Chuyên đề vector và tọa độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.06 MB, 91 trang )
TR
ƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG
CHUYÊN ðỀ:
NĂM HỌC: 2007-2008
LƯU HÀNH NỘI BỘ
LỜI NÓI ðẦU
Chẳng khó khăn ñể nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học
toán của học sinh chúng ta. Xét về mặt tư duy, hình học không gian ñòi hỏi sự tư duy khá cao,
một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác. Vì vậy, không phải khó hiểu khi
những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác. Xét về mặt thi
cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở ñi, bài toán hình học không gian luôn có trong ñề thi toán
và chiếm một số ñiểm khá lớn. Vì vậy, tìm ñược một phương pháp học hình học không gian
ñúng ñắn luôn là mối quan tâm hàng ñầu của các bạn học sinh.
Cũng như mọi phân môn toán học khác, hình học không gian ñược chia thành nhiều bộ
phận. ðối với học sinh chúng ta thì có lẽ cách phân chia tốt nhất là theo phương pháp giải bài
toán; vì khi ñó ta có thể tìm hiểu nhiều dạng toán khác nhau và thông qua ñó còn có thể so sánh
và rút ra cho riêng mình những kinh nghiệm quý báu về ưu nhược ñiểm của các phương pháp
ñể từ ñó có ñược cách giải tối ưu nhất.
Từ những nhận xét trên, chúng tôi ñã lựa chọn chuyên ñề của mình là Phương pháp toạ ñộ
và vector trong hình học không gian.
ðây không phải là phương pháp quá mới ñến mức khó hiểu. Chắc chắn mỗi bạn ñều từng ít
nhất một lần thực hiện phương pháp giải trên vì nó vốn ñược ñề cập khá nhiều trong chuơng
trình học phổ thông. Tuy nhiên, nó cũng không quá cũ, chẳng có gì ñể nói như nhiều người
thường nghĩ. Bởi vì tuy là tiếp xúc nhiều nhưng ta ñã cho rằng phương pháp này không ñược
hiệu quả lắm bên cạnh những ñịnh lí, tiên ñề to lớn trong hình học không gian, cho những bài
giải ngắn gọn, mà lãng quên nó. Do ñó, tìm hiểu về phương pháp này sẽ giúp ta có một hệ
thống vững chắc giữa hình học không gian giải thuần tuý bằng ñịnh lí, tiên ñề, tính chất,… và
hình học không gian giải bằng biến ñổi vector và toạ ñộ.
Cố gắng thực hiện mục ñích ñó, nhóm chúng tôi ñã trình bày chuyên ñề của mình như sau:
Chuyên ñề gồm hai phần lớn: Vector và Toạ ñộ. Trong mỗi phần lại ñược chia thành nhiều
ñề mục nhỏ theo thứ tự nhất ñịnh, từ cơ bản ñến nâng cao, giúp xây dựng một hệ thống kiến
thức vững chắc, ña dạng nhưg vẫn dễ tiếp thu. Từ lí thuyết nền tảng ñến lí thuyết cao hơn, ví
dụ nhỏ ñến những bài toán ứng dụng lớn, ñó là sự cố gắng rất lơn của chúng tôi.
Bên cạnh những kiến thức cần thiết cho việc học hành chính quy của các bạn, ñiều chúng
tôi tâm ñắc nhất là có thể giúp các bạn nâng cao óc sáng tạo thông qua mảng kiến thức Sáng
tạo nằm cuối quyển sách, về hệ toạ ñộ Afin. ðó tuy không phải là những gì các bạn sẽ gặp
trong chương trình học cũng như trong thi cử, nhưng nó sẽ mang lại một cách suy nghĩ khá
mới mẻ, mở rộng ñược tầm hiểu biết, mang ñến cho chúng ta cách nhìn nhận vấn ñề tốt hơn, và
cho riêng các bạn chuyên toán, sẽ yêu môn toán hơn vì sự biến ñổi bất ngờ ñến thú vị của nó.
Trên lí thuyết, hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc là tiêu chuẩn, không chỉ trong toán học mà còn
nhiếu bộ môn khác. Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn cần biết ñến một hệ trục khác
không vuông góc. ðiều ñó làm thay ñổi hoàn toàn cách ta ghi nhận một sự việc, hiện tượng nào
ñó: hình tròn không còn tròn nữa, các ñường thẳng song song sẽ cắt nhau…! Nghe tuy thật
mâu thuẫn nhưng thật ra giữa hai hệ trục có mối quan hệ rất chặt chẽ và dĩ nhiên, không hề
mâu thuẫn với nhau. Mối liên hệ ñó như thế nào? Câu hỏi sẽ ñược giải ñáp trong phần Sáng
tạo của cúng tôi. Hơn thế nữa, các bạn sẽ còn nhận ra rằng nhiều khi ta ñã nhìn vấn ñề theo
một hệ trục “không trực chuẩn” như thế, cả trong học tập lẫn ñời sống, mà không nhận ra ñấy
thôi.
Chúng tôi ñã nêu lên một số vấn ñề như thế trong phần Chuyên ñề của mình. Tuy nhiên vẫn
còn một số câu hỏi mà chúng tôi ñang giải quyết và rất mong ñợi sự hỗ trợ từ các bạn và quý
thấy cô như:
1. Một cách nhìn tổng quát nhất về những trường hợp bài toán có thể giải bằng hai
cách.
2. Còn những dạng toán nào có thể áp dụng phương pháp này ñể giải
…
Cuối cùng, tuy ñã cốgắng rất nhiều, chúng tôi khó tránh khỏi những sai sót, rất mong quý
thầy cô và các bạn thông cảm và liên hệ giúp chúng tôi có thể làm tốt hơn trong những chuyên
ñề sau.
