ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (487.21 KB, 16 trang )
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 1
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm tất cả các nghiệm của phương trình z 4 + i = 0 .
Câu 2 : Trong không gian IR3 cho hai không gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 + 2 x3 = 0 },
G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + 3 x2 + x3 = 0 }. Tìm chiều và một cơ sở của F ∩ G
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
1 −2 1
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) } và F = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) } là A =
. Tìm f ( 4 , 7 , 3 )
2
0
4
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 2 ) ; f ( 1 , 0 , 1 ) = ( 0 , 1 ) ;
f( 0 , 1 , 1 ) = ( 1 , −1 ) . Tìm một cơ sở E và chiều của Ker f .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( 1 , 1 ) = ( −5 , −1 1 ) ; f( 0 , 1 ) = ( 3 , 7 ) . Tìm tất cả các
trò riêng của f .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 thoả ∀( x1 , x2 ) ∈ IR2 : f ( x1 , x2 ) = ( 2 x1 + x2 , x1 − 3 x2 ) .
Tìm ma trận AE,E của f trong cặp cơ sở E, E, với E = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 1 ) }.
Câu 7 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc cho x = ( 1 , 0 , 1 , 1 ) và không gian con
H = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 + x2 − x3 + x4 = 0 & 2 x1 + 3 x2 − x3 + 3 x4 = 0 }. Tìm hình chiếu
vuông góc prH x từ x xuống không gian con H.
Câu 8 : Tìm một ma trận đối xứng thực A cấp 3 (không là ma trận chéo), sao cho A có ba trò riêng là
2 ,4 ,5 .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 2
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
√
i2007 ( − 3 + i)
Câu 1 : Tìm argument của số phức z =
( 1 + i) 18
1
Câu 2 : Tìm ma trận X thoả X · 2
1
1
1
−1
−1
5
0 = 4
1
1
22
.
−1
3
−2
1
2
.
5
Câu 3 : Trong IR3 cho hai không gian con F = {( 1 , 1 , 1 ) ; ( 2 , 1 , 1 ) } và G = {( 2 , 3 , 1 ) ; ( −1 , 1 , 2 ) }. Tìm cơ
sở và chiều của không gian con F ∩ G.
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết
f( 0 , 0 , 1 ) = ( 1 , 2 , −1 ) ; f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 2 , 1 , 3 ) ; f ( 1 , 1 , 1 ) = ( −1 , 0 , 1 ) . Tìm f ( x) .
Câu 5 : Trực chuẩn hoá cơ sở E = {( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 3 , 0 , 1 ) } của IR3 .
Câu 6 : Cho hai không gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 − x2 − 2 x3 = 0 & 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 } và
G =< ( 1 , 2 , 2 ) ; ( 2 , 1 , 0 ) ; ( 0 , 4 , m) >. Tìm m để F trực giao với G.
7
Câu 7 : Tìm m để λ = 1 là giá trò riêng của ma trận A =
2
−2
4
1 6
5
8
m −5
4
6
0
3
3
Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR −→ IR có ma trận trong cơ sở chính tắc là A = −3 −5 0
.
−3 −6 1
Tìm một cơ sở (nếu có) của IR3 để ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 3
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Giải phương trình z 4 + 4 z 3 + z 2 − 1 6 z − 2 0 = 0 , biết z = −2 + i là một nghiệm.
Câu 2 : Tính đònh thức của ma trận A100 , biết A =
2
3
−3
5
Câu 3 : Tìm m để r( A) = 4 , biết A =
3
1
2
4
1
3
4
2
5
7
0
−1
2
1
m −1
.
Câu 4 : Trong P2 [x], cho không gian con F = {p( x) | p( 1 ) = 0 } và tích vô hướng ( p, q) =
Tìm m để véctơ f ( x) = x − 8 x + m thuộc không gian F .
2
1
p( x) q( x) dx.
