TIỂU LUẬN RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TIỂU LUẬN
RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY
CHO HỌC SINH THÔNG QUA QUÁ TRÌNH DẠY HỌC MÔN TOÁN

Giảng viên: TS. Bùi Thị Hạnh Lâm
Học viên: Vũ Viết Tiệp
Lớp: Cao học Toán K23
Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán

THÁI NGUYÊN, 2016


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

MỞ ĐẦU
Chủ tịch Hồ Chí Minh người thầy vĩ đại của Đảng, của Cách mạng Việt Nam
đã nói: “Muốn có đạo đức Cách Mạng thì phải có tri thức”. Muốn có tri thức thì phải
học và phải học thật tốt. Để có được tri thức ấy thì phải học tất cả các lĩnh vực và các
môn học. Và một trong những môn học đóng vai trò rất quan trọng đó chính là môn
Toán. Bên cạnh đó, tục ngữ có câu “Sai một li, đi một dặm” hoặc “Sai một con tính,
bán một con trâu”. Tính toán là một vấn đề quan trọng bậc nhất đối với con người. Vì
vậy, môn Toán là một môn học cần thiết cho người lao động, cần thiết để các em học
tập các môn học khác.
Dạy học Toán ở trường phổ thông có ý nghĩa rất to lớn đối với sự hình thành và
phát triển tư duy cho học sinh. Hay nói một cách cụ thể hơn học tập môn toán đòi hỏi
học sinh phải có lập luận chặt chẽ, ngôn ngữ khoa học chính xác và có sự trình bày

hợp lí. Các em không chỉ học lí thuyết không thôi mà còn phải phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, phải phù hợp logic...
Có thể nói, rèn luyện và phát triển tư duy cho người học là một nhiệm vụ quan
trọng trong dạy học. Toán học là môn khoa học có tính trừu tượng cao và tính logic
chặt chẽ. Tri thức trước là cơ sở cho tri thức sau và tri thức sau dựa vào tri thức trước.
Vì vậy đòi hỏi người học phải có một phương pháp tư duy khoa học và mang tính sáng
tạo. Bên cạnh đó với những đặc điểm ấy, môn toán có nhiều tiềm năng và cũng là một
môi trường tốt để rèn luyện và phát triển tư duy của người học. Trong dạy học toán,
người học không chỉ được tiếp thu kiến thức, kỹ năng mà còn được rèn luyện cách
nghĩ, cách tư duy, cách học. Do đó, trong quá trình dạy học toán người thầy cần phải
dạy cho học sinh biết cách tìm tòi lời giải đồng thời cần giúp các em biết tư duy để giải
bài toán bằng các cách khác nhau, khai thác bài toán theo nhiều hướng, nhìn bài toán
dưới nhiều góc độ. Chính những hoạt động này sẽ thúc đẩy việc rèn luyện và phát triển
tư duy ở học sinh.

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

2


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
1.1. Khái niệm chung về tư duy
“Tư duy là một quá trình phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên
quan và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực
khách quan mà trước đó ta chưa biết”. Như vậy, tư duy về bản chất là một quá trình cá

nhân thực hiện nhờ các thao tác tư duy nhất định để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ
được đặt ra.
Các thao tác tư duy được nói đến ở đây là thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh,
trừu tượng hóa, khái quát hóa. Đó là những thao tác cơ bản.
1.2. Đặc điểm tư duy
1.2.1. Tính có vấn đề:
Tư duy ở con người cụ thể chỉ nảy sinh khi cá nhân gặp tình huống có vấn
đề.Tình huống có vấn đề là tình huống chưa có đáp số nhưng đáp số đã tiềm ẩn bên
trong tình huống chứa những điều kiện giúp ta tìm ra những đáp số đó. Tình huống có
hai mặt là khách quan và chủ quan. Muốn tình huống có vấn đề kích thích được ta tư
duy thì tình huống có vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và chuyển thành
nhiệm vụ tư duy của cá nhân, (nghĩa là cá nhân phải xác định được cái gì đã biết, đã
cho, cái gì chưa biết, cần phải tìm).
1.2.2. Tính gián tiếp:
Trong quá trình tư duy con người sử dụng các phương tiện, công cụ khác nhau
để nhận thức về sự vật, hiện tượng. Mặt khác tư duy được phản ánh bằng ngôn ngữ.
1.2.3. Tính trừu tượng hóa và tính khái quát hóa:
a. Tính trừu tượng hóa:
Là khả năng con người dùng trí óc để gạt bỏ những liên hệ, những mặt, những
thuộc tính không cần thiết mà chỉ giữ lại yếu tố nào cần thiết để tư duy.
b. Tính khái quát hóa:

