Tải bản đầy đủ (.pdf) (121 trang)

(Luận án tiến sĩ) Bài toán tựa cân bằng dạng Blum Oettli tổng quát và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (531.97 KB, 121 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————————————

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỲNH HOA

BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2019


i



Lời cam đoan
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tôi xin cam đoan đây là công trình của tôi. Các kết quả đưa vào luận án đều được
sự đồng ý của các đồng tác giả là GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn và PGS.TS. Nguyễn
Bá Minh. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Quỳnh Hoa


ii

Lời cảm ơn
Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của
mình. Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn và luôn động viên, khích lệ tác giả trong
suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, cùng các thầy, các cô tham gia
giảng dạy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó,
tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản và
Bộ môn Toán của trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh - Đại học Thái
Nguyên đã luôn tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể học tập và hoàn thành
luận án của mình.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các
anh chị em nghiên cứu sinh đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập, nghiên cứu và làm luận án.
Tác giả


Nguyễn Quỳnh Hoa


iii

Mục lục
Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

vi

Mở đầu

1

Chương 1. Kiến thức cơ bản

7

1.1 Không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . 12
1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1 Các khái niệm cơ bản về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Ánh xạ đa trị và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục . . . 27
Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát

32

2.1 Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát . . . . . . . . . . 34
2.2 Bài toán với hàm mục tiêu là tích Đề các của hai ánh xạ . . . . . . . . 53
Chương 3. Một số bài toán liên quan
3.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I

73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


iv

3.3 Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Kết luận chung và kiến nghị

104


Tài liệu tham khảo

106


v


vi

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

R

tập hợp các số thực

R+

tập các số thực không âm

2X

tập các tập con của tập hợp X

X∗

không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X

p, x


giá trị của p ∈ X ∗ tại x ∈ X

F : X → 2Y

ánh xạ đa trị từ tập Xvào tập Y

Gr(F )

đồ thị của hàm F

dom(F )

miền xác định của hàm F

F −1

hàm ngược của hàm F

u.s.c

nửa liên tục trên

l.s.c

nửa liên tục dưới

∀x

với mọi x


∃x

tồn tại x



tập rỗng

{xα }

dãy suy rộng

coA

bao lồi của tập hợp A

coneA

bao nón lồi của tập hợp A

clA, A¯

bao đóng tôpô của tập hợp A

intA

phần trong tôpô của tập hợp A



vii

A⊆B

A là tập con của B

A∪B

hợp của hai tập hợp A và B

A∩B

giao của hai tập hợp A và B

A×B

tích Đề các của hai tập hợp A và B

A\B

hiệu của hai tập hợp A và B


1

Mở đầu
Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các
ngành khoa học, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại?
Tồn tại như thế nào?
Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với bài toán tồn tại

hay không tồn tại nghiệm của phương trình. Bài toán này được phát biểu như sau:
Tìm x ∈ D sao cho
F (x) = 0,

(1)

trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào
không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử.
Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao
cho
f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D,

(2)

trong đó, D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian
các số thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu.
Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào
giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây
dựng lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được
gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý
thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý
thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác
lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược
lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f , bài toán (2)


2

tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
x = PD (x − f (x)),

với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) =
PD (x − f (x)) − x. Bằng cách đặt này, ta có bài toán (2) tương đương với bài toán
(1).
Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc
tính hàm số f và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không
gian Euclid n chiều Rn , bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947,
G. B. Dantzig [21], nhà toán học Mỹ đã tìm ra thuật toán đơn hình để giải bài
toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian Rn và f là hàm lồi thì (2) được
gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, R. T.
Rockaffelar [66] đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải
tích lồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz
địa phương và D là tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau
những năm 1970, nhà toán học Mỹ, F. H. Clarke [20] đã xây dựng dưới vi phân của
hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quy hoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm
liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toán quy hoạch liên tục. Những
năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, V. Jeyakumar và D. T.
Luc [38] đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục.
Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia [44] đã đưa ra bài toán bất
đẳng thức biến phân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian Rn , T : D → Rn .
Tìm x ∈ D sao cho
T (x), x − x ≥ 0, với mọi x ∈ D.

