tuyển tập các bài tập hàm số - đồ thị

bài 1/ tính
a/ lim
4
2
4sin.sin2sin
x
xxx

b/ lim
xx
x
sin.
2cos1
2

c/ lim
x
x
2sin
cos1
2

d/ lim
3
sin
x
xtgx


e/ lim

gx
x
cot
2sin
2
f/ lim
2
7
cos1
x
x

g/ lim
xx
xx
sin
sin
+

(x ) h/ lim
xx
xx
2cos2sin1
2cos2sin1

+

bài 2/ tìm a để hàm số : y= (a
2
- 1)x
3
/3 + (a+1)x
2
+3x+5 luôn luôn đồng biến
bài 3/ tìm m để hàm số luôn đồng biến: y = 2mx- 2cos
2
x msinx.cosx + (cos
2
2x)/4
bài 4: cho f(x) =
11
22
++++
xxxx
cmr: f(x) là hàm số chẵn và khi x 0 thì f(x) đồng biến
bài 5: tìm a để : y= -x
3
/3 + (a-1)x
2
+ (a+3) x 4 đồng biến trong khoảng (0;3 )
bài 6: cmr với mọi a khác 0 hàm số : y = x(x-a)
2
không thể luôn đồng biến
bài 7: cho y =
2

123
2
+
+++
x
aaxax
với akhác 0 . tìm a để hàm số nghịch biến trong (-3, 2) U ( -2, -1 ) và
đồng biến trong các khoảng còn lại
bài 8: tìm m để y = - ( m
2
+5m )x
3
+ 6mx
2
+6x 6 đơn điệu trên R , khi đó hàm đồng biến hay nghịch biến
bài 9: tìm m để hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1
bài 10: cho y = x
3
- 3( a-1)x
2
+3a(a 2) x +1 . tìm a để hàm số đồng biến khi 1 | x | 2
bai 11: tìm a,b để parabol y = -x
2
+ax+b đi qua cực đại của đồ thị y = (x
2
- 2x + 2)/ (x 1) và tiếp xúc với

tiệm cận xiên của đồ thị
bài 12: xác định a,b,c để đồ thị y = x
3
+ ax
2
+ bx + c có tâm đối xứng là điểm (0,1 ) và đạt cực trị tại x= 1
bài 13: xác định điểm cố định của đồ thị: y =
2
4)6(2
2
+
++
mx
xmx
tìm điểm mà đờng cong : y = ( x
2
+mx +1)/ (x-1) đi qua với mọi m
bài 14/ tìm điểm cố định của đồ thị: y = - x
3
+( m - |m| )x
2
+ 4x 4(m - |m | )
bài 15: cho hàm số : y = x
3
(m+1)x
2
( 2m
2
-3m +2)x +2m ( 2m 1 )
a/ tìm điềm cố định của hàm số

b/ tìm m để đồ thị tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98
bài 16/ cho y = -(m
2
+5m ) x
3
+6mx
2
+6x 6 tìm các điểm cố định của đồ thị . tiếp tuyến tại đó có cố định
hay không
bài 17/ tìm những điểm cố định của họ các đờng cong: y = mx
3
3mx
2
+2(m-1)x +2 . cmr: những điểm cố
định đó thẳng hàng. từ đó suy ra họ đờng cong có chung một tâm đối xứng
bài 18/ tìm để hai họ đờng cong y = x
3
+mx
2
2(m+1)x +m+3tg và y = mx
2
+2- m luôn đi qua một điểm cố
định
bài 19: tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số y =
ax
aaxa

+
)42()2(
2

không thể đi qua
với mọi a
bài 20/ trên mặt phẳng toạ độ tìm những điểm mà đồ thị y = 4x
3
+ (m+3)x
2
+mx không đi qua
bài 21/ trên đờng thảng x=1 hãy chỉ ra tất cả những điểm mà không có đờng nào của đồ thị
y =
mx
mmxm
+
++
2
)13(
đi qua
bài 22/ tồn tại hay không những điểm trên đồ thị y = x
3
+x/2 +1/3 những điểm có hoành độ và tung độ là những
số nguyên
bài 23/ tìm những điểm trên đò thị y = (x
2
4x )/(4x +2) có toạ độ là những số nguyên
bài 24/ cmr. các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x
2
/(x+1) là các điểm có các toạ độ đều nguyên,
và không còn điểm nào khác nữa
bài 25/ tìm trên đồ thị y = (x
2
+x 1)/ (x-1) những điểm cách đều hai trục toạ độ

