❤ ❜↔♦ ❤✐➸♠✳ ❚r♦♥❣ ❝→❝ ❝æ♥❣ ❜è ❝õ❛ ❚❤❡❜❛✉❧t ♥ê✐ t✐➳♥❣ ❤ì♥ ❝↔

❍➻♥❤ ✶✳✷✿ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t
❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ ❜❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝â t➙♠ t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❚❛ ❣å✐ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣
❧➔ ❤➻♥❤ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ✷ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ ✈➔ ♠ët ❝✉♥❣ trá♥✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥ tr➯♥ ❤➻♥❤
✶✳✷✱ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❤❛✐ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣ AD, DB ✈➔ ❝✉♥❣
BA ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ◆❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB, ADC ❧➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t
ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝â ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ù♥❣ ✈î✐
❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣✳ ❚❛ ❝â ❝→❝❤ ❞ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ♥❤÷ s❛✉✿
✲ ❉ü♥❣ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ I ❝õ❛ ∆ABC ✈➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ Dt ❝õ❛ ADB ✳
✲ ❉ü♥❣ q✉❛ I ✤÷í♥❣ Ix ⊥ Dt✱ Ix ∩ BC = F ✳


✽

✲ ❉ü♥❣ q✉❛ F ✤÷í♥❣ F y ⊥ BC ✱ F y ∩ Dt = K ✳
✲ ❉ü♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ (K, KF )✳ ✣â ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝➛♥ ❞ü♥❣✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳ ✭❇➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t✮ ❚r➯♥ ❝↕♥❤ BC ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ❧➜②

✤✐➸♠ D tò② þ✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ ADB
✈➔ ADC ✳ ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t➙♠ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤â ✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐
t✐➳♣ ❝õ❛ ABC ✳

❍➻♥❤ ✶✳✸✿ ✣à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t
✣à♥❤ ❧þ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❚❤❡❜❛✉❧t ❝æ♥❣ ❜è ❞÷î✐ ❞↕♥❣ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ✈➔♦ ♥➠♠
✶✾✸✽ ✭❦❤æ♥❣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✮✱ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤➛✉ t✐➯♥ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❜➡♥❣
♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➼♥❤ t♦→♥ ✈➔♦ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ✶✾✼✵ s❛✉ ❦❤✐ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➣ ♠➜t✳
▼➣✐ ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✻✱ ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➡♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ t❤✉➛♥
tó② ♠î✐ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤✳ ●➛♥ ✤➙② ❝ô♥❣ ❝â ♠ët ♣❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤
❧þ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è ❜➡♥❣ t✐➳♥❣ ◆❣❛ ❜ð✐ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ❊✳ ❉✳ ❑✉❧❛♥♥✐♥ tr♦♥❣
✧●✐→♦ ❞ö❝ ❚♦→♥ ❤å❝✧✱ t➟♣ ✶✶✱ ♥➠♠ ✷✵✵✼✳ ❈→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ♥➔② ❝õ❛
❝❤ó♥❣ tæ✐ ❧➔ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚r÷î❝ ❤➳t ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✈➔ ❜ê s✉♥❣ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❧✐➯♥
q✉❛♥ ✤➳♥ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✱ s❛✉ ✤â ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜➔✐
t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ✭❜ê ✤➲ ❙❛✇❛②❛♠❛✮✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t✱ ❝✉è✐ ❝ò♥❣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ tø ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t✳


✾

✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥
❈❤õ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♣❤➛♥ ♥➔② ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❤❛✐ ❜➔✐
t♦→♥ ♥➯✉ tr➯♥ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❞ü❛ ✈➔♦ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ❤❛② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜ê
✤➲ ❙❛✇❛②❛♠❛✱ þ t÷ð♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✼❪✳
✣➸ t❤➜② ❤❛✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❝ò♥❣ ♠ët sü ❦✐➺♥ ❤➻♥❤

❤å❝ t❛ ❤➣② ♥❤î ❧↕✐ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➻♥❤ ❤å❝ s❛✉ ✤â s➩ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ tø ✤â rót r❛ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t✱ tø ✤â ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✳
❚❛ ❜ê s✉♥❣ t❤➯♠ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ❝õ❛ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣✿

❍➻♥❤ ✶✳✹✿ ❇ê s✉♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ t➙♠ I

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ✭❛✮ ❈❤♦ ∆ABC ✱ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ (O)✱ ✤÷í♥❣ trá♥

♥ë✐ t✐➳♣ ❧➔ (I)✳ ❑➨♦ ❞➔✐ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ BAC ❝➢t ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣
ð L t❤➻ LI = LB = LC ✳
✭❜✮ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ C1 ✈➔ C2✱ C1 ð tr♦♥❣ C2✱ t✐➳♣ ①ó❝
C2 ð T ✱ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ❞➙② ❝✉♥❣ BC ❝õ❛ C2 ð Q✳ ❚✐❛ T Q ❝➢t C2 t↕✐
L✳ ❑❤✐ ✤â✱ L ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ CB ✱ T L ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ BT C ✈➔
LQ.LT = LB 2 = LC 2 ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭❛✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈➻ LAB = LAC ♥➯♥ L ❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝õ❛

❝✉♥❣
BC ❤❛② LB = LC ✳ ●å✐ M ❧➔ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ ACB
✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ●â❝ IBL ❝❤➢♥ ❝✉♥❣ M L ♥➯♥
❝â sè ✤♦ ❜➡♥❣ ♥û❛ tê♥❣ ❝→❝ ❝✉♥❣ M C ✈➔ CL✳ ◆â ❧↕✐ ❜➡♥❣ ♥û❛ tê♥❣ sè ✤♦




AM LB
AM = M C
LB = CL õ
BIL r IBL = BIL ố ũ LI = LB = LC t tữỡ
tỹ t õ t t ự t t ố ợ t ữớ trỏ

t t
t tỹ t T C1 t C2 õ s Q t
L ữớ t BC t ú ợ C1 t Q t ữớ t s
s ợ BC t ú C2 t L t t s s ợ BC
L tr ừ CB ỡ ỳ õ ở t LCB, LT C
t LCQ ỗ ợ t LT C tứ õ LQ.LT =
LB 2 = LC 2
t tữỡ tỹ t õ t t ự t t ố
ợ t ữớ trỏ t t õ T L õ
ợ õ BT C

ỵ t ỡ r BC ừ t ABC

tũ ỵ ởt M ở t tr t ởt ữớ trỏ t
J t ú ợ M A, M B ữủt t P Q t ú ữớ trỏ (O)
T õ ữớ t P Q q I

t ỡ


✶✶

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❳❡♠ ❤➻♥❤ ✶✳✺
❇÷î❝ ✶✳ ✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ QI ❝➢t ❧↕✐ ✤÷í♥❣ trá♥ (J) ð P ✱ AI ❝➢t (O) ð L✱

t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✭❛✮✱ L❧➔ tr✉♥❣ ✤✐➸♠ ❝✉♥❣ BC ✳

❇÷î❝ ✷✳ ❚❛ ❝â BQT

1

s✤(
2
BT ) =s✤ T AI =⇒ BQT = T AI ✳

= QP T = T AI ✮✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ s✤ BQT =

1
s✤ ( BL+
2
◆❣♦➔✐ r❛✱ ❣â❝ BQT ❧➔ ❣â❝ ❣✐ú❛ t✐➳♣ t✉②➳♥ ✈➔ ♠ët ❞➙② ❜➡♥❣ ❣â❝ ♥ë✐ t✐➳♣
QP T ❝ò♥❣ ❝❤➢♥ ♠ët ❝✉♥❣✳
❇÷î❝ ✸✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❚ù ❣✐→❝ AP IT ♥ë✐ t✐➳♣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â QP T =
T AI ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ AIT = AP T ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✶✳✶✭❜✮✱ LQ.LT =
LB 2 = LI 2 ✳ ❙✉② r❛ ∆LQI ∼ ∆LIT ✳ ❚ø ✤â s✉② r❛✿ LQI = LIT ✳ ◆❤÷
✈➟②✱ T QP = AIT = AP T ✳
❇÷î❝ ✹✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ T QP = AP T ❝❤ù♥❣ tä AP t✐➳♣ ①ó❝ (J)✳ ❉♦ ✤â✱
P ≡ P✳
CL+

BT ) =

❍➻♥❤ ✶✳✻✿ ❛✮ P Q ✤✐ q✉❛ I ❀ ❜✮ P Q ✤✐ q✉❛ IC

❍➺ q✉↔ ✶✳✶✳ ❱î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ♥❤÷ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ❦❤✐ ✤â✱ ✤÷í♥❣ trá♥

(AP F ) ✤✐ q✉❛ t➙♠ I ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❧➔ M ≡ C ✳ ▲ó❝ ♥➔② ✤÷í♥❣
trá♥ (J) t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✷ ❝↕♥❤ CA, CB ✈➔ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣

✶✷

❍➻♥❤ ✶✳✼✿ ❝✮ P Q ✤✐ q✉❛ IA❀ ❞✮ P Q ✤✐ q✉❛ IB
t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝â t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❦❤→❝
t❤❡♦ q✉❛♥ ❤➺ ❝õ❛ (J) ≡ γ ✈î✐ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✳ ❚r➯♥ ❝→❝ ❤➻♥❤ ✶✳✻✱✶✳✼ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ✹ ❦❤↔ ♥➠♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ M ❝â t❤➸ ♥➡♠ tr➯♥ ❝↕♥❤ BC ❤♦➦❝ tr➯♥ ♣❤➛♥
❦➨♦ ❞➔✐✱ ❤➻♥❤ ✶✳✻ ❛✮✱ ❜✮❀ ✶✳✼ ❝✮✱ ❞✮✳ ❚➜t ❝↔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tr➯♥ ✤➲✉ ✤ó♥❣
✈➔ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✳

✶✳✷✳✶ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t
✣➸ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t t❛ ❝❤ó þ t❤➯♠ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❑➫ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝❤✉♥❣ tr♦♥❣ ✈➔ ❝❤✉♥❣ ♥❣♦➔✐ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣

trá♥✳ ❑❤✐ ✤â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ♥❤➜t ✈➔
✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❤❛✐ ❝➢t ♥❤❛✉ tr➯♥ ✤÷í♥❣
t❤➥♥❣ t➙♠✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲

●✐↔ sû (O1 ) ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ♥❤➜t✱ A1 , B1 ❧➔ ❝→❝ t✐➳♣ ✤✐➸♠ tr➯♥ (O1 )✱ ❦þ
❤✐➺✉ t÷ì♥❣ tü tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ t❤ù ❤❛✐ ✭❝→❝ ✤✐➸♠ A1 , A2 ♥➡♠ tr➯♥ ♠ët t✐➳♣
t✉②➳♥✮✳ ❉ü♥❣ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β t÷ì♥❣ ù♥❣ ❝â ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤ A1 A2 , B1 B2 ✳
✣÷í♥❣ t❤➥♥❣ O1 A1 t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ δ ✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ O1 B1 t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ β ✳ ◆❣❤➽❛
❧➔ O1 A21 = O1 B12 ✱ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ O1 ✤è✐ ✈î✐ δ ❜➡♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ ❝õ❛ O1


✶✸

✤è✐ ✈î✐ β ✳
❍♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü ✤è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ A2 , B2 ✳ ❚❛ s✉② r❛ O1 O2 ❧➔ trö❝ ✤➥♥❣

♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β ✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ A1 B1 , A2 B2
s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❝õ❛ ❝→❝ ❣â❝ ❣✐ú❛ ❝→❝ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❦➲ ♥❤❛✉ ♥➯♥
✈✉æ♥❣ ❣â❝ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ t↕✐ E ✳ ●✐❛♦ ✤✐➸♠ E ♥❤➻♥ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❦➼♥❤
❞÷î✐ ♠ët ❣â❝ ✈✉æ♥❣ ♥➯♥ ♥â t❤✉ë❝ ❝↔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ δ, β ✳ ●✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛
❤❛✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥➔② t➜t ♥❤✐➯♥ ♥➡♠ tr➯♥ trö❝ ✤➥♥❣ ♣❤÷ì♥❣ O1 O2 ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳
▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❍➻♥❤ ✶✳✽✿ ❈→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇➙② ❣✐í t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t✿ ✣÷í♥❣

t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t t❤ù ♥❤➜t ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤
M A ✈➔ M B ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t t❤ù
❤❛✐ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ M A ✈➔ M C ❝➢t ♥❤❛✉ tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ t➙♠ ✭▼➺♥❤
✤➲ ✶✳✷✮✳ ▼➦t ❦❤→❝ t❤❡♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥è✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ✤✐ q✉❛
t➙♠ I ♥➯♥ t❛ ❝â ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t➙♠ ✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ I ❝õ❛ ∆ABC ✳


✶✹

◆➳✉ ❞ò♥❣ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ tr➯♥ ❝→❝ ❤➻♥❤
✶✳✻ ✈➔ ❤➻♥❤ ✶✳✼ t❤➻ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t tê♥❣ q✉→t ✈î✐ ♠å✐ ✈à tr➼
❝õ❛ M ✈➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✭tr➯♥ ❤➻♥❤ ✶✳✽ t❛ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ ❝→❝ ✤÷í♥❣
trá♥ γ1 , γ2 ✮✳

