Câu hỏi trắc nghiệm toán A3 pptx

Trang 1

MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TOÁN A 3
Chú ý. Các câu hỏi chỉ có tính tham khảo, có 1 số câu ñáp án sai.

I. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
Câu 1. Vi phân cấp một của hàm số z = x
2
+ 4
y
là:
a)
= +
y
dz 2xdx 4 dy
; b)
= +
y
dz 2xdx 4 ln 4dy
; c)
−
= +
y 1
dz 2xdx y4 dy
; d)
= +
y
dz 2xdx y4 ln 4dy
.
Câu 2. Vi phân cấp một của hàm số

(
)
= −
z ln x y
là:
a)
−
=
−
dx dy
dz
x y
; b)
−
=
−
dy dx
dz
x y
; c)
−
=
−
dx dy
dz
2(x y)
; d)
−
=
−

dy dx
dz
2(x y)
.
Câu 3. Vi phân cấp một của hàm số
= −
z arctg(y x)
là:
a)
+
=
+ −
2
dx dy
dz
1 (x y)
; b)
−
=
+ −
2
dx dy
dz
1 (x y)
; c)
−
=
+ −
2
dy dx

dz
1 (x y)
; d)
− −
=
+ −
2
dx dy
dz
1 (x y)
.
Câu 4. Vi phân cấp 2 của hàm số
= +
2
2 y
z sin x e
là:
a)
= +
2
2 2 y 2
d z 2 sin xdx 2ye dy
; b)
= + +
2
2 2 y 2 2
d z 2 cos 2xdx e (4y 2)dy
;
c)
= − +

2
2 2 y 2
d z 2 cos2xdx 2ye dy
; d)
= +
2
2 2 y 2
d z cos 2xdx e dy
.
Câu 5. ðạo hàm riêng cấp hai
xx
z ''
của hàm hai biến
= + +
y 2
z xe y y sin x
là:
a)
= −
xx
z '' y sin x
; b)
=
xx
z '' y sin x
; c)
= +
y
xx
z '' e y cos x

; d)
= −
y
xx
z '' e y sin x
.
Câu 6. Cho hàm hai biến
+
=
x 2y
z e
. Kết quả ñúng là:
a)
+
=
x 2y
xx
z '' e
; b)
+
=
x 2y
yy
z '' 4.e
; c)
+
=
x 2y
xy
z '' 2.e

; d) Các kết quả trên ñều ñúng.
Câu 7. Cho hàm số
+
= =
2x 3y
z f(x, y) e
. Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a)
+
=
n
(n)
n 2x 3y
x
z 5 e
; b)
+
=
n
(n)
n 2x 3y
x
z 2 e
; c)
+
=
n
(n)
n 2x 3y
x

z 3 e
; d)
+
=
n
(n)
2x 3y
x
z e
.
Câu 8. Cho hàm số
= = +
z f(x, y) sin(x y)
. Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) = +
3 3
(6)
x y
z sin(x y)
; b) = +
3 3
(6)
x y
z cos(x y)
; c) = − +
3 3
(6)
x y
z sin(x y)
; d) = − +

3 3
(6)
x y
z cos(x y)
.
Câu 9. Cho hàm số
= = + +
20 20 10 11
z f(x, y) x y x y
. Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a)
= =
3 19 3 19
(22) (22)
x y y x
z z 1
; b)
= =
7 15 6 16
(22) (22)
x y y x
z z 0
; c)
= =
13 9 6 16
(22) (22)
x y y x
z z 2
; d)
= =

11 11 11 11
(22) (22)
x y y x
z z 3
.
Câu 10. Cho hàm số
= = + +
z f(x, y) xy y cos x x sin y
. Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a)
=
2
(4)
xyx
z 0
; b) =
2
(4)
xyx
z cos x
; c) =
2
(4)
xyx
z sin x
; d)
=
2
(4)
xyx

z 1
.
Câu 11. Cho hàm số
= =
xy
z f(x, y) e
. Hãy chọn ñáp án ñúng ?
a) =
5
(5)
5 xy
x
z y e
; b) =
5
(5)
5 xy
x
z x e
; c) =
5
(5)
xy
x
z e
; d)
=
5
(5)
x

z 0
.
Câu 12. Vi phân cấp hai
2
d z
của hàm hai biến
=
z y ln x
là:
a) = +
2 2
2
1 x
d z dxdy dy
y
y
; b)
= −
2 2
2
2 y
d z dxdy dx
x
x
;
c)
= +
2 2
2
2 x

d z dxdy dy
y
y
; d)
= −
2 2
2
1 y
d z dxdy dy
x
x
.
Câu 13. Vi phân cấp hai
2
d z
của hàm hai biến
= +
2 2
z x x sin y
là:
a)
= −
2 2
d z 2 cos 2ydxdy 2x sin 2ydy
; b)
= + +
2 2 2
d z 2dx 2 sin 2ydxdy 2x sin 2ydy
;
c)

= − −
2 2 2 2 2
d z 2dx 2 sin ydx 2x cos 2ydy
; d)
= + +
2 2 2
d z 2dx 2 sin 2ydxdy 2x cos2ydy
.
Câu 14. Vi phân cấp hai của hàm hai biến
=
2 3
z x y
là:
a)
= + +
2 3 2 2 2 2
d z 2y dx 12xy dxdy 6x ydy
; b)
= − +
2 3 2 2 2 2
d z 2y dx 12xy dxdy 6x ydy
;
c)
= +
2 3 2 2 2
d z y dx 6x ydy
; d)
= +
2 3 2 2 2
d z (2xy dx 3x y dy)

.
Câu 15. Cho hàm
= − +
2 2
z x 2x y
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 0); b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 0);
c) z có một cực ñại và một cực tiểu; d) z không có cực trị.

Trang 2

Câu 16. Cho hàm
= − + +
4 2 2
z x 8x y 5
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại I(0, 0); b) z ñạt cực tiểu tại J(–2; 0) và K(2; 0);
c) z chỉ có hai ñiểm dừng là I(0; 0) và K(2; 0); d) z không có cực trị.
Câu 17. Cho hàm
= + +
2 2
z x xy y
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại O(0; 0); b) z không có cực trị;
c) z ñạt cực tiểu tại O(0; 0); d) Các khẳng ñịnh trên sai.
Câu 18. Cho hàm
= − + − +
2 2
z x y 2x y 1
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?

