Luận văn sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân cấp 2 với điều kiện đầu không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LẦU VĂN HIẾU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI TÍCH PHÂN CẤP 2 VỚI
ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LẦU VĂN HIẾU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG
TRÌNH VI TÍCH PHÂN CẤP 2 VỚI
ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Nguyễn Văn Lợi

Hà Nội, 2018

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH. Nguyễn Văn Lợi - Đại học FPT đã
tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập tại Trường.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 7 năm 2018
Tác giả

Lầu Văn Hiếu


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích
với đề tài "Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân cấp
2 với điều kiện đầu không địa phương" được hoàn thành dưới sự
hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Văn Lợi và nhận thức của bản
thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Lầu Văn Hiếu


Mục lục
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . .

4

1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Không gian C k (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.3. Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4. Không gian Sobolev Ws,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Một số kết quả bổ trợ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM

8
12

2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3. Kết quả tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.1. Điều kiện tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3.2. Điều kiện biên không địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.4. Chứng minh Định lý 2.1.1, 2.1.2 và 2.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40


Các kí hiệu

d(x, y)

Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

{xn }∞
n=1

Dãy số xn

C1

Tập tất cả các hàm khả vi liên tục

B (a, r) hoặc Br (a)

Hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, r) hoặc B r (a)

Hình cầu đóng tâm a bán kính r

R
BH

Hình cầu đóng trong H bán kính R

x
supp(φ)

Chuẩn của x
Giá của hàm φ, tức là tập {x ∈ X : φ(x) = 0}


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Đề tài đặt mục tiêu nghiên cứu “Sự tồn tại nghiệm của phương trình
vi tích phân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương” dạng:
utt = cut + bu(t, ξ)

k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))

(*)

Ω

trong đó, Ω ⊂ Rn (n ≥ 2) là một tập mở, bị chặn với biên trơn, b và
c là các hằng số, h : [0, T ] × R → R và k ∈ W 2,1 (Ω × Ω; R) là các hàm
số cho trước.
Phương trình trên mô tả quá trình khuếch tán trong đó toán tử khuếch
tán được đặc trưng bởi thành phần tích phân. Nó đặc trưng cho các quá
trình khuếch tán có nhớ, tức là cần có sự quan sát trong một thời gian
nhất định. Các quá trình khuếch tán kiểu này thường hay gặp trong các
bài toán trong sinh thái học và trong tăng trưởng dân số.
Các nghiên cứu trước đây thường nghiên cứu các quá trình khuếch
tán với điều kiện ban đầu hoặc điều kiện tuần hoàn. Trong luận văn
này, chúng ta đặt mục tiêu nghiên cứu tính giải được của phương trình
ở trên với điều kiện không địa phương. Điều kiện này mở rộng và tổng
quát hơn so với các điều kiện đã được nghiên cứu trước đó.
Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1 . Kiến thức chuẩn bị: trình bày một số khái niệm và kết
quả liên quan tới không gian Hilbert và không gian Sobolev. Bên cạnh
1


đó, một số kết quả về hội tụ yếu cũng được nhắc lại trong chương này.
Chương 2 . Một số định lý tồn tại nghiệm: trình bày các kết quả chính
của luận văn, đó là các định nghĩa tồn tại nghiệm cho phương trình (*)
với điều kiện ban đầu không địa phương.

2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích

phân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương trong giải tích.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân bậc 2
với điều kiện đầu không địa phương của nó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tuần hoàn, bài toán cô-si và bài
toán giá trị trung bình có ít nhất một nghiệm.
• Phạm vi nghiên cứu: Các điều kiện để có sự tồn tại nghiệm của
phương trình vi tích phân bậc 2 với điều kiện đầu không địa phương.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm...
• Phân tích, tổng hợp và trình bày lại các kiến thức liên quan đến sự

2


tồn tại nghiệm của phương trình vi tích phân bậc 2 với điều kiện
đầu không địa phương.