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

3


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

Khả năng con người hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau nhưng có chung những
thuộc tính, những mối liên hệ thành một nhóm.
1.2.4. Tư duy gắn liền với ngôn ngữ:
Tư duy của động vật bao giờ cũng chỉ dừng lại ở tư duy hành động trực giác mà
không vượt quá giới hạn đó. Còn ở con người tư duy mang tính gián tiếp trừu tượng
hóa và khái quát hóa, mối liên hệ giữa tư duy và ngôn ngữ là mối liên hệ biện chứng,
nó là mối liên hệ giữa nội dung và hình thức. Tư duy bao giờ cũng liên hệ gắn bó mật
thiết với nhận thức cảm tính. Nhận thức cảm tính là cửa ngõ của tư duy liên hệ với thế
giới bên ngoài, nhận thức cảm tính cung cấp chất liệu cho tư duy và cuối cùng toàn bộ
sản phẩm của tư duy được kiểm nghiệm trong hoạt động thực tiễn.
1.3. Các giai đoạn của tư duy:
Các giai đoạn của tư duy được thể hiện bằng sơ đồ sau:
Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành
giả thiết

Kiểm tra giả thiết

Phủ định

Giải quyết vấn đề

Chính xác hóa

Khẳng định

Hoạt động tư duy mới

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

4


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

1.4. Các hoạt động tư duy:
Các hoạt động của tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, tương tự, so sánh,....
a. Phân tích và tổng hợp
Phân tích: là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.
Tổng hợp: là liên kết ( trong tư tưỏng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt
của một quá trình thống nhất, la hai hoạt động cơ bản của quá trình tư duy.
Phân tích và tổng hợp còn bao hàm ý nghĩa khác. Phân tích là sự suy nghĩ nhằm
liên kết giữa cái đã biết và cái phải tìm, đi từ cái phải tìm đến cái đã biết (vai trò tìm
đoán), tổng hợp là đi từ cái đã biết đến cái phải tìm (phép chứng minh).
b. Trừu tượng hoá: là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm
không bản chất. Đặc điểm bản chất hay không bản chất mang nghĩa tương đối phụ
thuộc vào mục đích hành động.
Trừu tượng hóa thoát ra khỏi nội dung có tính chất chất liệu. Trừu tượng hóa gắn
liền với cụ thể hóa, liên hệ mật thiết với khái quát hóa. Nhờ trừu tượng hóa ta có thể
khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu tượng hóa và khái quát hóa

c. Khái quát hoá và đặc biệt hóa:
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng
lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần
tử trong tập hợp xuất phát.
Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên
cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong
nó. Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát
về khái niệm hay tính chất xuất phát (mang tính cụ thể).

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

5


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

Khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng trong tìm tòi và giải toán.
Từ một tính chất nào đó, muốn khái quát hóa thành một dự đoán nào đó, trước hết ta
thử đặc biệt hóa, nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng ta mới tìm cách chứng minh dự
đoán từ khái quát hóa, nếu sai ta dừng lại.
d. So sánh: là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau hoặc
sự hơn kém nhau.
So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm
riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện. Mục đích thứ nhất thường đi đôi với
tương tự và khái quát hóa.
e. Tương tự: là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ
của những đối tượng toán học khác nhau.
Thường xét sự tương tự toán học trên các khía cạnh sau:

- Hai vấn đề (bài toán) là tương tự nếu đường lối, phương pháp giải quyết giống nhau.
- Hai hình là tương tự nếu có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò của
chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hay nếu giữa các phần tử tương ứng của chúng
có quan hệ giống nhau.
- Nhiều khi trong quá trình mở rộng, những tập hợp đối tượng có những thuộc
tính tương tự, từ đó ta suy đoán những tính chất từ tập hợp này sang tập hợp khác.
Sự tương tự, do trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụng trong việc
giảng dạy toán. Song, cũng giống như phương pháp quy nạp không hoàn chỉnh, tương
tự có thể dẫn đến kết luận sai.
2. Một số biện pháp góp phần phát triển các thao tác tư duy cho học sinh
Từ những nguyên tắc của tư duy để góp phần phát triển tư duy cho người học
cần thực hiện trên cơ sở của một số biện pháp sau :
2.1. Giáo viên luôn tìm tòi những phương pháp dạy học tốt và luôn đổi mới
phương pháp dạy – học
Giáo viên có phương pháp dạy học tốt và luôn đổi mới phương pháp dạy học sẽ
giúp học sinh nắm vững và hiểu thấu kiến thức. Cần lựa chọn một hệ thống câu hỏi
Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

6


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

cho từng bài học, cho từng khâu trong quá trình diễn ra của giờ học một cách khéo
léo, có tính kích thích tư duy, phát huy sáng tạo và gây hứng thú học tập cho học sinh.
Bên cạnh việc trau dồi những tri thức toán học quy định trong chương trình, cần quan
tâm đến việc trau dồi cho học sinh về phương pháp học tập, phương pháp suy luận.
2.2. Lựa chọn hệ thống bài tập tốt và thường xuyên củng cố kiến thức cho HS

Một hệ thống bài tập được coi là tốt nếu nó đảm bảo việc soi sáng, củng cố, đào
sâu được những kiến thức mà học sinh đã học, gây được hứng thú học tập, làm cho
học sinh ham mê học tập, nâng dần trình độ hiểu biết, kĩ năng giải toán, do đó phát
triển được tư duy toán học cho học sinh. Cần tranh thủ mọi cơ hội để củng cố mọi
kiến thức cho học sinh: củng cố khi dạy một kiến thức mới có liên quan, củng cố khi
giải một bài tập cần vận dụng một kiến thức nào đó, củng cố trước và sau khi thi hết
học kì hoặc hết năm học.
2.3. Thường xuyên tập luyện cho học sinh suy đoán và tưởng tượng, hướng
dẫn học sinh biết phê phán và tích luỹ kinh nghiệm
Cần tạo nhiều cơ hội, nhiều tình huống buộc học sinh phải suy đoán: Suy đoán
về kết luận của một định lý, về kết quả của một bài toán, về khả năng giải bài toán…
Sau mỗi bài toán khó hoặc một bài toán hay, học sinh biết dành thời gian để nhìn lại
cách giải, nhận biết cách giải tốt, phê phán những chỗ rườm rà, tìm cách cải tiến
phương pháp giải, đề xuất những cách giải hay, đồng thời phân tích, khai thác bài toán
tương tự, bài toán tổng quát (nếu có). Điều này giúp rèn luyện cho học sinh độc lập
suy nghĩ, tự đặt các câu hỏi và tự tìm cách giải đáp chúng, đồng thời khuyến khích
những hoạt động trí óc như đặt câu hỏi hoài nghi khoa học; tại sao? Như thế nào?...
3. Một số ví dụ trong việc rèn luyện các thao tác tư duy trong quá trình dạy
học môn Toán ở trường phổ thông
3.1. Ví dụ 1: Cho tập hợp A   0;1;2;3;4;5;6 . Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi
một khác nhau sao cho số đó chia hết cho 5 và số 3 luôn có mặt một lần.
Ta tiến hành phân tích:
- Vì số cần tìm có 4 chữ số nên số đó có dạng abcd với a, b, c, d được chọn từ
tập A và a �0 .
Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