a) z ñạt cực ñại tại
 


− −





 
1
M 1;
2
; b) z ñạt cực tiểu tại
 


− −





 
1
M 1;
2
;
c) z không có cực trị; d) Các khẳng ñịnh trên sai.

Câu 19. Cho hàm
= + + + +
3 2
z x 27x y 2y 1
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có hai ñiểm dừng; b) z có hai cực trị; c) z có một cực ñại và một cực tiểu; d) z không có cực trị.
Câu 20. Cho hàm
= − − + +
4 4
z x y 4x 32y 8
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 2); b) z ñạt cực tiểu tại M(1; 2);
c) z không có ñiểm dừng; d) z không có ñiểm cực trị.
Câu 21. Cho hàm
= − + + −
2 3 2
z 3x 12x 2y 3y 12y
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z có một cực ñại và một cực tiểu; b) z chỉ có một ñiểm cực ñại;
c) z không có ñiểm dừng; d) z chỉ có một cực tiểu.
Câu 22. Cho hàm
= − − +
3 2
z x y 3x 6y
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại M(1; 3); b) z ñạt cực tiểu tại N(–1; 3);
c) z có hai ñiểm dừng; d) Các khẳng ñịnh trên ñều ñúng.
Câu 23. Cho hàm
= − − + + +
2 2

z 2x 2y 12x 8y 5
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(3; 2); b) z ñạt cực ñại tại M(3; 2);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng.
Câu 24. Cho hàm
= − + − +
2 y
z 3x 2e 2y 3
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 0); b) z ñạt cực ñại tại M(0; 0);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng.
Câu 25. Cho hàm
= − − −
2
z x y ln y 2
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; –1); b) z ñạt cực ñại tại M(0; –1);
c) z luôn có các ñạo hàm riêng trên
2
ℝ
; d) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị.
Câu 26. Cho hàm
= + + −
y 3 2
z xe x 2y 4y
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực tiểu tại M(0; 1); b) z ñạt cực ñại tại M(0; 1);
c) z có ñiểm dừng nhưng không có cực trị; d) z không có ñiểm dừng.
Câu 27. Cho hàm
= − + −

2
1
z 2x 4x sin y y
2
, với
∈ −π < < π
x , y
ℝ
. Hãy chọn khẳng ñịnh ñúng?
a) z ñạt cực ñại tại
 
π







 
M 1;
3
; b) z ñạt cực tiểu tại
 
π


−






 
M 1;
3
;
c) z ñạt cực tiểu tại
 
π







 
M 1;
3
; d) z có một ñiểm cực ñại và một ñiểm cực tiểu.
Câu 28. Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa:
+ + − + − + =
2 2 2
x y z 8x 2y 2z 2 0

a) z ñạt cực tiểu tại M(4; –1); b) z ñạt cực ñại tại M(4; –1);
c) tại M(4; –1) vừa là ñiểm cực ñại vừa là ñiểm cực tiểu; d) z không có ñiểm dừng.
Câu 29. Tìm cực trị của hàm số z = z(x; y) thỏa:
+ + − + + − =

2 2 2
x y z 4x 12y 2z 8 0

a) z ñạt cực tiểu tại M(2; –6) và z
CT
= –8; b) z ñạt cực ñại tại M(2; –6) và z
Cð
= 6;
c) cả câu a) và b) ñều ñúng; d) z chỉ có ñiểm dừng là M(2; –6).
Câu 30. Tìm cực trị của hàm
= + − −
2 2
z 2x y 2y 2
với ñiều kiện –x + y + 1 = 0. Chọn khẳng ñịnh ñúng ?
a) z ñạt cực tiểu tại
 


−





 
2 1
A ;
3 3
; b) z ñạt cực ñại tại
 



−





 
2 1
A ;
3 3
;
c) z ñạt cực ñại tại M(1, 0) và
 


−





 
1 2
N ;
3 3
; d) z ñạt cực tiểu tại M(1, 0) và
 



−





 
1 2
N ;
3 3
.
Câu 31. Tìm cực trị của hàm
= +
z 3x 4y
với ñiều kiện x
2
+ y
2
= 1.

Trang 3

a) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5); b) z đạt cực tiểu tại M(–3/5, –4/5);
c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(–3/5, –4/5);
d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(–3/5, –4/5).
Câu 32. Tìm cực trị của hàm z = xy với điều kiện
+ =
2 2
x y

1
8 2
.
a) z đạt cực đại tại N
1
(2, –1) và N
2
(–2, 1); b) z đạt cực tiểu tại M
1
(2, 1) và M
2
(–2, –1);
c) z đạt cực đại tại M
1
(2, 1); M
2
(–2, –1) và đạt cực tiểu tại N
1
(2, –1); N
2
(–2, 1);
d) z đạt cực tiểu tại M
1
(2, 1); M
2
(–2, –1) và đạt cực đại tại N
1
(2, –1); N
2
(–2, 1).

II. TÍCH PHÂN BỘI – ðƯỜNG – MẶT
Câu 1. Xác đònh cận của tích phân
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
2
y x x , y 2x.
= + =

a)
2
0 x x
1 2x
I dx f(x, y)dy
+
−
=
∫ ∫
b)
2
0 2x
2
x x
I dx f(x, y)dy
−
+
=

∫ ∫

c)
2
1 x x
0 2x
I dx f(x, y)dy
+
=
∫ ∫
d)
2
1 2x
0
x x
I dx f(x, y)dy
+
=
∫ ∫

Câu 2. Xác đònh cận của tích phân
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
2
y 3x, y x .
= =

a)
2
3 x
0 3x
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫
b)
2
9 3x
0
x
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫

c)
9 y
0 y / 3
I dy f(x, y)dx
=
∫ ∫
d)
3 y
0 y 3
I dy f(x, y)dx
=
∫ ∫

Câu 3. Xác đònh cận của tích phân

D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là miền giới hạn bởi các
đường
y 2 x, y x.
= =

a)
4 x
0 2 x
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫
b)
2 2 x
0 x
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫

c)
4 2 x
0 x
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫
d)
4 y

0 y
I dy f(x, y)dx
=
∫ ∫

Câu 4. Xác đònh cận của tích phân
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là miền giới hạn bởi các đường
D : x y 1, x y 1, x 0.
+ ≤ − ≤ ≥

a)
1 1 x
0 x 1
I dx f(x, y)dy
−
−
=
∫ ∫
b)
1 x 1
0 1 x
I dx f(x, y)dy
−
−
=
∫ ∫

c)
1 1
0 0
I dx f(x, y)dy
=
∫ ∫
d)
1 1
0 1
I dx f(x, y)dy
−
=
∫ ∫

Câu 5. Trên miền lấy tích phân
D : a x b, c y d
≤ ≤ ≤ ≤
, viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng đònh
nào sau đây đúng?
a)
b d
D a c
f(x, y)dxdy f(x)dx f(x, y)dy.
=
∫∫ ∫ ∫
b)
b d
D a c
f(x y)dxdy f(x)dx f(y)dy.