bài 26/ tìm trên mặt phẳng toạ độ sao cho có đúng hai đờng cong của họ: y= ( -x
2
+ mx - m
2
)/(x- m)
đi qua
bài 27/tìm m sao cho trên đồ thị y = ( x
2
+x 1)/(x-1) có hai điểm A,B sao cho thoả mãn hệ: x
A
+y
A
= m
x
B
+y
B
= m
1
bài 28/ cmr: trên parabol: y = x
2
+15 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số y = 2x
3
3(m+3)x
2
+18x+7
với mọi giá trị của m
bài 29/ tìm các đờng tiệm cận của đồ thị y = x.
1
1

+
x
x

bài 30/ cmr: với mọi m khác 0 , tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = [ (m+1)x
2
m
2
]/ (x-m) luôn tiếp xúc với một
parabol cố định,
bài 31/ tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: y = x+
1
2
++
xx
bài 32/ tìm m để đồ thị hàm số y= 2x
3
3(m+2)x
2
+6(m+1)x 3m+6 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
bài 33/ tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
-3(m+1)x
2
+2(m
2
+4m+1)x 4m(m+1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ dơng
bài 34/ tìm m để đồ thị y = x

3
+3x
2
+mx +1 cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1), D, E tìm m để tiếp
tuyến của đồ thị tại D,E vuông góc với nhau
bài 35/ tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị y = (x
2
+ mx 1)/ (x-1) tại hai điểm A,B sao cho OA vuông góc
với OB
bài 36/ tìm k để đờng thẳng d đi qua điểm A (0,2 ) có hệ số góc là k cắt đồ thị y = ( 2x
2
+ x) / (x-2) tại hai điểm
thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
bài 37/ tìm m để đồ thị của hàm số : y = - x
4
+2(m+1)x
2
2m 3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành
độ lập thành một cấp số cộng
bài 38/ tìm m để đồ thị hàm số : y = x
3
+(1-m)x
2
m
2
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
bài 39/ tìm m để đờng thẳng ;y = mx 1 cắt đồ thị y = (x
2
x 1 )/ (x+1) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh

bài 40/tìm m để y = x
3
/3 mx
2
x +m +2/3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả
mãn điều kiện x
1
2
+x
2
2
+ x
3
2
> 15
bài 41/ tìm a để đồ thị hàm số y = ( x
2
x +1 ) / (x-1 ) tiếp xúc với parabol y = x
2
+a
bài 42/ tìm k để mọi đờng thẳng y = kx+b không thể tiếp xúc với đồ thị hàm số y= x.(x-3)
2
bài 43/ cmr: đồ thị các hàm số sau luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định
a/ y = (2x

2
+mx 1)/( 3- 3mx ) b/ y = [2x
2
+(1-m)x+1+m]/(x-m) c/ y= [ (m+1)x+m]/(x+m)
bài 44/ tìm những điểm trên trục ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y= x
3
+ax + b
bài 45/tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y= x
3
+ax
2
+bx+c sao cho qua M kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến tới đồ
thị hàm số đó
bài 46/ cho y= x
3
-3x
2
+2 ( c )
a/ qua điểm A(1,0) kẻ đợc mấy tiếp tuyến tới đồ thị c . viết phơng trình các tiếp tuyến ấy
b/ cmr. không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị c song song với tiếp tuyến nói trên
bài 47/ tìm trên trục hoành điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = - x
3
+3x+2
bài 48/ cho điểm A(x
0
, y
0
) thuộc đồ thị y = x
3
-3x +1 (c) tiếp tuyến của (c) tại A cắt (c) tại B khác A tìm hoành

độ điểm B theo x
0

bài 49/ tìm trên đồ thị y = 2x
3
+ 3x
2
1 điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất
bài 50/ tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đợc 3 tiếp tuyến của đồ thị y= x
3
+3x
2
trong đó có hai tiếp
tuyến vuông góc với nhau
bài 51/ tìm m để dồ thị hàm số y= x
4
-2mx
2
+m
3
- m
2
tiếp xúc với ox tại hai điềm phân biệt
bài 52/ cmr. đồ thị y = -x
4
+2mx
2
2m+1 luôn đi qua hai điểm A và B cố định , tim m để các tiếp tuyến tại A,B
vuông góc với nhau
bài 53/ cho y = ( x