0
⊥
Câu 5 : Trong IR4 cho không gian con F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = 0 & 2 x1 +3 x2 −x3 −3 x4 = 0 }
và một véctơ x = ( 1 , 2 , 1 , 1 ) . Tìm hình chiếu vuông góc của x xuống F .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
t ma
2 3
1
E = {( 1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =
3
1 0
Tìm ma trận B của f trong cơ sở chính tắc.
trận của f trong cơ sở
−1
0
.
−1
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,
f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm m để x = ( m, −1 , 0 ) là véctơ riêng của f .
Câu 8 : Đưa dạng toàn phương sau về chính tắc bằng BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi:
f( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
−1 + i
Câu 1 : Tính z = √
.
( 3 − i) 17
Câu 2 : Trong IR3 , với tích vô hướng ( x, y) = ( ( x1 , x2 , x3 ) , ( y1 , y2 , y3 ) ) = 5 x1 y1 + x2 y2 + 2 x3 y3 , cho
không gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) | x1 + x2 − 2 x3 = 0 }. Tìm m để véctơ x = ( 1 , 5 , m) ∈ F ⊥
2
3
−3
5
Câu 3 : Tìm m để A khả nghòch, biết A =
1
3
4
2
5
7
0
−1
2 1
m 2
Câu 4 : Trong P2 [x], cho hai không gian con F =< x + 1 , x2 − 1 > và G =< x2 + 1 , 2 x + 1 >.
Tìm chiều và một cơ sở F ∩ G.
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 1 ) , f ( 0 , 1 , 1 ) = ( 3 , −2 , 1 ) ,
f( 0 , 0 , 1 ) = ( 3 , 0 , 1 ) . Tìm ma trận B của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) }
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f
IR3
1
E = ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 ) là A = 2
3
:
−→
1 −1
3
0
5
1
I
R3 ,
.
biết ma trận của f trong cơ sở
Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f( 1 , 1 ) = ( 5 , 8 ) ; f ( 1 , 2 ) = ( 5 , 9 ) . Tìm một cơ sở B
của IR2 sao cho ma trận của f trong B là ma trận chéo. Tìm ma trận chéo này.
Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết nhân sinh ra bởi ( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 0 ) và f ( 1 , 0 , 1 ) =
( 2 , 0 , 2 ) . Tìm trò riêng và cơ sở của các không gian con riêng.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 5
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Giải phương trình z 4 + 3 z 2 − 4 = 0 trong C.
3
1
Câu 2 : Tính 3 A2 − 5 I, với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A = 2
4
1
1
0
0
.
−1
Câu 3 : Trong không gian IR3 cho hai không gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = 0 } và
G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G) ⊥ .
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR
3,
1
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A = 2
3
Câu 5 : Chéo hóa ma trận A =
2
1
2
3
biết matrận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
2 −1
3
0
Tìm một cơ sở và chiều của Im f .
1
2
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả
∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 + x3 , 2 x1 + x2 + 2 x3 , x1 − x2 − 2 x3 ) .
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) }.
Câu 7 : Đưa dạng toàn phương f ( x1 , x2 ) = x21 + 4 x1 x2 + x22 về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao.
Nêu rõ phép biến đổi.
7
Câu 8 : Tìm m để λ = 1 là giá trò riêng của ma trận A =
2
−2
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
4
1 6
5
8
m −5
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 6
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
2
3
−3
5
Câu 1 : Tìm m để det( A) =2 với A =
1
3
5
2
5
7
0
−1
2 1
m 2
Câu 2 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc cho không gian con
F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 +x3 −x4 = 0 & 2 x1 +x2 +2 x3 −3 x4 = 0 & 5 x1 +3 x2 +5 x3 −7 x4 = 0 }.
Tìm số chiều và cơ sở của F ⊥ .
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
t
1
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A = 2
3
Tìm cơ sở và số chiều của Imf .
ma
2
1
0
trận của f trong cơ sở
−1
0
.
−1
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , −2 , 5 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , −2 , 7 ) ,
f( 1 , 0 , 1 ) = ( 1 , 0 , 1 ) . Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
Câu 5 : Đưa dạng toàn phương f ( x, x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = 3 x21 + 3 x23 − 8 x1 x2 + 2 x1 x3 − 8 x2 x3 về chính
tắc bằng BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO, nêu rõ phép biến đổi ( biết ma trận của dạng toàn phương
có trò riêng là 2 , 8 , −4 ).
6
Câu 6 : Cho ma trận A = 1
−4
−1 2
−3
1 2
−1
−1
. Tìm trò riêng của ma trận ( 5 A)
3
10
.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( x) = f ( x1 , x2 ) = ( 3 x1 + x2 , 3 x1 + 5 x2 ) . Tìm một
cơ sở của IR2 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 8 : Chứng tỏ rằng nếu λ là trò riêng của ma trận A cấp n, thì λk là trò riêng của Ak , với ∀k ∈ N.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 7
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính z =
5
√
1 −i 3
Câu 2 : Giả
i hệ phương trình:
z
x + 2 y −
3 x +
y + 4 z
7 x + 3 y
9 x + 7 y − 2 z
+
+
+
+ 1
4 t=0
2 t=0
4 t=0
2 t=0
Câu 3 : Trong IR3 cho 2 không gian con
F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } và G =< ( 1 , 1 , −2 ) >. Tìm cơ sở và chiều của F + G.
Câu 4 : Trong P2 [x] với tích vô hướng ( p, q) =
1
0
p( x) q( x) dx, cho không gian con
F = {p( x) |p( 0 ) = 0 & p( 1 ) = 0 }. Tìm cơ sở và chiều của F ⊥
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết
f( x) = f( x1 , x2 , x3 ) = ( 2 x1 − x2 + x3 , x1 − 2 x2 , x1 + x2 − 2 x3 ) . Tìm ma trận A của ánh xạ
tuyến tính f trong cặp cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 , ( 1 , 1 , 0 ) }; F = {( 1 , −1 ) , ( 1 , 0 ) }
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
1 0 −1
.
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 , ( 1 , 1 , 2 ) }; F = {( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) } là A =
3 1
5
Tìm cơ sở và chiều của Kerf
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( 1 , 1 ) = ( 2 , 0 ) ; f ( 1 , −1 ) = ( 2 , −6 ) . Tìm cơ sở E
(nếu có) của IR2 sao cho ma trận của f trong E là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 8 : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 biết f có ba trò riêng −2 , 3 , 5 và ba véc tơ riêng
( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 1 , −1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) .
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 8
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính: I =
( −1 + i) 25
√
( 2 − i 1 2 ) 15
Câu 2 : Trong không gian IR3 cho hai không gian con F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + x2 − x3 = 0 } và
G = {( x1 , x2 , x3 ) |2 x1 + 3 x2 − x3 = 0 }.
Tìm chiều và một cơ sở của F + G.
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
3 1 −2
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } và F = {( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) } là A =
.
2 4
5
Tìm f ( 4 , 1 , 3 ) .
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR2 , biết
f( 1 , 1 , 1 ) = ( 2 , 1 ) ;
f( 1 , 1 , 2 ) = ( 1 , −1 ) ;
f( 1 , 2 , 1 ) = ( 0 , 1 ) .
Tìm một cơ sở và chiều của Ker f .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , −1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 5 , −3 ) .
Tìm tất cả các trò riêng của f .
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả ∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 + 2 x2 +
2 x3 , 2 x1 − x2 + x3 , 3 x2 + 4 x3 ) .
Tìm ma trận AE,E của f trong cặp cơ sở E, E, với E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) }.
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f làphép đối xứng qua mặt phẳng 2 x + 3 y − z = 0 trong hệ trục toạ độ
Đề Các Oxyz. Tìm tất cả các véctơ riêng của f .
3
2
1
−2 và véctơ x = 3
Câu 8 : Cho ma trận A = 1
.
m+5
−3 −1
0
Với giá trò nào của m thì x là véctơ riêng của A.
3
3
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 9
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tìm m để ma trận sau đây khả nghòch. A =
3
4
2
−3
−1
0
0
1
2
2
1
6
.
4 1
m 4
Câu 2 : Trong không gian IR3 với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +x2 +x3 = 0 ; 2 x1 +3 x2 − x3 = 0 } và G = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 +2 x2 − 2 x3 = 0 }.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F + G) ⊥ .
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR
3,
2
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A = 3
5
Tìm một cơ sở và chiều của Ker f .
biết matrận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
1 −1
2
0
.
3 −1
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết
f( 1 , 1 , 1 ) = ( 3 , 1 , 2 ) ; f ( 1 , 1 , 2 ) = ( 2 , 1 , −1 ) ; f( 1 , 2 , 1 ) = ( 2 , 3 , 0 ) .
Tìm f ( x) .
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết
f( x1 , x2 , x3 ) = ( 5 x1 − 4 x2 − 2 x3 , −4 x1 + 5 x2 + 2 x3 ; −2 x1 + 2 x2 + 2 x3 )
Tìm tất cả các véctơ riêng của f ứng với trò riêng λ1 = 1 .
x1
2 x
Câu 6 : Giải hệ phương trình 1
3 x1
x1
+ x2
+ x2
+ 4 x2
+ 3 x2
+ x3
+ 3 x3
+ 6 x3
+ 3 x3
− x4
− x4
− 2 x4
− x4
=
1
=
2
=
0
= −2
.
Câu 7 : Tìm ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết x1 = ( 1 , 1 ) ; x2 = ( 1 , 2 ) là các véctơ riêng tương ứng
với các trò riêng λ1 = 2 ; λ2 = 3 .
Câu 8 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết f ( x) = ( 7 x1 + 4 x2 , −3 x1 − x2 ) . Tìm cơ sở của IR2
sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
Trường Đại Học Bách Khoa TP HCM
Bộ môn Toán Ứng Dụng.
Họ và tên:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nhóm:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 10
Môn học: Đại số tuyến tính
Thời gian: 90 phút
Câu 1 : Tính det( A)
100
2
, với I là ma trận đơn vò cấp 3 và A =
3
−2
1
0
5
−1
4
.
2
Câu 2 : Trong không gian IR3 với tích vô hướng chính tắc cho hai không gian con
F = {( x1 , x2 , x3 ) |x1 + 2 x2 − x3 = 0 } và G =< ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , −2 , 1 ) >.
Tìm chiều và một cơ sở của ( F ∩ G) ⊥ .
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR
3 , biết ma trậ
n của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở
2
2 −2
3 −1
E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } là A =
1
.
−1 1
1
Tìm m để véctơ ( 2 , 1 , m) là véctơ riêng của f .
Câu 4 :
Tìm
x
2 x
3 x
4 x
chiều
+ y
+ 3 y
+ 5 y
+ 7 y
và
+
+
+
+ 1
một cơ
z + t
4 z − t
7 z − 3 t
0 z − 5 t
sở
=
=
=
=
trực
chuẩn
của
không
gian
nghiệm
của
hệ
0
0
0
0
Câu 5 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR2 −→ IR2 , biết
f( 1 , 1 ) = ( 5 , 1 ) ;
f( 1 , −1 ) = ( 9 , −1 ) .
Tìm cơ sở của IR2 sao cho ma trận của f trong cơ sở đó là ma trận chéo D. Tìm D.
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 thoả
∀( x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 : f( x1 , x2 , x3 ) = ( 3 x1 + x2 − x3 , 2 x1 − x2 + 2 x3 , x1 − x2 + 2 x3 ) .
Tìm ma trận A của f trong cơ sở E = {( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) }.
−1 1
−2 0
= A.
Câu 7 : Cho ma trận vuông cấp 2 A =
Tìm ma trận B sao cho B 2010
6
1 1
.
Câu 8 : Chứng minh rằng A là ma trận vuông cấp n khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 không là trò riêng
1
của A. Giả sử λ0 là trò riêng của ma trận A, chứng tỏ
là trò riêng của A−1
λ0
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 1
7
4
Câu 1 : Cho ma trận A =
2
−2
Câu 2 : Tìm chiều
x1 +
2 x +
1
3
x
1 +
5 x1 +
Câu 3 : Cho á
nh xạ
2
A= 1
−1
và
x2
x2
x2
3 x2
một
−
−
−
−
tuyến
1 −1
3
4
1
0
5
−2
cơ
x3
3 x3
5 x3
7 x3
1 6
8
. Tính A2010 , biết A có hai trò riêng là 1 và 3 .