6. Đóng góp của luận văn
Dựa trên tài liệu tham khảo chính là bài báo [3], luận văn đã làm rõ
hơn các định lý tồn tại nghiệm cho phương trình vi tích phân cấp 2 dạng
(*) với điều kiện đầu không địa phương có nghiệm.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế
nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác
giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy
cô và bạn đọc.

3


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng ta trình bày các kiến thức chuẩn bị cần cho
chương 2 như: không gian Hilbert và không gian Sobolev. Các kiến thức
trình bày trong mục 1.1 và 1.2 của chương này được biên soạn dựa trên
các tài liệu [2, 8].

1.1. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian vec tơ E trên trường K ( K = R
hoặc K = C). Một ánh xạ từ E × E vào K, (x, y) → x, y , được gọi là
một tích vô hướng trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) x, x ≥ 0 , ∀x ∈ E
x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(ii) y, x = x, y
y, x = x, y , nếu K = R, ∀x, y ∈ E;
(iii) x + x , y = x, y + x , y , ∀x, x , y ∈ E;
(iv) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ E, α ∈ K.
Từ các tính chất (iii), (iv) ta cũng có
x, y + y = x, y + x, y
4


x, αy = α x, y
Nếu ., . là một tích vô hướng trên E thì ánh xạ x →

x, x là một

chuẩn trên E và gọi là một chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Nếu ., . là một tích vô hướng trên E thì cặp (E, ., . ) gọi là không
gian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vô hướng).
Định nghĩa 1.1.2. Nếu không gian tiền Hilbert E đầy đủ với metric
sinh bởi tích vô hướng trên E được gọi là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.1. Trong không gian C [a, b] các hàm liên tục trên [a, b] thì
ánh xạ
b

(x, y) → x, y =

x (t) y (t) dt
a

là một tích vô hướng. Tuy nhiên, không gian C[a, b]; ·, ·

không phải

là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.1.2. Trong l2 , với x = {λn } , y = {αn } ta định nghĩa
∞

x, y =

λn αn
n=1

thì ., . là một tích vô hướng. Không gian (l2 , ., . ) một không gian
Hilbert.

Định nghĩa 1.1.3. Cho một không gian tuyến tính E, một hàm số f (x)
xác định trên E lấy giá trị là số (thực hay phức) gọi là một phiếm hàm
trên E. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:
(i) f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ E;
(ii) f (αx) = αf (x) , ∀x ∈ E, ∀α ∈ R(C)
5


Và f được gọi là bị chặn nếu có một hằng số C > 0 sao cho
(∀x ∈ E) |f (x)| ≤ C x .
Định nghĩa 1.1.4. (Hội tụ yếu). Ta nói dãy {uk }∞
k=1 ⊂ E hội tụ yếu
tới u ∈ E nếu u∗ , uk → u∗ , u với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn
u∗ ∈ E∗ và kí hiệu uk

u (E∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến

tính bị chặn trên E và gọi là không gian đối ngẫu của E).
Bổ đề 1.1.1. Nếu dãy {uk }∞
k=1 hội tụ yếu tới u trong không gian Hilbert
H thì u ≤ lim

uk hơn nữa vế phải của đẳng thức là hữu hạn.

k→∞

Bổ đề 1.1.2. Giả sử H là không gian Hilbert khả ly. Khi đó, từ một dãy
con bị chặn trong H có thể trích ra một dãy con hội tụ yếu trong H.

1.2. Không gian Sobolev

1.2.1. Không gian C k (Ω)
Cho Ω ⊂ Rn là tập con mở, bị chặn. Kí hiệu:
- C (Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên tục được xác định trên Ω.
- C k (Ω) là tập hợp các hàm trên Ω sao cho đạo hàm cấp k tồn tại và
liên tục.
- C ∞ (Ω) là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn lần trên Ω.
- Cc (Ω) là tập hợp các hàm liên tục và có giá compact trong Ω, trong
đó {x ∈ Ω|u (x) = 0} là giá của hàm u và kí hiệu là supp u.

6


1.2.2. Không gian Lp (Ω)
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một tập đo được Lebesgue trong Rn và µ
là độ đo Lebesgue trên σ- đại số F các tập đo được Lebesgue trên Rn . Với
mỗi p ≥ 1 , kí hiệu Lp (Ω) là tập tất cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc
p trên Ω


p
L (Ω) = f : Ω → R :


Ω



p
|f | dµ < +∞ .


