CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.92 KB, 13 trang )
MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A 3
Chú ý. Các câu hỏi chỉ có tính tham khảo, có 1 số câu ñáp án sai.
I. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
Câu 1. Vi phân cấp một của hàm số z = x2 + 4y là:
c) dz = 2xdx + y4 y −1 dy ; d) dz = 2xdx + y4 y ln 4dy .
a) dz = 2xdx + 4 y dy ; b) dz = 2xdx + 4 y ln 4dy ;
Câu 2. Vi phân cấp một của hàm số z = ln
(
)
x − y là:
dx − dy
dy − dx
dx − dy
;
b) dz =
;
c) dz =
;
x−y
x−y
2(x − y)
Câu 3. Vi phân cấp một của hàm số z = arctg(y − x) là:
d) dz =
a) dz =
a) dz =
dx + dy
1 + (x − y)
2
; b) dz =
dx − dy
1 + (x − y)
2
c) dz =
;
dy − dx
1 + (x − y)
2
; d) dz =
dy − dx
.
2(x − y)
−dx − dy
1 + (x − y)2
.
2
Câu 4. Vi phân cấp 2 của hàm số z = sin 2 x + e y là:
2
2
a) d2z = 2 sin xdx2 + 2ye y dy2 ;
b) d2z = 2 cos 2xdx2 + e y (4y2 + 2)dy2 ;
2
2
c) d2z = −2 cos 2xdx2 + 2ye y dy2 ;
d) d2z = cos 2xdx2 + e y dy2 .
Câu 5. ðạo hàm riêng cấp hai z ''xx của hàm hai biến z = xe y + y2 + y sin x là:
a) z ''xx = −y sin x ;
b) z ''xx = y sin x ;
c) z ''xx = e y + y cos x ;
d) z ''xx = e y − y sin x .
Câu 6. Cho hàm hai biến z = ex + 2y . Kết quả ñúng là:
a) z ''xx = ex + 2y ;
b) z ''yy = 4.ex + 2y ;
c) z ''xy = 2.e x + 2y ;
d) Các kết quả trên ñều ñúng.
Câu 7. Cho hàm số z = f(x, y) = e2x + 3y . Hãy chọn ñáp án ñúng ?
= 5n e2x + 3y ;
a) z(n)
n
x
b) z(n)
= 2n e2x + 3y ;
n
x
c) z(n)
= 3n e2x + 3y ;
n
x
d) z(n)
= e2x + 3y .
n
x
Câu 8. Cho hàm số z = f(x, y) = sin(x + y) . Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) z(6)3 3 = sin(x + y) ; b) z(6)3 3 = cos(x + y) ;
x y
x y
c) z(6)3 3 = − sin(x + y) ; d) z(6)3 3 = − cos(x + y) .
x y
x y
Câu 9. Cho hàm số z = f(x, y) = x20 + y20 + x 10 y11 . Hãy chọn ñáp án ñúng ?
= z(22)
= 1 ; b) z(22)
= z(22)
= 0;
a) z(22)
3 19
3 19
7 15
6 16
x y
y x
x y
yx
c) z(22)
= z(22)
= 2 ; d) z(22)
= z(22)
= 3.
13 9
6 16
11 11
11 11
x y
y x
x y
y x
Câu 10. Cho hàm số z = f(x, y) = xy + y cos x + x sin y . Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) z(4) 2 = 0 ;
xyx
b) z(4) 2 = cos x ;
xyx
c) z(4) 2 = sin x ;
xyx
d) z(4) 2 = 1 .
xyx
Câu 11. Cho hàm số z = f(x, y) = exy . Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) z(5)5 = y5e xy ;
x
b) z(5)5 = x5e xy ;
x
c) z(5)5 = e xy ;
x
d) z(5)5 = 0 .
x
Câu 12. Vi phân cấp hai d z của hàm hai biến z = y ln x là:
2
a) d2z =
1
x
dxdy +
dy2 ;
2
y
y
b) d2z =
2
y
dxdy − dx2 ;
x
x2
c) d2z =
2
x
dxdy +
dy2 ;
y
y2
d) d2z =
1
y
dxdy − dy2 .
x
x2
Câu 13. Vi phân cấp hai d2z của hàm hai biến z = x2 + x sin2 y là:
a) d2z = 2 cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2 ;
b) d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2 ;
c) d2z = 2dx2 − 2 sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2 ;
d) d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2 .
Câu 14. Vi phân cấp hai của hàm hai biến z = x2 y 3 là:
a) d2z = 2y 3dx2 + 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ;
b) d2z = 2y 3dx2 − 12xy2dxdy + 6x2 ydy2 ;
c) d2z = y3dx2 + 6x2 ydy2 ;
d) d2z = (2xy 3dx + 3x2 y2dy)2 .
Câu 15. Cho hàm z = x2 − 2x + y2 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 0);
b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 0);
c) z có một cực ñại và một cực tiểu;
d) z không có cực trị.
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 1 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
Câu 16. Cho hàm z = x 4 − 8x2 + y2 + 5 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại I(0, 0);
b) z ñạt cực tiểu tại J(–2; 0) và K(2; 0);
c) z chỉ có hai ñiểm dừng là I(0; 0) và K(2; 0);
d) z không có cực trị.
2
2
Câu 17. Cho hàm z = x + xy + y . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại O(0; 0);
b) z không có cực trị;
c) z ñạt cực tiểu tại O(0; 0);
d) Các khẳng ñịnh trên sai.
Câu 18. Cho hàm z = x2 − y2 + 2x − y + 1 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
1
1
a) z ñạt cực ñại tại M −1; − ;
b) z ñạt cực tiểu tại M −1; − ;
2
2
d) Các khẳng ñịnh trên sai.
c) z không có cực trị;
Câu 19. Cho hàm z = x + 27x + y + 2y + 1 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có hai ñiểm dừng; b) z có hai cực trị;
c) z có một cực ñại và một cực tiểu; d) z không có cực trị.
