Chuyên đề góc và khoảng cách trong không gian – nguyễn nhanh tiến

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Hướng tới kì thi THPTQG 2019

GÓC - KHOẢNG CÁCH

§1.

Các dạng toán liên quan đến tính Góc

1. 1 Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua
một điểm và lần lượt song song với a và b.
a
a
O
b
b
Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường
thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Nếu #»
u và #»
v lần lượt là vec-tơ chỉ phương của a và b, đồng thời ( #»
u , #»
v ) = α thì góc giữa hai
đường thẳng a và b bằng α nếu 0◦ ≤ α ≤ 90◦ và bằng 180◦ − α nếu 90◦ < α ≤ 180◦ .
Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0◦ .

Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ta thường có hai phương pháp để giải
quyết cho dạng toán này.

! ɂ Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, kết hợp sử dụng hệ thức
lượng trong tam giác (định lý cos, công thức trung tuyến).
ɂ Phương pháp 2: Sử dụng tích vô hương của hai vec-tơ.

Ví dụ 1.

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

1

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng
√
a 6
,
(BCD). Biết tam giác BCD vuông tại C và AB =
2
√
AC = a 2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AC (tham

/ToanTienNhanh

A

khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng AB và DE
E

bằng
A. 45◦ .

B. 60◦ .

C. 30◦ .

D. 90◦ .

B

D

C
 Hướng dẫn giải:
Gọi I là trung điểm của BC, suy ra EI

AB.

A

Khi đó(AB, DE) = (EI, ED) = IED.
DC ⊥ BC (giả thiết)
Ta có

⇒ DC ⊥ (ABC),
DC ⊥ AB (AB ⊥ (BCD))
suy ra DC vuông góc với EC. Do đó
√
3a2
a 6
AC 2
=
⇒ DE =
.
DE = CD + EC = CD +
4
2
2
2

2

2

E
B

D

2

√

a 6

a2
AB
=
và BC 2 = AC 2 − AB 2 = .
2
4
2
Tam giác ICD vuông tại C nên
Ta có IE =

I
C

BC 2
9a2
=
.
4
8
Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác IDE, ta có
DI 2 = CD2 + IC 2 = CD2 +

3a2 3a2 9a2
+
−
1
IE + DE − CD
= 8 √ 2 √ 8 = ⇒ IED = 60◦ .
cos IED =
2IE · DE

2
a 6 a 6
2·
·
4
2
2

2

2

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng 60◦ .
Có thể chứng minh EI vuông góc với mặt phẳng (BCD), suy ra tam giác EID vuông tại I để

! tính góc IED đơn giản hơn mà không cần sử dụng định lý cô-sin.

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD
có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Biết tam giác BCD
√
√
a 6
vuông tại C và AB =
, AC = a 2, CD = a. Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo
2
hình vẽ dưới đây).

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

2

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

A

E
B

D

C
Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
A. 60◦ .

B. 45◦ .

C. 30◦ .

D. 90◦ .

 Hướng dẫn giải:
Gọi F là trung điểm của BD, suy ra EF

A

AB nên

(AB, CE) = (EF, CE).
Do AB ⊥ (BCD) nên EF ⊥ (BCD), suy ra

EF C

vuông tại F
.
CD ⊥ BC
Mặt khác
⇒ CD ⊥ AC.
CD ⊥ AB
√
√
√
a 6
1
, AD = AC 2 + CD2 = a 3.
Ta có EF = AB =
2
4
ACD vuông tại
C
và
có E là trung điểm của AD nên
√
1

a 3
CE = AD =
.
2
2 √
2
EF
=
⇒ CEF = 45◦ .
cos CEF =
EC
2
Vậy (AB, CE) = (EF, CE) = CEF = 45◦ .

E

B

D

F

C

Ví dụ 3.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy ABC là tam
√
giác cân AB = AC = a, BAC = 120◦ , cạnh bên AA = a 2. Tính

A

C
B

góc giữa hai đường thẳng AB và BC (tham khảo hình vẽ bên).
A. 90◦ .

B. 30◦ .

C. 45◦ .

D. 60◦ .

A

C
B

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

3

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh
A

Dựng AP sao cho song song và bằng với CB như hình vẽ.
Suy ra (BC, AB ) = (AP, AB ) .
√
Ta có AP = CB = a 3.
√
√
Ta lại có AB = B B 2 + AB 2 = a 3;
√
√
B P = B B 2 + P B 2 = a 3.

B
A

AP B đều nên (BC, AB ) = (AP, AB ) = 60◦ .

Vậy

C

P

C
B

Ví dụ 4.

A

Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của cạnh CD
(tham khảo hình vẽ), ϕ là góc giữa hai đường thẳng AM và
BC. Giá
√ trị cos ϕ bằng
3
.
A.
√6
2
C.
.
3

√

3
.
√4
2
D.
.
6
B.