Nhóm chuyên ñề 4
LỜI CẢM TẠ
Chuyên ñề này ra ñời, bên cạnh sự cố gắng của nhóm còn có phần giúp ñỡ vô cùng to lớn của
quý thầy cô ñã và ñang trực tiếp giảng dạy về cả vật chất và tinh thần. ðó là nguồn lực to lớn
giúp cho chúng tôi có thể hoàn thành tốt công việc. Nay chúng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc,
chân thành nhất ñến quý thầy cô:
Cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên
Thầy Phan ðại Nhơn
Thầy Huỳnh Bửu Tính
Thấy Nguyễn Hồng ðức
MỤC LỤC
• Ch
ương I VECTOR
Lí thuyết
………………………………………………………………………… 5
1. ðịnh nghĩa vector, Quan hệ giữa các vector, Các phép toán ………………………… 5
2. ðiều kiện ñồng phẳng………………………………………………………………… 6
3. Góc giữa hai vector, Hình chiếu, Tích vô hướng………………………………………. 7
4. Hệ vector ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính………………………………………… …
8
Bài tập
………………………………………………………………………… 9
• Chương II TOẠ ðỘ
Lí thuyết
………………………………………………………………… ……18
1. Toạ ñộ vector, Toạ ñộ ñiểm, ðiều kiện ñồng phẳng, ñồng phương và các phép
toán………………………………………………………………………………….… 18
2. Ví dụ áp dụng……………………………………………………………………… … 19
3. Tích vô hướng, Tích hữu hướng và công thức tính thể tích…………………… …… 25
4. Ví dụ áp dụng ………………………………………………………………………… 26
5. Hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc………………………………………………… ………. 29
6. Ví dụ áp dụng………………………………………………………… ………………. 30
7. Tâm tỉ cự……………………………………………………………………… ……… 34
Bài tập
………………………………………………………………………… … 36
1. Hệ trục cho tam diện, hình chóp………………………………………………… …… 36
2. Hệ trục cho lăng trụ…………………………………………………………………… 56
3. Hình không mẫu mực……………………………………………………………… … 60
• Chương III
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI CÁCH
………… … 66
• Ch
ương IV MỘT SỐ ðỊNH LÍ NỔI TIẾNG
………………… … 76
• Ch
ương V ỨNG DỤNG KHÁC
…………………………………… …… 80
• Ch
ương VI SÁNG TẠO - HỆ TRỤC AFIN
…………………….…. 82
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
5
CHƯƠNG I
VECTOR TRONG KHÔNG GIAN
1. ðịnh nghĩa vector:
- Vector là 1 ñoạn thẳng có quy ñịnh 1 chiều. Chiều của vector là thứ tự 2 ñầu mút là ñiểm ñầu (gốc)
và ñiểm cuối (ngọn) của ñoạn thẳng. ðường thẳng ñi qua 2 ñầu mút là phương của vector
- Kí hiệu vector:
AB
, ñộ dài của vector ñó là AB hay . Cách khác:
u
, ñộ dài của vector ñó là u hoặc
u
- Vector có ñiểm ñầu và ñiểm cuối trùng nhau ñược gọi là vector- không (kí hiệu là
AA
hoặc
0
).
2. Quan hệ của các vector trong không gian:
a) 2 vector ñồng phương hoặc không ñồng phương:
- 2 vector
vu
, (khác
0
) ñược gọi là ñồng phương (kí hiệu
u
//
v
) nếu chúng nằm trên cùng 1 ñường
thẳng hoặc nằm trên 2 ñường thẳng song song
- 2 vector
vu
, (khác
0
) ñược gọi là không ñồng phương (kí hiệu
u
/ /
v
) nếu chúng nằm trên cùng 2
ñường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau
- Ta quy ước 1 vector
0
luôn cùng phương với 1 vector khác
0
b) 2 vector cùng chiều hoặc ngược chiều:
Cho 2 vector
vu
, khác
0
và ñồng phương, khi ñó tồn tại mp(P) chứa
vu
, .
- Nếu trong (P) 2 vector ñó cùng chiều, thì ta nói
u
và
v
cùng chiều trong không gian (kí hiệu
u
↑↑
v
)
- Nếu trong (P) 2 vector ñó ngược chiều, thì ta nói
u
và
v
ngược chiều trong không gian (kí hiệu
u
↑↓
v
)
- Ta quy ước 1 vector
0
luôn cùng chiều với 1 vector khác
0
c) 2 vector bằng nhau hoặc 2 vector ñối nhau:
- 2 vector
vu
, bằng nhau (
u
=
v
) nếu chúng cùng chiều và cùng ñộ dài
- 2 vector
vu
, ñối nhau (
u
= -
v
) nếu chúng ngược chiều và cùng ñộ dài
d) 3 vector ñồng phẳng hoặc không ñồng phẳng:
- 3 vector
wvu
,, (khác
0
) ñồng phẳng khi chúng cùng nằm trong 1 mp hoặc nằm trong các mặt phẳng
song song.
- Nếu 3 vector không có tính chất trên thì chúng không ñồng phẳng
3. Các phép toán vector:
a) Phép cộng vector:
B
A
v
a
C
- ðịnh nghĩa: Cho 2 vector
vu
, , tổng của
u
và
v
là vector
a
ñược xác ñịnh theo quy tắc tam giác
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
6
Trường hợp tổng của nhiều vector: Cho n vector
n
uuu , ,,
21
. Tổng của n vector ñó ñược xác ñịnh theo
quy tắc ñường gấp khúc: Từ 1 ñiểm A
0
bất kì ta dựng liên tiếp các vector
nn
AAAAAA
1210
, ,3,
−
.
Vector
n
AA
0
là tổng của n vector ñã cho và ñược kí hiệu:
n
uuuu +++= '
21
- Tính chất:
i)
u
+0
=
u
ii)
u
+(-
u
) = 0
iii)
u
+
v
=
v
+
u
iv) (
u
+
v
)+
w
=
u
+ (
v
+
w
)
b) Phép trừ 2 vector:
B
u
v
A
w
C
Hiệu của
u
và
v
là 1 vector
w
và ñược kí hiệu
u v w
− =
, nên
w v u
+ =
c) Nhân 1 vector với 1 số thực:
- ðịnh nghĩa: Cho
0
≠u
và số thực k
≠
0. Tích của
u
với k là 1 vector
v
có ñộ dài bằng
uk
. và cùng
chiều với
u
khi k>0; ngược chiều với
u
khi k<0. Kí` hiệu:
v
= k.
u
- Tính chất:
i) 1.
u
=
u
ii) m.(n.
u
) = (m.n).
u
, (m,n
∈
R)
ii) m.(
u
+
v
) = m.
u
+m.
v
, (m,n
∈
R)
iv) (m+n).
u
= m.
u
+m.
u
- Hệ quả:
i) unuuu
n
=+++
ii) Nếu
u
//
v
thì tồn tại 1 số thực k sao cho
v
=k.
u
và k là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó.
4. ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:
- Cho 3 vector
wvu
,,
(khác0
) và . ðể 3 vector ñó ñồng phẳng cần và ñủ là tồn tại 2 số thực m.n sao
cho
vnumw
+
=
. Cặp số m,n là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó.