Không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < +∞ là một không gian tuyến tính
định chuẩn đủ (không gian Banach) với chuẩn xác định bởi
 p1


f

p

|f |p dµ .

=
Ω

Ngoài ra, tập Cc (Ω) trù mật trong không gian LP (Ω) , p > 1.
Bổ đề 1.2.1. (Bất đẳng thức Holder). Giả sử p, q > 1 sao cho p1 + 1q = 1.
Khi đó với mọi f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) ta có


 p1 

|f.g|dµ ≤ 

|f |p dµ .

Ω

 1q
|g|q dµ

Ω

Ω

hay ta còn viết
f.g

1

≤ f

p

g

q

1.2.3. Đạo hàm yếu
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) (u, v là các hàm khả tích trên
mọi tập con compact của Ω). Ta nói rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u
7


nếu
uDα φdx = (−1)|α|
với mọi hàm φ ∈

Ω
∞
Cc (Ω).

vφdx
Ω

α

Kí hiệu D u = v, trong đó α = (α1 , α2 , ..., αn ),

|α| = α1 + α2 + ... + αn và
∂ |α| φ
D φ = α1
.
∂x1 ....∂xαnn
α

Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cách
duy nhất (sai khác trên tập có độ đo không).
1.2.4. Không gian Sobolev Ws, p (Ω)
Định nghĩa 1.2.3. Không gian Ws, p (Ω) là không gian bao gồm tất cả
các hàm u (x) ∈ Lp (Ω) sao cho tồn tại các đạo hàm yếu mọi cấp α,
|α| ≤ s, thuộc Lp (Ω) và đươc trang bị bởi chuẩn sau:
 p1

u

Ws, p (Ω)

|Dα u (x)|p dx .

=

(1.1)

|α|≤s Ω

Ta thấy không gian Ws, p (Ω) là không gian Banach với 1 ≤ p < ∞ và
là không gian Hilbert với p = 2. Không gian với chuẩn (1.1) được gọi là
không gian Sobolev.

1.3. Một số kết quả bổ trợ khác
Cho H là không gian Hilbert khả li, nhúng compact trong không gian
Banach E và
w

E

≤ q w với mọi w ∈ H,
8

(1.2)


với q > 0.
H

Trong suốt luận văn này, I = [0, T ]. Cho A ⊂ H, A

là kí hiệu bao

R

kí hiệu hình cầu
đóng của tập A trong không gian H, trong khi đó BH
R
mở BH
= {w ∈ H : w < R}. H ω và ·, · lần lượt biểu thị không gian H

với tô-pô yếu và tích vô hướng trên H.
C 0 (I, H), C 1 (I, H) và L1 (I, H) tương ứng kí hiệu không gian Banach
của tất cả các hàm liên tục x : I → H với chuẩn
x

0

= max x(t) ,
t∈I

không gian Banach của tất cả các hàm với đạo hàm liên tục x : I → H
với chuẩn
x

C1

= max{ x 0 , x

0}

và không gian Banach của các hàm khả tích với chuẩn
T

x

1

=

x(t) dt.
0

Dễ dàng thấy rằng từ {xj } → x0 trong C 1 (I, H) khi j → ∞ suy ra
rằng {xj (t)} hội tụ tới x0 (t) và {xj (t)} hội tụ đến x0 (t) với mọi t ∈ I.
Định lý 1.3.1. (xem [8]) Dãy các hàm liên tục {xn }

x ∈ C(I; H)

(hội tụ yếu tới hàm x) nếu và chỉ nếu:
(i) Tồn tại N > 0 sao cho với mọi n ∈ N và t ∈ I, xn (t) ≤ N ;
(ii) Với mỗi t ∈ I, xn (t)

x(t).

Từ đó suy rằng, nếu {xn }

x ∈ C(I, H) thì {xn }

x ∈ L1 (I, H).

Cho S ⊆ R là một tập hợp con đo được. Một tập con A ⊂ L1 (S, H) được
gọi là khả tích đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho từ Ω ⊂ S và
9

µ(Ω) < δ ta có
với mọi f ∈ A,

f dµ < ε
Ω

trong đó µ là độ đo Lebesgue trên R.
Xét không gian tất cả các hàm x : I → H khả vi với đạo hàm
bâc nhất x liên tục tuyệt đối và đạo hàm bậc hai x thuộc không gian
L1 (I, H). Chúng ta biết rằng (xem [2]) không gian này có thể được đồng
nhất với không gian Sobolev W 2,1 (I, H) và phép nhúng W 2,1 (I, H) →
C 1 (I, H) là liên tục.
Gọi {ei } là một cơ sở trực giao của không gian H. Kí hiệu Hn là
không gian con với cơ sở {e1 , e2 · · · , en }, Pn : H → Hn (n ∈ N) là toán
tử chiếu.
Định lý 1.3.2. Toán tử chiếu Pn : H → Hn thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Pn : H ω → Hn là liên tục;
(ii) Nếu gn

g trong H, thì Pn gn

g trong H.

Chứng minh.
(i) Chúng ta có Pn w =

n
k=1

ek , w ek với mọi w ∈ H. Do đó theo định

nghĩa hội tụ yếu Pn wj → Pn w0 khi wj

w0 .

(ii) Với mỗi w ∈ H, do Pn w → w trong H, nên chúng ta có
Pn gn −g, w = Pn gn −Pn g, w + Pn g−g, w = gn −g, Pn w + Pn g−g, w
= gn − g, Pn w − w + gn − g, w + Pn g − g, w → 0
và từ đây ta thu được điều phải chứng minh.

10


Định lý 1.3.3. (xem [1]) Cho Q là một tập hợp đóng, lồi của không
gian Banach F với phần trong intQ = ∅ và T : Q × [0, 1] → F là ánh
xạ compact với đồ thị đóng sao cho T (Q, 0) ⊂ int Q và T (·, λ) không có
điểm cố định trên biên của Q với mọi λ ∈ [0, 1). Khi đó tồn tại y ∈ F
sao cho y = T (y, 1).
Định lý 1.3.4. (xem [9]) Cho ψ : [0, +∞) → [0, +∞) là một hàm liên
tục và không giảm, với
s2
lim
ds = ∞,
s→∞ ψ(s)

(1.3)

và R là một hằng số dương. Khi đó tồn tại một hằng số dương B sao cho
nếu x ∈ W 2,1 (I, H) thỏa mãn ||x (t)|| ≤ ψ(||x (t)||) với hầu khắp t ∈ I

và ||x(t)|| ≤ R với mọi t ∈ I, thì ||x (t)|| ≤ B với mọi t ∈ I.
Định lý 1.3.5. (xem [5]). Cho g : I × Rp → Rn thỏa mãn:
(i) g(·, w) là đo được với mọi w ∈ Rp ;
(ii) g(t, ·) là liên tục với hầu khắp t ∈ I.
Khi đó, tồn tại một chuỗi giảm các tập con mở {θm } của I sao cho
với mỗi m ∈ N, µ(θm ) <

1
m

và g liên tục trên (I\θm ) × Rp .

11


Chương 2
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ TỒN TẠI
NGHIỆM
2.1. Đặt bài toán
Nội dung chính của chương này là nghiên cứu các điều kiện đủ để
phương trình sau có nghiệm
utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)

k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ)).