3
2
Câu 20. Cho hàm z = x 4 − y 4 − 4x + 32y + 8 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 2);
b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 2);
c) z không có ñiểm dừng;
d) z không có ñiểm cực trị.
2
3
2
Câu 21. Cho hàm z = 3x − 12x + 2y + 3y − 12y . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có một cực ñại và một cực tiểu;
b) z chỉ có một ñiểm cực ñại;
c) z không có ñiểm dừng;
d) z chỉ có một cực tiểu.
Câu 22. Cho hàm z = x 3 − y2 − 3x + 6y . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 3);
b) z ñạt cực tiểu tại N(–1; 3);
c) z có hai ñiểm dừng;
d) Các khẳng ñịnh trên ñều ñúng.
2
2
Câu 23. Cho hàm z = −2x − 2y + 12x + 8y + 5 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(3; 2);
b) z ñạt cực ñại tại M(3; 2);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị;
d) z không có ñiểm dừng.
Câu 24. Cho hàm z = −3x 2 + 2e y − 2y + 3 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 0);
b) z ñạt cực ñại tại M(0; 0);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị;
d) z không có ñiểm dừng.
Câu 25. Cho hàm z = x2 − y − ln y − 2 . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; –1);
b) z ñạt cực ñại tại M(0; –1);
2
c) z luôn có các ñạo hàm riêng trên ℝ ;
d) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị.
y
3
2
Câu 26. Cho hàm z = xe + x + 2y − 4y . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 1);
b) z ñạt cực ñại tại M(0; 1);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị;
d) z không có ñiểm dừng.
1
Câu 27. Cho hàm z = 2x2 − 4x + sin y − y , với x ∈ ℝ, −π < y < π . Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
2
π
π
a) z ñạt cực ñại tại M 1; ;
b) z ñạt cực tiểu tại M 1; − ;
3
3
π
d) z có một ñiểm cực ñại và một ñiểm cực tiểu.
c) z ñạt cực tiểu tại M 1; ;
3
Câu 28. Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 8x + 2y − 2z + 2 = 0
a) z ñạt cực tiểu tại M(4; –1);
b) z ñạt cực ñại tại M(4; –1);
c) tại M(4; –1) vừa là ñiểm cực ñại vừa là ñiểm cực tiểu;
d) z không có ñiểm dừng.
Câu 29. Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa: x2 + y2 + z2 − 4x + 12y + 2z − 8 = 0
a) z ñạt cực tiểu tại M(2; –6) và zCT = –8;
b) z ñạt cực ñại tại M(2; –6) và zCð = 6;
c) cả câu a) và b) ñều ñúng;
d) z chỉ có ñiểm dừng là M(2; –6).
Câu 30. Tìm cực trị của hàm z = 2x2 + y2 − 2y − 2 với ñiều kiện –x + y + 1 = 0. Chọn khẳng ñịnh ñúng ?
2 1
2 1
a) z ñạt cực tiểu tại A ; − ;
b) z ñạt cực ñại tại A ; − ;
3 3
3 3
1 2
1 2
d) z ñạt cực tiểu tại M(1, 0) và N ; − .
c) z ñạt cực ñại tại M(1, 0) và N ; − ;
3 3
3 3
2
2
Câu 31. Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với ñiều kiện x + y = 1.
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 2 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
a) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5);
b) z đạt cực tiểu tại M(–3/5, –4/5);
c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(–3/5, –4/5);
d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(–3/5, –4/5).
x2
y2
+
= 1.
8
2
a) z đạt cực đại tại N1(2, –1) và N2(–2, 1);
b) z đạt cực tiểu tại M1(2, 1) và M2(–2, –1);
c) z đạt cực đại tại M1(2, 1); M2(–2, –1) và đạt cực tiểu tại N1(2, –1); N2(–2, 1);
d) z đạt cực tiểu tại M1(2, 1); M2(–2, –1) và đạt cực đại tại N1(2, –1); N2(–2, 1).
Câu 32. Tìm cực trị của hàm z = xy với điều kiện
II. TÍCH PHÂN BỘI – ðƯỜNG – MẶT
Câu 1. Xác đònh cận của tích phân I =
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
D
y = x + x , y = 2x.
2
0
a) I =
c) I =
x2 + x
∫ dx ∫
0
b) I =
f(x, y)dy
∫ dx ∫
−1
2x
−2
1
x2 + x
1
∫ dx ∫
0
d) I =
f(x, y)dy
2x
f(x, y)dy
x +x
2x
2
∫ dx ∫
0
Câu 2. Xác đònh cận của tích phân I =
2x
f(x, y)dy
x +x
2
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
D
y = 3x, y = x .
2
3
a) I =
9
∫ dx ∫ f(x, y)dy
b) I =
∫ dy ∫
d) I =
0
9
c) I =
x2
0
3x
y
∫ dx ∫ f(x, y)dy
0
3
f(x, y)dx
y/3
x2
y
∫ dy ∫
0
Câu 3. Xác đònh cận của tích phân I =
3x
f(x, y)dx
y 3
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các
D
đường y = 2 x, y = x.
4
a) I =
2
∫ dx ∫
f(x, y)dy
∫ dx ∫
f(x, y)dy
0
4
c) I =
x
0
b) I =
2 x
2 x
D : x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0.
a) I =
0
1
c) I =
y
D
1
b) I =
f(x, y)dy
x −1
1
d) I =
0
x −1
∫ dx ∫
0
1
∫ dx ∫ f(x, y)dy
0
x
y
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
1− x
∫ dx ∫
f(x, y)dy
∫ dy ∫ f(x, y)dx
0
x
Câu 4. Xác đònh cận của tích phân I =
1
∫ dx ∫
0
4
d) I =
2 x
f(x, y)dy
1− x
1
∫ dx ∫ f(x, y)dy
0
−1
Câu 5. Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng đònh
nào sau đây đúng?
b
a)
d
∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy.
D
a
b)
c
b
c)
b
D
a
∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy.