D

B
M

C

 Hướng dẫn giải: Giả sử cạnh của tứ diện đều bằng a.
Ta có:
# »# »
# » # » # »
# » # » # » # »
CB.AM = CB · (CM − CA) = CB · CM − CB · CA
a2
= CB · CM · cos ACM − CB · CA · cos ACB = − .
4
√
# » # »
Ä # » # »ä
3
BC · AM
cos ϕ = cos BC, AM =
.
=
BC · AM
6
Ví dụ 5.
A

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt√phẳng (BCD).
√
a 6
Biết tam giác BCD vuông tại C và AB =
, AC = a 2,
2

CD = a. Gọi E là trung điểm của AD (tham khảo hình vẽ

E

bên).
Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng
◦

B

D

◦

A. 45 .

B. 60 .

C. 30◦ .

D. 90◦ .

C

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

4

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

Gọi H là trung điểm của BD. Khi đó EH

/ToanTienNhanh
A

AB và EH ⊥ (BCD).

Góc giữa AB và CE bằng
√ góc giữa EH và EC và bằng
√ HEC.
√
a 6
a 2
1
, BC = AC 2 − AB 2 =
,
Ta có EH = AB =
2
4
2
√
2(CB 2 + CD2 ) − BD2
3a2

a 6
CH 2 =
=
⇒ CH =
.
4
4
√
√ 8
CH
a 6 a 6
Vì tan HEC =
=
÷
= 1 nên HEC = 45◦ .
EH
4
4
Vậy góc giữa AB và CE bằng 45◦ .

E

B

D

H
C

Ví dụ 6. Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa A C và D C là

A. 120◦ .

B. 45◦ .

C. 60◦ .

D. 90◦ .

 Hướng dẫn giải:
Ta có A C

C

AC nên

B

D

A

(A C , D C) = (D C, AC) .
Dễ thấy tam giác ACD là tam giác đều nên D CA = 60◦ , do đó

C

B

◦

(A C , D C) = (D C, AC) = 60 .

D

A

Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 1, BC =

√

2. Tính góc

giữa hai đường thẳng AB, SC.
A. 45◦ .

B. 120◦ .

C. 30◦ .

D. 60◦ .

 Hướng dẫn giải:
Ta có AB 2 + AC 2 = 2 = BC 2 ⇒ ∆ABC vuông tại A.

S

# » Ä # » # »ä
# » # »
AB AC − AS
AB · SC

# » # » =
1·1
AB · SC
# »# » # »# »
= AB AC − AB AS

Ä # » # »ä
cos AB, SC =

= 0 − 1 · 1 · cos 60◦
1
= − .
2

A
√
2

Ä # » # »ä
Suy ra AB, SC = 120◦ .

C

B

Do đó góc giữa hai đường thẳng AB và SC
bằng 180◦ − 120◦ = 60◦ .

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

5

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 8. Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm các cạnh AB, BC, C D . Xác định góc giữa hai đường thẳng M N và AP .
A. 60◦ .

B. 90◦ .

C. 30◦ .

D. 45◦ .

 Hướng dẫn giải:
B

A

Do AC song song với M N nên góc giữa hai đường thẳng M N và
AP bằng góc giữa hai
√ đường thẳng AC và AP .
√

a 5
3a
Tính được P C =
; AP = ; AC = a 2.
2
2
Áp dụng định lý cosin cho ACP ta có
9a2
5a2
√
2
+
2a
−
2
2
2
AP + AC − P C
2
4
4
cos CAP =
=
=
3a √
2AP · AC
2
2·
·a 2
2

⇒ CAP = 45◦ .

P

D

C

M

A

B
N

D

C

Vậy góc giữa hai đường thẳng M N và AP bằng 45◦ .
Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung
điểm của SA, BC. Tính số đo của góc hợp bởi IJ và SB.
A. 45◦ .

B. 30◦ .

C. 60◦ .

D. 90◦ .

 Hướng dẫn giải:
S

I

A

C

M

J

B
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó IM là đường trung bình của tam giác SAB nên IM
SB
a
a
và IM =
= . Tương tự M J = .
2
2
2
Mặt khác, dễ dàng chứng minh tam giác IBJ vuông tại J nên
Ã
Ç √ å2
√
a 3
a
IJ = IB 2 − IB 2 =

−
2
2
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

6

2

SB

√
a 2
=
.
2
TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

√
a
a 2
Tam giác IM J có M I = M J = , IJ =
nên là tam giác vuông cân tại M . Suy ra

2
2
(IJ, SB) = (IJ, IM ) = M IJ = 45◦ (do IM

SB).

Ví dụ 10. Tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh CD. Cô-sin của góc giữa
AM và√BD là
3
A.
.
6

√
B.

√
3
C.
.
3

2
.
3

√
D.

2

.
6

 Hướng dẫn giải:
Gọi N là trung điểm của BC. Do M N

A

BD nên góc giữa AM và

BD bằng góc giữa AM và M N . Suy ra góc cần tìm là góc AM N .
Ta có
M A2 + M N 2 − AN 2
2M A · M N
Ç √ å2
Ç √ å2
a 3
a 2
a 3
+
−
2
2
2
√
=
a 3 a
·
2·
2

2
√
3
=
.
6

cos AM N =

D

B
M

N
C

Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM và BD bằng
A. 45◦ .