7


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

- Vì số đó chia hết cho 5 nên d phải là 0 hoặc 5.
- Vì số 3 luôn xuất hiện nên ví trí của a hoặc b hoặc c phải là 3.
- Vì d là 0 hoặc 5, mà a phải khác 0 nên bài toán phải chia 2 trường hợp:
+ TH1: d = 0
+ TH2: d = 5
- Vì số 3 luôn xuất hiện nên trong mỗi trường hợp ta đều phải ưu tiên chọn chỗ
cho số 3.
+ Ở TH1: Số 3 chọn 3 vị trí là như nhau.
+ Ở TH2: Phải xem xét để a �0 .
Dựa trên quá trình phân tích ở trên, ta phải tư duy và tổng hợp lại để tìm được
lời giải.
- TH1: d = 0
+ Có 3 cách chọn vị trí số 3.
+ Hai vị trí còn lại có 5.4 cách chọn.
Vậy có 3.5.4 = 60 (số).
- TH2: d = 5
+ Nếu a = 3 thì hai vị trí còn lại có 5.4 = 20 cách chọn.
+ Nếu a �3 thì a có 4 cách chọn (vì a �0 )
Có 2 cách chọn một vị trí cho chữ số 3. Vị trí cuối cùng có 4 cách chọn
các số còn lại.
Vậy có 20 + 4.2.4 = 52 (số).
Vậy có tất cả 60 + 52 = 112 số cần tìm.
Trong quá trình làm bài toán trên, ta nảy ra sự so sánh – tương tự như sau:
- Thứ nhất, nếu tập A thêm hoặc bớt một phần tử khác chữ số 0 thì bài toán có
cách giải hoàn toàn tương tự.

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

8


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

- Thứ hai, với cùng câu hỏi như trên nhưng thay chữ số 0 bằng chữ số khác thì
bài toán đơn giản hơn rất nhiều.
Hay nói cách khác, ta có sự so sánh giữa hai bài toán: một bài vai trò của các số
là như sau và bài khác vai trò của các số khác nhau.
Từ đó, ta tìm ra được cách giải mới:
B1: Lập số có 4 chữ số khác nhau sao cho chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5 và chữ
số 3 xuất hiện 1 lần (chữ số đầu có thể là chữ số 0) (tức là ta coi vai trò của chữ số 0
giống vai trò của các chữ số khác)
Dạng số cần tìm abcd
Dễ thấy:
d có 2 cách chọn;
có 3 cách chọn vị trí cho chữ số 3
Hai vị trí còn lại có 5.4 = 20 cách chọn
Vậy có 2.3.20 = 120 số
B2: Lập số có 4 chữ số khác nhau sao cho chữ số đầu là 0, chữ số cuối là 5, chữ
số 3 xuất hiện 1 lần.
Dễ thấy a và d cố định
Có 2 cách chọn vị trí cho chữ số 3
Vị trí còn lại có 4 cách chọn
Vậy có 2.4 = 8 số
Vậy có tất cả 120 – 8 = 112 số cần tìm (vì số có 4 chữ số khác nhau thì chữ số
đầu tiên phải khác 0)

- Ta lại có sự so sánh giữa hai cách giải (ưu điểm, nhược điểm)
Sau quá trình giải bài toán trên, ta hiểu được số phần tử trong tập hợp A nhiều
hay ít không quan trọng, vai trò của chữ số 3 cũng chỉ là thứ yếu, ta hoàn toàn có thể
thay đổi chữ số 3 thành chữ số khác (khác 0) mà bài toán vẫn giữ nguyên kết quả; Số
có 4 hay 3 hay 5 chữ số cũng chỉ là quan hệ thứ yếu.
Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

9


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

Điều cốt lõi của bài toán là yếu tố chia hết cho 5 và một chữ số luôn xuất hiện
và tập ban đầu chứa chữ số 0 nên phải phân chia các trường hợp để chữ số đầu khác 0.
- Sau khi làm xong bài toán trên, ta cần khái quát được cách làm với dạng toán:
Lập số có n  2 �n �9  chữ số khác nhau từ tập A   0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 sao
cho một chữ số bất kỳ luôn xuất hiện và số đó chia hết cho 5.
Ta có thể khái quát với cả dạng toán chia hết cho 2, chia hết cho 3, chia hết cho
9, chia hết cho 4, … Song, mỗi bài toán đương nhiên có đặc trưng riêng.
Hoặc bài toán, một chữ số luôn xuất hiện hoặc hai chữ số luôn xuất hiện …
Khi đó, người học sẽ nhanh chóng tìm được lời giải với các bài toán có mức độ
hẹp hơn. Ví dụ, cũng câu hỏi đó nhưng tập A không chứa số 0.
1
�2 1
2
x