2
+x+1) / x
a/ viết phơng trình tiếp tuyến tại M ( a; (a
2
+a+1)/a ) tiếp tuyến đó cắt hai đờng tiệm cận tại A,B . cmr. M là
trung điểm của AB
b/ tính diện tích tam giác IAB với I là giao hai đờng tiệm cận . có kết luận gì về tích IA.IB
bài 54/ tiêp tuyến với y = x+1/x cắt trục OX tại x = cắt trục OY tại y = . viết phơng trình tiếp tuyến ấy . biết
. = 8
bài 55/ cmr. qua A(1;-1) kẻ đợc 2 tiếp tuyến với y = x+ 1/(x+1) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
bài 56/ tìm các điểm thuộc trục hoành từ dố chỉ vẽ đợc một tiếp tuyến duy nhất tới đồ thị hàm số
y= (x
2
+ x -1)/(x-1)
bài 57/tìm điểm A trên trục tung để từ đó có thể kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến tới đồ thị y=x+2+1/(x+1)
2
bài 58/cmr. mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= (x
2
-2x +4)/(x-2) đều không đi qua giao điểm của hai đờng tiệm
cận
bài 59/ tìm M trên đồ thị y = (x
2
+x-2)/(x-2) sao cho tiếp tuyến tại M cắt các trục toạ độ tại A,B tạo thành tam
giác vuông cân OAB với O là gốc toạ độ
bài 60/tìm x
0
để với mọi m khác 0 tiếp tuyếntại x
0
của đồ thị y=[mx
2

+(m-1)x+m
2
+m]/(x-m) song song với một
đờng thẳng cố định , tìm hệ số góc của đờng thẳng cố định ấy
bài 61/ tìm só tiếp tuyến có thể có với đồ thị y = (x
2
+x+1)/(x+1) đi qua mỗi điểm thuộc đồ thị
bài 62/ tìm trên đồ thị y= x+1 + 1/(x-1) điểm M có hoành độ > 1 sao cho tiếp tại điểm đó tạo với hai đờng tiệm
cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất
bài 63/ tìm các cặp điểm trên đồ thị y=x-1/(x+1) để các tiếp tuyến tại đó song song với nhau
bài 64/ tìm tren đờng thẳng y=4 những điểm M mà từ mỗi điềm kẻ đợc tới đồ thị y = x
2
/(x-1) hai tiếp tuyến tạo
với nhau góc 45
0

bài 65/ cmr. tiếp tuyến tại M tuỳ ý thuộc đồ thị y = (x
2
+3x+3)/(x+2) luôn tạo với các đờng tiệm cận một tam
giác có diện tích không đổi
bài 66/ cmr. trên đồ thị y= (3x+2)/(x-1) không tồn tại điểm nào mà tại đó tiếp tuyến với đồ thị đi qua giao điểm
của hai đờng tiệm cận
bài 67/ tìm trên y = (3x+2)/(x+2) những điểm mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bằng 4
bài 68/ tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc 1 tiếp tuyến tới đồ thị y=(x+1)/(x-1)
bài 69/ cho y=(x+1)/(x-1)
a/ cmr. mọi tiếp tuyến của đồ thị C trên đều lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi
b/ tìm các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm đó lập với hai đờng tiệm cận một tam giác có
chu vi bé nhất
bài 70/ tìm a để từ điểm A(0,a) kể đợc hai tiếp tuyến đến y= (x+2)/(x-1) sao cho hai tiếp tuyến nằm về hai phía
đói với trục OX

