BAI TAP KHONG GIAN VECTOR

BÀI TẬP
KHÔNG GIAN VECTOR

TRẦN NGỌC DIỄM


Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

V là không gian vector trên K(R, C); x1, x2, …, xn và y là
các vector trong V.

1.
2.

y là tổ hợp tt của x1, x2, …, xn

x1, x2, …, xn độc lập tt
⇔ hệ phương trình

α1 x1 + α 2 x2 + L + α n xn = 0 ( ∗)
x1 = x2 = L = xn = 0

Có duy nhất nghiệm

3.

x1, x2, …, xn độc lập tt
⇔ hệ phương trình

⇔ y = α1 x1 + α 2 x2 + L + α n xn

( ∗)

Có vô số nghiệm


Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

1. Trên R3 cho u1 = (-1,1,1), u2 = (1,-1,1), u3 = (1,1,-1)
a.

u = (2, -1, 0) có là tổ hợp tuyến tính u 1, u2, u3?

b. u1, u2, u3 đltt hay pttt
2.

Xét sự đltt của M = {(1,1,1), (3,2,2), (2,1,1)} treân R 3

3.

Trên C2, xét sự đltt của M = {(1+ i, -i), (1+3i, 1-2i)} nếu:

* C2 là kg vector trên R
* C2 là kg vector trên C


4.

Tìm để u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2 :

1 / u1 = ( 2, −1,3) , u2 = ( 1,1,2 ) , u = ( 1, −2, m + 5 )

2 / u1 = ( 1, 2,3,4 ) , u2 = ( 0,3, −2, 2 ) , u3 = ( 1,0, −3,5 )
u = ( 0,5, m − 5,1)
2


Một họ vector quan trọng

M = {e1,..., en } ⊂ Rn

M = {e1,..., en } ⊂ C n

ei = (0,...,0,1,0,...,0)
Vị trí thứ i

* M độc lập tt trên Rn, Cn(C).
* Mọi vector (x1, …, xn) trong Rn hoặc Cn(C) đều là thtt của các ei .


Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

1.

M pttt ⇔ có 1 vector là tổ hợp tt của các vector còn lại.

2.

Tập M có vector 0 là tập pttt.

3.

Mọi tập con của tập đltt là đltt.

4.

Thêm 1 vector vào tập pttt được tập pttt.

5.

Bớt 1 vector từ tập đltt được tập đltt.

Bổ đề cơ bản
Cho m vector y1, …, ym là tổ hợp tt của k vector
thuộc tuyến tính.

x1, …, xk. Nếu m > k thì y1, …, ym phụ


Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt

Xét sự đltt của các tập hợp sau:

1.

M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) }

2.

M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)}

Hạng của hệ vector

r(M) = r ⇔ * M có 1 tập con r phần tử đltt
* Các tập con có hơn r ptử đều pttt.

1.

A là ma trận m×n: r(A) bằng hạng của hệ vector dòng
và hệ vector cột.

2.

r(M) = r, M có r phần tử ⇔ M đltt

3.

M = {x1, x2, …, xp}, r(M) = r ,
M’ = {x1, x2, …, xp, xp+1, …, xp+q }, với xp+1, …, xp+q là thtt x1, x2, …, xp ⇒ r(M’) = r.


Hạng của hệ vector

Tìm hạng của các hệ vector

1. Trên R3, cho M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (-1, 4, 5)}

2. Trên R3, M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (2, 4, 1), (-1, 4, 5)}

3.

Trên R3

M = { ( a + b − c, 2a + 4c, −a + 2b + c ) : a, b, c ∈ R}


Tập sinh – Cơ sở

V là kgv. trên K, M ⊂ V, V = <M> , là tập sinh của V nếu mọi vector trong V là thtt của các vector
trong M.

S là cơ sở của V nếu S sinh ra V và S đltt

dimV = Số phần tử của cơ sở


Tập sinh – Cơ sở

dimV = n, M ⊂ V

a. M có nhiều hơn n vector thì M phụ thuộc tt.
b. M có ít hơn n vector thì M không sinh ra V
c. r(M) = n ⇔ <M> = V

dimV = n, M có n phần tử

a.

<M> = V ⇔ M là cơ sở củaV

b.

M độc lập tuyến tính ⇔ M là cơ sở của V

c.

r(M) = n ⇔ M là cơ sở củaV


Tập sinh – Cơ sở

Bổ sung cơ sở: cho dimV = n, M là tập con đltt của V có k< n vector. Có thể bổ sung (n-k)
vector vào M để tạo thành cở sở của V.

Cách làm:
* Thành lập ma trận hàng cho M.

* Đưa về ma trận bậc thang và chọn vector bổ sung: vector bổ sung tương ứng với các phần tử cơ
sở còn thiếu.


Tập sinh – Cơ sở

Kiểm tra sự đltt của các hệ vector sau, bổ sung vào các
hệ này để có một cơ sở của R 3 hay R4 .