+ = +
∫∫ ∫ ∫

c)
[ ]
b d
D a c
f(x) g(x) dxdy f(x)dx g(y)dy.
+ = +
∫∫ ∫ ∫
d)
[ ]
b d
D a c
f(x)g(y) dxdy f(x)dx g(y)dy.
=
∫∫ ∫ ∫


Trang 4

Câu 6. Đổi thứ tự tính tích phân
1 4
x
1 x
I dx f(x, y)dy.
=
∫ ∫
Kết quả nào sau đây đúng?
a)

2
1 4
y
1
y
I dy f(x, y)dx.
=
∫ ∫
b)
2
1 2
y
1 y
I dy f(x, y)dx.
=
∫ ∫

c)
2 2
1 4
y 1/ 2 1/ 4
1 1/ 4
y y
I dy f(x, y)dx dy f(x, y)dx.
= +
∫ ∫ ∫ ∫
d)
2
1/ 4 y
1 y

I dy f(x, y)dx.
=
∫ ∫

Câu 7. Đặt
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là tam giác có các đỉnh là O(0, 0); A(1, 0) và B(1, 1). Khẳng đònh
nào sau đây là đúng?
a)
1 x 1 1
0 0 0 y
I dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx.
= =
∫ ∫ ∫ ∫
b)
1 x 1 y
0 0 0 1
I dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx.
= =
∫ ∫ ∫ ∫

c)
1 1 1 1
0 y 0 0
I dy f(x, y)dx dx f(x, y)dy.
= =
∫ ∫ ∫ ∫

d)
1 1 1 1
0 y 0 x
I dy f(x, y)dx dx f(x, y)dy.
= =
∫ ∫ ∫ ∫

Câu 8. Đặt
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là tam giác có các đỉnh là A(0, 1); B(1, 0) và C(1, 1). Khẳng đònh
nào sau đây là đúng?
a)
1 1 y 1 x
0 0 0 1
I dy f(x, y)dx dx f(x, y)dy.
−
= =
∫ ∫ ∫ ∫
b)
1 1 1 1 y
0 1 x 0 0
I dy f(x, y)dx dx f(x, y)dy.
−
−
= =
∫ ∫ ∫ ∫

c)
1 1 1 1
0 1 x 0 1 y
I dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx.
− −
= =
∫ ∫ ∫ ∫
d)
1 1 x 1 1 y
0 0 0 0
I dx f(x, y)dy dy f(x, y)dx.
− −
= =
∫ ∫ ∫ ∫

Câu 9. Chuyển tích phân sau sang toạ độ cực
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
, trong đó D là hình tròn
2 2
x y 4y.
+ ≤
Đẳng
thức nào sau đây đúng?
a)
2 4
0 0
I d f(r cos , r sin )dr

π
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
b)
/ 2 4 cos
0 0
I d rf(r cos , r sin )dr
π ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫

c)
4 sin
0 0
I d rf(r cos , r sin )dr
π ϕ
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫
d)
2
0 0
I d rf(r cos , r sin )dr
π
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫

Câu 10. Chuyển tích phân sang hệ toạ độ cực
2 2
D
I f( x y )dxdy

= +
∫∫
, trong đó D là nửa hình tròn
2 2
x y 1, y 0
+ ≤ ≥
, ta có
a)
2 1
0 0
I d rf(r)dr
π
= ϕ
∫ ∫
b)
/ 2 1
0 0
I d rf(r)dr
π
= ϕ
∫ ∫
c)
1
0
I rf(r)dr
= π
∫
d)
/ 2 1
0 0

I d f(r)dr
π
= ϕ
∫ ∫

Câu 11. Tính tích phân
2 ln x
y
1 0
I dx 6xe dy
=
∫ ∫

a) I = 0 b) I = 1 c) I = 3 d) I = 5
Câu 12. Tính tích phân kép:
D
I (sin x 2 cos y)dxdy
= +
∫∫
, trong đó D là hình chữ nhật
0 x / 2; 0 y
≤ ≤ π ≤ ≤ π

a)
I
= π
b)
I
= −π
c)

I 2
= π
d)
I 2
= − π

Câu 13. Tính tích phân kép:
3
D
I xy dxdy
=
∫∫
trong đó D là hình chữ nhật
0 x 1;0 y 2
≤ ≤ ≤ ≤

a) I = 0 b) I = 2 c) I = 4 d) I = 8

Trang 5

Câu 14. Tính tích phân
D
I xydxdy
=
∫∫
trong đó D là hình chữ nhật
0 x 1;0 y 2
≤ ≤ ≤ ≤

a) I = 1 b) I = 2 c) I = 1/2 d) I = 1/4

Câu 15. Tính tích phân
x y
D
I e dxdy
+
=
∫∫
trong đó D là hình vuông
0 x 1;0 y 1
≤ ≤ ≤ ≤

a)
2
I e
=
b)
2
I e 1
= −
c)
2
I (e 1)
= −
d)
I 2(e 1)
= −

Câu 16. Tính tích phân
2 2
D

I (x y )dxdy
= +
∫∫
trong đó D là hình tròn
2 2
x y 1
+ ≤
.
a)
I / 2
= π
b)
I 2 / 3
= π
c)
4/
π
=
I
d)
8/
π
=
I

Câu 17. Tính tích phân
∫∫
+=
D
dxdyyxI

222
)(
trong đó D là hình tròn
1
22
≤+ yx
.
a)
3/
π
−
=
I
b)
3/2
π
=
I
c)
5/2
π
=
I
d)
3/
π
=
I

Câu 18. Tính tích phân kép

∫∫
+=
D
dxdyyxI
22
trong đó D là hình vành khăn
41
22
≤+≤ yx
.
a)
2/
π
=
I
b)
π
=
I
c)
π
2
=
I
d)
3/14
π
=
I

Câu 19. Xét tích phân bội ba trên hình hộp chữ nhật
212121
;;: czcbybaxa
≤
≤
≤
≤
≤
≤
Ω
.
Công thức nào sau đây đúng?
a)
∫∫∫∫∫∫
=
Ω
2
1
2
1
2
1
)()()(),,(
c
c
b
b
a
a
dzzfdyyfdxxfdxdydzzyxf

b)
∫∫∫∫∫∫
=
Ω
2
1
2
1
2
1
)()()()()()(
c
c
b
b
a
a
dzzhdyygdxxfdxdydzzhygxf

c)
∫∫∫∫∫∫
++=++
Ω
2
1
2
1
2
1

)(
c
c
b
b
a
a
zdzydyxdxdxdydzzyx

d)
∫∫∫∫∫
=
Ω
2
1
2
1
b
b
c
c
ydyxdxxydxdydz

Câu 20. Xác đònh cận của tích phân
∫∫∫
Ω
dxdydzzyxf ),,(
trong đó
Ω
là miền giới hạn bởi các mặt