bài 71/ tìm m để đồ thị y = [mx
2
+(m
2
+1)x +4m
3
+m]/(x+m) có một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ II và điềm
còn lại thuộc góc phần t thứ IV
bài 72/ tìm m để hàm số y= (mx
2
+x+m)/(x+m) không có cực trị
bài 73/ tìm m để đồ thị hàm số y = [x
2
+(m-1)x m+4]/(x-1) có cứcđại và cức tiểu, cmr. khoảng cách giữa hai
điểm này không phụ thuộc m
bài 74/ tìm m để hàm số y = [mx
2
+(2-m)x 2m-1]/(x-m) có cực trị , cmr. khi đó trên đồ thị luôn có hai điểm
mà tiếp tuyến tới đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau
bài 75/ cho y= ( x
2
-2x +m+2)/(x+m-1) tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, viết phơng trình đờng thẳng đi
qua điểm cực đại , cực tiểu
bài 76/ với giá trị dơng nào của m thì hàm số y = (x
2
+m
2
x +2m
2
-5m+3)/x có hoành độ điểm cức tiểu nằm trong

khoảng 0 < x < 2m
bài 77/ cho đồ thị hàm số y= ( x
2
+mx m+8)/(x-1) (C)
a/ viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại , cực tiểu của (C) và tiếp xúc với đờng thẳng 2x-y-
10=0
b/ tìm m để hai điểm cực trị của C ở về hai phía với đờng thẳng 9x-7y-1 = 0
bài 78/ cmr. hàm số y = (x
2
+mx+2m-3)/(x+2) luôn có cực trị với mọi m . tìm m để các điểm cực trị của đồ thị
đối xứng nhau qua đờng thẳng x+2y+8=0
bài 79/ cho hàm số y = x
3
+2(m-1)x
2
+(m
2
-4m+1)x 2(m
2
+1) tìm m để y đạt cực đại , cực tiểu tại x
1
x
2
sao cho
1/x
1
+ 1/x
2
= 1/ 2
bài 80/ biết hàm số y = ax

3
+bx
2
+cx+d có cực đại và cực tiểu tại x
1
x
2
cmr.
2
)3(
)('
)("
2
1
)('
)(






<

xf
xf
xf
xf
bài 81/ tìm m để hàm số y = x
3

+mx
2
+7x+3 có cực đại , cực tiểu . lập phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm
cực đại và cực tiểu
3
bài 82/ cho y = 1/3 ax
3
(a-1)x
2
+3(a-2)x +1/3 , tìm a để hàm số có cực đại , cực tiểu đồng thời hoành độ các
điểm cực đại x
1
cực tiểu x
2
thoả mãn x
1
+2x
2
= 1
bài 83/ tìm a để y = 2x
3
+ã
2
-12x 13 có cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung
bài84./ tìm m để đồ thị y = 2x
3
-3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x +1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng y
= x+2

bài 85/ cmr. hàm số y = x
3
/3 mx
2
x +m+1 luôn có cực đại A cực tiểu B , tìm m để AB nhỏ nhất
bài 86/ tìm m để hàm số y = 2x
3
+3(m-3)x
2
+11 3m có hai cực trị . tìm m để các điểm cực trị và điểm
B(0,1)thẳng hàng
bài 87/ tìm m để y = x
4
+ (m+3)x
3
+2(m+1)x
2
có cực đại . cmr. khi đó hoành độ cực đại không dơng
bài 88/ tìm m để đồ thị hàm số y = -x
4
+2(m+2)x
2
2m 3 chỉ có cực đại , không có cực tiểu
bài 89/ tìm m để hàm số y = x
4
2mx
2
+2m +m
4
có cực đại , cực tiểu đồng thời các điểm đó là các đỉnh của

một tam giác đều
bài 90/ tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến tiệm cận xiên của đồ thị y = (x
2
cos + 2xsin +1)/ ( x-2)
bài 91/ tìm trên đồ thị y = (x
2
-3)/(x-2) điểm M có tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
bài 92/ tìm M thuộc đồ thị y = (x-2)/(x+2) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất
bài 93/ tìm M trên đồ thị y = (2x+1)/ (x-3) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là nhỏ
nhất
bài 94/ tìm điểm M trên đồ thị y = ( x+2)/ (x-3) sao cho khoảng cách từ đó đến hai đờng tiệm cận là bằng nhau
bài 95/tìm M thuộc đồ thị y = (x
2
+2x+2)/ (x+1) sao cho khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng
cách từ M đến trục tung
bài 96/tìm điểm M trên đồ thị y =(x
2
-x+1)/(x-1) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đờng tiệm cận là nhỏ
nhất
bài 97/ cmr. tích các khoảng cáchtừ điềm M tuỳ ý thuộc đồ thị y = (x
2
+3x-1)/(x-2) tới hai đờng tiệm cận luôn là
một hằng số
bài 98/ tìm điểm M trên đồ thị y =(x
2
+4x +5) /(x+2) có khoảng cách đến đờng thẳng y+3x+6=0 là nhỏ nhất
bài 99/ tìm điểm M trên đồ thị y = (x
2
+2x-2)/ (x-1) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đờng tiện
cận là nhỏ nhất