D
a
d
∫∫ [ f(x) + g(x) ] dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy.
c
d
b
d)
c
d
∫∫ [ f(x)g(y) ] dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy.
D
a
c
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 3 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
14
x
∫ dx ∫ f(x, y)dy. Kết quả nào sau đây đúng?
Câu 6. Đổi thứ tự tính tích phân I =
1
14
a) I =
12
∫ dy ∫ f(x, y)dx.
1
14
c) I =
x
y
y
b) I =
2
y
y2
1/ 4
Câu 7. Đặt I =
∫ dy ∫ f(x, y)dx.
1
1/ 2
∫ dy ∫ f(x, y)dx + ∫
1
y2
1/ 4
y
y2
1/ 4
dy ∫ f(x, y)dx.
d) I =
y2
∫
1
dy ∫ f(x, y)dx.
y
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1, 1). Khẳng đònh
D
nào sau đây là đúng?
1
a) I =
1
1
1
∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx.
b) I =
∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy.
d) I =
0
1
c) I =
x
0
0
1
0
1
y
y
1
0
Câu 8. Đặt I =
x
y
∫ dx ∫ f(x, y)dy = ∫ dy ∫ f(x, y)dx.
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
∫ dy ∫ f(x, y)dx = ∫ dx ∫ f(x, y)dy.
0
y
0
x
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1, 1). Khẳng đònh
D
nào sau đây là đúng?
1
a) I =
1
∫ dy ∫
f(x, y)dx =
∫ dx ∫
f(x, y)dy =
0
1
c) I =
1− y
0
0
1
x
∫ dx ∫ f(x, y)dy.
b) I =
∫ dy ∫
d) I =
0
1
1− x
1
1
1
f(x, y)dx.
f(x, y)dx =
∫ dx ∫
f(x, y)dy =
1− x
1− x
0
Câu 9. Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực I =
1
∫ dy ∫
0
1
1− y
0
1
∫ dx ∫
f(x, y)dy.
∫ dy ∫
f(x, y)dx.
0
1
0
1− y
0
1− y
0
0
∫∫ f(x, y)dxdy , trong đó D là hình tròn x2 + y2
≤ 4y. Đẳng
D
thức nào sau đây đúng?
2π
a) I =
∫ dϕ ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ)dr
0
π
c) I =
π/2
4
b) I =
0
4 sin ϕ
∫ dϕ ∫
0
∫
4 cos ϕ
dϕ
0
π
d) I =
rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr
0
∫∫ f(
rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr
0
2
∫ dϕ ∫ rf(r cos ϕ, r sin ϕ)dr
0
Câu 10. Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực I =
∫
0
x + y )dxdy , trong đó D là nửa hình tròn
2
2
D
x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0 , ta có
2π
a) I =
π/2
1
∫ dϕ ∫ rf(r)dr
0
b) I =
0
∫ dx ∫
1
a) I = 0
0
0
d) I =
∫
0
1
dϕ ∫ f(r)dr
0
6xey dy
0
b) I = 1
c) I = 3
Câu 12. Tính tích phân kép: I =
0 ≤ x ≤ π / 2; 0 ≤ y ≤ π
a) I = π
π/2
1
dϕ ∫ rf(r)dr c) I = π ∫ rf(r)dr
0
ln x
2
Câu 11. Tính tích phân I =
∫
1
d) I = 5
∫∫ (sin x + 2 cos y)dxdy , trong đó D là hình chữ nhật
D
b) I = −π
Câu 13. Tính tích phân kép: I =
c) I = 2π
d) I = −2π
∫∫ xy dxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2
3
D
a) I = 0
b) I = 2
c) I = 4
d) I = 8
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 4 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
∫∫ xydxdy trong đó D là hình chữ nhật 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2
Câu 14. Tính tích phân I =
D
a) I = 1
b) I = 2
c) I = 1/2
∫∫ e
Câu 15. Tính tích phân I =
x+y
d) I = 1/4
dxdy trong đó D là hình vuông 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1
D
a) I = e
b) I = e2 − 1
2
c) I = (e − 1)2
d) I = 2(e − 1)
∫∫ (x2 + y2 )dxdy trong đó D là hình tròn x2 + y2
Câu 16. Tính tích phân I =
≤ 1.
D
a) I = π / 2
c) I = π / 4
b) I = 2π / 3
Câu 17. Tính tích phân I =
∫∫ ( x
2
d) I = π / 8
+ y ) dxdy trong đó D là hình tròn x + y 2 ≤ 1 .
2
2
2
D
a) I = − π / 3
b) I = 2 π / 3
Câu 18. Tính tích phân kép I =
c) I = 2 π / 5
d) I = π / 3
x + y dxdy trong đó D là hình vành khăn 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 .
∫∫
2
2
D
b) I = π
c) I = 2 π
d) I = 14 π / 3
a) I = π / 2
Câu 19. Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật Ω : a1 ≤ x ≤ a 2 ; b1 ≤ y ≤ b 2 ; c1 ≤ z ≤ c 2 .
Công thức nào sau đây đúng?
a)
=
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
Ω
b)
a2
b2
∫ f ( x ) dx ∫ f ( y ) dy ∫ f ( z ) dz
a1
∫∫∫ f ( x ) g ( y ) h ( z ) dxdydz
b1
=
Ω
c)
=
Ω
d)
a2
=
∫∫∫ xydxdydz
c2
b2
c1
b1
Ω
∫ f ( x ) dx ∫ g ( y ) dy ∫ h ( z ) dz
b1
c1
b2
c2
a1
b1
c1
∫ xdx + ∫ ydy + ∫ zdz
∫ xdx ∫ ydy
∫∫∫ f ( x , y , z ) dxdydz
x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0.
