Giới hạn n (phần 2 )

Trường THPT Cổ Loa Thầy giáo:Trần Quốc Thép
Chuyên đề 11a1: Dãy số có giới hạn vô cực và các bài toán tổng quát
Dạng ∞/∞: Tính các giới hạn sau:
1)
4 2
4
2 sin 3 3
lim
2 1
n n n
n n
+ +
+ −
; 2)
2
3
1
lim
4 3 7
n
n n
−
− +
3)
3 2
2
2 1
lim
4 3 2
n n
n n

+ +
− +
; 4)
2
5+8+11+...+(3n+2)
lim
3n 6 1n+ −
5)
1 2 3 4 ... 2
lim
1
n
n
− + − + −
+
Dạng ∞-∞ và các bài toán liên quan:
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
1)
(
)
2
lim 4 1
n
n n n
→∞
+ + −
; 2)
2
lim( 4 3 )n n n− + + +
3)

2
2 2 2
lim
3 1
n n n
n
+ − +
+
;4)
1
lim
10 1 10 1n n+ − −
5)
( )
lim 10 1 10 1n n+ − −
;
6)
4 2 4 2
lim( 2 1)n n n n+ − +
;7)
2
2
4 1
lim
4 5 2 1
n n
n n
+ − −
+ − +
Bài 2: Tính các giới hạn sau:

1)
(
)
3 3 2
lim n n n+ −
;2)
(
)
3 3
lim 2 2 6n n n+ − + +
;
3) lim(2n +
3 3
1 8n−
); 4)
(
)
3 3 2
lim 1 1n n+ − +
; 5)
(
)
32 3 2
lim 4 1 2 2n n n+ + −
Bài 3: Chứng minh
1) lim
0
4
n
n

=
; 2)
2
lim
n
n
=+∞ ;
3) Nếu x >0 thì
lim 0
(1 )
n
n
x
=
+
;
Dạng tìm công thức tổng quát bằng sai phân
u
n
= (u
n
- u
n-1
)+(u
n-1
- u
n-2
)+(u
n-2
- u

n-3
)+…+(u
2
- u
1
)+ u
1
Bài 1: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
2, 2 1, 2
n n
u u u n n
−
= = + + ≥
, Tìm công thức số hạng
tổng quát. Tính limu
n
Bài 2: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
2, 2 , 2
n
n n
u u u n
−
= = + ≥
, Tìm công thức số hạng

tổng quát. Tính limu
n
Bài 3: Tính tổng sau:
2 3
1 3 5 2 1
...
2 2 2 2
n
n
n
S
−
= + + + +
.
Dạng dự đoán công thức, chứng minh bằng qui
nạp:
Bài 1: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
1 1
, , 2
2 2
n
n
u u n
u
−
= = ≥

−
, Tìm công thức số hạng
tổng quát. Tính limu
n
Bài 2: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
11, 10 1 9 , 1
n n
u u u n n
+
= = + − ≥
, Tìm công thức số hạng
tổng quát. Tính limu
n
Bài tập dành cho đội tuyển Olimpic
Dạng dùng phương trình đặc trưng:
Bài 1: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
3, 4
3
n
n
u
u u
+
= = +

,
Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó
Bài 2: Chodãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
8, 2 4
n n
u u u
+
= = +
,
Tìm công thức số hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó
Bài 3: Cho dãy số (u
n
) xác định bởi
0 1 1 2
1, 3, 5 6 , 2
n n n
u u u u u n
− −
= − = = − ≥
, Tìm công thức số
hạng tổng quát. Tính giới hạn của nó
Định lí Vâyơstrát:
Dãy u
n
tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Dãy u
n

giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn:
Bài 1: Chứng minh dãy số (u
n
) xác định bởi
1
1
3
0,
4
n
n
u
u u
−
+
= =
, n ≥ 2, là dãy số tăng và bị chặn
trên(HD: qui nạp). Tính limu
n
.
Bài 2: Chứng minh dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
2, 2, 1
n n
u u u n
+
= = + ≥
, là dãy số tăng và bị chặn trên.

Tính limu
n
.
Bài 3: Chứng minh dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
2 4
3,
3
n
n
u
u u
+
+
= =
, n ≥ 1có giới hạn . Tính limu
n
.
Bài 4. Chứng minh dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
0, 4 3
n n
u u u
+
= = +
, n ≥ 1 có giới hạn . Tính limu

n
.
Bài 5: Chứng minh dãy số
1 1 1
...
1! 2! !
n
u
n
= + + +
có giới hạn.
(tăng và chặn trên bởi 3)
Bài 6: Chứng minh dãy số (u
n
) xác định bởi
1 1
1 1
4, ( ), 1
2
n n
n
u u u n
u
+
= = + ≥
là dãy số giảm và bị chặn
dưới. Tính limu
n
.
Định lý giới hạn kẹp giữa:

Nếu u
n
≤ v
n
≤ w
n
∀n và lim u
n
= lim w
n
=a thì lim v
n
=a
Bài 1: Cho dãy số
u
n
=
2 2 2 2
1 1 1 1
...
1 2 3n n n n n
+ + + +
+ + + +
. Chứng
minh
2 2
1
n
n n
u

n n n
< <
+ +
.Từ đó tính limu
n
Bài 2: Tính giới hạn của các dãy số:
a)
2 2 2 2
2 2 2 2
...
1 2 3 2
n
n n n n
u
n n n n n n n n
= + + + +
+ + + + + + +

b)
2 2
1 2
. ....
1 5.1 1 2 5.2 1 5. 1
n
n
u
n n
=
+ + + + + +