B. 30◦ .

C. 90◦ .

D. 60◦ .

 Hướng dẫn giải:
S

Cách 1. Ta có Ä
# » # »
# » # »ä # » # » # »
2AM · BD = AS + AB BD = AB · BD
√ √
a·a 2 2
◦
= AB · BD · cos 135 = −
= −a2 .
2
Từ đó
a2
# » # »
−
Ä # » # »ä AM
· BD
cos AM ; BD =
= √ 2
AM · BD
a 2 √
·a 2
2
Ä # » # »ä
1
= − ⇒ AM ; BD = 120◦ .
2
Vậy góc giữa AM và BD bằng 60◦ .

M
D

A
B

C

Cách 2. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia
AB, AD, AS. Không mất tính tổng quát, giả sử a = 1. Khi đó ta có tọa độ các điểm A(0; 0; 0),
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

7

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

ã
Å
ã
1
1
1 # »
1
# »
; 0;

. Từ đó AM =
; 0;
, BD = (−1; 1; 0). Và
B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), S(0; 0; 1), M
2
2
2
2
1
1
# » # »
(−1) + 0 · 1 + · 0
AM · BD
Ä # » # »ä
1
2
2
cos (AM ; BD) = cos AM ; BD = # »
=
# » = …1
2
1 √
AM · BD
+0+ · 1+1+0
4
4
Å

⇒ (AM ; BD) = 60◦ .
Ví dụ 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD.

√
Biết AB = CD = 2a, M N = a 3. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
A. 45◦ .

B. 90◦ .

C. 60◦ .

D. 30◦ .

 Hướng dẫn giải:
1
Gọi P là trung điểm AC ⇒ M P
AB, M P = AB = a và
2
1
N P CD, N P = CD = a.
2
(AB, CD) = (P M, P N ).
P M2 + P N2 − MN2
a2 + a2 − 3a2
1
Ta có cos M P N =
=
=− .
2
2P M · P N
2a
2
◦

◦
Từ đó suy ra M P N = 120 ⇒ (AB, CD) = 60 .

A

N
P
B

D
M
C

Ví dụ 13.
B

A

Cho hình lập phương ABCD.A B C D (tham khảo hình vẽ
bên). Góc giữa hai đường thẳng AC và A D bằng
A. 45◦ .

B. 30◦ .

C. 60◦ .

D. 90◦ .

D

C
B

A
D

C

 Hướng dẫn giải:
A C ⇒ (AC, A D) = (A C , A D).
√
Mặt khác: A C = A D = DC = a 2 nên suy ra
Ta có: AC

B

A

A DC đều.

Do đó (A C , A D) = 60◦ .

60◦

D

C
B

A

D

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

8

C

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD =
60◦ , có SO vuông góc với mặt đáy và SO = a. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
là

√
a 57
A.
.
19

√
a 57
B.

.
18

√
a 45
C.
.
7

√
a 52
D.
.
16

 Hướng dẫn giải:
S

Gọi H là hình chiếu của O trên BC, K là hình chiếu
của O trên SH. Khi đó ta có OK ⊥ (SBC) hay
d(O, (SBC)) = OK. Ta có

C

D

1
1
1
1

1
1
=
+
=
+
+
.
2
2
2
2
2
OK
SO
OH
SO
OB
OC 2

K

a
Do BAD = 60◦ nên OBC = 60◦ , suy ra OB = ,
2
√
a 3
OC =
. Thay vào đẳng thức trên ta được OK =
2

√
a 57
.
19

O
H
A

B

Ví dụ 15. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối
xứng với D qua trung điểm SA. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa
hai đường thẳng M N và BD bằng
A. 90◦ .

B. 60◦ .

C. 45◦ .

D. 75◦ .

 Hướng dẫn giải:
S

Do D đối xứng với E qua trung điểm của SA nên SDAE
là hình bình hành, suy ra EA

SD. Ta có

# » # »
# » # » # »
AB + ED + DC
# » AB + EC
MN =
=
2
2
# » # » # » # »
AB + AD + SD + DC
=
2
# » # »
AC + SC
=
.
2

E
M

C

D
I
O

A

N

B

Mà BD ⊥ AC và BD ⊥ SC (do BD ⊥ (SAC)) nên
# » # »
# » # » # » AC + SC
BD · M N = BD ·
= 0.
2
Vậy (M N, BD) = 90◦ .

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

9

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 16.
A

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC
(tham khảo hình vẽ bên). Giá trị cô-sin của góc giữa hai
đường √
thẳng AB và √

DM bằng
√
3
3
3
.
B.
.
C.
.
A.
6
3
2

D.

1
.
2
B

D
M
C

 Hướng dẫn giải:
A

Gọi N là trung điểm AC.

Gọi I 
là trung điểm M N .
M N AB
Ta có
⇒ (AB, DM ) = (M N, DM ).
DI ⊥ M N
Do vậy,
DM ) = cos(M N, DM ) = cos IM D.
cos(AB,√
√

DM = 3
3
2
⇒ cos IM D =
Ta có
.

6
M I = a
4

N
I
B

D
M
C

Ví dụ 17.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có AB = a và
√
AA = 2a. Góc giữa hai đường thẳng AB và BC bằng
A. 30◦ .