(3)

Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng
quát: Tìm x ∈ D sao cho
T (x), x − x + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D,

(4)


trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối


3

ngẫu của X, T : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực.
Năm 1994, Blum và Oettli [14] đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh
xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho
f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D.

(5)

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng định lý
về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất
động Browder.
Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân,
bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những
trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm
tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước
cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ.
Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng
được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được
gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân
bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các
tác giả N. X. Tan và N. B. Minh [49], Bailaij và D. T. Luc [11], N. X. Tan và P. N.
Tinh [61], P. H. Sach và L. A. Tuan [56], N. X. Hai và P. Q. Khanh [34], L. J. Lin
và N. X. Tan [43], T. T. T. Duong và N. X. Tan [24], B. T. Hung và N. X. Tan [37],
N. T. Q. Anh và N. X. Tan [8], ... đã phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự
tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là những ánh xạ đa trị.
Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ,

ánh xạ đa trị đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y . Tìm x ∈ D
sao cho
0 ∈ F (x),

(6)

trong đó, X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là
một tập con của X. Bài toán (6) được gọi là bài toán cân bằng tổng quát hay còn
được gọi là phương trình đa trị.


4

Trong thực tế, nhiều khi miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc bởi một ánh xạ,
P : D → 2D . Khi đó, ta cần xét bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
i) x ∈ P (x);

(7)

ii) 0 ∈ F (x).
Bài toán (7) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Điều kiện đủ cho sự tồn
tại nghiệm của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên
tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact và F là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi,
compact.
Trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm
của bài toán tựa cân bằng tổng quát qua việc giảm nhẹ tính liên tục của các ánh
xạ P, F . Tức là, cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z, các ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F :
D × K → 2Y . Ta xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
i) x ∈ P (x, y);

ii) y ∈ Q(x, y);

(8)

iii) 0 ∈ F (x, y).
Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu.
Ta thấy, nếu đặt D = D × K, P = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán
(7).
Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà
ta đã biết như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến
phân,... Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được nhiều tác giả
nghiên cứu như L. J. Lin và S. Park [42], M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park [19], S.
Park [54], J. W. Peng và D. L. Zhu [55], ... Đặc biệt, các tác giả D. T. Luc và N.
X. Tan [46], L. J. Lin và N. X. Tan [43], T. T. T. Duong và N. X. Tan [24], B. T.
Hung và N. X. Tan [37], N. T. Q. Anh và N. X. Tan [8] xét trong trường hợp P là
ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả các ánh
xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng.


5

Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu là
dạng tổng của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài
toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho
1) x ∈ P (x, y);
2) y ∈ Q(x, y);
3) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y),
với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân
bằng dạng Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những
bài toán dạng Blum - Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng

của hai ánh xạ như N. X. Tan và P. N. Tinh [61], T. Y. Fu [31], G. Kassay và M.
Miholca [40], G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh [41],... với điều kiện dặt trên
mỗi ánh xạ là khác nhau.
Mục tiêu của luận án là:
1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán tựa cân bằng
dạng Blum - Oettli tổng quát với hàm mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc đều là hàm
và ánh xạ đa trị trong các trường hợp:
- hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa
liên tục trên yếu vô hướng;
- hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh
xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng.
2) Ứng dụng những kết quả ở 1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của
một số bài toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân
bằng suy rộng loại II và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp.
Xuất phát từ mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án, nghiên cứu sinh đã
lựa chọn tên luận án là “Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng
dụng”.
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày
thành ba chương:


6

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian tô pô tuyến tính lồi
địa phương Hausdorff, của nón và các ánh xạ đa trị. Đồng thời, trong chương này,
nhắc lại một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nửa
liên tục trên,...
Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát.
Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng tổng quát liên quan tới tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và

nửa liên tục trên yếu vô hướng. Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh sự tồn tại
nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tích Đề các của ánh xạ
nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Trong chương
này, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mở rộng nối Định lý Ky Fan và định lý
Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8).
Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân
bằng suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng
loại II (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng
hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2.
Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh
mục công trình nghiên cứu.