2
c2
a2
Câu 20. Xác đònh cận của tích phân
1
c1
b2
a1
∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz
c2
Ω
1
2
a) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz
c) I =
0
1
2
2− x
2
0
1
1
d) I =
2
0
0
1
2
1− x − 2 y
∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz
2
b)
I = 8π
c)
0
1
dxdydz
∫∫∫
x2 + y2
Ω
I = 4π
2
2
1
Câu 21. Cho Ω là miền x + y ≤ 4 ;0 ≤ z ≤ 2 . Tính
a)
2
b) I = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz
∫ dx ∫ dy ∫ f ( x , y , z ) dz
0
trong đó Ω là miền giới hạn bởi các mặt
I =π
d)
Câu 22. Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt: z = 4 − x − y , z = 0 . Đặt I =
2
2
∫∫∫
a) I =
c) I =
4−r 2
0
0
4
∫ d ϕ ∫ dr ∫ f ( r . cos ϕ , r . sin ϕ , z ) dz
2π
∫ sin ϕ d ϕ ∫ r
0
b) I =
0
2π
2
dr
0
∫ f ( r . cos ϕ , r . sin ϕ , z ) dz
∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r . cos ϕ , r . sin ϕ , z ) dz
d) I =
0
Câu 23. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ I =
0
2π
0
4
4−r 2
0
0
∫ d ϕ ∫ rdr ∫ f ( r . cos ϕ , r . sin ϕ , z ) dz
0
∫∫∫ cos
4−r 2
2
0
4−r 2
4
f ( x , y , z ) dxdydz .
Ω
Chuyển sang tọa độ trụ và xác đònh cận tích phân, ta có
2π
I = 2π
x + y dxdydz trong đó Ω là miền giới hạn bởi
2
2
Ω
các mặt z = 1 − x − y
2
2
và z = -8.
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 5 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
a) I =
c) I =
2π
3
1− r 2
0
0
−8
∫ d ϕ ∫ dr ∫ r . cos rdz
2π
1
−8
0
0
1
b) I =
∫ d ϕ ∫ dr ∫ r . cos rdz
d) I =
2π
3
−8
1− r 2
∫ d ϕ ∫ dr ∫ r . cos rdz
0
0
2π
3
1
0
0
−8
∫ d ϕ ∫ dr ∫ r . cos rdz
Câu 24. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác đònh cận tích phân I =
∫∫∫
x 2 + y 2 + z 2 dxdydz ,
Ω
trong đó Ω là miền x + y + z ≤ 4 , z ≥ 0
2
a) I =
2π
2
π
2
3
∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ .d θ
0
c) I =
2
0
π
2
0
0
0
2
∫ d ϕ ∫ r dr
π
2
0
0
π
2
b) I = ∫ d ϕ ∫ r dr ∫ sin θ .d θ
π /2
∫ sin θ .d θ
d) I =
0
0
2π
2
π /2
0
0
0
3
∫ d ϕ ∫ r dr
∫ sin θ .d θ
Câu 25. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác đònh cận tích phân
I =
∫∫∫ f ( x
+ y 2 , z ) dxdydz , trong đó Ω là 1/2 hình cầu x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , x ≥ 0
2
Ω
a) I =
b) I =
2π
π /2
R
0
0
0
π /2
π
R
∫ dϕ
2
2
2
∫ sin θ .d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ
2
2
2
∫ d ϕ ∫ sin θ .d θ ∫ ρ f ( ρ sin θ , ρ cos θ ) d ρ
−π / 2
c) I =
π
0
R
∫ d ϕ ∫ sin θ .d θ ∫ ρ
0
d) I =
0
π
0
π /2
−
f ( ρ 2 sin 2 θ , ρ cos θ ) d ρ
2
0
π
R
∫ d ϕ ∫ sin θ .d θ ∫ ρ
π
/2
2
f ( ρ 2 sin 2 θ , ρ cos θ ) d ρ
−R
0
Câu 26. Tính tích phân đường I =
∫ ( x + y ) dl , trong đó C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ 1 .
C
a) I =
c) I = 1 / 2
b) I = 1
2
Câu 27. Tính tích phân đường I =
d) I = 2
∫ ( x − y ) dl , trong đó C có phương trình x + y = 1,0 ≤ x ≤ 1 .
C
b) I = − 2
a) I = 1
Câu 28. Tính tích phân đường I =
∫ (2 x + 3 y
c) I = 0
2
d) I =
2
) dl trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm
C
A(0, 0) và B(1, 1)
b) I = 4 2
a) I = 2
Câu 29. Tính tích phân đường I =
c) I =
d) I = 2 2
2
∫ ( 26 x + 8 y ) dl trong đó C là đoạn thẳng có phương trình
C
3 x + 4 y + 1 = 0 nối A(0, –1/4) và B(1, –1)
a) I = –10
b) I = 8
c) I = 10
Câu 30. Tính tích phân đường I =
d) I = –8
∫ xydl trong đó C là đường biên của hình vuông 0 ≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤ 2 .
C
a) I = 8
b) I = 16
c) I = 24
Câu 31. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
I =
∫ ( 2 xy + 4 x
3
d) I = 36
+ 1) dx − ( 2 xy + 4 y 3 − 1) dy lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B.
AB
a) I = 0
b) I = –4
Câu 32. Tính tích phân đường I =
c) I = 3
∫ ( 2 xy + 4 x
3
d) I = –3
+ 1) dx − ( 2 xy + 4 y − 1) dy lấy theo đường x = 2 đi từ
3
AB
điểm A(2, 1) đến B(2, 0).
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 6 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
a) I = 2
b) I = –2
c) I = 3
Câu 33. Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I =
d) I = –3
∫ 2 xydx + x
2
dy lấy theo đường x + y = 0 từ gốc toạ độ O
OA
đến A.
a) I = 0
b) I = 1
c) I = 2
Câu 34. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
I =
∫ ( 2 xy + 4 x
3
d) I = 3
+ 1) dx − ( 2 xy + 4 y 3 − 1) dy lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B.