- Hệ quả:
i) Nếu
wvu
,,
không ñồng phẳng và
. . . 0
m u n v k w
+ + =
, thì m = n = k = 0
ii) Với mọi vector
a
tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực x,y,z sao cho
wzvyuxa
+
+
=
Các vector
wvu
,,
ñược gọi là cơ sở của
a
. Bộ số (x,y,z) ñược gọi là toạ ñộ của
a
. Vector
a
có biểu
diễn như vậy ñược gọi là phân tích của
a
theo 1 cơ sở.
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
7
5. Góc tạo bởi 2 vector trong không gian:
a) ðịnh nghĩa: Cho 2 vector
vu
,
khác 0
. Gọi P là 1 ñiểm bất kì trong không gian và từ ñó dựng
,
OA u OB v
= =
, khi ñó góc
AOB
là góc tạo bởi u
và v
. Ta kí hiệu
( , )
u v
là góc tạo bởi 2 vector vu
,
.
Góc tạo bởi 2 vector không phụ thuộc vào cách chọn ñiểm O
Góc tạo bởi 1 vector
0
và 1 vector khác 0
không xác ñịnh.
b) Tính chất:
i) Nếu
'
u u
↑↑
và '
v v
↑↑
thì
( ', ')
u v
=
( , )
u v
ii) Nếu
( , )
u v
=
α
, thì
0
( ', ') ( ', ') 180
u v u v
α
− = − = −
iii) Nếu
u v
↑↑
thì
( , )
u v
=0. Nếu
AB
, thì
( , )
u v
=180
0
6. ðộ dài hình chiếu của 1 vector lên 1 trục tọa ñộ:
B
A
O A’ B’ x
Cho
AB
là trục tọa ñộ Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên Ox. A’B’ là hình
chiếu của AB lên Ox. Ta có hệ thức sau:
' ' cos
A B AB
α
=
(
α
là góc tạo bởi
AB
và vector ñơn vị trên Ox)
7. Tích vô hướng của 2 vector trong không gian:
a) ðịnh nghĩa:
- Cho 2 vector
vu
,
khác 0
tạo với nhau góc
α
.Ta kí hiệu tích vô hướng của 2 vector ñó là
. . .cos
u v u v
α
=
- Nếu 1 trong 2 vector bằng 0
, thì tích vô hướng của chúng bằng 0
b) Tính chất:
i)
. .
u v v u
=
ii)
.( ) . .
u v w u v u w
+ = +
iii)
( . ). .( . ),
k u v k u v k R
= ∈
iv)
2
2
. ( )
u u u u
= =
v)
. .
u v u v
≤
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u
// v
c) Hệ quả:
*
0
. 0 ( , ) 90
u v u v
< ⇔ >
*
0
. 0 ( , ) 90
u v u v
> ⇔ <
*
0
. 0 ( , ) 90
u v u v
< ⇔ >
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
8
8. Hệ vector ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:
a) Hệ vector ñộc lập tuyến tính:
Trong không gian vector V, hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
ñược gọi là ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi từ
biểu thức:
1 1 2 2
0
n n
k x k x k x
+ + + =
Ta suy ra:
1 2
n
k k k
= = =
VD: Trong mặt phẳng hệ 2 vector (khác
0
) không cùng phương gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính
hoặc trong không gian hệ 3 vector không ñồng phẳng (khác
0
) gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính
b) Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:
Nếu hệ n vector không ñộc lập tuyến tính thì gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính. Như vậy, hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có thể tìm ñược các số
1 2
, , ,
n
k k k
không ñồng thời
bằng 0 sao cho:
1 1 2 2
0
n n
k x k x k x
+ + + =
c) Tính chất:
- Nếu 1 hệ vector
1 2
, , ,
n
x x x
là ñộc lập tuyến tính thì mọi vector của hệ ñều khác
0
- Nếu hệ vector
1 2
, , ,
n
x x x
ñộc lập tuyến tính thì mọi vector con của nó cũng ñộc lập tuyến tính
- Nếu hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ vector chứa hệ ñó ñều phụ thuộc tuyến
tính
- Hệ n vector
1 2
, , ,
n
x x x
(
2
n
≥
) phụ thuộc tuyến tính khi là chỉ khi 1 vector nào ñó của hệ biểu thị
tuyến tính qua các vector còn lại
VD:
1
1 1 2 2 1 1
1
0
n
n i i n n n
i
x k x k x k x k x x
−
− −
=
= ⇔ + + + − =
∑
Ngược lại nếu hệ phụ thuộc tuyến tính thì có các số không ñồng thời bằng 0 sao cho
1
0
n
i i
i
k x
=
=
∑
-
N
ế
u 1 h
ệ
vector
1 2
, , ,
n
x x x
là
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính thì h
ệ
1 2
, , ,
n
x x x
,
y
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính khi và
ch
ỉ
khi
y
bi
ể
u th
ị
tuy
ế
n tính qua
1 2
, , ,
n
x x x
và cách bi
ể
u th
ị
ñ
ó là duy nh
ấ
t
>
Vi
ệ
c ch
ứ
ng minh 1 h
ệ
vector
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính hay ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính có liên quan m
ậ
t thi
ế
t
ñế
n
các bài toán ch
ứ
ng minh 3
ñ
i
ể
m th
ẳ
ng hàng, 4
ñ
i
ể
m
ñồ
ng ph
ẳ
ng, 2
ñườ
ng th
ẳ
ng chéo nhau trong hình
h
ọ
c.
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
9
MỘT SỐ BÀI TẬP
Những kĩ năng biến ñổi bài toán theo kiểu vector nói chung không phức tạp, ta cần làm nhiều
bài ñể nắm vững ñược nhiều dạng khác nhau. Khi ñó có thể nắm ñược mấu chốt vấn ñề khi gặp
một bài mới.
Cho hình chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các tia SA, SB,
SC, SG theo thứ tự tại A’, B’, C’, G’
Chứng minh rằng:
3
' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
+ + =
Gi
ả
i:
A'
C'
S
A
B
C
B'
G'
G
ðặ
t , , ,
' ' ' '
SA SB SC SG
a b c d
SA SB SC SG
= = = =
. ', . ', . ', . '
SA a SA SB b SB SC c SC SG d DG
⇔ = = = =
Ta có :
3
SA SB SC SG
+ + =
(G là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a tam giác ABC)
' ' ' 3 '
aSA bSB cSC dSG
⇔ + + =
M
ặ
t khác ta có A’, B’, C’, G’
ñồ
ng ph
ẳ
ng nên
' ' ' '
SG mSA nSB pSC
= + +
v
ớ
i m + n + p = 1
' ' ' 3 ( ' ' ')
aSA bSB cSC d mSA nSB pSC
⇒ + + = + +
Vì
'
SA
,
'
SB
,
'
SC
ñộc lập tuyến tính nên:
3
3
3
a dm
b dn
c dp
=
=
=
3 ( ) 3
a b c d m n p d
⇒ + + = + + =
⇒
3
' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
+ + =
Trên các c
ạ
nh AB, BC, CD, DA c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n ABCD, ng
ườ
i ta l
ấ
y theo th
ứ
t
ự
các
ñ
i
ể
m A’, B’, C’, D’ .