B. 90◦ .

C. 45◦ .

A

C
B

D. 60◦ .
A

C
B

 Hướng dẫn giải:
Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AB và A C . Khi đó IH là đường
trung bình của A BC nên√IH BC ⇒ (AB , BC ) = (AB , IH).
√
a 3
3a
Ta có AB = a 3, B H =
, AH =
nên B H 2 +HA2 = AB 2 ,

2
2
hay HAB vuông
tại
H.
√
AB
a 3
IH =
=
⇒ ∆B IH đều, suy ra
2
2
(AB , BC ) = (AB , IH) = B IH = 60◦ .

A

C
B
I

A

H

C

B

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

10

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và S, SA
vuông góc với mặt phẳng √
đáy. Tính cô-sin góc giữa 2 đường thẳng SD và BC biết AD =
2 3a
.
DC = a,AB = 2a, SA =
3
1
2
3
4
A. √ .
B. √ .
C. √ .
D. √ .
42
42
42

42
 Hướng dẫn giải:
S

M

A
D

B

C

• Gọi M là trung điểm AB, ta có DM BC. Do đó (BC,√SD) = (DM, SD).
4a2
7a2
a 7
• Ta có SD2 = SA2 + AD2 =
+ a2 =
⇒ SD = √ .
3
3
3
√
2
2
7a
a
4a
7

+ a2 =
⇒ SM = √ .
SM 2 = SA2 + AM 2 =
3
3
√3
2
2
2
2
2
2
DM = AM + AD = a + a = 2a ⇒ DM = a 2.
7a2
7a2
2
+
2a
−
2
2
2
DS + DM − SM
3 = √3 = √3 .
• Ta có cos SDM =
= 3 √
2 · DS · DM
7a √
14
42

2·
·a 2
3
Ví dụ 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với
đáy. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa hai đường thẳng AM và BD bằng
A. 30◦ .

B. 60◦ .

C. 45◦ .

D. 90◦ .

 Hướng dẫn giải:
Lấy N là trung điểm SD, suy ra M N

S

BD, dẫn tới

(AM, BD) = (AM, M N ) = AM √
N.
√
SB
a 2
a 2
Vì SA ⊥ AB ⇒ AM =
=
. Tương tự AN =
.

2
2
2
Lại có M N là đường
trung bình của SBD nên ta có
√
BD
a 2
MN =
=
. Suy ra AM N là tam giác đều, nên
2
2
AM N = 60◦ .

N
M
A

B
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

11

D

C
TT Quốc Học Huế

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 20. Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a.
# »
# »
Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai vec-tơ SM và AB.
 Hướng dẫn giải:
A
Cách 1:

# » # »
SM · AB
# »
# »
.
Gọi α là góc giữa hai vec-tơ SM và AB, ta có cos α =
SM
√ · AB
√
√
BC
a 2
Có BC = AB = SA2 + SB 2 = a 2, SM =
=
.
2

2
# » # » 1 # » # »
# » #»
Mặt khác ta có SM · AB = (SB + SC) · (SB − SA)
2
a2
1 # »2 # » # » # » # » # » # »
= (SB − SB · SA + SC · SB − SC · SA) =
2
2
a2
1
√ = ⇒ α = 60◦ .
Vậy cos α =
√ a 2
2
2·a 2·
2

N

S

B
M

C

Cách 2:
Gọi N là trung điểm của AC, ta dễ dàng chứng minh được

SM N đều.
# » # »
# » # »
# » # »
Có (SM , AB) = (SM , N M ) = (M S, M N ) = N M S = 60◦ .
Ví dụ 21 (Thi thử, THPT chuyên KHTN Hà Nội, 2019). Cho tứ diện ABCD có
√
AB = CD = a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết M N = 3a,
góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
A. 45◦ .

B. 90◦ .

C. 60◦ .

D. 30◦ .

 Hướng dẫn giải:
A

Gọi P là trung điểm của AC. Khi đó, ta có
PM

CD, P N

AB. Suy ra góc giữa AB và CD bằng góc

giữa P M và P N .
CD
a

AB
a
Ta có P M =
= ,PN =
= .
2
2
2
2
P
Xét tam giác P M N có
2
2
2
P M + P N − MN
cos M P N =
B
2 · PM · PN
2
2
2
a
a
3a
+
−
N
1
4
4

4
=
=− .
a a
2
C
2· ·
2 2
Suy ra M P N = 120◦ .
Suy ra góc giữa hai đường thẳng P M và P N bằng 180◦ − 120◦ = 60◦ .

M

D

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60◦ .

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

12

TT Quốc Học Huế


LATEX Hóa

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

/ToanTienNhanh

√
Ví dụ 22. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a 2 và BC = 2a.
Tính góc giữa hai đường thẳng AC và SB.
 Hướng dẫn giải:
S
Cách 1:
Ta có SAB và SAC là tam giác đều, ABC và SBC là tam
giác vuông cân cạnh huyền BC.
M

Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của SA, AB, BC, ta
có M N

SB, N√P AC nên (AC, SB)
√ = (N P, M N ).
a 2
AC
a 2
SB
=
, NP =
=
.
MN =
2
2
2
2
√
BC

AP = SP =
= a, SA = a 2
2
√
SA
a 2
Nên SAP vuông cân tại P ⇒ M P =
=
.
2
2
Vậy M N P đều ⇒ (AC, SB) = (N P, N M ) = M N P =

A

C
N

P
B

60◦ .
Cách 2:
# » # »
# » #» # » # » # » #» # »
AC · SB = (SC − SA) · SB = SC · SB − SA · SB
2
= 0 − SA · SB · cos
# »ASB
# » = −a . 2

AC · SB
a
1
√ =
cos(AC, SB) =
= √
AC · SB
2
a 2·a 2
⇒ (AC, SB) = 60◦ .

1. 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
d

A

ϕ

d
α

O

H

Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng (α) bằng 90◦ .
Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa đường thẳng d và
hình chiếu d của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Để xác định góc giữa d và (P ), ta thường làm như sau
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

13

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Xác định giao điểm O của d và (P ).
Lấy một điểm A trên d (A khác O). Xác định hình chiếu vuông góc (vuông góc) H của A
lên (P ). Lúc đó (d, (P )) = (d, d ) = AOH.

! Nếu ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có 0

◦

≤ ϕ ≤ 90◦ .

Ví dụ 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc
√
với mặt phẳng đáy, AB = 2a, BAC = 60◦ và SA = a 2. Góc giữa đường thẳng SB và mặt
phẳng (SAC) bằng
A. 45◦ .

B. 30◦ .

C. 60◦ .

D. 90◦ .

 Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC ⇒ BH⊥(SAC)

S

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có
√
BH
⇒ BH = AB · sin 60◦ = a 3
sin BAH =
AB
√
√
SB = SA2 + AB 2 = a 6.
Xét tam giác SBH vuông tại H, ta có
BH
1
sin BSH =
= √ ⇒ BSH = 45◦
SB
2
Vậy [SB, (SAC)] = BSH = 45◦ .

H

A

C
B

Ví
√ dụ 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA =
a 2
. Tính góc α giữa SC và mặt phẳng (SAB).
2
A. α = 45◦ .
B. α = 30◦ .
C. α = 90◦ .
D. α = 60◦ .
 Hướng dẫn giải:
S

Gọi H là trung điểm AB ⇒ CH ⊥ AB mặt khác SA ⊥
CH ⇒ CH ⊥ (SAB) ⇒…
(SC, (SAB))√
= HSC
√
3
a 3
SC = SA2 + AC 2 = a
; CH =
2
√ 2
HC
2

⇒ sin HSC =
=
⇒ α = 45◦ .
SC
2
A

C
H
B

Ví dụ 25.

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

14

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

Cho hình trụ đều ABCD.A B C D có tất cả các cạnh đều bằng

/ToanTienNhanh

1

B

1 (tham khảo hình vẽ). Gọi ϕ là góc hợp bởi đường thẳng AC
với mặt phẳng√(BCC B ). Tính sin ϕ.
√
10
6
.
B. sin ϕ =
.
A. sin ϕ =
√4
√4
3
13
C. sin ϕ =
.
D. sin ϕ =
.
4
4

1
A

C
1
1

B

C

A
 Hướng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của BC
√ ta có ϕ = AC H. √
√
AH
a 3
6
nên sin ϕ =
.
=
Ta có AC = 2, AH =
2
AC
4

H

B

C

A

B

C

A
Ví dụ 26. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
√
Biết AB = a, BC = a 2. Tính góc hợp bởi đường thẳng BC và mặt phẳng (ACC A ).
A. 90◦ .

B. 45◦ .

C. 60◦ .

D. 30◦ .

 Hướng dẫn giải:
A

• Gọi H là trung điểm của AC. Do tam giác ABC vuông cân tại

H

C

B nên BH ⊥ AC. Mặt khác ABC.A B C là lăng trụ đứng nên
CC ⊥ BH. Do đó BH ⊥ (ACC A ). Suy ra góc giữa BC với mặt
phẳng (ACC A ) là góc BC H.

B

√
• Ta có BC = AB = a √

nên AC = a 2.
1
a 2
Do đó HB = AC =
.
2
2
1
HB
= nên BC H = 30◦ .
• sin BC H =
BC
2

A

C

B
Ví dụ 27.

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

15

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có
cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của
A trên SB, SD (hình vẽ bên). Gọi α là góc tạo bởi đường
thẳng SD và mặt phẳng (AHK), tính tan α.
√
√
B. tan α = √2.
A. tan α = 3.
3
1
.
C. tan α = √ .
D. tan α =
2
3

H
K
A

B
C

D

 Hướng dẫn giải:
S

Gọi L là giao điểm của SC và (AHK).
Ta có AK ⊥ (SCD) và AH ⊥ (SBC) nên SC ⊥ (AKLH).

L

Do đó
(SD, (AHK)) = (SK, KL) = SKL = α.
Xét

K

SAC ta có

A

SA2 = SL · SC ⇔ SL =
Mặt khác

SLK ∼

H

a2
a
SA2

= √ =√ .
SC
a 3
3

B
O
C

D

SDC nên
a
√ ·a
SK
SK · DC
a
LK
2
=
⇔ LK =
= √ =√ .
DC
SC
SC
a 3
6

Xét

SLK ta có

Vậy tan α =

√

a
√
√
SL
3
tan α =
= a = 2.
KL
√
6

2.

