ONTHI DH CD, BDHSG (GTLN,GTNN)

Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009
Chuyên đề: TÌM GTLN, GTNN
Câu 1. Đề Dự bị Đại học khối A năm 2007
Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
3 3
3
2 2 2
x y z
P 4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2
y z x
 
= + + + + + + + +
 ÷
 ÷
 
Lời giải : Với x, y > 0 ta chứng minh :
4(x
3
+ y
3
) ≥ (x + y)
3
(∗) Dấu = xảy ra ⇔ x = y
Thật vậy (∗) ⇔ 4(x + y)(x
2
– xy + y
2
) ≥ (x + y)
3
⇔ 4(x

2
– xy + y
2
) ≥ (x + y)
2
do x, y > 0
⇔ 3(x
2
+ y
2
– 2xy) ≥ 0 ⇔ (x – y)
2
≥ 0 (đúng)
Tương tự ta có 4(y
3
+ z
3
) ≥ (y + z)
3
Dấu = xảy ra ⇔ y = z
4(z
3
+ x
3
) ≥ (z + x)
3
Dấu = xảy ra ⇔ z = x
Do đó
( ) ( ) ( )
( )

3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
4 x y 4 y z 4 z x 2 x y z 6 xyz+ + + + + ≥ + + ≥
Ta lại có
3
222
xyz
6
x
z
z
y
y
x
2
≥








++
Dấu = xảy ra ⇔ x = y = z
Suy ra
12
xyz

1
xyz6P
3
3
≥








+≥
Dấu = xảy ra ⇔



==
=
zyx
1xyz
⇔
x = y = z = 1
Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
Câu 2. Đề Dự bị 2 Đại học khối B năm 2006
Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện
x y 4.+ ≥

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 3
2
3x 4 2 y
A .
4x
y
+ +
= +
Lời giải : Ta có A =
2 3
2 2
3x 4 2 y 3x 1 2
y
4x 4 x
y y
+ +
+ = + + +
⇒ A
2
x 1 1 y y x y
2
4 x 8 8 2
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
3 9
1 2 .

2 2
≥ + + =
Với x = y = 2 thì A =
9
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
9
2
Nam Đàn 2 0976322004 - 1 -
Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009
Câu 3. Đề Dự bị 1 Đại học khối B năm 2006
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
11 7
y x 4 1 ,
2x
x
 
= + + +
 ÷
 
với
x 0
>
.
Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức :
( ) ( )
( )
2

2 2 2 2
a b c d ac bd+ + ≥ +
Ta có :
( )
2
2
7 7
9 7 1 3
x x
   
+ + ≥ +
 ÷  ÷
   
⇒
11 1 7
y x 3
2x 2 x
 
≥ + + +
 ÷
 
9 3 3 15
x 6
x 2 2 2
 
= + + ≥ + =
 ÷
 
Khi x = 3 thì y =
15

2
nên giá trị nhỏ nhất của y là
15
2
.
Câu 4. Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2006
Cho hai số thực
x 0, y 0≠ ≠
thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + −
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
1 1
A .
x y
= +
Lời giải : Từ giả thiết suy ra:
2 2
1 1 1 1 1
.
x y x y xy
+ = + −

Đặt
1 1
a, b
x y

= =
ta có:
( )
2 2
a b a b ab 1+ = + −
Khi đó
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
A a b a b a b ab a b .= + = + + − = +
Từ (1) suy ra:
( )
2
a b a b 3ab.+ = + −

Vì
2
a b
ab
2
+
 
≤
 ÷
 
nên
( ) ( )
2 2

3
a b a b a b
4
+ ≥ + − +

( ) ( )
2
a b 4 a b 0 0 a b 4⇒ + − + ≤ ⇒ ≤ + ≤
Suy ra:
( )
2
A a b 16.= + ≤
Với
1
x y
2
= =
thì
A 16.
=
Vậy giá trị lớn nhất của
A
là 16.
Câu 5. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
1
a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + =

+ + + + + +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c
Ta có:
3
2 2
2
3
a a b
a ab b
−
≥
+ +
(1)⇔ 3a
3
≥ (2a – b)(a
2
+ ab + b
2
)
⇔ a
3
+ b
3
– a
2
b – ab
2
≥ 0
⇔ (a + b)(a – b)
2

≥
0. (h/n)
Nam Đàn 2 0976322004 - 2 -
Ti liu ụn thi H - C Hố 2009
Tng t:
3
2 2
2
3
b b c
b bc c


+ +
(2) ,
3
2 2
2
3
c c a
c ac a


+ +
(3)
Cng v theo v ca ba bt (1), (2) v (3) ta c:
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3

a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ +
+ + + + + +
Vy: S 3

maxS = 3 khi a = b = c = 1
Cõu 6. Cho x, y, z > 0 tha món
1
=++
zxyzxy
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P =
xz
z
zy
y
yx
x
+
+
+
+
+
222
Cõu 7. Cõu V.(1 im) Cho x, y, z > 0 tha món x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
P =
111
+

+
+
+
+
z
z
y
y
x
x
Cõu 8. Cho ba s thc khụng õm x, y, z tha x + y + z = 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
P =
zyx
zx
zyx
yz
zyx
xy
++
+
++
+
++
222
Cõu 9. Xét ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a
2009
+ b
2009
+ c
2009

= 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P = a
4
+ b
4
+ c
4
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số 1 và 4 số a
2009
ta có
)1(.2009....20091...11
42009 20092009200920092009200920092009
2005
aaaaaaaaa
=+++++++

Tơng tự ta có
)2(.2009....20091...11
4
2009
20092009200920092009200920092009
2005
bbbbbbbbb
=+++++++

)3(.2009....20091...11
42009 20092009200920092009200920092009
2005
ccccccccc
=+++++++

Cộng theo vế (1),
(2), (3) ta đợc
)(20096027
)(2009)(46015
444
444200920092009
cba
cbacba
++
+++++
Từ đó suy ra
3
444
++=
cbaP
Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Cõu 10. Cho x, y, z l cỏc s dng tho món
1 1 1
2009
x y z
+ + =
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc:
P =
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
p dng bt ng thc Cụ- Si, ta cú:
4ab (a + b)

2

1
4
a b
a b ab
+

+

1 1 1
( , 0)
4
a b
a b

+ >
ữ

Ta cú:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z


+ + + = + +

ữ ữ ữ
+ + +

Tng t:
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z

+ +
ữ
+ +

v
1 1 1 1 1
2 8 2 2x y z x y z

+ +
ữ
+ +

Vy
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
1 1 1 1 2009
4 4x y z

+ + =
ữ

Nam n 2 0976322004 - 3 -
Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009
Vậy MaxP =

2009
4
khi x = y = z =
12
2009
Câu 11 Cho
1, 2, 3.z x y
≥ ≥ ≥
Tìm GTLN của
1 2 3xy z zy x zx y
M
xyz
− + − + −
=
Giải: Đk :
1, 2, 3.z x y≥ ≥ ≥
Ta có :

2
1 3
1.( 1) 2.( 2) 3.( 3)
1 1
1. . .
2 3
1 1 1 2 2 1 3 3
2 2 2
2 3
1 1 1
2
2 2 2 3

y
x z
M
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
−
− −
= + +
− − −
= + +
+ − + − + −
≤ + +
= + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 2 , y = 4 , z = 6.
Vậy Max M =
1 1 1
(1 )
2
2 3
+ +
.
Câu 12. Cho
2 2 2
1x y z+ + =
.Tìm GTLN Và GTNN của S = xy + yz + zx.
Ta có:
2 2 2 2

( ) 0 2( ) 0
1
1 2 0
2
x y z x y z xy yz zx
S S
+ + ≥ ⇔ + + + + + ≥
⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
Dấu “=” xảy ra chẳng hạn x = 0,
1 1
,
2 2
y z
−
= =
Vậy Min S = -1/2 .
Mặt khác , ta có :
2
2 2 2 2
2
( ) 0
( ) 0 2( ) 2( ) 1
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx S
z x

− ≥

− ≥ → + + ≥ + + ⇒ ≥



− ≥

Dấu “ = “ xảy ra khi
3
3
x y z= = = ±
.
Vậy Max S = 1
Câu 13. Cho x, y, z > 0 thõa xyz = 1.
Tìm GTNN của
3 3 3 3
3 3
1 1
1
x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
.
Giải:
Ap dụng BĐT Cô si cho 3 số dương ta có:
3 3
3 3 3 3
3
1

3
1 3 1. . 3
x y
x y x y xy
xy
xy
+ +
+ + ≥ = ⇔ ≥
Nam Đàn 2 0976322004 - 4 -
Tài liệu ôn thi ĐH - CĐ Hè 2009

Tương tự:
3 3
1
3
y z
yz yz
+ +
≥

3 3
1 3z x
zx zx
+ +
≥
Suy ra:
3 3 3 3
3 3
1 1
1

x y y z
z x
S
xy yz zx
+ + + +
+ +
= + +
3 3 3
xy yz zx
≥ + +

3 3 3
3 . . 3 3
xy yz zx
≥ =
.
BĐT xảy ra khi x = y = z = 1.
Vậy MinS =
3 3
khi x = y = z = 1.
Câu 14 Cho
2 2
0
( )
xy
x y xy x y xy
≠


+ = + −


Tìm GTLN của
3 3
1 1
A
x y
= +
Giải:
Ta có:
( )
2 2
0xy
xy x y x y xy
≠



+ = + −



2 2
1 1 1 1 1
x y x y xy
⇔ + = + −
(1)

2
2
1 1 1 1 3

0
2 4
y
x y x y
 
⇔ + = − + >
 ÷
 
Ta đặt a = 1/x, b = 1/y
2 2
0a b
a b a b ab
+ >

⇒

+ = + −

Mà
( )
( )
( )
2
3 3 2 2
3 3
1 1
A a b a b a b ab a b
x y
= + = + = + + − = +
(*).

Cách 1:
Ta có: A = ( a + b)
2

A a b
⇒ = +
Ta biết :
3
3 3
2 2
a b a b
+ +
 
≥
 ÷
 
( vì a + b > 0 )
“ = “ xảy ra
⇔
a = b.
Từ đó suy ra :
3
16
2 2
A A
A
 
≥ ⇔ ≤
 ÷
 ÷

 
“ = “ xảy ra
⇔
a = b = 2.
Vậy Max A = 16 khi 1/x = 1/y = 2.
Nam Đàn 2 0976322004 - 5 -