AB
a) I = 0
b) I = -4
c) I = 3
Câu 35. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường I =
d) I = –3
∫ ( y + 2 x + 1) dx + ( y − 1) dy
AB
lấy theo đường y = -x + 1 đi từ điểm A đến B.
a) I = 4
b) I = 3
c) I = 1
Câu 36. Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường I =
∫ 2 xydx + x
d) I = 2
2
dy lấy theo đường x + y = 0 gốc toạ độ O
OA
đến A.
a) I = 0
b) I = 1
c) I = 2
Câu 37. Tính tích phân đường I =
∫ ( xy
2
d) I = 3
− 1) dx + ( yx + 3 ) dy lấy theo đường y = 2x2 từ gốc toạ độ O đến
2
OA
A(1, 2).
a) I = 7
b) I = 9
Câu 38. Tính I =
c) I = 6
∫ 3 xydx − (3 x
2
d) I = 0
− 2 y ) dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(–1, –1).
OA
a) I = –1
b) I = 1
Câu 39. Tính I =
∫ (x − y)
2
c) I = –2
d) I = 2
dx + ( x + y ) dy lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0).
2
OA
a) I = 9
b) I = 8
c) I = 27
d) I = 18
Câu 40. Cho C là hình tròn x + y = 9. Tính tích phân đường loại hai I =
2
2
∫ ydx + xdy
C
a) I = 6π
b) I = 3π
c) I = 9π
d) I = 0
Câu 41. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối A và B?
a) I =
∫ x( x
2
dx − y 2 ) dy
b) I =
AB
c) I =
∫x
∫x
2
dx + y 2 dy
2
dy + y 2 dx
AB
2
dy − y dx
d) I =
2
AB
∫x
AB
Câu 42. Tính tích phân mặt loại một: I =
∫∫ ds , trong đó S là mặt z = 3,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 .
S
a) I = 0
b) I = 4
Câu 43. Tính: I =
c) I = 6
d) I = 12
∫∫ ( 2 x − 2 y + z ) ds , trong đó S là mặt 2 x − 2 y + z − 2 = 0 ,1 ≤ x ≤ 2 ,0 ≤ y ≤ 2 .
S
a) I = 0
b) I = 4
Câu 44. Tính tích phân mặt loại một: I =
d) I = 4 3
c) I = 12
∫∫ ds , trong đó S là mặt z = 2 x ,0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2 .
S
a) I =
5
c) I =
b) I = 2 5
Câu 45. Tính tích phân mặt loại một: I =
∫∫ xyds
2
d) I = 2 2
, trong đó S là mặt z = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 .
S
a) I =
5
b) I = 2 5
Câu 46. Tính tích phân mặt loại một: I =
c) I =
5/2
d) I =
5/4
∫∫ xds , trong đó S là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1].
S
a) I = 3
b) I = 6
c) I = 9
d) I = 12
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 7 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
Câu 47. Tính tích phân mặt loại một: I =
∫∫ ( x + y + z ) ds , trong đó S là mặt của hình lập phương
S
[0,1]x[0,1]x[0,1].
a) I = 6
b) I = 9
Câu 48. Tính tích phân mặt I =
c) I = 3
∫∫ zdxdy
d) I nhận giá trò khác
trong đó S là mặt trên của mặt 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 , z = 2 .
S
a) I = 0
b) I = 4
Câu 49. Tính tích phân mặt I =
c) I = 6
∫∫ zdxdy
d) I = 8
trong đó S là mặt trên của mặt 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3, z = 1 .
S
a) I = 0
b) I = 3
Câu 50. Tính tích phân mặt I =
c) I = 6
∫∫ dxdy
d) I = 9
trong đó S là mặt đònh hướng với pháp vector đơn vò dương
S
(2/3, -2/3, 1/3) của mặt 2 x − 2 y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 3 .
a) I = 0
b) I = 4
c) I = 6
d) I = 8
Câu 51. Cho S là mặt biên ngoài của miền Ω trong R3, hãy dùng công thức Gauss – Ostrogradski biến đổi tích
phân mặt sau đây sang tích phân bội 3: I =
∫∫ ( y
2
dzdy + z 2 dxdz + x 2 dydx )
S
a) I =
∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz
b) I = 2
Ω
∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz
c) I =
Ω
∫∫∫ dxdydz
d) I = 0
Ω
Câu 52. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu có thể tích V. Ta có
a) V =
∫∫ dydz
+ dxdz + dxdy
b) V =
∫∫ xdydz
S
c) V =
+ ydxdz + zdxdy
S
1
dydz + dxdz + dxdy
3 ∫∫
S
1
xdydz + ydxdz + zdxdy
3 ∫∫
S
d) V =
Câu 53. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương Ω . Đặt I =
∫∫ x
2
dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy
S
a) I =
∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz
b) I =
Ω
c) I =
∫∫∫ 2 ( x + y + z ) dxdydz
Ω
∫∫∫ 3( x + y + z ) dxdydz
d) I =
Ω
∫∫∫ 6 dxdydz
Ω
2
Câu 54. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu W: x + y + z ≤ 9 .
2
Đặt I =
∫∫ z
3
2
dydz + y 3 dxdz + z 3 dxdy . Ta có
S
a) I =
b) I =
∫∫∫ 9 dxdydz
∫∫∫ 3( x
W
c) I =
2
+ y 2 + z 2 ) dxdydz
W
∫∫∫ 3( y
2
+ 2 z ) dxdydz
d) I =
2
W
∫∫∫ 3( y
2
+ z 2 ) dxdydz
W
Câu 55. Tính tích phân mặt I =
∫∫ ( zdxdy
+ 2 xdydz + ydzdx ) trong đó S là mặt biên ngoài của hình hộp
S
Ω : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3 .
a) I = 4
b) I = 6
Câu 56. Tính tích phân mặt I =
c) I = 12
∫∫ ( zdxdy
d) I = 24
+ 3 xdydz − 3 ydzdx ) trong đó S là mặt biên ngoài của hình trụ
S
Ω : x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ z ≤ 4 .