7

Chương 1

Kiến thức cơ bản
Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết
một vấn đề nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán
đưa ra phải được đặt trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải
được xác định trong một không gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc
để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể đánh giá được sự tồn tại nghiệm và
ước lượng được nghiệm theo thuật toán. Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán
được nêu trong luận án, ta cần nhắc lại những kiến thức cơ bản về các không gian
thường dùng và các khái niệm liên quan đến các bài toán ta cần nghiên cứu.

1.1
1.1.1


Không gian thường dùng
Không gian tôpô

Để định nghĩa không gian tôpô, người ta đưa ra khái niệm tôpô trên một tập
hợp, mỗi phần tử của nó được gọi là tập mở. Những điều kiện mà họ các tập mở
cho phép tạo ra một cấu trúc (gọi là cấu trúc tôpô) trên tập hợp đó. Nội dung chính
của phần này được tham khảo trong quyển Hàm thực và Giải tích hàm của H. Tuy
([3]).
Ta có định nghĩa.


8

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Ta nói một họ τ những tập
con của X là một tôpô trên X nếu:
1) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ ;
2) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là: giao của một số hữu hạn tập thuộc họ
τ thì cũng thuộc họ đó;
3) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là: hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô
hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.
Tập X, cùng với một tôpô τ trên X, gọi là không gian tôpô (X, τ ) (thường gọi
tắt là không gian tôpô X). Và khi đó ta nói trên X có một cấu trúc tôpô.
Trước hết, ta có định nghĩa.
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp I với quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập định hướng nếu:
1) Với mọi x ∈ I, x ≤ x;
2) Với mọi x, y, z ∈ I thỏa mãn x ≤ y, y ≤ z, ta luôn có x ≤ z;
3) Với mọi x, y ∈ I, tồn tại t ∈ I sao cho x ≤ t, y ≤ t.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian tôpô, I là một tập định hướng với quan
hệ thứ tự ≤. Khi đó, một dãy suy rộng (hay còn gọi là lưới) trong X là ánh xạ
x : I −→ X

α −→ xα = x(α).
Ta thường ký hiệu là {xα }α∈I .
Từ khái niệm tập mở, ta có một số khái niệm.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian tôpô (X, τ ).
1) Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu X\A ∈ τ ;
2) Tập U ⊆ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở B ⊂ U sao
cho x ∈ B;


9

3) Ux ⊂ X được gọi là họ cơ sở lân cận của điểm x nếu
(a) Với mọi U ∈ Ux thì x ∈ U ;
(b) U1 , U2 ∈ Ux thì U1 ∩ U2 ∈ Ux ;
(c) U1 ∈ Ux và U1 ⊂ U2 thì U2 ∈ Ux ;
(d) Với mỗi U ∈ Ux có một V ∈ Ux sao cho U ∈ Uy cho mọi y ∈ V.
4) Cho {xα } ⊂ X với α thuộc tập chỉ số I được sắp xếp theo thứ tự trong N, ta nói
rằng xα hội tụ đến x (theo một tôpô τ ) nếu với lân cận U của x, tồn tại α0 ∈ I,
sao cho với mọi α ≥ α0 , xα ∈ U.
Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng bốn khái niệm này đều tạo ra cùng một cấu trúc
tôpô trên X.
Ngoài ra, ta có định nghĩa.
Định nghĩa 1.1.5. Cho Ux là một họ cơ sở lân cận của điểm x trong không gian
tôpô X. Một tập Bx ⊂ Ux được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi V ∈ Bx ,
tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ V .
Trong nội dung chính của luận án, ta luôn nhắc đến không gian Hausdorff. Nó
được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp điểm
khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 , V2 của x1 , x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∅ được
gọi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó được gọi là tôpô

tách hay tôpô Hausdorff.
Định nghĩa 1.1.7. 1) Cho A ⊂ X, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là phần
trong của A và ký hiệu là intA;
2) Cho A ⊂ X, tập đóng nhỏ nhất chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu
là A (hoặc clA). Ta có thể chứng minh
A = {x ∈ X| tồn tại xα ⊂ A sao cho xα → x},


10

Ta có mệnh đề.
Mệnh đề 1.1.1. 1) A là tập mở khi và chỉ khi A = intA;
2) A là tập đóng khi và chỉ khi A = A.
Định nghĩa 1.1.8. Tập A được gọi là tập compact nếu với mọi {xα } ⊂ A, tồn tại
một dãy con {xαk } ⊂ {xα } hội tụ tới một phần tử trong A.
Định lý 1.1.1. Một tập M của một không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi
nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
1) Mọi phủ mở của M đều chứa một phủ con hữu hạn, nghĩa là, nếu X ⊂
n

Gα là các tập mở thì phải có các tập Gα1 , Gα2 , ..., Gαn sao cho X ⊂

Gα và
α

Gαi ;
i=1

2) Bất kỳ họ tập đóng nào trong X mà có giao không cắt M thì phải chứa một họ
con hữu hạn vẫn có giao không cắt M .

Ta có, các khái niệm về tập mở, tập đóng, lân cận và sự hội tụ trên một không
gian tôpô. Khi một ánh xạ từ không gian tôpô này tới một không gian tôpô khác
người ta đưa ra khái niệm ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.1.9. Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y
được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận Uy0 của điểm y0 = f (x0 ) đều có một
lân cận Vx0 của điểm x0 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó
liên tục tại mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.2. Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô
Y là liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở (đóng) trong Y đều là tập
mở (đóng) trong X.
Mệnh đề trên còn tương đương với mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.3. Ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô
Y là liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng xα ⊂ X, xα → x thì
f (xα ) → f (x).


11

1.1.2

Không gian tuyến tính

Cho tập hợp X. Trên X xác định hai ánh xạ:
+

: X × X −→ X

.

: R × X −→ X


(x, y) −→ x + y;

(α, x) −→ αx.

(một ánh xạ được gọi là phép cộng và ánh xạ còn lại được gọi là phép nhân) thỏa
mãn các tính chất:
1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X;
2) x + (y + x) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ X;
3) Tồn tại 0 ∈ X (phần tử trung hòa, hay còn gọi là phần tử gốc) sao cho x + 0 =
0 + x = x;
4) Với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử −x ∈ X (phần tử đối của x) sao cho x+(−x) = 0;
5) α(βx) = (αβ)x với mọi α, β ∈ R, x ∈ X;
6) (α + β)x = αx + βx với mọi α, β ∈ R, x ∈ X;
7) α(x + y) = αx + αy với mọi α ∈ R, x, y ∈ X;
8) 1.x = x.1 = x với mọi x ∈ X,
thì tập X được gọi là không gian véctơ (hay còn gọi là không gian tuyến tính). Các
tính chất này tạo nên một cấu trúc đại số trên X.
Chú ý 1.1.1. Không gian véctơ X ở định nghĩa trên còn được gọi là không gian
véctơ thực. Nếu trong định nghĩa, ta thay số thực bởi số phức thì ta có không gian
véctơ phức.
Trong không gian tuyến tính, tập lồi là một khái niệm rất quan trọng. Ta có:
Định nghĩa 1.1.10. Một tập A trong một không gian véctơ X được gọi là lồi nếu
với x, y ∈ A, 0 ≤ α ≤ 1 ta có αx + (1 − α)y ∈ A.


12

Tập hợp các điểm có dạng αx + (1 − α)y, với 0 ≤ α ≤ 1 còn được gọi là đoạn
thