Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Một Số ứNG DụNG CủA BấT ĐẳNG THứC CÔ SI
ứNG DụNG 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán số 1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
( )
1 1 1
9.a b c
a b c

+ + + +
ữ


*Phân tích:
Vế trái chứa a, b, c > 0 và các nghịch đảo của chúng. Vì vậy ta nghĩ đến
việc dùng bất đẳng thức Côsi.
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ số a, b, c và
1 1 1
, ,
a b c

ta có:
3
3
3
1 1 1 1
3
a b c abc
a b c abc
+ +

+ +
Nhân từng vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc:
( )
1 1 1
9a b c
a b c

+ + + +
ữ

(đpcm).
Cách 2:
( )
1 1 1
3 3 2 2 2 9
b a c a b c
a b c
a b c a b a c c b

+ + + + = + + + + + + + + + =
ữ ữ ữ ữ

Dấu "=" xảy ra
a b c = =
Bài toán số 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức:
a.
3
a b c
b c a
+ +

(a, b, c > 0)
b.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + + +
Bài toán số 1.2 Chứng minh rằng:
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
a.
2
2
2
2
1
x
x
+

+

x R
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x
2
+1 và 1.
b.
8
6
1
x
x
+

x

> 1.
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số x - 1 và 9.
c.
( ) ( )
1 4a b ab ab+ +

, 0a b

áp dụng BĐT Côsi ta có
2
1 2
a b ab
ab ab
+
+
Nhân từng vế của 2 BĐT trên ta suy đợc đpcm.
Bài toán số 1.3 Chứng minh rằng:
a.
( ) ( ) ( )
8a b b c c a abc+ + + , , 0a b c
b.
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 6a b b c c a abc
+ + + + +
áp dụng BĐT Côsi cho 6 số

2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , , , ,a a b b b c c c a
.
Bài toán số 1.4
a. n số dơng a
1
, a
2
, ..., a
n
. Chứng minh rằng:
1 2
1 2
...
1 1 1
n
n
n
n
a a a
a a a

+ + +L
b.Nếu a
1
, a
2
,...., a
n
dơng và a

1
a
2
...a
n
= 1 thì a
1
+ a
2
+...+ a
n
n

áp dụng BĐT Côsi cho n số dơng trên)
Bài toán số 2 . Chứng minh bất đẳng Netbit
3
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +

, ,a b c
> 0.
Giải.
Đặt x= b + c, y = a + c, z = a +b
Khi đó x, y, z > 0 và
, ,
2 2 2
y z x x z y x y z

a b c
+ + +
= = =
Ta có:
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
( )
1
2 2 2 2
1 1 3
3 2 2 2 3 .
2 2 2
a b c y z x x z y x y z
b c a c a b
x y x z y z
y x z x z x
+ + +

+ + = + +
ữ
+ + +


= + + + + + + + =
ữ

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= y= z.
Cách khác:
( ) ( )
1
6

2
1 1 1 1 1 3
6 9 6
2 2 2
a b c x y z x y z x y z
b c a c a b x y z
x y z
x y z

+ + + + + +
+ + = + +
ữ
+ + +



= + + + + =

ữ


Khai thác bài toán:
Bằng cách tơng tự, ta có thể chứng minh đợc các bất đẳng thức sau: với a,
b, c dơng ta có:
2
.2
9222
.1
222
cba

ba
c
ac
b
cb
a
cbabaaccb
++

+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
Bài toán số 2.2. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng
yxyx
+
+
411
(1)
Phân tích:
Do x, y > 0 nên BĐT (1) có thể suy ra từ BĐT Côsi hoặc xét hiệu.
Giải

Cách 1: Sử dụng BĐT Côsic cho 2 số dơng x, y:

( )
yxyx
yxxy
yx
xyyx
xyyx
+
+
+

+

+
+
411
4
4
2
2
Cách 2. Xét hiệu của 2 vế:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
00
4
0

411
1
2

+


+
+++

+
+
yxxy
yx
yxxy
xyyxxyxy
yxyx
(2)
Do x > 0, y > 0 nên BĐT (2) luôn đúng.
Vậy (1) luôn đúng. (đpcm)
Khai thác bài toán:
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Ta thấy BĐT trên có liên quan đến việc cộng mẫu nên có thể sử dụng để
chứng minh BĐT sau:
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

++

+

+

cbacpbpap
111
2
111
trong đó
2
cba
p
++
=
Bài tập tơng tự:
Bài 1. Chứng minh rằng:








++
++

+
+
+
+
+
+
+
+
cba
cba
ca
ca
bc
cb
ba
ba
222222222
3
Bài 2. Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4
22
2

22
4
22
4
22
4
dcba
adad
d
dcdc
c
cbcb
b
baba
a
+++

++
+
++
+
++
+
++
Bài 3. Cho
1,,0

cba
. Chứng minh rằng:
accbbacba

222222
1
+++++
Bài 4. Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh:







+++
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
2
Bài 5. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
x
zy
zy
x

+
+
+
4
2

Bài 6. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
a
b
ba
b
a

Bài 7. Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:
3
2
22
3
yx
yxyx
x


++
Bài 8. Cho x, y 0. Chứng minh rằng:
2
6
2
6
44
x
y
y
x
yx
++

Bài 9. Cho a, b > 0. Chứng minh rằng:
4
2
ab
ba
ab

+
áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh BĐT trong tam giác

Bài toán số 3 . Cho a, b, c là độ dài cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
.3

+
+
+
+
+
cba
c
bca
b
acb
a
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Giải:
Cách 1.
đặt x = b + c a; y = a + c - b; z = a + b c.
Khi đó x, y, z > 0 và

.
2
,
2
,
2
zy
c
zx
b
yx
a
+
=
+
=
+
=
Vế trái:

( )
3222
2
1
2
1
2
1
=++

+++++=








+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
y
z
z

y
x
z
z
x
x
y
y
x
y
xz
x
zy
z
yx
cba
c
bca
b
acb
a
Dấu bằng xảy ra
.
2
2
2
cbazyx
y
z
z

y
x
z
z
x
x
y
y
x
====









=+
=+
=+
Cách 2.
Nhận xét: Do a, b, c, là độ dài 3 cạnh của tam giác nên ta có:
a + b - c > 0; a + c b > 0; b + c - a > 0
áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số dơng:
( )( )
( )( )
( )
bcbaacb

cacbbca
a
bcacba
bcacba
++
++
=
+++
++
)(
2
Nhận thấy các vế của BĐT trên là các số dơng và 3 BĐT này cùng chiều,
nhân từng vế của chúng ta đợc:

( )( )( )
.abcacbbcacba
+++
Ta có:
( )( )( )
33
3
3
3
=
+++

+
+
+
+

+
abc
abc
cbabcaacb
abc
cba
c
bca
b
acb
a
Bài tập 3.1 . Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ABC,
.cba

Chứng minh rằng:
( )
.9
2
bccba
++
(*)
Giải
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
Vì
( ) ( ) ( )
.2
222
cbcbbcbaba
+=++++
để chứng minh (*) ta cần chứng minh:

( )
.92
2
bccb
+
(1)
Thật vậy:

( )
( )
bccb
bccbcb
bccbcb
bccb

+
++
+
2
22
22
2
2
44
944
92
Ta có:

( )
bccb

ccccb
bbbcb




=<
=<
2
2
220
220
(đpcm)
Bài tập 3.2 . Chứng minh rằng
3
3
22
3
22
3
22
4.2
<
+
+
+
+
+
ba
c

ac
b
cb
a
(*)
Trong đó a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Giải
Ta có
( )
2
33
4
1
cbcb
++
Thật vậy:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
0
0
0
0
3341
2
22
22

2233
223333
+


+
++++
cbcb
cbcb
cbccbb
bccbcb
bccbcbcb
Luôn đúng suy ra (1) đúng
Tơng tự:
( )
2
33
4
1
caca
++

( )
2
33
4
1
baba
++
Do đó:

)3(4
3
3
22
3
22
3
22






+
+
+
+
+
<
+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb

a
ba
c
ac
b
cb
a
Mà:
Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
2
222
)(2
2
)(2
2
)(2
2
=
++
+
++
+
++
<
<
+
+
+
+
+

=






+
+
+
+
+
cba
c
cba
b
cab
a
ba
c
ca
b
cb
a
ba
c
ca
b
cb
a

(4)
Do:





>+
>+
>+
bca
acb
cba
Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Các bài tập khác:
Bài tập 3.3 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và có chu vi là 2.
Chứng minh rằng: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Bài tập 3.4 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
abccbacbcabacba 3
222
+++++
Bài tập 3.5 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng:

( )
6
111
3333
333

++









++++
abc
cba
cba
cba
Bài tập 3.6 Giả sử a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
Chứng minh rằng
( )
( )( )( )
9
3111


+

++++
abc
accbba
cba
cba
Bài tập 3.7. Cho a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:

32
+++++++++++
adcadbdcbcba
ứNG DụNG 2: ứng dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị
* Với a

0, b

0 ta có
2a b ab
+
, dấu = xảy ra

a = b
* Với n số không âm: a
1

, a
2
, , a
n
ta có:
1 2 1 2
... ...
n
n n
a a a n a a a+ + +
Dấu = xảy ra

a
1
= = a
n
* Từ BĐT trên ta suy ra:
+ Nếu a.b = k (const) thì min(a + b) = 2
k


a = b
+ Nếu a + b = k (const) thì max(a.b) =
2
4
k


a = b
* Mở rộng đối với n số không âm:

Một số ứng dụng của bất đẳng thức Côsi.
+ Nếu a
1
.a
2
a
n
= k (const) thì min(a
1
+ a
2
+ + a
n
) = n
n
k

a
1
= a
2
= = a
n
+ Nếu a
1
+ a
2
+ + a
n
= k (const) thì max(a

1
.a
2
a
n
) =
n
k
n

ữ


a
1
= a
2
= = a
n
Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn:
1 1 1
2x y
+ =
Tìm GTNN của A =
x y
+
Bài làm:
Vì x > 0, y > 0 nên
1
x

> 0,
1
y
> 0,
x
> 0,
y
> 0 . Ta có:
1 1 1 1 1 1 1
.
2 4
4
2 2 4 4
Cs
x y x y
xy
xy
A x y x y

+
ữ


= + + =


Vậy min A = 4

x = y = 4
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng BĐT Côsi theo 2 chiều ngợc

nhau:
+ Dùng
2
a b
ab
+

để dùng điều kiện tổng
1 1 1
2x y
+ =
từ đó đợc
4xy
+ Dùng
2a b ab
+
làm giảm tổng
x y
+
để dùng kết quả
4xy


Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp BĐT Côsi đối với
các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có
thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó:
* Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình ph-
ơng biểu thức đó.