x = 1, y = 2, z = 1, z = 2, x = 0, y = 0.
a)
∫∫∫
=
2
1
2
1
1
0
),,( dzzyxfdydxI
b)
∫∫∫
=
2
1
2
0
1
0
),,( dzzyxfdydxI

c)
∫∫∫
−
=
2
1
2
0

2
0
),,( dzzyxfdydxI
x
d)
∫∫∫
−−
=
yx
dzzyxfdydxI
21
1
2
0
2
1
),,(

Câu 21. Cho
Ω
là miền
20;4
22
≤≤≤+ zyx
. Tính
∫∫∫
Ω
+
22
yx

dxdydz

a)
π
4
=
I
b)
π
8
=
I
c)
π
=
I
d)
π
2
=
I

Câu 22. Cho miền
Ω
giới hạn bởi các mặt:
.0,4
22
=−−= zyxz
Đặt
∫∫∫

Ω
= dxdydzzyxfI
),,(
.
Chuyển sang tọa độ trụ và xác đònh cận tích phân, ta có
a)
∫∫∫
−
=
4
0
4
0
2
0
),sin.,cos.(
2
dzzrrfdrdI
r
ϕϕϕ
π
b)
∫∫∫
−
=
2
4
0
2
0

2
0
),sin.,cos.(
r
dzzrrfrdrdI
ϕϕϕ
π

c)
∫∫∫
−
=
2
4
0
4
0
2
2
0
),sin.,cos.(sin
r
dzzrrfdrrdI
ϕϕϕϕ
π
d)
∫∫∫
−
=
2

4
0
4
0
2
0
),sin.,cos.(
r
dzzrrfrdrdI
ϕϕϕ
π

Câu 23. Chuyển tích phân sau sang tọa độ trụ
∫∫∫
Ω
+= dxdydzyxI
22
cos
trong đó
Ω
là miền giới hạn bởi
các mặt
22
1 yxz −−=
và z = -8.

Trang 6

a)
∫∫∫

−
−
=
2
1
8
3
0
2
0
cos.
r
rdzrdrdI
π
ϕ
b)
∫∫∫
−
−
=
8
1
3
0
2
0
2
cos.
r
rdzrdrdI

π
ϕ

c)
∫∫∫
−
=
8
1
1
0
2
0
cos. rdzrdrdI
π
ϕ
d)
∫∫∫
−
=
1
8
3
0
2
0
cos. rdzrdrdI
π
ϕ

Câu 24. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác đònh cận tích phân
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI
222
,
trong đó
Ω
là miền
0,4
222
≥≤++ zzyx

a)
∫∫∫
=
ππ
θθϕ
0
2
0
3
2
0
.sin ddrrdI
b)
∫∫∫
=
ππ
θθϕ

0
2
0
2
0
.sin ddrrdI

c)
∫∫∫
=
2/
0
2
0
2
0
.sin
ππ
θθϕ
ddrrdI
d)
∫∫∫
=
2/
0
2
0
3
2
0

.sin
ππ
θθϕ
ddrrdI

Câu 25. Chuyển tích phân sau sang tọa độ cầu và xác đònh cận tích phân
∫∫∫
Ω
+= dxdydzzyxfI ),(
22
, trong đó
Ω
là 1/2 hình cầu
0,
2222
≥≤++ xRzyx

a)
∫∫∫
=
R
dfddI
0
222
2/
0
2
0
)cos,sin(.sin
ρθρθρρθθϕ

ππ

b)
∫∫∫
−
=
R
dfddI
0
222
0
2/
2/
)cos,sin(.sin
ρθρθρρθθϕ
ππ
π

c)
∫∫∫
=
R
dfddI
0
222
00
)cos,sin(.sin
ρθρθρρθθϕ
ππ

d)
∫∫∫
−−
=
R
R
dfddI
ρθρθρρθθϕ
ππ
π
)cos,sin(.sin
222
0
2/
2/

Câu 26. Tính tích phân đường
∫
+=
C
dlyxI )(
, trong đó C có phương trình
.10,1
≤
≤
=
+
xyx

a)

2=I
b)
1
=
I
c)
2/1
=
I
d)
2
=
I

Câu 27. Tính tích phân đường
∫
−=
C
dlyxI )(
, trong đó C có phương trình
.10,1
≤
≤
=
+
xyx

a)
1
=

I
b)
2−=I
c)
0
=
I
d)
2=I

Câu 28. Tính tích phân đường
∫
+=
C
dlyxI )32(
2
trong đó C là đoạn thẳng nối các điểm
A(0, 0) và B(1, 1)
a)
2
=
I
b)
24=I
c)
2=I
d)
22=I

Câu 29. Tính tích phân đường

∫
+=
C
dlyxI )826(
trong đó C là đoạn thẳng có phương trình
0143
=
+
+
yx
nối A(0, –1/4) và B(1, –1)
a) I = –10 b) I = 8 c) I = 10 d) I = –8
Câu 30. Tính tích phân đường
∫
=
C
xydlI
trong đó C là đường biên của hình vuông
.20,20
≤
≤
≤
≤
yx

a) I = 8 b) I = 16 c) I = 24 d) I = 36
Câu 31. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
dyyxydxxxyI
AB
)142()142(

33
−+−++=
∫
lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B.
a) I = 0 b) I = –4 c) I = 3 d) I = –3
Câu 32. Tính tích phân đường
dyyxydxxxyI
AB
)142()142(
33
−+−++=
∫
lấy theo đường x = 2 đi từ
điểm A(2, 1) đến B(2, 0).

Trang 7

a) I = 2 b) I = –2 c) I = 3 d) I = –3
Câu 33. Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường
dyxxydxI
OA
2
2
∫
+=
lấy theo đường x + y = 0 từ gốc toạ độ O
đến A.
a) I = 0 b) I = 1 c) I = 2 d) I = 3
Câu 34. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 1), tính tích phân đường
dyyxydxxxyI

AB
)142()142(
33
−+−++=
∫
lấy theo đường y = 1 đi từ điểm A đến B.
a) I = 0 b) I = -4 c) I = 3 d) I = –3
Câu 35. Cho điểm A(0, 1) và B(1, 0), tính tích phân đường
dyydxxyI
AB
)1()12( −+++=
∫

lấy theo đường y = -x + 1 đi từ điểm A đến B.
a) I = 4 b) I = 3 c) I = 1 d) I = 2
Câu 36. Cho điểm A(-1, 1), tính tích phân đường
dyxxydxI
OA
2
2
∫
+=
lấy theo đường x + y = 0 gốc toạ độ O
đến A.
a) I = 0 b) I = 1 c) I = 2 d) I = 3
Câu 37. Tính tích phân đường
dyyxdxxyI
OA
)3()1(
22

++−=
∫
lấy theo đường y = 2x
2
từ gốc toạ độ O đến
A(1, 2).
a) I = 7 b) I = 9 c) I = 6 d) I = 0
Câu 38. Tính
dyyxxydxI
OA
)23(3
2
−−=
∫
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(–1, –1).
a) I = –1 b) I = 1 c) I = –2 d) I = 2
Câu 39. Tính
dyyxdxyxI
OA
22
)()( ++−=
∫
lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0, 0) đến A(3, 0).
a) I = 9 b) I = 8 c) I = 27 d) I = 18
Câu 40. Cho C là hình tròn x
2
+ y
2
= 9. Tính tích phân đường loại hai
∫

+=
C
xdyydxI

a)
π
6
=
I
b)
π
3
=
I
c)
π
9
=
I
d)
0
=
I

Câu 41. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào các đường trơn từng khúc nối A và B?
a)
∫
−=
AB
dyydxxxI )(

22
b)
∫
+=
AB
dyydxxI
22

c)
∫
−=
AB
dxydyxI
22
d)
∫
+=
AB
dxydyxI
22

Câu 42. Tính tích phân mặt loại một:
∫∫
=
S
dsI
, trong đó S là mặt
20,10,3
≤
≤

≤
≤
=
yxz
.
a) I = 0 b) I = 4 c) I = 6 d) I = 12
Câu 43. Tính:
∫∫
+−=
S
dszyxI )22(
, trong đó S là mặt
20,21,0222
≤
≤
≤
≤
=
−
+
−
yxzyx
.
a) I = 0 b) I = 4 c) I = 12 d)
34=I

Câu 44. Tính tích phân mặt loại một:
∫∫
=
S

dsI
, trong đó S là mặt
20,10,2
≤
≤
≤
≤
=
yxxz
.
a)
5=I
b)
52=I
c)
2=I
d)
22=I

Câu 45. Tính tích phân mặt loại một:
∫∫
=
S
xydsI
, trong đó S là mặt
20,10,2
≤
≤
≤
≤

=
yxxz
.
a)
5=I
b)
52=I
c)
2/5=I
d)
4/5=I

Câu 46. Tính tích phân mặt loại một:
∫∫
=
S
xdsI
, trong đó S là mặt của hình lập phương [0,1]x[0,1]x[0,1].
a) I = 3 b) I = 6 c) I = 9 d) I = 12

Trang 8

Câu 47. Tính tích phân mặt loại một:
∫∫
++=
S
dszyxI )(
, trong đó S là mặt của hình lập phương
[0,1]x[0,1]x[0,1].
a) I = 6 b) I = 9 c) I = 3 d) I nhận giá trò khác

Câu 48. Tính tích phân mặt
∫∫
=
S
zdxdyI
trong đó S là mặt trên của mặt
.2,20,20
=
≤
≤
≤
≤
zyx

a) I = 0 b) I = 4 c) I = 6 d) I = 8
Câu 49. Tính tích phân mặt
∫∫
=
S
zdxdyI
trong đó S là mặt trên của mặt
.1,30,20
=
≤
≤
≤
≤
zyx

a) I = 0 b) I = 3 c) I = 6 d) I = 9

Câu 50. Tính tích phân mặt
∫∫
=
S
dxdyI
trong đó S là mặt đònh hướng với pháp vector đơn vò dương
(2/3, -2/3, 1/3) của mặt
.30,20,122
≤
≤
≤
≤
=
+
−
yxzyx

a) I = 0 b) I = 4 c) I = 6 d) I = 8
Câu 51. Cho S là mặt biên ngoài của miền
Ω
trong R
3
, hãy dùng công thức Gauss – Ostrogradski biến đổi tích
phân mặt sau đây sang tích phân bội 3:
∫∫
++=
S
dydxxdxdzzdzdyyI )(
222

a)
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(
b)
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(2
c)
∫∫∫
Ω
= dxdydzI
d)
0
=
I

Câu 52. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu có thể tích V. Ta có
a)
∫∫
++=
S
dxdydxdzdydzV
b)
∫∫
++=
S
zdxdyydxdzxdydzV

c)

∫∫
++=
S
dxdydxdzdydzV
3
1
d)
∫∫
++=
S
zdxdyydxdzxdydzV
3
1

Câu 53. Cho S là mặt phía ngoài của hình lập phương
Ω
. Đặt
∫∫
++=
S
dxdyzdxdzydydzxI
222

a)
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(
b)
∫∫∫
Ω

++= dxdydzzyxI )(2

c)
∫∫∫
Ω
++= dxdydzzyxI )(3
d)
∫∫∫
Ω
= dxdydzI 6

Câu 54. Cho S là mặt phía ngoài của hình cầu W:
9
222
≤++ zyx
.
Đặt
∫∫
++=
S
dxdyzdxdzydydzzI
333
. Ta có
a)
∫∫∫
=
W
dxdydzI 9
b)
∫∫∫

++=
W
dxdydzzyxI )(3
222

c)
∫∫∫
+=
W
dxdydzzyI )2(3
22
d)
∫∫∫
+=
W
dxdydzzyI )(3
22

Câu 55. Tính tích phân mặt
∫∫
++=
S
ydzdxxdydzzdxdyI )2(
trong đó S là mặt biên ngoài của hình hộp
.30,20,10:
≤
≤
≤
≤
≤

≤
Ω
zyx

a) I = 4 b) I = 6 c) I = 12 d) I = 24
Câu 56. Tính tích phân mặt
∫∫
−+=
S
ydzdxxdydzzdxdyI )33(
trong đó S là mặt biên ngoài của hình trụ
.40,4:
22
≤≤≤+Ω zyx

a)
π
2
=
I
b)
π
8
=
I
c)
π
16
=
I

d)
π
32
=
I

Câu 57. Tính tích phân mặt
∫∫
+−=
S
ydzdxxdydzzdxdyI )(
trong đó S là mặt biên ngoài của hình cầu
.1:
222
≤++Ω zyx

a)
π
=
I
b)
3/4
π
=
I
c)
3/8
π
=
I

d)
π
4
=
I



Trang 9

III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 1. Cho biết một phương trình vi phân nào ñó có nghiệm tổng quát là y = Cx. ðường cong tích phân nào sau
ñây của phương trình trên ñi qua ñiểm A(1, 2)?
a) y = 2 b) y = 3x c) y = 2x d) y = x/2
Câu 2. Hàm số y = 2x + Ce
x
, C là hằng số tuỳ ý, là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân nào sau ñây ?
a) y’ – y = (1 + x)2 b) y’ – y = 2(1-x) c) y’ + y = (1+x)2 d) y’ + y = 2(1-x)
Câu 3. Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
a)
+ + + =
2 2
x (x 1)arctgydx x(1 y )dy 0
b)
+ + + − =
2 2
x (x y)ln ydx (1 y )(x 1)dy 0

c)
+ + + − =

2 2
x (x 1)ln ydx (x y )(x 1)dy 0
d)
+ + + + − =
2 2 2
[x (x y) ]ln ydx (1 y )(x 1)dy 0