✶✳✷✳✷ ❚ø ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤

❍➻♥❤ ✶✳✾✿ ❚ø ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t ✤➳♥ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤
◆❤í ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t t❛ s➩ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤
❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤✳ ▲÷✉ þ r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ①✉➜t ❤✐➺♥ r➜t sî♠ s♦ ✈î✐ ❜➔✐

t♦→♥ ❚❤❡❜❛✉❧t✳ ✣➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝→❝❤ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✈➔ ❦➳t q✉↔ t❤✉
✤÷ñ❝ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ✤à♥❤ ❧þ ✤➭♣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❊✉❝❧✐❞❡✳ ◆❤÷♥❣ ✈✐➺❝
s✉② r❛ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ tø ✤à♥❤ ❧þ ❚❤❡❜❛✉❧t ❧➔ ❝→❝❤ t✐➳♣ ❝➟♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥
♠î✐✳ P❤➨♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ð ✤➙② ✤ì♥ ❣✐↔♥ ✈➔ ♥❣➢♥ ❤ì♥ s♦




ợ ự tõ tt tr sỷ ABC t trữợ
A1 , B1 , C1 tr A2 , B2 , C2 ữớ
õ tr ởt ữớ trỏ õ ữớ trỏ
ự õ t ú ợ ữớ trỏ ở t ữớ trỏ t
ừ t ABC t ữớ trỏ ỗ ữớ trỏ ở t ởt
tr ữớ trỏ t t ú ợ AC s
ữớ trỏ ữớ trỏ t ố ợ ởt t
õ ở t tr ữớ trỏ ữủ õ t ỵ
r s ữủ ự t ữớ trỏ t t
t ú ợ ữớ trỏ t t tự ữớ
trỏ õ ữớ trỏ t ú ợ ữớ
trỏ ở t ởt ữớ trỏ t ụ ữ ố ợ
ữớ trỏ t ỏ t ở
t tr ữớ trỏ tr A1 B1 C1 t
trỹ t A2 B2 C2 ổ t ợ
A1 B1 C1 A2 B2 C2 t s tỗ t t tt ú ở
t tr ữớ trỏ ữ tr ữớ trỏ õ t
ởt õ t B1 B2 A2 ừ õ
ữớ A2 , B2 ởt tr B1 C õ trỏ M
õ tr B2 B1 ừ t B1 B2 A2
ữớ trỏ ở t ữớ trỏ t ừ t ABC t
ú AC ữớ trỏ t ố ợ t B1 B1 A2 ố

ợ C tr ữớ B1 B2 õ t trữớ ủ
ỵ t tr M tr
ừ t ữ tr ỵ t t M
ổ tr tr ừ t t t s
ữủ ỵ r õ ỵ ũ ởt ố
ữủ ự ớ t ỡ
ớ t ự tọ r ữớ trỏ ở t ữớ trỏ
t õ ữớ trỏ t ố ợ t B1 B1 A2
C tr ữớ ừ B1 B2 õ t
ũ t ỡ t ự ữủ t M N ố
t ừ ữớ trỏ ở t t ABC ợ CA CB
q t ở t I1 ừ t B1B2A2 t tt ữủ ự


✶✻

❚❤➟t ✈➟②✱ q✉❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ I1 ❦➫ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✱ t↕♦ ❝→❝
❣â❝ ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ✈î✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ CA2 ✈➔ CB2 ✱ ❦❤✐ ✤â tø ✤à♥❤ ❧þ ✭❝❤➼♥❤
①→❝ ❤ì♥ ❧➔ tø tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❤➻♥❤ ✶✳✽❜✮ rót r❛ r➡♥❣ ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐
❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ♥➔② t↕✐ ✤✐➸♠ M ✈➔ N ✭✤â ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝
ABC ✮✱ ♥ë✐ t✐➳♣ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ❝♦♥❣ A2 CB2 ✱ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ ❝→❝ ✤♦↕♥ t❤➥♥❣
CA2 , CB2 ✈➔ ❝✉♥❣ B2 A2 ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ ♥â t✐➳♣ ①ó❝
✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳ ✣è✐ ✈î✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❤♦➔♥ t♦➔♥ t÷ì♥❣ tü✳