−5
sở TRỰC
− 2 x4
− 5 x4
− 8 x4
− 1 2 x4
CHUẨN của không gian nghiệm của hệ phương trình
= 0
= 0
= 0
= 0
3
3
tính
f : IR −→ IR , biết ma trận của f trong cơ sở chính tắc là
.
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) }.
Câu 4 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
t
2
E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A = 3
4
ma trận củ
a f trong cơ sở
1 −1
2
4
. Tìm cơ sở và số chiều của kerf.
3
9
Câu 5 : ChoA là ma trận vuông tùy ý, thực, cấp n, thoả A10 = 0 . Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi
và chỉ khi A là ma trận không.
1
Câu 6 : Tìm m để ma trận A = −2
3
−2
5
1
3
1
có ba trò riêng dương (có thể trùng nhau).
m
Câu 7 : Trong hệ trục toạ độ Oxy cho đường cong ( C) có phương trình 5 x2 +2 xy+5 y 2 −2
Nhận dạng và vẽ đường cong ( C) .
√
√
2 x+4 2 y = 0 .
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điể
m.
−2 −1 −4
1
−1
1
0 . D = 0
Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 1đ) A = P DP ; P = −1
1
0
1
0
1
1
4
1
0
0
2010
2010
2010 −1
−1
2010
2
4 ; D
0
A
= P D P , tính ra được P = 1
= 0 3
.
2010
−1 −1 −3
0
0
3
Câu 2 (1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 )
Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 167 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
0
0
0
.
3
0
}
3
Câu 3 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Ma trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là: P = 2
1
1
1
1
1
2
1
1
8
1 1
6
−1 −2
Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở E là B = P −1 AP =
−2
−3 −9 −2
T
Câu 4(1.5đ) . Giả
sử x ∈Kerf
; [x]E = ( x1 , x2 ,
x3 ) . Khiđó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]E = 0 ⇔ A · [x]E = 0
0
6 α
2 1 −1
x1
4 x2 = 0 ⇔ [x]E = −1 1 α
⇔ 3 2
⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) .
4 3
9
x3
0
α
Dim( Kerf ) = 1 , cơ sở: ( 1 0 , −7 , 4 ) .
Câu 5 (1.5đ). Vì A10 = 0 nên A chỉ có một trò riêng là λ = 0 (theo tính chất, nếu λ0 là TR của A,
10
−1
thì λ10
, D là ma trận 0 nên A = 0 .
0 là TR của A . A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P
Câu 6 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực có ba trò riêng dương, suy ra dạng toàn phương tương ứng xác
đònh dương ( hay ma trận đã cho xác đònh dương). Theo Sylvester, A xác đònh dương khi và chỉ khi
các đònh thức con chính dương ⇔ δ1 = 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ3 = det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
5 1
Câu 7(1.0đ). Xét dạng toàn phương 5 x21 + 2 x1 x2 + 5 x22 có ma trận A =
. Chéo hóa trực
1 5
1
1 −1
6 0
và ma trận chéo D =
giao ma trận A bởi ma trận trực giao P = √
1
1
0 4
2
1
1
−1
1
Đường cong ( C) có ptrình trong hệ trục Ouv với hai véctơ cơ sở là √ , √ , √ , √
là:
2
2
2
2
6 ( u + 61 ) 2 + 4 ( v + 34 ) 2 = 11
. Đây là đường cong ellipse. Hệ trục Ouv thu được từ hệ Oxy bằng cách
12
o
quay 1 góc 4 5 ngược chiều kim đồng hồ.
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 2
Câu 1 : a/ Cho ma trận A =
7
−3
−4
.
1 0
a/ Chéo hoá ma trận A.
b/ Áp dụng, tìm ma trận B sao cho B 20 = A.
Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
t
1
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A = 2
3
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc .
3
Câu 3 : Cho ma trận A =
−3
2
6
ma trận A .
2
−2
2
Câu 4 : Tìm m để vectơ X = ( 2 , 1 , m)
1
Câu 5 : Tìm m để ma trận A =
3
−2
ma trận củ
a f trong cơ sở
2
0
1 −1
.
0
2
2
−3
. Tìm trò riêng, cơ sở của các không gian con riêng của
3
T
−5
là véctơ riêng của ma trận A = −3
−3
3
m
−4
3
3
3
.
1
3
1
−2
−4
có đúng hai trò riêng dương và một trò riêng âm.
6
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép quay trong hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều
kim đồng hồ một góc 6 0 o . Tìm ánh xạ tuyến tính f . Giải thích rõ.
Câu 7 : Cho A là ma trận vuông cấp n. Chứng tỏ rằng A khả nghòch khi và chỉ khi λ = 0 KHÔNG là
trò riêng của A.
1
Khi A khả nghòch chứng tỏ rằng nếu λ là trò riêng của A, thì là trò riêng của A−1 .
λ
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
3 1
2 0
Câu 1(1.5đ). Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP −1 ; P =
. D=
.
5 2
0 1
−1
−1
20
20
−1
Ta có A =
√ P · D · P . Giả sử B = Q · D1 · Q , ta có B = Q · D1 · Q = A. Chọn Q = P và
20
2
0
√
D1 =
. Vậy ma trận B = P · D1 · P −1
20
0
1
Câu 2 (1.5đ). Có nhiều cách làm. Gọi ma trận chuyể
n cơ sở
từ E sang chính tắc làP . Khi đó ma
1 1 1
trận chuyển cơ sở từ chính tắc sang E là : P −1 =
1 1
2
Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong
1 2 1
−6
5 2
6 4
cơ sở chính tắc là B = P −1 AP = −9
−1 2 8 4
Câu 3 (1.5đ). Giả sử λ0 là trò riêng của A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 . Khi đó
A6 · x0 = A5 · A · x0 = A5 · λ0 · x0 = λ0 · A5 · x0 = · · · = λ60 · x0 .
Lập ptrình đặc trưng, tìm được TR của A: λ1 = 1 , λ2 = 2 ,
Cơ sở của Eλ1 : {( −1 , 1 , 0 ) T , ( −1 , 0 , 1 ) T }, của Eλ2 : {( 2 , −3 , 2 ) T }.
TR của A6 : δ1 = 1 6 , δ2 = 2 6 , Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 ,
1 , 0 ) T , ( −1 , 0 ,1 ) T }, củ
a Eδ2 :
{( 2 , −3 , 2 ) T }.
−5 3 3
2
2
Câu 4 (1.5đ). x là VTR của A ⇔ A · x = λ · x ⇔ −3 1 3 1 = λ · 1 ⇔ m = 1
−3 3 1
m
m
2
Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x1 + mx22 + 6 x23 +
6 x1 x2 − 4 x1 x3 − 8 x2 x3 . Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange f ( x, x) = ( x1 + 3 x2 − 2 x3 ) 2 +
2 ( x3 + x2 ) 2 + ( m − 1 1 ) x23 . Ma trận A có một TR dương, 1 TR âm ⇔ m < 1 1 .
Câu 6 (1.5đ). f : IR2 −→ IR2 . f được xác đònh hoàn toàn nếu biết ảnh của một cơ sở của IR2 .
Chọn cơ sở chính tắc E = {( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) }.
√
√
√
√
Khi đó f ( 1 , 0 ) = ( 21 , −2 3 ) ,f ( 0 , 1 ) = ( 23 , 12 ) . f ( x, y) = ( x2 + y 2 3 , −x2 3 + y2 )
Câu 7 (1.0đ). A khả nghòch ⇔ det( A) = 0 ⇔ λ = 0 không là TR của A. Giả sử λ0 là TR của A
⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0 · x0 ⇔ A−1 · A · x0 = A−1 · λ0 · x0 ⇔ A−1 · x0 = λ10 · x0 (vì λ0 = 0 ) → đpcm.
ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010
Môn học: Đại số tuyến tính.
Thời gian làm bài: 90 phút. Đề thi gồm 7 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN
CA 3
Câu 1 : Trong không gian IR4 với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = 0 & 2 x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = 0 & 3 x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = 0 }
Tìm chiều và một cơ sở TRỰC CHUẨN của F .
Câu 2 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
a f trong cơ sở
t ma trận củ
−1 4 −2
4
0
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =
−3
.
−3 1
3
Chéo hoá ánh xạ tuyến tính f .
Câu 3 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biế
t
1
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =
2
3
Tìm cơ sở và số chiều của Imf .
ma trận củ
a f trong cơ sở
1
2
3
0
.
5 −4
Câu 4 : Cho A và B là hai ma trận đồng dạng. Chứng tỏ rằng A chéo hoá được khi và chỉ khi B chéo
hoá được.
1
Câu 5 : Tìm m để ma trận A =
4
−1
4 −1
m 2
có ít nhất một trò riêng âm.
2
4
Câu 6 : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3 −→ IR3 , biết f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + 2 x3 , −2 x1 + x2 +
2 x3 , x1 − x2 + x3 ) . Tìm m để véctơ x = ( 2 , 2 , m) là véctơ riêng của f .
Câu 7 : Cho ánh xạ tuyến tính f là phép đối xứng trong hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳng 2 x−3 y = 0 .
Tìm tất cả các trò riêng và cơ sở của các không gian con riêng của f . Giải thích rõ.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
Câu 1(1.5đ). Tìm một cơ sở tùy ý của F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùng quá trình Gram-Schmidt đưa về cơ sở trực giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6
Chuẩn hóa, có cơ sở trực chuẩn: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 167 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
2 1 1
1 3
Câu 2(1.5đ). Chéo hóa ma trận (1.0 đ) A = P · D · P −1 , P =
3
. D =
3 1 4
Cơ sở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma trận của f trong B là D.
là các VTR của A, phải đổi sang cơ sở chính tắc!!
)}
2
0
0
1
0
0
.
0 0 3
Các cột của P
Câu 3(1.5đ). Dim(Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( 1 , 0 , 1 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >=
=< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cơ sở của Im( f ) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách
khác: Vì Dim(Imf ) = r( A) = 3 , nên Im( f ) là IR3 và cơ sở của Im( f ) là cơ sở chính tắc của IR3 .
Câu 4(1.0đ). A đồng dạng B ⇔ ∃Q : B = Q−1 · A · Q. Giả sử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P −1 .
−1
Khi đó B = Q−1 · P · D · P −1 · Q ⇔ B = ( P −1 Q)
· D · ( P −1 Q) ⇔ B = G−1 · D · G →đpcm.
Câu 5 (1.5đ). Ma trận đối xứng thực. Dạng toàn phương tương ứng f ( x, x) = x21 + mx22 + 4 x23 +
8 x1 x2 − 2 x1 x3 + 4 x2 x3 . Đưa về chính tắc bằng biến đổi Lagrange
f ( x, x) = ( x1 + 4 x2 − x3 ) 2 + 3 ( x3 + 2 x2 ) 2 + ( m − 2 8 ) x22 . A có một TR âm ⇔ m < 2 8 .
Câu 6 (1.5đ). x là VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m)
⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2
Câu 7 (1.5đ).f : IR2 −→ IR2 . VTR là véctơ qua phép biến đổi có ảnh cùng phương với véctơ ban
đầu. Các véctơ cùng phương với véctơ chỉ phương a = ( 3 , 2 ) của đường thẳng là tất cả các VTR
tương ứng với TR λ1 = 1 ; các véctơ cùng phương với véctơ pháp tuyến n = ( 2 , −3 ) của đường
thẳng là tất cả các VTR tương ứng với λ2 = −1 . Vì f là axtt của không gian 2 chiều nên không
còn VTR khác. Kluận: Cơ sở của Eλ1 : ( 3 , 2 ) của Eλ2 : ( 2 , −3 ) .