Câu 4. Phương trình vi phân nào sau ñây ñược ñưa về dạng phương trình tách biến ?
a)
+ + + − =
2 2
x (x 1)ln ydx (x y )(x y)dy 0
b)
+ − + − =
2 2
x (x y)ln ydx (1 y )(x 1)dy 0

c)
+ + + − =
2 2
x (x y)ln ydx (x y )(x 1)dy 0
d)
+ + − + + =
2 2 2
[x (x 1) ]ln ydx (1 y )(x 1)dy 0

Câu 5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
+
y

y ' 0
x 1

a)
+ =
(x 1)y C
b)
+ + =
(x 1) y C
c)
+ + =
1 2
C (x 1) C y 0
d)
+ + =
2 2
(x 1) y C

Câu 6. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
dx dy
0
sin y cos x

a)
+ =
sin x cos y C
b)
− =
sin x cos y C

c)
+ =
1 2
C sin x C cos y 0
d)
+ =
1 2
C cos x C sin y 0

Câu 7. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
+
−
2
2
dx dy
0
1 x
1 y

a)
+ =
arcsin x arctgy C
b)
− =
arcsin x arctgy C

c)
+ =
arctgx arcsin y C

d)
+ + − =
2
arctgx ln | y 1 y | C

Câu 8. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
2xydx dy 0

a)
+ =
2
x y y C
b)
+ =
2
xy y C
c)
+ =
2xy 1 C
d)
+ =
2
x ln | y | C

Câu 9. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ + =
2
(1 y )dx x ln xdy 0

a)
+ + =
2
(1 y )x x ln x C
b)
+ =
ln | ln x | arcsin y C

c)
+ + =
2
ln | ln x | 1 y C
d)
+ =
ln | ln x | arctgy C

Câu 10. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− + =
2
(1 y )dx x ln xdy 0

a)
+ + =
2
x 1 y xy ln x C
b)
+ =
ln | ln x | arcsin y C

c)

+ − =
2
ln | ln x | 1 y C
d)
+ =
ln | ln x | arctgy C

Câu 11. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình ñẳng cấp?
a)
+ +
=
+
dy 2x 3y 5
dx x 5
b)
+
=
+
2 2
dy x y
dx x y
c)
+
=
2 2
dy x y
dx xy
d)
+
=

+
2 2
2 2
dy x y y x
dx
x y

Câu 12. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân = −
2
2
y y
y '
x
x

a)
−
=
+
x
y
C ln | x |
b) =
+
x
y
C ln | x |
c) =
−
x

y
C ln | x |
d)
−
=
x
y
C ln | x |
.
Câu 13. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
= +
xy ' y x

a)
= +
y x(C ln | x |)
b)
= −
y x(C ln | x |)
c)
= +
y x / (C ln | x |)
d)
= −
y x / (C ln | x |)

Câu 14. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
a)
− + − =
x x x 2

(ye xe )dx (e y sin y)dy 0
; b)
+ + + =
x x x 2
(ye xe )dx (e x sin y)dy 0
;
c)
+ + + =
x y x 2
(ye xe )dx (e y sin y)dy 0
; d)
− + − =
x y x 2
(ye xe )dx (e y sin y)dy 0
.
Câu 15. Phương trình vi phân nào sau ñây là phương trình vi phân toàn phần?
a)
− + − =
(y sin x cos y)dx (cos x x sin y)dy 0
; b)
− − − =
(y sin x cos y)dx (cos x x sin y)dy 0
;
c)
+ + + =
(y sin x cos y)dx (cos x x sin y)dy 0
; d)
+ − − =
(y sin x cos y)dx (cos x x sin y)dy 0
.

Câu 16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
ydx xdy 0

a)
=
xy C
b)
=
y Cx
c)
+ =
x y C
d)
− =
x y C
.

Trang 10

Câu 17. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần
+ + =
x
(y e )dx xdy 0

a)
− =
x
xy e C
b)

+ =
x
xy e C
c)
+ + =
x
x y e C
d)
− + =
x
x y e C

Câu 18. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần
+ + + =
y y
(e 1)dx (xe 1)dy 0

a)
− =
y
xy xe C
b)
+ =
y
xy xe C
c)
+ + =
y
x y xe C
d)

− + =
y
x y xe C
.
Câu 19. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
y
y ' 2 0
x

a)
=
2
C
y
x
. b)
=
3
2C
y
x
. c)
=
C
y
x
d)
= −
C

y
x
.
Câu 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
2
y ' cos x y 0

a)
−
=
tgx
y Ce
b)
=
tgx
y Ce
c)
= +
tgx
y C e
d)
=
C.tgx
y e
.
Câu 21. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− =
y ' 3y 0

a)
−
=
3x
y Ce
b)
= −
3x
y C e
c)
=
3x
y Ce
d)
= +
3x
y C e
.
Câu 22. Phương trình
− =
y ' y cos x 0
có nghiệm tổng quát là:
a)
−
=
cos x
y Cxe
b)
= +
sin x

y Cx e
c)
−
= +
sin x
y C e
d)
−
=
sin x
y C.e .

Câu 23. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− − =
x x
y '(1 e ) e y 0

a)
x x 2
1
y(x e ) e y C
2
− − =
b)
x
C
y
1 e
=
−

c)
= −
x
y C(1 e )
d)
= −
x
y C ln(1 e )
.
Câu 24. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình
+ =
y
y ' 2 4x ln x
x
dưới dạng:
a)
=
2
C(x)
y
x
b)
=
3
C(x)
y
x
c)
=

C(x)
y
x
d)
= −
C(x)
y
x

Câu 25. Trong phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm tổng quát của phg trình
− =
4
y
y ' 3 x ln x
x
dưới dạng:
a)
=
3
C(x)
y
x
b)
= −
3
y C(x) x
c)
= +
3
y C(x) x

d)
=
3
y C(x)x

Câu 26. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− =
2x
y ' 2y e

a)
= − +
2x
y ( x C)e
b)
= +
2x
y (x C)e
c)
= − +
x
y ( x C)e
d)
= +
x
y (x C)e

Câu 27. Xét phương trình vi phân
+ + =
3 2 3 3

(2x x)y dx y x dy 0
(1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân ñưa ñược về dạng tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1; d) (1) là phương trình vi phân Bernoulli.
Câu 28. Xét phương trình vi phân
+ + + =
2 2
(y 3xy)dx (7x 4xy)dy 0
(1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Câu 29. Xét phương trình vi phân
− + − =
2 2
(y 2xy)dx (x 5xy)dy 0
(1). Khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
a) (1) là phương trình vi phân ñẳng cấp; b) (1) là phương trình vi phân tách biến;
c) (1) là phương trình vi phân Bernoulli; d) (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
Câu 30. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− + =
y '' 2y ' 5y 0

a)
= +
2x
1 2
y e (C cos x C sin x)
b)
= +
x

1 2
y e (C cos2x C sin 2x)

c)
= +
1 2
y C cos 2x C sin 2x
d)
= +
x 2x
1 2
y C e C e

Câu 31. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ =
y '' 4y 0

a)
= +
2x
1 2
y e (C cos x C sin x)
b)
= +
x
1 2
y e (C cos2x C sin 2x)

c)
= +

1 2
y C cos 2x C sin 2x
d)
−
= +
2x 2x
1 2
y C e C e

Câu 32. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− =
4y '' 16y 0

a)
−
= +
2x 2x
1 2
y C e C e
b)
= +
2x 2x
1 2
y C e C e

c)
= +
2x
1 2
y e (C cos2x C sin 2x)

d)
−
= +
2x
1 2
y e (C cos 2x C sin 2x)

Câu 33. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
− + =
y '' 22y ' 121y 0


Trang 11

a)
= +
11x
1 2
y e (xC C )
b)
−
= +
11x
1 2
y e (xC C )

c)
= +
11x
1 1 2

y C e (C cos x C sin x)
d)
= +
11x
1 2
y (C C )e

Câu 34. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
+ + =
y '' 4y ' 3y 0

a)
−
= +
x 3x
1 2
y C e C e
b)
− −
= +
x 3x
1 2
y C e C e

c)
−
= +
x 3x
1 2
y C e C e

d)
= +
x 3x
1 2
y C e C e

Câu 35. Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
− + =
x
y '' 2y ' 2y 2e
là
=
2 2
y x e
, nghiệm tổng quát
của phương trình trên là:
a)
= +
2 x x
y x e Ce
b)
=
2 2
y Cx e

c)
= + +
2 x x x
1 2
y x e C e C xe

d)
= + +
2 x x x
1 2
y x e C e C e

Câu 36. Cho biết một nghiệm riêng của
+ = +
y '' y ' 2 sin x 3 cos 2x
là
= − −
y cos 2x x cos x
, nghiệm tổng quát
của phương trình là:
a)
= +
1 2
y C cos 2x C x cos x
b)
−
= + + +
x x
1 2
y cos 2x x cos x C e C e

c)
−
= − − + +
x x
1 2

y cos 2x x cos x C e C e
d)
= − − + +
1 2
y cos 2x x cos x C cos x C sin x

…………………………………………….

ðỀ THI A 3 THAM KHẢO
Thời gian: 60 phút

Câu 1. Tích phân mặt
S
I dxdy
=
∫∫
trong ñó S là mặt dưới của mặt
2
2
y
x 1
9
+ ≤
, z = 2.
A.
I 9
= − π
B.
I 3
= − π

C.
I 3
= π
D.
I 9
= π

Câu 2. Tích phân ñường
C
I ydl
=
∫
trong ñó C có phương trình x + y = 1,
0 x 1
≤ ≤
.
A.
1
I
2
=
B.
3 2
I
2
=
C.
2
I
2

=
D.
I 2
=

Câu 3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
2 2
4x
y 0
(4 x )
′′
− =
+
.
A.
1 2
x 2
y ln C x C
x 2
−
= + +
+
B.
1 2
2
1
y C x C
4 x
= + +
+

C.
2
1 2
y ln(x 4) C x C
= + + + D.
1 2
x
y arctg C x C
2
= − + +
Câu 4. Tính tích phân
D
I dxdy
=
∫∫
trong ñó D là miền giới hạn bởi
2 2
2y x y 4y, x 0
≤ + ≤ ≥
.
A.
3
I
2
π
= B.
I 3
= π
C. I

8
π
= D. I
4
π
=
Câu 5. Cho
Ω
là miền giới hạn bởi
2 2 2
x y , 0 z 3
+ ≤ π ≤ ≤
. Tính
2 2
2 2
cos x y dxdydz
I
x y
Ω
+
=
+
∫∫∫
.
A.
I 9
= π
B.
2
I 4

= π
C.
I 4
= π
D.
I 0
=

Câu 6. Chuyển tích phân sau sang tọa ñộ cầu và xác ñịnh cận của
2 2 2
I (x y z )dxdydz
Ω
= + +
∫∫∫
, trong ñó
Ω
là
miền
2 2 2
1 x y z 4
≤ + + ≤
.
A.
2 4
2
4
0 1 0
I d r dr sin d
π
π

= ϕ θ θ
∫ ∫ ∫
B.
2 2
2
3
0 1 0
I d r dr sin d
π
π
= ϕ θ θ
∫ ∫ ∫

C.
2 2
2
0 1 0
I d r dr sin d
π π
= ϕ θ θ
∫ ∫ ∫
D.
2 2
4
0 1 0
I d r dr sin d
π π
= ϕ θ θ
∫ ∫ ∫

Trang 12

Câu 7. Tính tích phân ñường loại 2
AB
I xdy ydx
= −
∫
trong ñó AB lấy theo ñường
2
2
x
y 1
4
+ =
nằm ở góc phần
tư thứ hai theo chiều dương.
A.
I
2
π
=
B.
I 2
= π
C.
I
= π
D.
I

2
π
= −

Câu 8. Cho hàm
6 5 2
z x y cos x 32y
= − − −
, khẳng ñịnh nào sau ñây ñúng?
A. z có 1 cực ñại và 1 cực tiểu B. z không có ñiểm dừng
C. z ñạt cực tiểu tại N(0;–2) D. z ñạt cực ñại tại M(0; 2)
Câu 9. Tính tích phân
D
1
I dxdy
2
= −
∫∫
trong ñó D giới hạn bởi
2 2
y x , y x 2x
= = − −
.
A.
5
I
6
= −
B.
5

I
6
=
C.
1
I
6
=
D.
1
I
6
= −

Câu 10. Cho ñiểm A(2; 2). Tính tích phân ñường loại 2
2 2
OA
I (2xy 3x 2)dx (2x y y 2)dy
= + + + + −
∫
lấy theo
ñường
2
x
y
2
=
từ gốc tọa ñộ O ñến A.
A.
I 24

=
B.
I 16
=
C.
I 8
=
D.
I 0
=

Câu 11. Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biến
2 2
z x x sin y
= +

A.
2 2 2
d z 2dx 2 sin 2ydxdy 2x sin 2ydy
= + +
B.
2 2
d z 2 cos 2ydxdy 2x sin 2ydy
= −

C.
2 2 2
d z 2dx 2 sin 2ydxdy 2x cos2ydy
= + +
D.

2 2 2 2 2
d z 2dx 2 sin ydx 2x cos 2ydy
= − −

Câu 12. Tìm ñộ dài cung tròn có phương trình
2 2 2
x y 24
+ =
thỏa ñiều kiện
3.x y x
− ≤ ≤

A.
l
= π
B.
l 14
= π
C.
l
2
π
=
D.
l 7
= π

Câu 13. Xét tích phân
I f(x, y, z)dxdydz
Ω

=
∫∫∫
, trong ñó
Ω
là tứ diện ñược giới hạn bởi các mặt phẳng
x 0, y 0,z 0, x y z 1
= = = + + =
. ðẳng thức nào sau ñây ñúng?
A.
1 1 x 1 x y
0 0 0
I dx dy f(x, y, z)dz
− − −
=
∫ ∫ ∫
B.
1 1 y 1 y z
0 0 0
I dy dz f(x, y,z)dx
− − −
=
∫ ∫ ∫

C.
1 1 z 1 x z
0 0 0
I dz dx f(x, y, z)dy
− − −
=
∫ ∫ ∫

D. Các ñẳng thức trên ñều ñúng

Câu 14. Tính diện tích S của mặt
2 2
x x y
= +
,
2 2
x y 1
+ ≤

A.
S 2 2
= π
B.
S 2
= π
C.
S
= π
D.
2 2
S
3
π
=

Câu 15. Trên miền lấy tích phân
D : a x b, c y d
≤ ≤ ≤ ≤

, viết tích phân kép thành tích phân lặp, khẳng ñịnh nào
sau ñây là ñúng?
A.
b d
D a c
f(x y)dxdy f(x)dx f(y)dy
+ = +
∫∫ ∫ ∫
B.
b d
D a c
f(x, y)dxdy f(x)dx f(x, y)dy
=
∫∫ ∫ ∫

C.
b d
D a c
[f(x)g(y)]dxdy f(x)dx g(y)dy
=
∫∫ ∫ ∫
D.
b d
D a c
[f(x) g(y)]dxdy f(x)dx g(y)dy
+ = +
∫∫ ∫ ∫

Câu 16. Cho biết 1 nghiệm riêng của phương trình vi phân
x

y 2y 26y 29e
′′ ′
+ + =
là
x
y e
=
, hãy tìm nghiệm tổng
quát của phương trình?
A.
x x
1 2
y 29e e (C cos 5x C sin 5x)
−
= + +
B.
x x
1 2
y e e (C cos 5x C sin 5x)
−
= + +

C.
x x 5x
1 2
y 29e C e C e
−
= + +
D.
x x 5x

1 2
y e C e C e
−
= + +

Câu 17. Xác ñịnh cận của tích phân
D
I f(x, y)dxdy
=
∫∫
trong ñó D giới hạn bởi các ñường

Trang 13

x 3, x 5, 3x 2y 4 0, 3x 2y 1 0
= = − + = − + =
.
A.
3x 4
5
2
3 3x 1
2
I dx f(x, y)dy
+
+
=
∫ ∫
B.
3x 1

5
2
3 3x 4
2
I dx f(x, y)dy
+
+
=
∫ ∫

C.
2y 4
5
3
3 3y 1
3
I dx f(x, y)dy
−
−
=
∫ ∫
D.
2y 1
5
3
3 3y 4
3
I dx f(x, y)dy
−
−

=
∫ ∫

Câu 18. Tính tích phân mặt loại một
S
I (x y z)dS
= + +
∫∫
trong ñó S là mặt
x y z 1, 0 x 1, 0 y 1
+ + = ≤ ≤ ≤ ≤
.
A.
I 2 3
=
B.
I 2
=
C.
I 3
=
D.
I 3
= −

Câu 19. Cho miền
Ω
giới hạn bởi các mặt
2 2
z 4 x y , z 0

= − − =
. ðặt
I f(x, y, z)dxdydz
Ω
=
∫∫∫
. Chuyển sang
tọa ñộ trụ và xác ñịnh cận tích phân, ta có:
A.
2
2 2 4 r
0 0 0
I d rdr f(r cos , r sin , z)dz
π −
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫ ∫
B.
2
2 4 r 4
0 0 0
I d dr f(r cos , r sin ,z)dz
π −
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫ ∫

C.
2
2 4 4 r
0 0 0
I d rdr f(r cos , r sin , z)dz

π −
= ϕ ϕ ϕ
∫ ∫ ∫
D.
2
2 4 4 r
2
0 0 0
I sin d r dr f(r cos , r sin , z)dz
π −
= ϕ ϕ ϕ ϕ
∫ ∫ ∫

Câu 20. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
2 2
x y 1dx y x 1dy 0
+ + + =
?
A.
(
)
(
)
2 2
ln x x 1 ln y y 1 C
+ + − + + =
B.
2
2
x 1

C
y 1
+
=
+

C.
2 2
x 1 y 1 C
+ + + =
D.
(
)
(
)
2 2
ln x x 1 ln y y 1 C
+ + + + + =

Câu 21. Tìm vi phân cấp một của hàm
z arctg(y x)
= −
.
A.
2
dy dx
dz
1 (x y)
−
=

+ −
B.
2
dx dy
dz
1 (x y)
+
=
+ −
C.
2
dx dy
dz
1 (x y)
−
=
+ −
D.
2
dx dy
dz
1 (x y)
− −
=
+ −

Câu 22. Tính tích phân
2 2
D
I x y dxdy

= +
∫∫
, D là phần hình tròn
2 2
x y 4
+ ≤
thuộc góc phần tư thứ nhất.
A.
2
I
3
π
= B.
4
I
3
π
= C.
3
I
4
π
= D.
8
I
3
π
=
Câu 23. Tính tích phân
S

I (x 2y z)dS
= + +
∫∫
, S là mặt
x 2y z 2 0, x y 1, x 0, y 0
+ + − = + ≤ ≥ ≥
.
A.
6
I
2
=
B.
I 6
=
C.
6
I
4
=
D.
I 2 6
=

Câu 24. Tính tích phân
S
I 3xdxdy 2xdydz ydzdx
= + −
∫∫
, S là mặt bên ngoài của elipsoid

2 2
2
y z
: x 1
4 9
Ω + + ≤
.
A.
I 144
= π
B.
I 32
= π
C.
I 8
= π
D.
I 36
= π

Câu 25. Tính tích phân
S
I zdxdy
=
∫∫
, S là mặt trên của mặt z = 0 ñược giới hạn bởi
x y 1, x 0, 0 y 1
+ ≤ ≥ ≤ ≤

với vector pháp tuyến theo chiều dương.

A.
I 1
=
B.
I 2
=
C.
I 3
=
D.
I 4
=

…………………………Hết……………………….