1. 3 Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa:
m

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường

n

thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì

α

β

◦

góc giữa chúng bằng 0 .
Diện tích hình chiếu của một đa giác Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích là
S và H là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (β). Khi đó diện tích S của hình H

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

16

TT Quốc Học Huế


LATEX Hóa

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

/ToanTienNhanh

được tính theo công thức như sau:
S = S · cos ϕ
với ϕ là góc giữa (α) và (β).
Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau

Bước 1. Tìm giao tuyến c của (α) và (β).
β

c

Bước 2. Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc hai mặt phẳng và
a

cùng vuông góc với c tại một điểm.

I

α
Bước 3. Góc giữa (α) và (β) là góc giữa a và b.

b

Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng ta có thể tìm góc giữa hai nửa đường thẳng lần lượt nằm
trên hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng.
Một số trường hợp thường gặp:
ɂ Trường hợp 1: ∆ABC = ∆DBC.
A

C

D
I
B
Gọi I là chân đường cao của ∆ABC.
Nối DI. Vì ∆ABC = ∆DBC nên DI ⊥ BC.
⇒ ((ABC), (DBC)) = AID.

ɂ Trường hợp 2: Xét góc giữa hai mặt phẳng (M AB) và (N AB) với

M AB và

N AB cân có

cạnh đáy AB.
N

B

M
I
A
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

17

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Gọi I là trung điểm AB. Khi đó N I ⊥ AB và M I ⊥ AB.
⇒ ((M AB), (N AB)) = M IN .
ɂ Trường hợp 3: Hai mặt phẳng cắt nhau (α) ∩ (β) = ∆.
B

I
A

Tìm giao tuyến ∆ của hai mặt phẳng.
Dựng AB có hai đầu mút nằm ở trên hai mặt phẳng và vuông góc với một mặt. (giả sử là (β)).
Chiếu vuông góc của A hoặc B lên ∆ là điểm I.
⇒ AIB là góc giữa hai mặt phẳng.
ɂ Trường hợp 4: Nếu a ⊥ (α); b ⊥ (β) thì ((α), (β)) = (a, b).
ɂ Trường hợp 5: Trường hợp khó vẽ được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dùng công thức
phép chiếu diện tích đa giác.
Ví dụ 28.

(ACD ) và (ABCD) (tham khảo hình vẽ dưới đây). Giá
trị tan α√bằng
2 6
A.
.
3

√
2
B.
.
3

C. 2.

D

A

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB = a,
√
√
BC = a 2, AA = a 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng
B

C

√
3 2
D.
.
2
A

B

D
C

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

18

TT Quốc Học Huế

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh
D

A

Kẻ DO vuông góc với AC.
Mà ta có AC ⊥ DD nên AC ⊥ D O.
Do đó, [(ACD ), (ABCD)] = (D O, DO) = D OD = α.

B

C

Xét tam giác ACD vuông tại D, đường cao DO, ta có
1
1
1
1
3
1
=
+
=
+
=
,

DO2
AD2 CD2
2a2 a2
2a2

A

D

O

√
a 6
.
suy ra DO =
3
Tam giác D DO vuông tại D, ta có

B

C

√
√
a 3
DD
3 2
= √ =
.
tan α =

DO
2
a 6
3
Ví dụ 29. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA = 2BC và BAC = 120◦ .
Hình chiếu của A trên các đoạn SB, SC lần lượt là M , N . Tính góc giữa hai mặt phẳng
(ABC)và (AM N ).
A. 45◦ .

B. 15◦ .

C. 30◦ .

D. 60◦ .

 Hướng dẫn giải:
Đặt BC = a. Dựng đường kính AD của đường tròn ngoại
tiếp đáy.

CD ⊥ AC
Ta có
⇒ CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AN .
CD ⊥ SA
Mà AN ⊥ SC ⇒ AN ⊥ (SCD) ⇒ AN ⊥ SD.

S
M

Tương tự ta chứng minh SD ⊥ AM . Suy ra SD ⊥ (AM N )
lại có SA ⊥ (ABC) nên ((AHK), (ABC)) = (SD, SA) =

ASD.

√
BC
2a 3
Ta có AD =
=
.
sin A
√3
2a 3
√
AD
3
3
tan ASD =
=
=
⇒ ASD = 30◦ .
SA
2a
3

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

N
A

B

D
C

19

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

Ví dụ 30. Cho

hình

chóp

/ToanTienNhanh

S

S.ABCD

có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi

M

M , N lần lượt là trung điểm SB và SD (tham

N

khảo hình vẽ), α là góc giữa hai mặt phẳng
A

(AM N √
) và (SBD). Giá trị sin α
√bằng
2
2 2
.
B.
.
A.
3
√3
1
7
C.
.
D. .
3
3

B

D

C

 Hướng dẫn giải:
S

Gọi O là trung điểm của BD.
Gọi I =
 M N ∩ SO, P = AI ∩ SC.
SB ⊥ AM
Ta có
⇒ AM ⊥ (SBC) ⇒ AM ⊥ SC.
BC ⊥ AM
Tương tự ta có AN ⊥ SC

P

Suy ra SC⊥ (AM N )
M N BD
Mặt khác
⇔ M N ⊥ (SAO).
BD ⊥ (SAO)
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (AM N ) và (SBD) là
‘ = α.
góc giữa AI và SO hay là SIP
Xét tam giác vuông
SIP vuông tại P . Ta có.
√
6
1
a.
SI = SO =

2
4
√
3
SA2
=
a (áp dụng hệ thức lượng cho tam
SP =
SC
3
giác vuông SAC).
√
SP
2 2
sin α =
=
.
SI
3

M

I

N

A

B
O

D

C

Ví dụ 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại C.
◦
◦
Cho ASC
sin của góc giữa hai mặt
√ = 60 , BSC = 45 , √
√ phẳng (SAB) và (SBC)
√ bằng
6
7
42
6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
7
7
3

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

20

TT Quốc Học Huế


LATEX Hóa

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

/ToanTienNhanh
S

Dựng AE ⊥ SB, AF ⊥ SC. Dễ dàng chứng minh được SB ⊥
(AEF ).

E

Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc AEF .
√
√
Giả sử SA = 1 ⇒ SC = 2, BC = 2, AC = 3 và AB = 7, SB =
√
2 2.
√
√
3

14
, AE =
.
Từ đó có AF =
2
4
√
42
Tam giác AF E vuông tại F nên sin F EA =
.
7

F
A

B

C

Ví dụ 32.
S

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA = a và vuông góc (ABCD). Gọi M là trung điểm
của BC (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc
giữa hai mặt phẳng (SM D) và (ABCD).
2
2
3
B. √ .

C. .
A. √ .
3
10
5

1
D. √ .
5

A

B
M
C

D
 Hướng dẫn giải:
S

Kéo dài DM cắt AB tại E. Kẻ AH ⊥ DM
(H ∈ DM ). Khi đó B là trung điểm của
AE ,góc SHA là góc giữa (SM D) và đáy.
AD · AE
2a
Ta có AH = √
=√ .
AD2 + √
AE 2
5

SA
5
=
⇒ cos SHA =
tan SHA =
AH
2
 
1
2
= .
3
1 + tan2 SHA

A

B
H

E

M
C

D

Ví dụ 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn
√
đường kính AB = 2a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Côsin của góc giữa
hai mặt√phẳng (SAD) và (SBC)

√ bằng
2
2
A.
.
B.
.
2
3

√
2
C.
.
4

√
D.

2
.
5

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

21

TT Quốc Học Huế

LATEX Hóa

Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến
S

Gọi I 
là giao điểm của AD và BC.
BD ⊥ AD
⇒ BD ⊥ (SAD).
Ta có
BD ⊥ SA
Mà SI ⊂ (SAD) nên BD ⊥ SI.
Kẻ DE⊥ SI tại E.
SI ⊥ DE
⇒ SI ⊥ (BDE) ⇒ SI ⊥ BE.
Ta có
SI ⊥ BD
Suy ra góc giữa (SAD) và (SBC) là góc giữa DE và
BE.

/ToanTienNhanh

A

B

E

√
3
SA
‘
Tính: BD = a 3, sin AIS =
=√ ,
SI
7
√
a
3
‘= √ ,
DE = DI · sin AIS
7√
√
2 6
BE = BD2 + DE 2 = √ .
7√
√
√
DE
a 3
7
2
Khi đó cos BED =
=
· √ =
.
BE
7

4
2a 6
√

C

D

I

1. 4 Một số bài toán áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian
Ví dụ 34 ( THPT Nghèn - Hà Tĩnh, 2019). Cho khối lập phương ABCD.A B C D .
Gọi M là trung điểm của AD, φ là góc giữa hai mặt phẳng (BM C ) và (ABB A ). Khẳng
định nào dưới đây đúng?
3
A. cos φ = .
4
4
B. cos φ = .
5
1
C. cos φ = .
3
2
D. cos φ = .
3

B

A

M
D

C
B

A

D

C

 Hướng dẫn giải:

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

22

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

M

Do ABCD.A B C D là hình lập phương ⇒ M A, CB, C B cùng

vuông góc với (ABB A ) ⇒
mặt phẳng (ABB A ) là
Ta có S

ABB

=S

M BC

M BC có hình chiếu vuông góc lên

B

A

• Cách 1: Tính góc theo công thức diện tích hình chiếu.

D

C

ABB .
· cos φ ⇒ cos φ =

S
S

ABB

.

B

A

M BC

Xét tam giác M BC , ta có
 
√
2
√
a
5a
M A2 + AB 2 =
+ a2 =
.
MB =
4
2
√
CB =
2a.
 
√
a2
3
DM 2 + DC 2 =
MC =

+ 2a2 = a.
4
2
M B + M C + BC
.
Đặt p =
2
Áp dụng công thức Hê-rông ta có
S

M BC

=

D

C

»
3a2
.
p(p − M C )(p − M B)(p − BC ) =
4

a2
S ABB
1
3a2
2
⇒ cos φ =

= a2 :
= .
2
S M BC
2
4
3
• Cách 2:Phương pháp tọa độ hóa.
Mặt khác S

=

ABB

Không mất tính tổng quát, ta giả sử AB = 1.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với các tọa độ các điểm như sau:
A (0, 0; 0), B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), A(0; 0; 1).
Å

ã
1
Khi đó ta có B(0; 1; 1), M
; 0; 1 , C (1; 1; 0).
2 Å
ã î
Å
ã
# »
# » # »ó
1

1
# »
Ta có BC = (1; 0; −1), BM =
; −1; 0 , BC ; BM = −1; − ; −1 .
2
2
Từ đây suy ra véc-tơ pháp tuyến của các mặt phẳng (ABB A ) và (BC M ) lần lượt là
Å
ã
1
#»
#»
n 1 = (1; 0; 0), n 2 = 1; ; 1 .
2

| #»
n 1 · #»
n 2|
Ta có cos φ = #»
=
| n | · | #»
n |
1

2

1
1·1+0· +0·1
2
2

 
= .
Å ã2
3
√
1
12 + 02 + 02 · 12 +
+1
2

2
Vậy cos φ = .
3

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

23

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ưu điểm của hai cách tính này là không phải dựng góc
a) Cách 1, mở tư duy vì thường ta chỉ chú ý việc chuyển bài toán tính diện tích thiết diện
thành bài toán tính góc mà ít khi nghĩ đến hướng ngược lại. Đặc biệt ở đây ta chỉ cần

!

“một phần thiết diện ” chính là

BC M . Việc tính diện tích tam giác này là khá đơn

giản.
b) Cách 2, nhấn mạnh việc tọa độ hóa bài toán liên quan đến hình lập phương là hướng đi
tốt. Không cần nhiều tư duy hình.

Ví dụ 35 (Thi thử, THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa, 2019). Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A B C có AB = AC = BB = a, BAC = 120◦ . Gọi I là trung điểm của CC . Tính
cosin của
(ABC) và (AB√
I).
√ góc tạo bởi hai mặt phẳng
√
2
3 5
30
A.
.
B.
.
C.
.
2
12
10

√
D.

3
.
2

 Hướng dẫn giải:
B

C
y

A

I

B

√
a 3
2

B

C
a
−
2

A

A

a
C

x

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ≡ O, C thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy và B thuộc góc phần
tư thứ II của mặt phẳng
độ Oxy.
Ç tọa √
å
Ç
å
√
a a 3
a
a a 3
Khi đó, A(0; 0; 0), B − ;
; 0 , C(a; 0; 0), B − ;
; a , I a; 0; .
2 2
2 2
2
Ta có:
Ç
å

Ç
√
√ å
2
î # » # »ó
a a 3
3
a
# »
# »
• AB = − ;
; 0 và AC = (a; 0; 0) suy ra n#»1 = AB, AC = 0; 0; −
.
2 2
2
Ç
å
Ç
Ç √
√
√ å
√ å
î # » # »ó
# »
a a 3
a2 3
a2 3 5a2 a2 3
#»
#»
• AB = − ;

; 0 và AI = 0; 0; −
suy ra n2 = AB , AI =
;
;−
.
2 2
2
4
4
2
Hai mặt phẳng (ABC) và (AB I) lần lượt nhận n#»1 và n#»2 làm véc-tơ pháp tuyến.
Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB I), ta có
√
30
|n#»1 · n#»2 |
#»
#»
.
cos ϕ = | cos(n1 , n2 )| = #» #» =
|n1 | · |n2 |
10
161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

24

TT Quốc Học Huế


Ƅ Nguyễn Hữu Nhanh Tiến

LATEX Hóa

/ToanTienNhanh

Ví dụ 36 ( Hà Huy Tập, 2019). Cho hình chóp S.ABCD. đáy là hình thang vuông tại A
và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD), SA = a. Gọi M , N lần
lượt là trung
điểm SB, CD. Tính
√ sin góc giữa đường√thẳng M N và mặt phẳng
√ (SAC).
√
2 5
5
55
3 5
.
B.
.
C.
.
D.
.
A.
10
5
5
10
 Hướng dẫn giải:
z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A(0; 0; 0),
a
a
; 0; ,
S(0; 0; a), C(a; a; 0), D(0; 2a; 0),B(a; 0; 0), M
2
2
Å
ã
a 3a
N
; ;0 .
2 î2
# » # »ó
Ta có AS, AC = a2 (−1; 1; 0), do đó mặt phẳng

S

M

(SAC) có véc-tơ pháp tuyến là (−1; 1; 0). Mặt khác
3a a
# »
M N = (0; ; − ), suy ra đường thẳng M N có véc-tơ
2
2
chỉ phương (0; 3; −1).
Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng M N và (SAC), ta có
sin ϕ =

y

A
D
B

N
C

x

√
|−1 · 0 + 1 · 3 + 0 · (−1)|
3 5
=
.
10
(−1)2 + 12 + 02 · 02 + 32 + (−1)2

Ví dụ 37 (Thi thử, Chuyên Sơn La). Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là
tam giác cân với AB = AC = a và BAC = 120◦ , cạnh bên BB = a, gọi I là trung điểm
CC . Côsin
√ góc giữa (ABC) và (AB I) bằng:
√
20
A.
.
B. 30.
10

√
30
C.
.
10

√
D.

30
.
5

 Hướng dẫn giải:
z
A

C

I

B
x

y
A

C
O
B

161 -Bùi Thị Xuân Tp Huế

25

TT Quốc Học Huế