a) I = 2π
b) I = 8π
c) I = 16 π
d) I = 32 π
Câu 57. Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( zdxdy − xdydz + ydzdx ) trong đó S là mặt biên ngoài của hình cầu
S
Ω : x + y + z ≤ 1.
a) I = π
b) I = 4π / 3
2
2
2
c) I = 8π / 3
d) I = 4π
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 8 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 1. Cho biết một phương trình vi phân nào ñó có nghiệm tổng quát là y = Cx. ðường cong tích phân nào sau
ñây của phương trình trên ñi qua ñiểm A(1, 2)?
a) y = 2
b) y = 3x
c) y = 2x
d) y = x/2
x
Câu 2. Hàm số y = 2x + Ce , C là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân nào sau ñây ?
a) y’ – y = (1 + x)2
b) y’ – y = 2(1-x)
c) y’ + y = (1+x)2
d) y’ + y = 2(1-x)
Câu 3. Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
b) x2 (x + y)ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = 0
a) x2 (x + 1)arctgydx + x(1 + y2 )dy = 0
c) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = 0 d) [x2 + (x + y)2 ]ln ydx + (1 + y2 )(x − 1)dy = 0
Câu 4. Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
a) x2 (x + 1)ln ydx + (x + y2 )(x − y)dy = 0 b) x2 (x + y)ln ydx − (1 + y2 )(x − 1)dy = 0
c) x2 (x + y)ln ydx + (x + y2 )(x − 1)dy = 0 d) [x2 + (x + 1)2 ]ln ydx − (1 + y2 )(x + 1)dy = 0
Câu 5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '+
a) (x + 1)y = C
b) (x + 1) + y = C
Câu 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a) sin x + cos y = C
b) sin x − cos y = C
Câu 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a) arcsin x + arctgy = C
y
=0
x +1
c) C1(x + 1) + C2 y = 0
d) (x + 1)2 + y2 = C
dx
dy
+
=0
sin y cos x
c) C1 sin x + C2 cos y = 0
dx
dy
=0
1+x
1 − y2
b) arcsin x − arctgy = C
2
+
d) C1 cos x + C2 sin y = 0
c) arctgx + arcsin y = C
d) arctgx + ln | y + 1 − y2 |= C
Câu 8. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 2xydx + dy = 0
a) x2 y + y = C
b) xy2 + y = C
c) 2xy + 1 = C
d) x2 + ln | y |= C
Câu 9. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (1 + y2 )dx + x ln xdy = 0
a) (1 + y2 )x + x ln x = C
b) ln | ln x | + arcsin y = C
c) ln | ln x | + 1 + y2 = C
d) ln | ln x | +arctgy = C
(1 − y2 )dx + x ln xdy = 0
Câu 10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a) x 1 + y2 + xy ln x = C
b) ln | ln x | + arcsin y = C
c) ln | ln x | + 1 − y2 = C
d) ln | ln x | +arctgy = C
Câu 11. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình ñẳng cấp?
a)
dy
x2 + y2
dy
2x + 3y + 5
=
b)
=
dx
x+5
dx
x+y
c)
dy
x2 + y2
=
dx
xy
d)
dy
x 2 y + y 2x
=
dx
x2 + y2
y y2
−
x x2
−x
x
x
−x
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
.
C + ln | x |
C + ln | x |
C − ln | x |
C ln | x |
Câu 13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân xy ' = y + x
a) y = x(C + ln | x |) b) y = x(C − ln | x |) c) y = x / (C + ln | x |) d) y = x / (C − ln | x |)
Câu 14. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
Câu 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' =
a) (ye x − xex )dx + (e x − y2 sin y)dy = 0 ;
b) (yex + xe x )dx + (ex + x2 sin y)dy = 0 ;
c) (yex + xe y )dx + (ex + y2 sin y)dy = 0 ; d) (ye x − xe y )dx + (e x − y2 sin y)dy = 0 .
Câu 15. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
b) (y sin x − cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = 0 ;
a) (y sin x − cos y)dx + (cos x − x sin y)dy = 0 ;
c) (y sin x + cos y)dx + (cos x + x sin y)dy = 0 ;
d) (y sin x + cos y)dx − (cos x − x sin y)dy = 0 .
Câu 16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân ydx + xdy = 0
a) xy = C
b) y = Cx
c) x + y = C
d) x − y = C .
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 9 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
Câu 17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần (y + ex )dx + xdy = 0
a) xy − ex = C
b) xy + ex = C
c) x + y + ex = C
d) x − y + ex = C
Câu 18. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần (e y + 1)dx + (xe y + 1)dy = 0
a) xy − xe y = C
b) xy + xe y = C
c) x + y + xe y = C
y
=0
x
C
2C
C
a) y =
.
b) y =
.
c) y =
2
3
x
x
x
2
Câu 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ' cos x + y = 0
d) x − y + xe y = C .
Câu 19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '+ 2
d) y = −
C
.
x
b) y = Ce tgx
c) y = C + e tgx
a) y = Ce−tgx
Câu 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '− 3y = 0
d) y = eC.tgx .
b) y = C − e3x
c) y = Ce3x
a) y = Ce−3x
Câu 22. Phương trình y '− y cos x = 0 có nghiệm tổng quát là:
d) y = C + e3x .
a) y = Cxe− cos x
b) y = Cx + esin x
c) y = C + e− sin x
d) y = C.e− sin x .
Câu 23. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '(1 − e x ) − ex y = 0
1
C
a) y(x − ex ) − ex y2 = C
b) y =
2
1 − ex
c) y = C(1 − ex )
d) y = C ln(1 − ex ) .
y
= 4x ln x dưới dạng:
x
C(x)
C(x)
C(x)
C(x)
a) y = 2
b) y = 3
c) y =
d) y = −
x
x
x
x
y
Câu 25. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình y '− 3 = x 4 ln x dưới dạng:
x
C(x)
a) y = 3
b) y = C(x) − x 3
c) y = C(x) + x 3
d) y = C(x)x 3
x
Câu 26. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '− 2y = e2x
Câu 24. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình y '+ 2
a) y = (−x + C)e2x
b) y = (x + C)e2x
c) y = (−x + C)ex
d) y = (x + C)e x
Câu 27. Xét phương trình vi phân (2x 3 + x)y2dx + y 3x 3dy = 0 (1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp;
b) (1) là phương trình vi phân ñưa ñược về dạng tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1; d) (1) là phương trình vi phân Bernoulli.
Câu 28. Xét phương trình vi phân (y2 + 3xy)dx + (7x2 + 4xy)dy = 0 (1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp;
b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli;
d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Câu 29. Xét phương trình vi phân (y2 − 2xy)dx + (x2 − 5xy)dy = 0 (1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp;
b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli;
d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Câu 30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''− 2y '+ 5y = 0
a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x)
b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x
d) y = C1e x + C2e2x
Câu 31. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''+ 4y = 0
a) y = e2x (C1 cos x + C2 sin x)
b) y = e x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x
d) y = C1e2x + C2 e−2x
Câu 32. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 4y ''− 16y = 0
a) y = C1e2x + C2 e−2x
b) y = C1e2x + C2e2x
c) y = e2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
d) y = e−2x (C1 cos 2x + C2 sin 2x)
Câu 33. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''− 22y '+ 121y = 0
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 10 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
b) y = e−11x (xC1 + C2 )
a) y = e11x (xC1 + C2 )
c) y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x)
d) y = (C1 + C2 )e11x
Câu 34. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ''+ 4y '+ 3y = 0
a) y = C1e x + C2e−3x
b) y = C1e−x + C2e−3x
c) y = C1e−x + C2e3x
d) y = C1e x + C2e3x
Câu 35. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân y ''− 2y '+ 2y = 2ex là y = x2e2 , nghiệm tổng quát
của phương trình trên là:
a) y = x2 ex + Cex
b) y = Cx2e2
c) y = x2ex + C1ex + C2xex
d) y = x2ex + C1ex + C2ex
Câu 36. Cho biết một nghiệm riêng của y ''+ y ' = 2 sin x + 3 cos 2x là y = − cos 2x − x cos x , nghiệm tổng quát
của phương trình là:
b) y = cos 2x + x cos x + C1e x + C2e−x
a) y = C1 cos 2x + C2x cos x
c) y = − cos 2x − x cos x + C1ex + C2 e−x
d) y = − cos 2x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x
…………………………………………….
ðỀ THI A 3 THAM KHẢO
Thời gian: 60 phút
Câu 1. Tích phân mặt I =
∫∫ dxdy
trong ñó S là mặt dưới của mặt x2 +
S
y2
≤ 1 , z = 2.
9
A. I = −9π
B. I = −3π
C. I = 3π
D. I = 9π
Câu 2. Tích phân ñường I = ∫ ydl trong ñó C có phương trình x + y = 1, 0 ≤ x ≤ 1 .
C
A. I =
1
2
B. I =
3 2
2
C. I =
2
2
D. I =
Câu 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′′ −
A. y = ln
x−2
+ C1x + C2
x+2
B. y =
∫∫
(4 + x2 )2
1
4 + x2
= 0.
+ C1x + C2
x
+ C1x + C2
2
dxdy trong ñó D là miền giới hạn bởi 2y ≤ x2 + y2 ≤ 4y, x ≥ 0 .
C. y = ln(x2 + 4) + C1x + C2
Câu 4. Tính tích phân I =
4x
2
D. y = −arctg
D
3π
A. I =
2
B. I = 3π
C. I =
π
8
D. I =
Câu 5. Cho Ω là miền giới hạn bởi x2 + y2 ≤ π2 , 0 ≤ z ≤ 3 . Tính I =
∫∫∫
π
4
cos x2 + y2 dxdydz
Ω
A. I = 9π
B. I = 4π
2
C. I = 4π
x2 + y2
.
D. I = 0
∫∫∫ (x2 + y2 + z2 )dxdydz , trong ñó Ω là
Câu 6. Chuyển tích phân sau sang tọa ñộ cầu và xác ñịnh cận của I =
Ω
miền 1 ≤ x + y + z ≤ 4 .
2
2π
A. I =
C. I =
2
2
π
2
4
∫ dϕ ∫ r4dr ∫ sin θdθ
2π
B. I =
∫ dϕ ∫ r3dr ∫ sin θdθ
0
1
0
0
1
2π
2
π
2π
2
∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ
2
0
1
0
D. I =
π
2
2
0
π
∫ dϕ ∫ r dr ∫ sin θdθ
4
0
1
0
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 11 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
Câu 7. Tính tích phân ñường loại 2 I =
∫
xdy − ydx trong ñó AB lấy theo ñường
AB
x2
+ y 2 = 1 nằm ở góc phần
4
tư thứ hai theo chiều dương.
π
π
A. I =
B. I = 2π
C. I = π
D. I = −
2
2
6
5
2
Câu 8. Cho hàm z = x − y − cos x − 32y , khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
A. z có 1 cực ñại và 1 cực tiểu
B. z không có ñiểm dừng
C. z ñạt cực tiểu tại N(0;–2)
D. z ñạt cực ñại tại M(0; 2)
1
Câu 9. Tính tích phân I = − ∫∫ dxdy trong ñó D giới hạn bởi y = x2 , y = −x2 − 2x .
2
D
5
5
1
1
A. I = −
B. I =
C. I =
D. I = −
6
6
6
6
2
2
Câu 10. Cho ñiểm A(2; 2). Tính tích phân ñường loại 2 I = ∫ (2xy + 3x + 2)dx + (2x y + y − 2)dy lấy theo
OA
2
x
từ gốc tọa ñộ O ñến A.
2
A. I = 24
B. I = 16
ñường y =
C. I = 8
D. I = 0
Câu 11. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến z = x + x sin y
2
2
A. d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x sin 2ydy2
B. d2z = 2 cos 2ydxdy − 2x sin 2ydy2
C. d2z = 2dx2 + 2 sin 2ydxdy + 2x cos 2ydy2
D. d2z = 2dx2 − 2 sin2 ydx2 − 2x cos 2ydy2
Câu 12. Tìm ñộ dài cung tròn có phương trình x2 + y2 = 242 thỏa ñiều kiện − 3.x ≤ y ≤ x
A. l = π
π
D. l = 7π
2
f(x, y, z)dxdydz , trong ñó Ω là tứ diện ñược giới hạn bởi các mặt phẳng
B. l = 14π
Câu 13. Xét tích phân I =
∫∫∫
C. l =
Ω
x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 . ðẳng thức nào sau ñây ñúng?
1
A. I =
1− x
∫ dx ∫
0
1
C. I =
dy
0
1− z
∫ dz ∫
0
1− x − y
0
∫
1
B. I =
f(x, y, z)dz
0
1− y
∫ dy ∫
0
0
1− y − z
dz
∫
f(x, y, z)dx
0
1− x − z
dx
∫
f(x, y, z)dy
D. Các ñẳng thức trên ñều ñúng
0
Câu 14. Tính diện tích S của mặt x =
x2 + y2 , x2 + y2 ≤ 1
2π 2
3
Câu 15. Trên miền lấy tích phân D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng ñịnh nào
sau ñây là ñúng?
A. S = 2π 2
B. S = π 2
b
A.
d
a
b
a
B.
c
d
∫∫ f(x, y)dxdy = ∫ f(x)dx ∫ f(x, y)dy
D
a
c
d
b
∫∫ [f(x)g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx ∫ g(y)dy
D
D. S =
b
∫∫ f(x + y)dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ f(y)dy
D
C.
C. S = π
D.
c
d
∫∫ [f(x) + g(y)]dxdy = ∫ f(x)dx + ∫ g(y)dy
D
a
c
Câu 16. Cho biết 1 nghiệm riêng của phương trình vi phân y′′ + 2y′ + 26y = 29e là y = e , hãy tìm nghiệm tổng
quát của phương trình?
x
x
A. y = 29e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x)
B. y = e x + e−x (C1 cos 5x + C2 sin 5x)
C. y = 29e x + C1e−x + C2e5x
D. y = e x + C1e−x + C2e5x
Câu 17. Xác ñịnh cận của tích phân I =
∫∫ f(x, y)dxdy
trong ñó D giới hạn bởi các ñường
D
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 12 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
x = 3, x = 5, 3x − 2y + 4 = 0, 3x − 2y + 1 = 0 .
3x + 4
2
5
A. I =
∫ dx ∫
∫ dx ∫
D. I =
f(x, y)dy
2y −1
3
∫ dx ∫
∫∫ (x + y + z)dS
f(x, y)dy
3y − 4
3
3
Câu 18. Tính tích phân mặt loại một I =
f(x, y)dy
3x + 4
2
5
3y −1
3
3
∫ dx ∫
3
2y − 4
3
5
C. I =
B. I =
f(x, y)dy
3x +1
2
3
3x +1
2
5
trong ñó S là mặt
S
x + y + z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 .
A. I = 2 3
B. I = 2
C. I = 3
D. I = − 3
2
2
Câu 19. Cho miền Ω giới hạn bởi các mặt z = 4 − x − y , z = 0 . ðặt I = ∫∫∫ f(x, y, z)dxdydz . Chuyển sang
Ω
tọa ñộ trụ và xác ñịnh cận tích phân, ta có:
2π
A. I =
C. I =
4 − r2
2
∫ dϕ ∫ rdr ∫
2π
f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz
B. I =
∫ dϕ ∫
0
0
0
0
2π
4
4 − r2
2π
∫ dϕ ∫ rdr ∫
0
0
f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz
D. I =
4 − r2
4
dr ∫ f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz
0
0
4 − r2
4
∫ sin ϕdϕ ∫ r dr ∫
0
2
0
0
f(r cos ϕ, r sin ϕ, z)dz
0
Câu 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x y + 1dx + y x + 1dy = 0 ?
2
(
)
A. ln x +
C.
(
x2 + 1 − ln y +
x2 + 1 +
)
y2 + 1 = C
B.
2
x2 + 1
y2 + 1
(
y2 + 1 = C
D. ln x +
=C
)
(
)
x2 + 1 + ln y +
y2 + 1 = C
Câu 21. Tìm vi phân cấp một của hàm z = arctg(y − x) .
A. dz =
dy − dx
1 + (x − y)
2
B. dz =
Câu 22. Tính tích phân I =
∫∫
dx + dy
1 + (x − y)
2
C. dz =
dx − dy
1 + (x − y)
2
D. dz =
−dx − dy
1 + (x − y)2
x2 + y2 dxdy , D là phần hình tròn x2 + y2 ≤ 4 thuộc góc phần tư thứ nhất.
D
2π
4π
3π
8π
A. I =
B. I =
C. I =
D. I =
3
3
4
3
Câu 23. Tính tích phân I = ∫∫ (x + 2y + z)dS , S là mặt x + 2y + z − 2 = 0, x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 .
S
6
6
B. I = 6
C. I =
D. I = 2 6
2
4
Câu 24. Tính tích phân I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx , S là mặt bên ngoài của elipsoid
A. I =
S
2
2
y
z
+
≤ 1.
4
9
A. I = 144π
B. I = 32π
Ω : x2 +
Câu 25. Tính tích phân I =
C. I = 8π
D. I = 36π
∫∫ zdxdy , S là mặt trên của mặt z = 0 ñược giới hạn bởi x + y ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ 1
S
với vector pháp tuyến theo chiều dương.
A. I = 1
B. I = 2
C. I = 3
D. I = 4
…………………………Hết……………………….
phuongphaphoctap.tk
phuongphaphoctap.tkTrang 13 Nguye~n
Nguye~n Tro.ng
Tro.ng Nha^n
Nha^n