Bi
ế
t r
ằ
ng trong không gian t
ồ
n t
ạ
i 1
ñ
i
ể
m O sao cho:
' ' ' '
OA OB OC OD OA OB OC OD
+ + + = + + +
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
10
' ' ' '
' ' ' '
AA BB CC DD
A B B C C D D A
= = =
Gi
ả
i:
ðặ
t
' ' ' '
, , ,
' ' ' '
AA BB CC DD
a b c d
A B B C C D D A
= = = =
Ta có:
' ' ' '
OA OB OC OD OA OB OC OD
+ + + = + + +
( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 0
' ' ' ' 0
0
( ) 0
(
OA OA OB OB OC OC OD OD
AA BB CC DD
a AB bBC cCD d DA
a AB bBC cCD d AB BC CD
a
⇔ − + − + − + − =
⇔ + + + =
⇔ + + + =
⇔ + + − + + =
⇔
) ( ) ( ) 0d AB b d BC c d CD− + − + − =
ðặ
t
; ; a d b d c d
α β γ
− = − = − =
Ta có:
0
AB BC CD
α β γ
+ + =
Gi
ả
s
ử
0
α
≠
V
ậ
y
AB BC CD
β γ
α α
= − −
⇒
, ,
AB BC CD
ñồ
ng ph
ẳ
ng
⇒
A, B, C, D
ñồ
ng ph
ẳ
ng
⇒
vô lí vì ABCD là t
ứ
di
ệ
n
V
ậ
y
0
α
=
T
ươ
ng t
ự
0
β
=
và
0
γ
=
Do
ñ
ó a = b = c = d
' ' ' '
AA BB CC DD
AB BC CD DA
⇔ = = =
⇔
' ' ' '
' ' ' '
AA BB CC DD
A B B C C D D A
= = =
Từ bài toán trên ta có bài tương tự sau:
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD. G
ọ
i A’, B’, C’, D’ là các
ñ
i
ể
m l
ầ
n l
ượ
t chia các
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB, BC, CD, DA theo
t
ỉ
s
ố
k, ngh
ĩ
a là:
' ' ' '
' ' ' '
A A B B C C D D
A B B C C D D A
= = =
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i
ñ
i
ể
m O b
ấ
t kì trong không gian ta luôn có:
' ' ' '
OA OB OC OD OA OB OC OD
+ + + = + + +
b)
V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a k thì 4
ñ
i
ể
m A’, B’, C’, D’
ñồ
ng ph
ẳ
ng?
Gi
ả
i:
a)
Ta có:
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
11
' ' ' '
' ' ' '
' ' ' '
A A B B C C D D
k
A B B C C D D A
AA BB CC DD
m
AB BC CD DA
= = = =
⇒ = = = =
(v
ớ
i m = 1- k)
Ta l
ạ
i có:
' ' ' '
' ' ' '
( ) ( )
OA OB OC OD
OA AA OB BB OC CC OD DD
OA OB OC OD AB BC CD DA
+ + +
= + + + + + + +
= + + + + + + +
Mà
0
AB BC CD DA
+ + + =
nên
' ' ' '
OA OB OC OD OA OB OC OD
+ + + = + + +
b) Giả sử A’, B’, C’, D’ ñều nằm trên mặt phẳng (P). Xét ñường thẳng
∆
nào ñó cắt (P) tại O
D
ựng các mặt phẳng
, , ,
α β γ θ
lần lượt qua A, B, C, D và song song với (P). Chúng cắt lần lượt tại A
1
,
B
1
, C
1
, D
1
. Áp dụng ñịnh lý Thales trong không gian ta có:
1
1
'
'
OAA A
k
A B OB
= =
;
1
1
'
'
OBB B
k
B C OC
= =
;
1
1
'
'
OCC C
k
C D OD
= =
;
1
1
'
'
ODD D
k
D A OA
= =
4
1 1 1 1
1 1 1 1
. . . 1
OA OB OC OD
k
OB OC OD OA
⇒ = =
1
1
k
k
=
⇔
= −
1
k
⇔ = −
(vì nếu k=1 thì
A B C D
≡ ≡ ≡
, vô lí)
ðảo lại, nếu
1
k
= −
thì
1
' ' ' '
2
A B D C AC
= =
⇒
’, ’. ’, ’
A B C D
ñồng phẳng
Kết luận:
’, ’. ’, ’
A B C D
ñồng phẳng
1
k
⇔ = −
Cho hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tứ diện ABCD và
A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
' ' ' '
’
4
AA BB CC DD
GG
+ + +
≤
Ta biến ñổi như sau:
' ' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 '
AA BB CC DD
AG GG G A BG GG G B CG GG G C DG GG G D
GG
+ + + =
+ + + + + + + + + + +
=
4 ' ' ' ' ' ' ' ' '
4 ' ' ' ' '
GG AA BB CC DD AA BB CC DD
GG AA BB CC DD
= + + + ≤ + + +
⇒ ≤ + + +
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
12
Bài toán ñơn giản này cho ta hình dung về một phương pháp chứng minh bất ñẳng thức thường
thấy trong giải toán bằng vector, ñó là áp dụng bất ñẳng thức:
1 1
n n
i i
i i
a a
= =
≤
∑ ∑
.
Từ bất ñẳng thức này, ta có một số bài toán khá hay khác như sau:
Cho tứ diện ABCD (với ñộ dài các cạnh là a, b, c, x, y, z) nội tiếp trong hình cầu bán kính R. Gọi G là
trọng tâm tứ diện. Chứng minh rằng:
2
2 2 2 2
2
4
y
a b c x
z
GA GB GC GD
R
+ + + + +
+ + + ≥
Giải:
ðặt
, , , , ,
AB a AC b AD c BC x BD y CD z
= = = = = =
Vì G là trọng tâm tứ diện nên ta có:
( )
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
0
4
GA GB GC GD
GA GB GC GD
y
a b c x
z
+ + + =
= + + + + +
+ + +
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Khi ñó:
(
)
2
. . .