B = { ( 1,1, −2 ) , ( 1,2,2 ) }

B = { ( 1,0, 2, 2 ) , ( 3, −1, 2,1) }
B = { ( 1,1,1,1) , ( 3,3, −1, −1) , ( −2, −2,6,8 ) }

Tọa độ vector

Cho V là kg n chiều, E là 1 cơ sở được sắp thứ tự của V, E = {u 1, u2, …, un}.

Khi đó mỗi u∈ V được biểu diễn duy nhất dạng

u = α1u1 + ... + α nun

[ u] E

 α1 
 
 α2 
= 

 
α 
 n

Được gọi là tọa độ của u trong E


Tọa độ vector

Hạng của hệ vector trong không gian hữu hạn chiều bằng hạng của ma trận tọa độ (trong 1 cơ sở
bất kỳ).

Các vấn đề trên không gian hữu hạn chiều được đưa về khảo sát trên R n.

Tọa độ vector

E = {e1, e2, …, en}, E’ = {e1’, e2’, …, en’} là hai cơ sở được sắp thứ tự của V.

S = ([e1′]E [e2′ ]E L [en′ ]E )

Tọa độ của vector mới trong cơ sở
cũ.

gọi là trận chuyển cơ sở từ E sang E’

S là ma trận khả nghịch, S

-1

là ma trận chuyển cơ sở từ E’ sang E.

[ x ]E ' = S −1[ x ]E


Tọa độ vector

1. Trong cơ sở chính tắc E = {e1, e2, e3} của R3, vector (x,y,z) có tọa độ là gì?

2. Với E = {(1,1,1) (1,1,2), (1,2,3)}, u = (-1,2,-1), tìm tọa độ của u trong E.

3.

E =

Cho vector u có tọa độ trong cơ sở

{ ( 1,1,1) ( 1,1, 2 ) , ( 1, 2,3) }
Tìm tọa độ của u trong cơ sở:

E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}.

là

(3

−1 4)

T


Tọa độ vector

1.

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang cơ sở E’ = {(1,2,3), (-1,0,5),
(2,1,6)}.

2.

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
E’ = {(1,1.-1), (1,-1,1), (-1,1,1)} sang cơ sở chính tắc E trong R 3.

3.

Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E {(1,1.-1), (1,-1,1),
(-1,1,1)} sang E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)} trong R 3.


Tọa độ vector

5.

Cho

E = { e1, e2 , e3}

đltt trong R3.

e1′ = 8e1 − 6e2 + 7e3 , e2′ = −16e1 + 7e2 − 13e3 , 
E′ = 

e3′ = 9e1 − 3e2 + 7e3

Tìm mt chuyển cơ sở

Biết

[ x ] E′ = ( −1, 4,0 )

E → E ′, E ′ → E
T

, tìm

[ x] E


Không gian con

Cho V là kgv trên K, U là tập con không rỗng của V, U là kg con củaV nếu U đúng với các phép toán
trên V.

* U ≤ V thìU cuõng
laø
kgvtreân
K

* dimU≤ dimV
Hai không gian con đặc biệt:
V ≤ V (không gian con lớn nhất của V)
{0} ≤ V (không gian con nhỏ nhất của V, dim{0} = 0)


Không gian con

Bao tuyến tính của hệ vector: M = {x1, x2, …, xn}
<M> = {α1x1 + …+ αnxn/ αi ∈ K}
dim<M> = hạng của M.
Một cơ sở là một tập con đltt tối đại của M.

* Viết ma trận với các hàng là các vector trong M.
* Đưa ma trận về bậc thang:

 Hạng của ma trận = dim<M>
 Các dòng khác 0 tương ứng với cơ sở của <M>.


Không gian con

Không gian nghiệm hệ pt thuần nhất:
A ∈ Mm×n, X ∈ Rn, U = { X/ AX =0}

dim U = n – r(A) = số ẩn tự do.
Một cơ sở là hệ nghiệm cơ bản của hệ pt AX = 0

Hệ nghiệm cơ bản là hệ nghiệm có được khi lần lượt cho một ẩn tự do bằng 1 và các ẩn tự do còn
lại bằng 0.


Không gian con

1.

Tìm cơ sở và chiều của các không gian sau:

a)U = < { ( 1,2,1,1) , ( −2,0,1, −1) , ( 0,1,1,0 ) , ( 1, −2,1, −3 ) } >
( x1 , x2 , x3 , x4 ) :



x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 0

b)U = 


2 x1 + 4 x4 − 3x3
= 0


x1 + 2 x2 + x3 + 5 x4 = 0


Không gian con

2.

Tìm một cơ sở của:

W = ( 1,1,2,2 ) , ( −2,0, −3, −5 ) , ( 4,6,9,7 ) , ( 1, −5, −1,5 )
Với giá trị nào của m thì

3. Cho

u = ( 5,1,8, m ) ∈W

( x1, x2 , x3 ) : mx1 + x2 + 3 x3 = 0; 


W =
mx1 − 2 x2 + x3 = 0;


x
−

x
+
x
=
0
1
2
3


Tìm m để dimW nhỏ nhất.


Không gian con