(2.1)

Ω

trong đó Ω ⊂ Rn (n ≥ 2) là một miền mở, bị chặn với biên trơn (C 1 -biên),

b và c là hằng số, h : [0, T ]×R → R là hàm liên tục và k ∈ W 2,1 (Ω×Ω; R).
Nếu thành phần chứa tích phân được thay thế bởi toán tử Laplace
thông thường ∆u, thì khi đó tùy theo các giá trị của c và b, (2.1) trở
thành phương trình sóng dao động tắt dần hoặc phương trình điện báo
(telegraph equation) hoặc phương trình Klein-Gordon thương gặp trong
nhiều hiện tượng thực tế. Ví dụ: quá trình truyền sóng điện từ trong môi
trường dẫn điện, sự tiến triển của chất lỏng nhớt đàn hồi theo lý thuyết
Maxwell và truyền nhiệt trong môi trường dẫn nhiệt (xem [6, 7] và các
tài liệu tham khảo trong đó).
Khác với các quá trình khuếch tán cổ điển, toán tử khuếch tán với
thành phần tích phân chứa trong (2.1) mang đến một hiệu ứng có nhớ
trong phương trình. Sự hiện diện của u như một hệ số khuếch tán biến
12


thiên theo thời gian và vị trí.
Chúng ta giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(1) Đạo hàm riêng

∂h
∂z :

[0, T ] × R → R là liên tục và tồn tại hằng số

dương N sao cho
∂h(t, z)
≤ N với mọi (t, z) ∈ [0, T ] × R.
∂z
(2) max{sup(ξ,η)∈Ω×Ω |k(ξ, η)|, sup(ξ,η)∈Ω×Ω Dk(ξ, η)

Rn }

= K < ∞,

trong đó D kí hiệu đạo hàm (hay gradient) theo với vector ξ ∈ Ω.
(3) b ≥ N +

6δK|Ω|, trong đó |Ω| là độ đo Lebesgue của tập Ω và

δ = max |h(t, 0)|.
t∈[0,T ]

Đầu tiên chúng ta nghiên cứu bài toán tuần hoàn



utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)




u(0, ξ) = u(T, ξ)





u (0, ξ) = u (T, ξ).
t
t

k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))
Ω

(2.2)

Sau đó là bài toán Cô-si đa điểm



utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ)





k


u(0, ξ) =
αi u(ti , ξ)

i=1



k





βi u(ti , ξ)
u(T, ξ) =

k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))
Ω

(2.3)

i=1

với αi , βi ∈ R, i = 1, . . . , k, ở đây 0 ≤ t1 < · · · < tk ≤ T.

13


Cuối cùng là bài toán giá trị trung bình



utt = cut + bu(t, ξ) + u(t, ξ) k(ξ, η)u(t, η)dη + h(t, u(t, ξ))



Ω


T
1
u(0, ξ) =

p1 (t)u(t, ξ) dt

T

0



1 T

u(T, ξ) =
p2 (t)u(t, ξ) dt
T 0

(2.4)

với p1 , p2 ∈ L1 ([0, T ], R).
Trong hai bài toán sau cùng, chúng ta cần giả sử thêm rằng:
(4)
(5)

k
i=1 |αi |

p1

≤ 1 và

L1 ([0,T ],R)

T

k
i=1 |βi |

≤ 1 và

p2

≤ 1.

L1 ([0,T ],R)

T

≤ 1.

Lưu ý rằng trong tất cả các bài toán (2.2), (2.3) và (2.4), chúng ta
có thể giả định rằng u đáp ứng điều kiện Dirichlet theo biến x, tức là
u/∂Ω = 0.
Dưới đây là các kết quả chính của luận văn:
Định lý 2.1.1. Với các giả thiết (1) - (3) bài toán (2.2) có ít nhất một
nghiệm.
Định lý 2.1.2. Với các giả thiết (1) - (4) bài toán (2.3) có ít nhất một
nghiệm.
Định lý 2.1.3. Với các giả thiết (1) - (3) và (5) bài toán (2.4) có ít
nhất một nghiệm.

2.2. Bài toán tổng quát
Đặt H = W 1,2 (Ω, R) và E = L2 (Ω, R). Ta biết rằng H là một không

gian Hilbert khả li và nhúng compact vào không gian E. Kí hiệu
14

·

2


là chuẩn trong E, với mọi w ∈ H chúng ta đặt
w

H

w2 (ξ) + Dw(ξ)

=
Ω

2
Rn

dξ =

2
2

w

+ Dw

2
2

1
2

.