y

9
2
2
�
x
y
�
3.2. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình �
�x  y  1  1  5
�
x y
�
Phân tích: Quan sát hệ phương trình, ta nhận thấy đây là hệ phương trình đối
xứng loại 1, theo cách giải truyền thống của hệ phương trình đối xứng loại 1, học sinh
sẽ cố gắng biến đổi hệ trên về một hệ phương trình mới, mà trong đó có xuất hiện hai
đại lượng là x + y và x.y. Từ đó dẫn đến việc đặt ẩn phụ quen thuộc S =x + y và P=x.y.
Cụ thể, hệ phương trình được biến đổi như sau:
Điều kiện: x �0; y �0
�
�
� 2
1 �
1 �
2
1
�2 1
2 �
2

�
�
�
x

y
1


9
x

y

2
xy
1

�
� 9


x


y


9



�
� 2 2�
2
�
�
�  xy  2 �
y2
��
� x
�
� x y �
�
�
��
��
�
1 �
�x  y  1  1  5
�x  y �
�
� 1 �
1  � 5


x  y �
1  � 5
�

�

�
�
x
y
�
� xy �
xy �
�
�
�

Đặt S  x  y, P  xy . Điều kiện: S 2 �4 P , ta có hệ phương trình

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

10


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

� 2
1 �
1  2 � 9
�S  2 P  �
�
�
� P �
�

1�
�S �
1  � 5
�
�
�� P�
Nhìn vào hệ phương trình thu được ta thấy, hệ này có thể giải được bằng phương
pháp thế, nhờ rút S theo P hoặc rút P theo S từ phương trình dưới rồi thế lên phương
trình trên, đến đây ta thu được một phương trình bậc cao theo ẩn P hoặc một phương
trình bậc cao theo ẩn S. Giải phương trình bậc cao này ta tìm được P, từ đó tìm S, hoặc
tìm được S rồi tìm được P và cuối cùng tìm được nghiệm x và y của hệ phương trình
ban đầu.
Qua sự phân tích trên, ta thấy về nguyên tắc hệ phương trình đã cho có thể giải
theo phương pháp truyền thống của hệ phương trình đối xứng loại một, nhưng rõ ràng
ở đây ta thấy có một sự máy móc trong cách biến đổi và đặt ẩn phụ S = x + y, P = x.y,
dẫn đến một lời giải dài dòng, cứng nhắc, thiếu sáng tạo như đã phân tích ở trên. Trong
trường hợp này, đối với những học sinh giỏi, có khả năng sáng tạo với sự mềm dẻo về
kiến thức, kết hợp với khả năng tư duy, nhìn nhận vấn đề tốt, nhìn ra được đặc điểm
riêng của bài toán, là trong hệ phương trình có các đại lượng có thể biểu diễn được qua
nhau, các em có thể giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đặt ẩn phụ ngay từ
đầu như sau:
Điều kiện: x �0; y �0
�
1
�
a = x+
�
x
�
Đặt �

Điều kiện
�
1
�
b = y+
�
�
y
�

�
�a
�
�b

�2
a  2  x2 
�
2
�
. Suy ra �
�2
�
b2  2  y 2 
�

1
x2
1
y2

Khi đó, hệ đã cho trở thành:
2
ab5
�
a 2  b 2  13 �
a  b   2ab  13 �
�

��
��
�
ab  6
ab5
ab5
�
�
�

X 2
�
2
Khi đó, a và b là hai nghiệm của phương trình: X  5 X  6  0 � �
X 3
�

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

11

Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

a2
a3
�
�
Suy ra �
hoặc �
b3
b2
�
�
� 1
x 2
�x  1
�x 2  2 x  1  0
a2 �
�
� x
�
�
��
� �2
� � 3� 5
Với �
1
b3

y

3
y

1

0
�
�
�y   3
�y 
�
2
� y
� 1
x 3
� 3� 5
a3 �
�
� x
�x 
��
��
Với �
2
1
b

2

�
�y   2 �y  1
�
� y
� 3 � 5 ��3 � 5 �
1;
,�
;1�
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là �
�
2
2
�
��
�
Nhận xét: Thông qua ví dụ này, giáo viên đã giúp học sinh vận dụng linh hoạt
các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa
(nhìn vào đặc điểm chung của bài toán là hệ đối xứng loại một, nhưng nhìn vào điểm
riêng của bài toán, là trong hệ có các đại lượng có thể biểu diễn được qua nhau, (các
đại lượng x 

1
1
1
1
2
2
và y  khi mang bình phương lên thì xuất hiện x  2 và y  2
y
y

x
x

), từ đó dẫn tới phép đặt ẩn phụ phù hợp như đã xét), học sinh được rèn luyện khả năng
chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chuyển từ giải pháp này
sang giải pháp khác (chuyển từ cách giải truyền thống của hệ đối xứng loại một sang
cách giải mới là phương pháp đặt hai ẩn phụ, theo đặc điểm riêng của bài toán); Học
sinh được rèn luyện cách suy nghĩ không rập khuôn, không máy móc, biết vận dụng
sáng tạo các kiến thức, kinh nghiệm đã có, vào một tình huống mới, đã có yếu tố thay
đổi (giải hệ theo cách truyền thống, cho một lời giải dài dòng, rối rắm, thiếu sáng tạo,
thì phải chuyển hướng tìm kiếm một lời giải tốt hơn). Như vậy, với ví dụ này học sinh
đã được rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo.
3.3. Ví dụ 3: CMR nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác thì:
cosA + cosB + cosC 

3
2

(1)

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

12


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

- Hoạt động phân tích: cosB + cosC = 2cos

BC
B C
cos
2
2

Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức
cosB + cosC với công thức cosa + cosb = 2cos

ab
ab
cos
.
2
2

A
BC
A
B+C
� cos
= 
= sin
2
2
2
2
cosA = cos2

A
A
= 1 - 2sin2 .
2
2

Hoạt động phân tích này lại dựa trên cơ sở tổng hợp, liên tưởng tới công thức
cos2a = 1- 2sin2a.
- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải:
(1)

� 1 - 2sin2

A
BC
B C 3
�
+ 2cos
cos
2
2
2
2

� 4 sin2

A
A
B C
- 4 sin cos

+ 1 �0
2
2
2

� (2 sin

A
B C 2
B C
�0
- cos
) + sin2
2
2
2

(2)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng, nên (1) đúng.
3.4. Ví dụ 4:
Sau khi học xong phương trình lương giác cơ bản, yêu cầu học sinh giải các
phương trình sau:
a) sinx + cosx = 1

(1)

b) 3 sin x  cos x  2

(2)

Đây là bài tập không khó, đối với câu a) học sinh dễ dàng vận dụng công thức:
� �
sin x  cosx  2sin�x  �đã biết biến đổi phương trình (1)
� 4�

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

13


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

x  k2
�


2 �
.
� 2sin(x  )  1� sin(x  ) 

�
x   k2
4
4
2
� 2
Câu b) thì đây là tình huống có vấn đề đối với học sinh. Tuy nhiên, việc có mặt

hệ số

3 gợi học sinh đến sự biến đổi

3 = tan

p
và dẫn đến phương trình tương
3





đương với: sin sin x  cosxcos  1  cos(x  )  1  x   k2 .
3
3
3
3
Sau khi giải xong giáo viên yêu cầu học sinh: Hãy giải phương trình (1) như
cách giải đã thực hiện cho phương trình (2). Từ đó cho học sinh phát hiện 1 tan


và
4

dẫn ra kết quả.
Trên cơ sở hai bài toán trên thầy giáo yêu cầu học sinh: Hãy so sánh đặc điểm
của hai phương trình trên, từ đó phát biểu bài toán tổng quát và cách giải phương
trình tổng quát?”. Với yêu cầu này thì học sinh sẽ nêu được phương trình tổng quát