.
GA OA GA OG GA GA R GA OG
GA
GA R
≥ = + ⇒ ≥ +
Dấu “=”
GA OA
⇔ ↑↑
.
Chứng minh tương tự:
2
. . .
GB R GB OG
GB
≥ +
Dấu “=” ⇔
GB OB
↑↑
2
. . .
GC R GC OG
GC
≥ +
Dấu “=” ⇔
GC OC
↑↑
2
. . .
GD R GD OG
GD
≥ +
Dấu “=”⇔
GD OD
↑↑
C
ộng tất các bất ñẳng thức theo từng vế:
( )
(
)
( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
1
4
4
GA GB GC GD R GA GB GC GD OG
GA GB GC GD
y
a b c x
z
y
a b c x z
GA GB GC GD
R
+ + + ≥ + + + + + + +
≥ + + + + +
+ + + + +
⇔ + + + ≥
D
ấu “=”
O G ABCD
⇔ ≡ ⇔
là tứ diện ñều.
Cho t
ứ diện gần ñều ABCD. M là ñiểm tuỳ ý trọng không gian . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
MA+MB+MC+MD.
Giải:
Bài toán sẽ ñơn giản hơn nếu ta có kết quả sau:
( )
1
. *
MA MO OA R
R
≥ +
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
13
Việc chứng minh rất dễ dàng:
(
)
( )
2
* . .
. . .
. .
. .
R MA MO OA
R
R MA MO OA OA OA
R MA OA MO OA
OA MA OA MA
⇔ ≥ +
⇔ ≥ +
⇔ ≥ +
⇔ ≥
Bất ñẳng thức cuối ñúng, vậy bất ñẳng thức ñầu ñúng.
Từ ñó ta có ngay:
0
1
4 4
MA MB MC MD MO OA OB OC OD R R
R
+ + + ≥ + + + + =
D
ấu “=”
⇔
M
≡
O
G
ọi I, J lần lượt là trung ñiểm của AB, CD.
Ta có
ACD
∆
BCD
= ∆
(
)
c c c
− −
AJ JB
⇒ =
AJB
⇒ ∆
cân tại
J JI AB
⇒ ⊥
Ta có:
2 2 2
2
2 4
b c a
AJ
+
= −
2 2 2 2
2 2
2
2 4 4
b c a a
IJ AJ
IA
+
⇒ = − = − −
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2
8 8
8 8 4 8
1
2 2
b c a
OI
b c a a a b c
OA OI
IA
a b c
R OA
+
⇒ = −
+ + +
⇒ = + = − + =
+ +
⇒ = =
V
ậy:
( )
2 2 2
2( )
Min MA MB MC MD a M O
a b c
+ + + = + + ⇔ ≡
Cho hình h
ộp
. ’ ’ ’ ’.
ABCD A B C D
ðặt
' '
B A a
=
,
'
B B b
=
,
' '
B C c
=
Gọi M là ñiểm chia ñoạn thẳng AC’ theo tỉ số m. N là ñiểm chia ñoạn thẳng CD’ theo tỉ số n, tức là:
'
MA
m
MC
=
,
'
NC
n
ND
=
a) Hãy biểu thị các vector
' , '
B M B N
theo
, ,
a b c
b) Xác ñịnh m, n ñể ñường thẳng MN song song với ñường thẳng B’D
c) Tính ñộ dài ñoạn thẳng MN theo ñộ dài a, b, c là 3 cạnh của hình hộp trong trường hợp MN song
song với B’D và
. ’ ’ ’ ’
ABCD A B C D
là hình hộp chữ nhật
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
14
Giải:
a)
* Bi
ểu diễn
'
B M
theo
, ,
a b c
Ta có:
'
MA
m
MC
=
'
' ' ' ( ' ' ' )
( 1) ' ' ' '
( 1) ' ( )
1 1
'
1 1 1
MA mMC
B A B M m B C B M
m B M mB C B A
m B M mc a b
m
B M a b c
m m m
⇒ =
⇒ − = −
⇒ − = −
⇒ − = − +
⇒ = − − +
− − −
* Bi
ểu diễn
'
B N
theo
, ,
a b c
'
NC
n
ND
=
'
' ' ( ' ' ' )
( 1) ' ' ' '
( 1) ' ( ) ( )
1
( 1) '
1 1
NC nND
B C B N n B D B N
n B N nB D B C
n B N n a c b c
n
n B N a b c
n n
⇒ =
⇒ − = −
⇒ − = −
⇒ − = + − +
⇒ − = − +
− −
b) Ta có:
' ' ' '
'
B D B D B B
B D a b c
= +
= + +
Theo câu a):
' '
1 1 1
( ) ( ) (1 )
1 1 1 1 1
MN B N B M
n m
MN a b c
n m n m m
= −
−
⇒ = + + + + −
− − − − −
V
ậy MN//B’D
1
1 1 1
1 1
1
1 1
1 1 1 1
'
1 3
1 1
1
1 1 1
1
1
n
k
n
n m
n
n m n m
MN k B D k
n m m
n m
m
n m m
k
m
+ =
− −
+ = − +
= −
− − − −
⇔ = ⇔ − + = ⇔ ⇔
= −
− −
+ = −
− − −
− =
−
Do
ñ
ó
ñể
MN song song v
ớ
i B’D thì ta ph
ả
i có m= -3 và n= -1
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
15
c) MN//B’D
2 2 2 2
2 2 2
1
3
1
4
1
( )
4
1
( )
16
1
4
n
m
k
MN a b c
MN a b c
MN a b c
= −
⇒
= −
⇒
=
⇒
= + +
⇒
= + +
⇒
= + +
Cho 2 vector
,
u v
không cùng ph
ươ
ng và có
ñộ
dài b
ằ
ng 1. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i vector
w
có
ñộ
dài b
ằ
ng 1 và
ñồ
ng ph
ẳ
ng v
ớ
i
,
u v
thì vector
( . ). ( ).
a u w v v w u
= − −
có
ñộ
dài không
ñổ
i
Gi
ả
i:
ðặ
t :
( , )
u w
α
=
,
( , )
w v
β
=
,
( , )
u v
γ
=
Ta có:
const
γ α β
= = =
Do
1
u v w
= = =
Nên ta có:
. cos
u w
α
=
,
. cos
v w
β
=
,
. cos
u v
γ
=
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
cos . cos .