❍➻♥❤ ✶✳✶✵✿ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸
◆❤÷ ✈➟② t❛ ❝❤➾ ❝á♥ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✤✐ q✉❛ t➙♠ ♥ë✐
t✐➳♣ I1 ❝õ❛ t❛♠ ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✳ ✣➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ s➩ ♣❤→t ❜✐➸✉ t❤➔♥❤ ♠➺♥❤
✤➲ s❛✉✿

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❚r♦♥❣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC tò② þ✱ ❣✐❛♦ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝
✈î✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ ❝↕♥❤ CB ✱ t❤➥♥❣
❤➔♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ t✐➳♣ ✤✐➸♠ ❝õ❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t↕✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA ✈➔ CB ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲✳ ●✐↔ sû I ❧➔ t➙♠ ♥ë✐ t✐➳♣ ✈➔ M, N ❧➔ ❝→❝ t✐➳♣ ✤✐➸♠
B

tr➯♥ ❝→❝ ❝↕♥❤ CA, CB ❀ K ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ B ✈î✐ ✤÷í♥❣ tr✉♥❣
❜➻♥❤ B1 C1 ✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ K, M, N t❤➥♥❣ ❤➔♥❣✳ ❚❛ ❝â BKC1 =
B1 = B2 =⇒ C1 B = C1 K ✳ ❉♦ ✤â✱ tr✉♥❣ t✉②➳♥ KC1 ❝õ❛ ∆ABK ❜➡♥❣
♥û❛ ❝↕♥❤ AB ♥➯♥ AKB = 900 ✳ ❑❤✐ ✤â tù ❣✐→❝ AM KI ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷ñ❝✱ t❛
1
s✉② r❛✿ KM C = KIA = 900 − C = N M C ✭✈➻ CM IN ♥ë✐ t✐➳♣✮✱ ♥❣❤➽❛
2


✶✼

❧➔ K ∈ M N ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✤è✐ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ AA2C

❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ✈✉æ♥❣ ♥➯♥ B1 A2 = B1 C ✱ ❞♦ ✤â✱ t✐❛
B1 C1 s♦♥❣ s♦♥❣ ✈î✐ BC ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ A2 B1 A✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ ♥â ❝❤ù❛ ✤✐➸♠
I1 ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ✤✐➸♠ C1 ♥➡♠ tr➯♥ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣♦↕✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✱ ❞♦
✤â✱ C1 I1 = C1 A2 ✳ ◆❤÷♥❣ ✈➻ t❛♠ ❣✐→❝ AA2 B ✈✉æ♥❣ ♥➯♥ C1 A2 = C1 B ✳ ◆❤÷
✈➟②✱ t❛♠ ❣✐→❝ BC1 I1 ❧➔ t❛♠ ❣✐→❝ ❝➙♥✳ ❑❤✐ ✤â tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ I1 BC = BI1 C1
s✉② r❛ BI1 ❧➔ ♣❤➙♥ ❣✐→❝ ❣â❝ B ✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ♠➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸ t❛ ✤÷ñ❝ ✤✐➸♠ I t❤✉ë❝
M N ✳ ❚❤❡♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝ì ❜↔♥✱ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ M N ✤✐ q✉❛ t➙♠ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐

❍➻♥❤ ✶✳✶✶✿ ✣à♥❤ ❧þ ❋❡✉❡r❜❛❝❤ ✤è✐ ✈î✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣
t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ B1 B2 A2 ✱ ❜ð✐ ✈➟② ✤÷í♥❣ trá♥ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ❝→❝ ❝↕♥❤ ❝õ❛ ❣â❝
C t↕✐ M ✈➔ N ✭✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ✮ t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣
trá♥ B1 B2 A2 ✱ tù❝ ❧➔ ✤÷í♥❣ trá♥ ♥ë✐ t✐➳♣ t❛♠ ❣✐→❝ ABC t✐➳♣ ①ó❝ ✈î✐ ✤÷í♥❣
trá♥ ❝❤➼♥ ✤✐➸♠✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ trá♥ ❜➔♥❣ t✐➳♣ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❤♦➔♥ t♦➔♥✳

✶✳✸ ⑩♣ ❞ö♥❣

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✶✳ ✭■▼❖ ✷✵✶✷✮ ❈❤♦ t❛♠ ❣✐→❝ ABC ♥ë✐ t✐➳♣ ✤÷í♥❣ trá♥ (O) ✈î✐

❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ BB , CC ✳ ❚✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ (O) t↕✐ B, C ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ t↕✐ X ✳