của hai phương trình là: a sin x  cos x  c (3) (khái quát hoá lần 1) và học sinh có thể
nêu cách giải của phương trình tổng quát là: đặt a  tan  , sau đó học sinh có thể đưa
phương trình về phương trình cơ bản là cos( x   ) c cos  m .
Tuy nhiên, lúc này thầy giáo có yêu cầu học sinh: Có cách nào đưa phương
trình a sin x  b cos x  c về dạng phương trình (3) được không?”, với yêu cầu trên học
sinh có thể phát hiện ra cách giải của phương trình tổng quát a sin x  b cos x  c (khái
quá hoá từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn).
Tuy nhiên, thầy giáo có thể “gợi” học sinh đến cách đưa phương trình
� π� 1
sin x + cosx = 1 (1) về phương trình cơ bản sin �x  �
theo hướng sau: Để
� 4� 2
xuất hiện

1
ở vế phải ta có thể làm thế nào? Từ đó học sinh có thể phát hiện ra cách
2

đưa phương trình (1) về phương trình cơ bản bằng cách chia cả hai vế của phương
trình cho

2 ; trên cơ sở này thầy giáo có thể yêu cầu tiếp: Phương trình (2) có thể

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

14


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

đưa về phương trình cơ bản bằng kiểu như thế được không? Mong muốn học sinh phát
hiện ra được chia cả 2 vế của phương trình cho

 3

2

 12  2 . Trên cơ sở này giáo

viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu kết quả khái quát.
Từ trên cho thấy rằng việc chuyển từ so sánh sang khái quát hoá không diễn ra
một cách tự động. Học sinh không những phải phát hiện những đặc điểm chung ở
những đối tượng riêng lẻ mà còn phải khám phá mối liên hệ giữa những đặc điểm đó
thể hiện thành quy luật bao quát, không những các đối tượng đã khảo sát mà còn các
đối tượng khác nữa.

Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

15


Vũ Viết Tiệp

Lớp cao học Toán K23 – Chuyên ngành LL và PPDH môn Toán

KẾT LUẬN
Có thể nói, các thao tác tư duy cơ bản được xem như quy luật bên trong của mỗi
hành động tư duy. Trong thực tế, các thao tác tư duy đan chéo vào nhau mà không theo

trình tự máy móc, nghĩa là trong một hành động tư duy, các thao tác tư duy cùng xuất
hiện. Tuy nhiên, không phải mọi hành động tư duy đều phải xuất hiện các thao tác trên.
Việc rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán có vai trò
quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của học sinh, để từ đó có khả năng
thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Học sinh cũng thấy được mỗi lời
giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh mà phương pháp giải
không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài Toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của
bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài Toán chỉ có thể được phát hiện
thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh,.... Đồng thời, qua việc
rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học giải Toán làm cho học sinh biết
được tính thực tiễn của Toán học: Xuất phát từ thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn.
Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất trừu tượng cao độ của nó. Nhờ trừu
tượng hoá mà Toán học đi sâu vào bản chất của nhiều sự vật, hiện tượng và có ứng
dụng rộng rãi. Nhờ có khái quát hoá, xét tương tự mà khả năng suy đoán và tưởng
tượng của học sinh được phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ
dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác tư duy. Cũng qua
thao tác khái quát hoá và trừ tượng hoá mà tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, tư duy phê
phán của học sinh cũng được hình thành và phát triển. Bởi qua các thao tác tư duy đó
học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định được phương hướng, tìm ra cách
giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn thiện kết quả đạt được của bản thân cũng
như những ý nghĩ và tư tưởng của người khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra được
những vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Rèn luyện thao tác tư duy trong dạy học giải Toán có vai trò quan trọng trong
quá trình phát triển tư duy học sinh. Nhưng trong thực tế, nó chưa được ưu tiên thích
đáng xứng với vị trí của nó. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo
viên chưa chú ý được tầm quan trọng của nó hoặc chưa xây dựng được các biện pháp
sư phạm thích hợp nhằm phát triển năng lực giải Toán cho học sinh.
Tiểu luận: Rèn luyện các thao tác tư duy nhằm phát triển tư duy cho học sinh thông qua quá trình dạy học môn Toán

16