( ) cos cos 2cos cos cos
cos cos 2cos cos cos( )
cos cos 2cos cos 2cos cos sin sin
cos (1 cos ) cos (1 cos ) 2cos cos sin sin
cos .sin cos .sin 2cos
a v u
a
α β
α β α β γ
α β α β α β
α β α β α β α β
α β β α α β α β
α β β α
⇒ = −
⇒ = + −
= + − +
= + − +
= − + − +
= + +
2
2 2
cos sin sin
(cos .sin cos .sin )
sin ( ) sin
sina const
α β α β
α β β α
α β γ
γ
= +
= + =
⇒ = =
V
ậ
y vector
a
có
ñộ
dài không
ñổ
i
Bài 4: Cho t
ứ
di
ệ
n
ñề
u ABCD c
ạ
nh a. G
ọ
i AH là
ñườ
ng cao c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n xu
ấ
t phát t
ừ
A và O là trung
ñ
i
ể
m c
ủ
a
ñ
o
ạ
n AH. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng OB, OC, OD vuông góc v
ớ
i nhau t
ừ
ng
ñ
ôi m
ộ
t.
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
16
Gi
ả
i:
O
H
A
C
B
D
ðặ
t
dADcACbAB
=== ,,
V
ớ
i
b c d a
= = =
và
2
0
. . . . .cos90
2
a
b c c d d b a a= = = =
AH là
ñườ
ng cao xu
ấ
t phát t
ừ
A t
ớ
i tam giác BCD nên:
( )
( )
( )
1
3
1
2 6
AH AB AC AD b c d
AH
AO b c d
= + + = + +
⇒
= = + +
Ta có:
( )
( )
( )
1 5 1 1
6 6 6 6
1 5 1 1
6 6 6 6
1 5 1 1
6 6 6 6
OB AB AO b b c d b c d
OC AC AO c b c d c b d
AD AD AO d b c d d c b
= − = − + + = − −
= − = − + + = − −
= − = − + + = − −
V
ậ
y:
( )( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
. 5 5
36
1
5 25 . 5 . . 5 . . 5 .
36
1 25 5 5 1
5 5 .0 0
36 2 2 2 2 2 2 36
OB OC b c d b c d
b b c b d c d c c d d b d c d
a a a a a a
a a a
= − − − + −
= − + − + − + + − +
= − + − + − + + − + = =
V
ậ
y
OB OC
⊥
T
ươ
ng t
ự
ta có
OC OD
⊥
và
OD OB
⊥
Do
ñ
ó OB, OC, Od vuông góc v
ớ
i nhau t
ừ
ng
ñ
ôi m
ộ
t
Bài 5: Cho l
ă
ng tr
ụ
tam giác ABCA’B’C’. G
ọ
i
', ', '
a AC b BA c CB
= = =
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng 3 vector
, ,
a b c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng
b)
Hãy bi
ể
u th
ị
vector AA’ theo 3 vector
, ,
a b c
ñ
ó
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
17
Gi
ả
i:
ðặ
t
' , ,
AA x AB y AC z
= = =
Ta có
, ,
x y z
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng (ABCA’B’C’ là l
ă
ng tr
ụ
)
' '
' ' ( )
' '
AC AA AC
a x y
BA AA AB b x y I
c x y z
CB AA AB AC
= +
= +
= −
⇒
= −
= + −
= + +
Gi
ả
s
ử
ta có:
( ) ( )
( 1) (1 ) ( 1) 0
a kb c
x z k x y l x y z
k l x k y l z
= +
⇒
+ = − + + −
⇒
+ − + − − + =
Do
, ,
x y z
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên ta có :
1 0 (1)
1 0 (2)
1 0 (3)
k l
k
l
+ − =
− =
+ =
T
ừ
(2) và (3) ta
ñượ
c
1
l k
= = −
Thay vào (1) ta có
1 3 0
l k
+ − = − ≠
(vô lí)
V
ậ
y ta không tìm
ñượ
c giá tr
ị
k, l
ñể
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
a kb c
= +
hay 3 vector
, ,
x y z
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính l
ẫ
n nhau v
ậ
y chúng là 3 vector không
ñồ
ng ph
ẳ
ng.
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
18
CHƯƠNG II
TỌA ðỘ
Trong phần này lý thuyết sẽ ñược minh họa ngay bằng các ví dụ nhỏ giúp chúng ta nhanh chóng
có ñược các kỹ năng cần thiết ñể giải các bài tóan lớn hơn về sau.
1. Tọa ñộ của 1 vector:
Trong không gian tọa ñộ Oxyz cho vector
u
, khi ñó tồn tại duy nhất bộ 3 số thực x,y,z sao cho
. . . ( , ,
u x i y j z k i j k
= + +
là các vector ñơn vị tương ứng trên các trục tọa ñộ Ox,Oy,Oz). Bộ 3 số thực
có thứ tự (x,y,z) ñược gọi là tọa ñộ của
u
. Các số x,y,z tương ứng là hoành ñộ, tung ñộ, cao ñộ của
vector ñó. Vector
0
có tọa ñộ (0,0,0). Kí hiệu:
u
(x,y,z)
Cho
u
(x
1
,y
1
,z
1
) và
2 2 2
( , , )
v x y z
, khi ñó:
1 2
1 2
1 2
x x
u v y y
z z
=
= ⇔ =
=
2. Tọa ñộ của 1 ñiểm:
Trong hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M. tọa ñộ của
OM
ñược gọi là tọa ñộ của ñiểm M
- Nếu
0 0 0
( , , )
x y z
là tọa ñộ của
OM
, thì tọa ñộ của M ñược kí hiệu M
0 0 0
( , , )
x y z
- Nếu các ñiểm A(x
1
,y
1
,z
1
) và B(x
2
,y
2
,z
2
) thì
AB
(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
,z
2
-z
1
)
3. ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:
• ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 vector
, ,
u v w
ñồng phẳng là biểu thức:
[ . ]. 0
u v w
=
• Cho
1 1 1
( , , )
u x y z
,
2 2 2
( , , )
v x y z
và
3 3 3
( , , )
w x y z
. ðiều kiện cần và ñủ ñể 3 vector ñó ñồng phẳng là
tồn tại 1 cặp số m, n sao cho
1 2
1 2
1 2
mx nx
my ny
mz nz
+
+
+
4. Biểu thức tọa ñộ của các phép toán vector:
Cho
a
(x
1
,y
1
,z
1
) và
b
(x
2
,y
2
,z
2
)
- Nếu
u a b
= +
thì
1 2 1 2 1 2
( , , )
u x x y y z z
= + + +
- Nếu
v a b
= −
thì
1 2 1 2 1 2
( , , )
v x x y y z z
= − − −
- Nếu
.