bài 100/ tìm m để y = (x
2
+2mx +2)/(x+1) có cực đại .cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng
x+y+2 = 0 là bằng nhau
bài 101/ tìm hai điểm E,F thuộc hai nhánh của đồ thị y =(x
2
+x-1) /(x-1) sao cho đoạn EF ngắn nhất
bài 102/ cmr. đờng thẳng (d) qua điểm I(0,k) có hệ số góc là -1 luôn cắt đồ thị y = (2x+1)/(x+2) tại hai điểm
phân biệt E,F tìm k để EF nhỏ nhất
bài 103/ cho đờng cong y = 2x
4
3x
2
+2x +1 và đờng thẳng y = 2x-1
a/ cmr. hai đờng trên không cắt nhau
b/ tìm A trên đờng cong có khoảng cách đến đờng thẳng là nhỏ nhất
bài 104/ tìm tâm đối xứng của y=(x
2
-5x +100/(3-x)
bài 105/ tìm m để đồ thị y = [2x
2
+(m-4)x 2m +1]/(x-2) nhận điểm A(2.1) là tâm đối xứng
bài 106/ tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
/3+x
2
+2mx+m
2
-1 có ít nhất một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
bài 107/ tìm các cặp điểm trên đồ thị y = (x

2
+x+2)/(x-1) và đối xứng nhau qua điểm I(0,5/2)
BàI 108/ chứng tỏ đồ thị hàm số y = x
3
+2x
2
- 4x-3 cắt trục hoành tại điểm A(-3,0) . tìm điểm B đối xứng với
điểm A qua tqqm đối xứng của đồ thị
bài 109/ tìm m để đồ thị hàm số y =[x
2
+(m-1)x-m]/(x+1) cắt trục hoành tại hai điểm M
1
,M
2
, cmr. hai điểm này
không đối xứng nhau qua gốc toạ độ
bài 110/ cmr. đồ thị y = (x-2)/(x+2) nhận đờng thẳng y= x+3 làm trục đối xứng
bài 111/ a/ tìm hàm số có đồ thị đối xứng với y = -x
3
+3x
2
- 4x+2 qua đờng thẳng x=2
b/ tìm đờng cong đói xứng với đồ thị y= (x
2
+x+2)/(x-2) qua đờng thẳng y=2
c/ tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đờng cong y=(3x+1)/(x-3) qua đừơng thẳng x+y-3=0
bài 112/ tìm m để đờng thẳng y=-x+m cắt đồ thị y = (x
2
-2x+2)/(x-1) tại hai điểm A,B đói xứng nhau qua đờng
thẳng y= x+3

bài 113/ tìm ha điểm AB nằm trên đồ thị y= x
2
/(x-1) đối xứng nhau qua đờng thẳng y=x-1
bài 114/ tìm m để đồ thị y = [x
2
+(m-2)x+m+1]/(x+1) có hai điểm phân biệt AB sao cho 5x
A
y
A
+3 = 0 , 5x
B

y
B
+3 =0 tìm m để A đối xứng với B qua đờng thẳng x+5y+9 =0
4
bµi 115/ t×m m ®Ó ®êng th¼ng y=-x+m c¾t ®å thÞ y =(2x
2
-x+1)/(x-1) t¹i ai ®iÓm A,B t×m qu· tÝch trung ®iÓm I
cña ®o¹n th¼ng AB
bµi 116/ t×m m ®Ó ®å thÞ y = (x
2
-x-2)/(x-m) cã d¹ng kh«ng b×nh thêng
bµi 117/ t×m quü tÝch ®iÓm cùc ®¹i cña ®å thÞ y =(x
2
+mx-2m-4)/(x+2) khi m thay ®æi
5