SLIDE CHƯƠNG 5 LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG : PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

CHƯƠNG 5:
PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ
CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
TỰ ĐỘNG

4/22/2019
Automatic Control Systems

1


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Nội dung
5.1 Đáp ứng tần số
5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.3. Đặc tính miền tần số
5.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số
5.4 Độ dự trữ biên độ và độ dự trữ pha

4/22/2019
Automatic Control Systems

2


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.1 Đáp ứng tần số

Xét một hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian (LTI) có hàm truyền đạt G(s)

Hàm đáp ứng tần số

r(t) = Rsinωt

G  j   G ( s ) |s  j

y(t)
G(s)

G(jω) là một hàm phức theo tần số, do đó

G  j   ReG  j  j ImG  j   G  j  G  j  Trong đó

G  j  

ReG ( j2  ImG ( j2 ,   G  j   tan 1 ImG ( j
ReG ( j

Định lý: Nếu hệ thống ổn đinh tiệm cận (i.e., tất cả các cực của G(s) có phần thực âm)
và với tín hiệu vào r(t) = Rsinωt, thì đáp ứng đầu ra y(t) ở trạng thái xác lập có dạng

ys (t )  G  j  R sin t   ,   G ( j )
Chứng minh:
Vì
Do đó

r (t )  R sin t  R ( s )  Lr (t ) 
Y(s)  G(s)R(s) 

4/22/2019
Automatic Control Systems

R
G(s)
2
2
s 

R
s2   2

3


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.1 Đáp ứng tần số
Chứng minh: (cond’t)
Giả thiết G(s) chỉ có n điểm cực si, i = 1, 2, …, n, khi đó Y(s) có thể được biểu diễn như
sau:
n

Y(s) 

RG(s)
a1
a2
bi





s 2  2 s  j s  j i 1 s  si

 y (t )  L Y ( s)  a1e
1

n
j t

 a2 e

 j t

  bi e sit  ys (t )  yt (t )
i 1

Bởi vì hệ thống ổn định tiệm cận, tất cả các điểm cực si có phần thực âm.
n

Do đó:

lim y t (t)  lim  bi esi t  0

t 

t 

i 1

 j t
 a 2 e j t
Đáp ứng ở trạng thái xác lập: ys (t)  a1e

Trong đó a1 và a2 được xác định bởi
a1 
a2 

RG ( s )
R


s

j



G  j ,
s2   2
2
j
s   j
RG ( s )
R


s


j


G  j 
2
2
s 
2j
s  j

4/22/2019
Automatic Control Systems

Nếu G(s) có k điểm cực bội sj, thì
k

yt (t )   b j t

j 1 s j t

e 

j 1

n

b e

si t

i

i  k 1

 lim yt (t )  0
t 

4


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.1 Đáp ứng tần số
Chứng minh: (cond’t)
Giả sử G  j   G  j  e j
 a1  

G ( j ) R
2j

 G  j   G  j  e  j

e  j , a2 

G ( j ) R
2j

e j

e j t    e  j t  
 y s (t )  G ( j ) R
 G ( j ) R sin t   
2j

4/22/2019
Automatic Control Systems

5


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.1 Đáp ứng tần số
Ex. 5.1. Tìm hàm đáp ứng tần số ở trạng thái xác lập của hệ thống sau

10
1  0.1s 2

Phương trình đáp ứng tần số

G  j   G  s  s  j 

10

1  0.1 j 2



10

1  j 0.2  0.01 2



G  j   5

j
10

  j5  5e 2
1  j2  1



 ys (t )  G ( j ) R sin t     25sin 10t  
2


4/22/2019
Automatic Control Systems

6


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Đồ thị cực của hàm G(jω) là đồ thị của biên độ của G(jω)
theo góc pha của G(jω) trong hệ tọa độ cực với   0,   

Phát họa (bằng tay) đồ thị cực
•

Điểm xuất phát của đồ thị tại điểm ω = 0

•

Đồ thị kết thúc tại điểm ω = ∞

•

Đồ thị cắt trục thực tại điểm ứng với Im{G(jω)} = 0

•

Đồ thị cắt trục ảo tại điểm ứng với Re{G(jω)} = 0

•

Tính toán |G(jω)| và ϕ tại các giá trị đặc biệt của ω nếu cần thiết

4/22/2019
Automatic Control Systems

H. Nyquist
(1889-1976)

7

CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Ex. 5.2. Xây dựng đồ thị cực của hệ thống có hàm truyền đạt
G(s) 

1
1  Ts

Ta có

G ( j ) 

1
1  jT
1
T
1



j


2
2
2
2

1  jT 1  T  1  T 
1  T 
1  T 

Trong đó

  tan 1

4/22/2019
Automatic Control Systems

ImG ( j )
  tan 1 T 
ImG ( j )

8


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Ex. 5.2. (cond’t)
1
 1,    tan 1 0  0
1 0
1
G ( j ) 
 0,    tan 1    900
1 

•

Điêm thứ nhất tại ω = 0: G ( j ) 

•

Điểm thứ hai tại ω = ∞:

•

ImG ( j )  0    0 and    .

•

ReG ( j )  0    

•

Điểm thứ 3 tại ω = 1/T:
1
1
G ( j ) 

,
11
2
   tan 1 1  450

  450

G  1/ 2

Matlab
num = [1];
den = [T 1];

G = tf(num,den);
nyquist(G);

4/22/2019
Automatic Control Systems

Note: Hàm nyquist cung cấp một đồ thị cực đầy
đủ, ứng với ω thay đổi từ - ∞ to +∞
9


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Đồ thị cực cũng có thể được xây dựng bằng cách xác định phần thực của G(jω)
(i.e., Re{G(jω)}) và phần ảo của G(jω) (i.e., Im{G(jω)}) theo ω trong mặt
phẳng phức của G(jω).

4/22/2019
Automatic Control Systems

10

CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Ex. 5.3. Xây dựng đồ thị cực của hàm truyền đạt

 G ( j  )  G ( s ) s  j 

10
G (s) 
s s  1

10
10
10
 2
j
j  j  1
 1   2 1





• Tại ω = 0:

ReG ( j )  10, ImG ( j )  
• Tại ω = ∞:

ReG ( j )  0, ImG ( j )  0
• Tại ω = 1:

ReG ( j )  5, ImG ( j )  5
4/22/2019
Automatic Control Systems

11


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.2.1 Đồ thị cực (Nyquist)
Ex. 5.4. Xây dựng đồ thị cực của hàm truyền đạt
 G ( j )  G ( s ) s  j

5
4 s 2  5s  1
5
5  20 2
25



j
 4 2  j 5  1 16 4  17 2  1 16 4  17 2  1
G (s) 

• Tại ω = 0: ReG ( j )  5, ImG ( j )  0
• Tại ω = ∞: ReG ( j )  0, ImG ( j )  0
5
• ReG ( j )  0   
 0.5  ImG ( j )  2
20
ImG
• Tại ω = 0.1:
-1 0 ω = ∞
ReG ( j )  4.1
ImG ( j )  2.13
ω=1
• Tại ω = 1:
-2 ω = 0.5
ReG ( j )  0.44
ImG ( j )  0.735
4/22/2019
Automatic Control Systems

ω=0
5

ReG

ω = 0.1

12


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2.2 Đồ thị Bode

5.2 Đồ thị miền tần số

Đồ thị Bode của G(jω) bao gồm 2 đồ thị:
• Đồ thị biên độ: Đồ thị của L(ω) = 20log|G(jω)| (dB) theo
logω (logarithm cơ số 10 trong Matlab) hoặc ω
• Đồ thị góc pha: Đồ thị của  ( )  G ( j ) (degree) theo
logω hoặc ω

4/22/2019
Automatic Control Systems

13


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2.2 Đồ thị Bode

5.2 Đồ thị miền tần số

Ex. 5.5. Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = K.
G ( j )  G ( s ) s  j   K

 L( )  20 log G ( j )  20 log K
 0  0

K

   180

 ( )  tan -1 

4/22/2019
Automatic Control Systems

K 0
K 0

14


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.2 Đồ thị trong miền tần số
5.2.2 Đồ thị Bode
Ex. 5.6. Xây dựng đồ thị Bode của G ( s )  s  n

G ( j )  G ( s ) s  j    j  

n

 L( )  20 log G ( j )  20n log 

 ( )   j    n  900
n

Ví dụ:

n = 1:

L( )  20 log   slope 

d L( ) 
 20 dB/decade
d log  

    900

4/22/2019
Automatic Control Systems

15


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.7. Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = 1 + sT
 
G ( j )  1  jT  L( )  20 log G ( j )  20 log 1   
 c 

 ( )  tan 1
• ω << ωc:


c

2

Trong đó ωc = 1/T: tần số góc

L( )  20 log 1  0;  ( )  tan 1 0   00

2

dL 


L( )  20 log     20 log  slope 
 20 dB/dec
• ω >> ωc:
 c 
c
d log 
 ( )  tan 1 ()  900

• ω = ωc:

L( )  20 log 2  3 dB;  ( )  tan 1 (1)  450

4/22/2019
Automatic Control Systems

16


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.8. Xây dựng đồ thị Bode của G(s) = 1/(1 + sT)
 
 L( )  20 log G ( j )  20 log 1   
 c 

1
1
T
G ( j ) 


j
1  jT 1  (T ) 2
1  (T ) 2

 ( )   tan 1

• ω << ωc:
• ω >> ωc:

2


c

L( )  20 log 1  0;  ( )   tan 1 0  00
2

dL 



L ( )  20 log     20 log  slope 
 20 dB/dec
 c 
c
d log 

 ( )   tan 1 ()  900

• ω = ωc:

L( )  20 log 2  3 dB;  ( )   tan 1 (1)  450

10
0
0
-3
-45

-10

slo
p

-20
-30
0.1

4/22/2019
Automatic Control Systems

1

ωc
ω (rad/s)

e=

-20

10 10ωc

-90

dB
/de
c

100

-135
0.1

0.1ωc

1

ωc
ω (rad/s)

10 10ωc

100

17


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.9. Xây dựng đồ thị Bode của khâu dao động bậc 2:

n2
G(s)  2
s  2n s  n2

n2
1
 G ( j ) 

 j 2  j 2n  n2 1   n 2  j 2  n 



 ( )  G ( j )   tan 1

• ω << ωn:
• ω >> ωn :

  4

2 2

 L( )  20 log G ( j )  20 log 1   n 

2

 n 2

2  n 
2
1   n 

L( )  20 log 1  0;  ( )   tan 1 0  00
4

dL 


L( )  20 log     40 log
 slope 
 40 dB/dec
 n 
n
d log 

 ( )   tan 1 (0)  1800

• ω = ωn :

L( )  20 log 4 2  20 log 2 ;

 ( )   tan 1 ()  900

Note. Tần số góc: ωc = ωn
4/22/2019
Automatic Control Systems

18


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.9. (cond’t)

=
pe
slo
-4 0
dB
c
/de

Matlab: Đồ thị Bode cho Ex. 5.9 khi ζ = 0.5 and ωn = 1 có được bằng cách sử dụng hàm
“bode” trong Matlab
num = [1];
den = [1 1 1];

G = tf(num,den);
bode(G);

4/22/2019
Automatic Control Systems

19


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.10. Xây dựng đồ thị Bode của hệ thống có hàm truyền đạt sau
G(s) 

5( s  10)
( s 2  s  1)( s  5)

Ta biểu diễn G(s) như sau:

s 

101  
 10 
G(s) 
 G1 ( s)G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s)
 s
2
s  s  1 1  
 5



Với :

G1 ( s )  10, G2 ( s ) 

4/22/2019
Automatic Control Systems



1
1
,
G
(
s
)

, G4 ( s)  1  s 10 ,
3
1 s 5
s2  s  1

20


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

s 

101  
 10 

G(s) 
 G1 ( s )G2 ( s)G3 ( s )G4 ( s )
s


s 2  s  1 1  
 5



Biên độ:



L( )  20 log G ( j )  20 log G1 ( j ) G2 ( j ) G3 ( j ) G4 ( j )
 20 log G1 ( j )  20 log G2 ( j )  20 log G3 ( j )  20 log G4 ( j )
 L1 ( )  L2 ( )  L3 ( )  L4 ( )

Góc pha:

 ( )  G ( j )  G1 ( j )  G2 ( j )  G3 ( j )  G4 ( j )
 1 ( )  2 ( )  3 ( )  4 ( )

Chú ý rằng tần số góc của G2(jω), G3(jω), and G4(jω), lần lượt là ωc2 = 1, ωc3 = 5, và ω4
= 10
4/22/2019
Automatic Control Systems

21

CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

Ex. 5.10. (cond’t)

4/22/2019
Automatic Control Systems

ϕ(ω) (degree)

|G(jω)| (dB)

Sử dụng kết quả từ ví dụ Ex.5.5, Ex.5.7-Ex.5.9 để xây dựng từng thành phần
các đường cong của Li và ϕi
Đồ thị Bode đầy đủ có được bằng cách cộng các đường cong thành phần lại với
nhau từng điểm

22


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.3 Đặc tính tần số
5.3.1 Đỉnh cộng hưởng Mr và tần số cộng hưởng r (Resonant Peak)

Đỉnh cộng hưởng Mr : là giá trị lớn nhất của biên độ |M(jω)|.
Tần số cộng hưởng r: tần số tại vị trí đỉnh cộng hưởng.

4/22/2019
Automatic Control Systems

23


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.3 Đặc tính tần số
5.3.1 Đỉnh cộng hưởng Mr và tần số cộng hưởng r (Resonant Peak)

Mr tương ứng độ quá điều chỉnh trong miền thời gian, thể hiện tính
ổn định tương đối của hệ thống.
Thực nghiệm: giá trị Mr mong muốn: 1.1 < Mr < 1.5

4/22/2019
Automatic Control Systems

24


CHƯƠNG 5: PHÂN TÍCH ĐẶC TÍNH TẦN SỐ

5.3 Đặc tính tần số
5.3.2 Độ rộng băng thông BW (Band Width )

Độ rộng băng thông BW là tần số mà tại đó biên độ |M(jω)| giảm
xuống 70,7% hoặc 3dB so với giá trị tần số không.

4/22/2019
Automatic Control Systems

25