w k a
=
(
k R
∈
), thì
1 1 1
( , , )
w kx ky kz
5. ðiều kiện ñồng phương của 2 vector:
- ðiều kiện cần và ñủ ñể 2 vector
u
(x
1
,y
1
,z
1
) và
2 2 2
( , , )
v x y z
khác
0
ñồng phương:
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
19
1 1 1
2 2 2
2 2 2
( , , 0)
x y z
k x y z
x y z
= = = ≠
k>0: 2 vector
ñ
ã cho cùng chi
ề
u; k<0: 2 vector
ñ
ã cho ng
ượ
c chi
ề
u
-
Cho 2
ñ
i
ể
m A(x
1
,y
1
,z
1
) , B(x
2
,y
2
,z
2
) và s
ố
th
ự
c k
≠
0,1. N
ế
u M(x,y,z) chia
ñ
o
ạ
n AB theo t
ỉ
s
ố
k,
ngh
ĩ
a là
MA kMB
=
, thì t
ọ
a
ñộ
ñ
i
ể
m M là nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
:
1 2
1 2
1 2
( )
( )
( )
x x k x x
y y k y y
z z k z z
− = −
− = −
− = −
Khi k = -1, M là trung ñiểm của AB và
1 2 1 2 1 2
( )
2 2 2
x x y y z z
M
+ + +
+ +
(…)
Chúng ta sẽ áp dụng ngay kiến thức này ñể giải một số bài tập cơ sở sau:
Cho tam giác ABC n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P), và 1
ñ
i
ể
m O b
ấ
t kì không thu
ộ
c (P). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
ñể
ñ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) là t
ồ
n t
ạ
i 3 s
ố
x, y, z th
ỏ
a mãn 2
ñẳ
ng th
ứ
c sau
ñ
ây:
1
OM xOA yOB zOC
x y z
= + +
+ + =
Gi
ả
i:
•
Chi
ề
u thu
ậ
n:
Ta có M n
ằ
m trong mp(ABC), m
ặ
t khác
AB
và
AC
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính nên t
ồ
n t
ạ
i c
ặ
p s
ố
a, b sao cho:
AM a AB bAC
= +
( ) ( )
(1 )
OM OA a OB OA b OC OA
OM a b OA aOB bOC
⇔ − = − + −
⇔ = − − + +
ðặ
t:
1
x a b
y a
z b
= − −
=
=
V
ậ
y ta có:
1
OM xOA yOB zOC
x y z
= + +
+ + =
•
Chi
ề
u
ñả
o:
Ng
ượ
c l
ạ
i gi
ả
s
ử
có
ñ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
(1)
1(2)
OM xOA yOB zOC
x y z
= + +
+ + =
T
ừ
(2) ta có: x=1-y-z
Thay vào (1):
(1 )
OM y z OA yOB zOC
= − − + +
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
20
( ) ( )
OM OA y OB OA z OC OA
⇔ − = − + −
AM y AB z AC
= +
V
ậ
y 3 vector
, ,
AM AB AC
ñồ
ng ph
ẳ
ng có chung g
ố
c A hay nói cách khác,
ñ
i
ể
m M thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng
(ABC)
Cho vector
(
)
a 1, 3,4
−
.
a.
Xác
ñị
nh y, z
ñể
vector
(
)
b 2, y,z
cùng ph
ươ
ng v
ớ
i vector
a
.
b.
Tìm t
ọ
a
ñộ
vector
c
, bi
ế
t r
ằ
ng
c
ng
ượ
c h
ướ
ng v
ớ
i
a
và có
ñộ
dài b
ằ
ng 2 l
ầ
n c
ủ
a
a
.
Gi
ả
i :
a.
Ta có :
a
//
b
( )
y 6
1 3 4
b 2, 6,8
z 8
2 y z
= −
−
⇔ = = ⇔ ⇒ −
=
b.
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t, ta có :
( )
c a
c 2a c 2, 6, 8
c 2 a
↑↓
⇒ = − ⇔ − − −
=
Cho hình h
ộ
p
1 1 1 1
ABCD.A B C D
bi
ế
t
(
)
(
)
(
)
(
)
A 2, 1,3 , B 0,1, 1 , C 1,2,0 , D 3,2, 1 .
− − − −
Xác
ñị
nh t
ọ
a
ñộ
các
ñỉ
nh còn l
ạ
i c
ủ
a hình h
ộ
p .
Gi
ả
i :
Vì
ABCD
là hình bình hành nên:
( )
D D
D D
D D
2 1 x x 1
AB DC 2 2 y y 0 D 1,0,4
4 z z 4
− = − − =
= ⇔ = − ⇔ = ⇒
− = − =
Vì
1 1
CC DD
=
nên:
( )
1 1
1 1
1 1
C C
c c 1
C C
x 1 2 x 1
y 2 2 y 4 C 1,4, 5
z 5 z 5
+ = =
− = ⇔ = ⇒ −
= − = −
T
ươ
ng t
ự
ta có
ñượ
c
(
)
(
)
1 1
A 4,1, 2 , B 2,3, 6 .
− −
Cho
ñ
i
ể
m
(
)
M 1,2,3 .
a.
Tìm t
ọ
a
ñộ
1
M
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i
M
qua O .
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
21
b.
Tìm t
ọ
a
ñộ
2
M
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i
M
qua m
ặ
t ph
ẳ
ng Oxy .
c.
Tìm t
ọ
a
ñộ
3
M
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i
M
qua Oz .
Gi
ả
i
a.
Vì O là trung
ñ
i
ể
m
1
MM
nên
(
)
1
M 1, 2, 3
− − −
.
b.
G
ọ
i
1
H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
M
lên Oxy, ta
ñượ
c
(
)
1
H 1, 2,0
. Vì
1
H
là trung
ñ
i
ể
m
2
MM
nên
(
)
2
M 1, 2, 3
−
.
c.
G
ọ
i
2
H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
M
lên Oz, ta
ñượ
c
(
)
2
H 0,0,3
. Vì
2
H
là trung
ñ
i
ể
m
3
MM
nên
(
)
3
M 1, 2,3
− −
.
Trong không gian Oxyz, cho các vector :
(
)
(
)
(
)
a 1,2,3 , b 2,3, 1 và c 3, 1,2
− −
.
(
)
(
)
(
)
u 5, 5,1 , v 9, 3,7 và w 1,8,8
− −
.
a.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ba vector
a, b,c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
b.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ba vector
u, v, w
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
Gi
ả
i
a.