Với mỗi giá trị t ∈ [0, T ], xác định hàm số x : [0, T ] → H bởi x(t) =
u(t, ·). Khi đó, chúng ta có thể thay thế (2.1) bởi phương trình
x (t) = F (t, x(t), x (t)), với hầu khắp t ∈ [0, T ],

(2.5)

trong đó F : [0, T ] × H × H → H, F (t, w, v) = cv + bw + g(w) + h(t, w)
với
g:

→ H,

H

g(w)(ξ) = w(ξ)

k(ξ, η)w(η) dη,
Ω

h:

[0, T ] × H → H, h(t, w)(ξ) = h(t, w(ξ)).

Ánh xạ F : [0, T ]×H ×H → H hoàn toàn xác định. Thật vậy cho w ∈ H
g(w)

2
H

= g(w)

2
2

+ Dg(w) 22 .

Theo điều kiện (2) chúng ta có
2

g(w)

2
2

=

w(ξ)
Ω

k(ξ, η)w(η) dη

dξ ≤ K|Ω| w 42 .

Ω

Mặt khác,
Dg(w)(ξ) = Dw(ξ)

k(ξ, η)w(η) dη +w(ξ)
Ω

Dk(ξ, η)w(η) dη ,
Ω

với hầu khắp ξ ∈ Ω.
Do đó, một lần nữa từ (2) suy ra g(w) ∈ H.
Để chứng minh rằng hàm h cũng là xác định, trước hết, chú ý rằng,
nếu chúng ta kí hiệu h2 (t, z) =

∂h(t,z)
∂z ,

thì từ (1) suy ra

|h(t, z)| = |h(t, 0) + h2 (t, η) z| ≤ |h(t, 0)| + N |z|,
15

(2.6)


với mọi (t, z) ∈ [0, T ] × R, ở đây η là một số giữa 0 and z. Ngoài ra,
Dh(t, w(ξ)) = h2 (t, w(ξ))Dw(ξ) với hầu khắp ξ ∈ Ω.

Kết hợp với điều kiện (1) ta thu được h(t, w) ∈ H với mọi t ∈ [0, T ] và
w ∈ H.

2.3. Kết quả tổng quát
Trước hết chúng ta xét bài toán tổng quát với điều kiện tuần hoàn
và điều kiện biên không địa phương.
2.3.1. Điều kiện tuần hoàn
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu bài toán:




x (t) = f (t, x(t), x (t)), với hầu khắp t ∈ [0, T ],



x(0) = x(T ),





x (0) = x (T )

(2.7)

với các giả thiết:
(F 1) Với mọi x, y ∈ H hàm f (·, x, y) : I → H là đo được;
(F 2) Với hầu khắp t ∈ I ánh xạ f (t, ·, ·) : H × H → H là liên tục từ
(H × H) đến H ω ;

(F 3) Với hầu khắp t ∈ I ánh xạ f (t, ·, ·) : H × H → H là liên tục trong
tô-pô của không gian E;

16


(F 4) Tồn tại một hằng số dương R và một hàm liên tục, không giảm
β : [0, +∞) → [0, +∞) thỏa mãn (1.3) sao cho
f (t, x, y) ≤ β( y ) với hầu khắp t ∈ I, và x, y ∈ H với x ≤ R.
(2.8)
Nghiệm của bài toán (2.7) là hàm số x ∈ W 2,1 (I, H) sao cho
x(0) = x(T ), x (0) = x (T )
và x (t) = f (t, x(t), x (t)) với hầu khắp t ∈ I.
Định lý 2.3.1. Giả sử các điều kiện (F 1) − (F 4) thỏa mãn. Ngoài ra,
giả sử rằng với hầu khắp t ∈ I, với mọi x, y ∈ H sao cho x = R và
x, y = 0 ta luôn có bất đẳng thức
x, f (t, x, y) + y

2

≥ 0.

(2.9)

R.
Khi đó bài toán (2.7) có nghiệm với giá trị trong BH

Chứng minh Định lý 2.3.1 dựa trên các kết quả sau đây.

Bổ đề 2.3.1. Cho hàm g ∈ L1 ([0, T ], Rn ×Rn ) và ma trận A = 

0 I
I 0

trong đó I kí hiệu ma trận đơn vị trong không gian Rn , bài toán


z (t) + Az(t) = g(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]


,

(2.10)


z(0) = z(T ),
có một nghiệm duy nhất được cho bởi
T
At

AT −1

z(t) = e (Id − e

t
A(T −s)

)

e

eA(t−s) g(s)ds,

g(s)ds +

0

(2.11)

0

trong đó eAt kí hiệu nửa nhóm sinh bởi ma trận A và Id kí hiệu toán tử
đồng nhất trong không gian Rn × Rn .
17


Chứng minh. Theo định nghĩa của ma trận A, bài toán đồng nhất chỉ
có nghiệm tầm thường (nghiệm 0). Do toán tử tuyến tính Id − eAT khả
nghịch nên ta dễ dàng thu được kết quả.
Bổ đề 2.3.2. Cho hàm f ∈ L1 ([0, T ], Rn ), hàm số x ∈ W 2,1 ([0, T ]; Rn )
là nghiệm của bài toán




x (t) − x(t) = f (t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]



x(0) = x(T ),






x (0) = x (T ).
khi và chỉ khi hàm vector z : [0, T ] → Rn × Rn , z(t) = (x(t), x (t)) là một
nghiệm của bài toán tuần hoàn (2.10) với g(t) = (0, f (t)).
Chứng minh Định lý 2.3.1. Trước tiên, chúng ta xét hàm số ψ : [0, +∞) →
[0, +∞) được xác định bởi ψ(s) = 2β(s) + R + 1, trong đó β và R là
hàm số và hằng số dương xác định trong điều kiện (F 4). Do β là hàm
liên tục và không giảm, hàm ψ cũng là liên tục và không giảm và tồn tại
giới hạn lim β(s) = l ∈ (0, ∞). Từ đó, kết hợp với điều kiện (F 4) ta có
s→∞

s2
s2
= lim
s→∞ ψ(s)
s→∞ β(s)(2 +
lim

R+1
β(s) )

= +∞,

cho cả khi l là hữu hạn hoặc vô hạn. Do đó theo định lý 1.3.4 tồn tại
một hằng số B > 0 sao cho mỗi hàm số x ∈ W 2,1 (I, H) với ||x (t)|| ≤
ψ(||x (t)||) hầu khắp t ∈ I và ||x(t)|| ≤ R cho mọi t ∈ I, thì ||x (t)|| ≤ B

với mọi t ∈ I.

18


Bước 1. Với mỗi n ∈ N, xét bài toán




x (t) = Pn f (t, x(t), x (t)), với hầu khắp t ∈ I,



x(0) = x(T ),





x (0) = x (T ).

(2.12)

Chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán (2.12) có nghiệm trong tập
Qn = {q ∈ C 1 (I, Hn ) : q(t) ≤ R, q (t) ≤ 2B với mọi t ∈ I}, (2.13)
trong đó R > 0 và B > 0 được định nghĩa như trên.
Cố định ∈ (0, R). Khi đó, tồn tại hàm liên tục µ : H → [0, 1] sao
cho µ ≡ 0 trên {w ∈ H : w ≤ R − hoặc w ≥ R + } và µ ≡ 1 trên
{w ∈ H : R −

2

≤ w ≤ R + 2 }. Từ đó suy ra, hàm φ : H → H được

định nghĩa bởi

 µ(w)
φ(w) =
0

w
w

R− ≤ w ≤R+

(2.14)

các trường hợp còn lại

là hoàn toàn xác định, liên tục, bị chặn trên H và φ(w) ≤ 1 với mọi
w ∈ H.
Từ định lý 1.3.2, Pn : H ω → Hn là liên tục và f thỏa mãn (F 1) −
(F 4), nên hạn chế Pn f /Hn ×Hn : I × Hn × Hn → Hn thỏa mãn (i), (ii) của
Định lý 1.3.5. Từ đó suy ra tồn tại một dãy giảm của tập con mở {θm }
của I sao cho µ(θm ) <

1
m

và Pn f liên tục tục trên (I\θm ) × Hn × Hn với

mọi m ∈ N.

19