Ta có th
ể
trình bày theo 2 cách sau :
Cách 1 : Ta có :
( )
2 3 3 1 1 2
.3 . 1 .2 42
3 -1 -3 2 2 3
+ − + = −
⇔
3 vector
a, b,c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
Cách 2 : Xét ph
ươ
ng trình :
3 2
c a b 1 2 3
2 3
α β
α β α β
α β
= +
= + ⇔ − = +
= −
,vô nghi
ệ
m
⇔
3 vector
a, b,c
không
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
b.
Ta có :
-5 1 1 5 5 -5
.8 .8 32 8.26 8.30 0
-3 7 7 9 9 -3
+ + = − + =
Chuyên
ñề
l
ớ
p 11A1 – N
ă
m h
ọ
c 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
22
⇔
3 vector
u, v, w
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
Trong không gian Oxyz, cho các vector :
(
)
(
)
(
)
a 1, t,2 , b t 1,2,1 và c 0,t 2,2
+ −
.
Xác
ñị
nh t
ñể
a, b,c
ñồ
ng ph
ẳ
ng .
Gi
ả
i :
ðể
a, b,c
ñổ
ng ph
ẳ
ng
ñ
i
ề
u ki
ệ
n là :
( )
t 2 2 1 1 t
.0 t 2 .2 0
2 1 1 t+1 t+1 2
+ − + =
2
5t 2 0 t
5
⇔ − + = ⇔ =
Trong không gian Oxyz cho các
ñ
i
ể
m A(1,1,-2), B(4,0,-1), C(-1,7,0), D(0,-2,-4), E(2,2,1). Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằ
ng:
a)
4
ñ
i
ể
m A,B,C,D cùng n
ằ
m trên 1 m
ặ
t ph
ẳ
ng
b)
4
ñ
i
ể
m A, B, C, E không cùng n
ằ
m trên 1 m
ặ
t ph
ẳ
ng
Gi
ả
i:
a) Ta có:
(3, 1,1)
AB = −
,
( 2,6,2)
AC = −
( 1, 3, 2)
AD
= − − −
,
(1,1,3)
AE =
Ta tìm s
ố
m, n sao cho:
AC mAB nAD
= +
(1)
Ta có:
6
3 2
5
(1) 3 6
8
2 2
5
6 8
5 5
m n
m
m n
n
m n
AC AB AD
− = −
= −
⇔ − − = ⇔
= −
− =
⇒
= − −
⇒
, ,
AC AB AD
ñồ
ng ph
ẳ
ng
V
ậ
y A, B, C, D
ñồ
ng ph
ẳ
ng
b) Gi
ả
s
ử
, ,
AC AB AE
ñồ
ng ph
ẳ
ng
2 3 (1)
(1) 6 1(2)
2 3 1 (3)
AB m AC n AE
m n
m n
m n
= +
− + =
⇔ + = −
+ =
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
23
Từ (1) và (2)
1
2
2
m
n
= −
⇒
=
Thay vào (3)
1 6 1
⇒ − + =
(vô lí)
V
ậy
, ,
AC AB AE
không ñồng phẳng
Hay 4
ñiểm A, B, C, E không cùng nằm trên 1 mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho các vector :
(
)
(
)
(
)
a 2,3,1 , b 5, 7,0 và c 3, 2,4
− − −
.
a. Chứng tỏ rằng
a, b,c
không ñồng phẳng .
b. Phân tích vector
(
)
d 3, 2,1
−
theo 3 vector
a, b,c
.
Giải :
a. Ta có :
( )
3 1 1 -2 -2 3
.3 2 .4 7
-7 0 0 5 5 -7
+ − + =
⇔
3 vector
a, b,c
không ñồng phẳng .
b.
Giả sử :
( ) ( )
d a b c
3, 2,1 2 5 3 ,3 7 2 , 4
3 2 5 3
33 15 10
2 3 7 2 , , =
7 7 7
1 4
α β γ
α β γ α β γ α γ
α β γ
α β γ α β γ
α γ
= + +
⇔ − = − + + − − +
= − + +
⇔ − = − − ⇔ = − = −
= +
Vậy , ta ñược :
33 15 10
d a b c
7 7 7
= − − +
.
Trong không gian Oxyz cho các
ñiểm A(2,0,0), C(0,3,0), O’(0,0,4). Dựng hình hộp chữ nhật
OABC.O’A’B’C’
a) Tìm tọa ñộ các ñỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật ấy
b) Chứng tỏ rằng
'
AC
và
'
OB
không cùng phương
c) Gọi I, J lần lượt là trung ñiểm của OC và A’B’. Chứng tỏ rằng
'
OA
,
'
BC
,
IJ
ñồng phẳng
d)
OB
,
'
OB
,
'
OA
có ñồng phẳng không? Tại sao?
Giải:
a) Ta có:
Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008
____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
24
(2,3,0)
' ' '(2,0,4)
' ' '(0,3,4)
' ' '(2,3,4)
OB OA OC B
OA OA OO A
OC OA OO C
OB OB OO B
= + ⇒
= + ⇒
= + ⇒
= + ⇒
Ta có:
' ( 2,3,4)
' (2,3,4)
AC
OB
= −
=
Gi
ả sử
'
AC
cùng phương với
'
OB
:
' '
2 2
3 3
4 4
(1) 1
AC kOB
k
k
k
k
⇒ =
− =
⇒
=
=
⇒
= −
(1)
(2)
(3)
Thay vào (2)
3 3
⇒ = −
, vô lí
V
ậy
'
AC
và
'
OB
không cùng phương
b)
I là trung ñiểm của OC
3
(0, ,0)
2
I
⇒
J là trung
ñiểm của A’B’
3
(2, , 4)
2
J
⇒
(2,0,4)
IJ⇒
=
Ta có:
' (2,0,4)
' ( 2,0,4)
OA
BC
=
= −
Ta tìm m, n sao cho
' '
OA mBC nIJ
= +
(1)
Ta có :
2 2 2
0
(1) 0 0 0
1
4 4 4
' 0. '
m n
m
m n
n
m n
OA BC nIJ
− + =
=
⇔ + = ⇔
=
+ =
⇒ = +
Vậy
'
OA
,
'
BC
,
IJ
ñồng phẳng
c)
Giả sử
OB
,
'
OB
,
'
OA
ñồng phẳng
' '
2 2 2 (1)
3 3 (2)
4 4 0 (3)
OB OB OA
m n
m
m n
⇒
= +
+ =
⇒
=
+ =
Từ (1) và (2)
1
0
m
n
=
⇒
=
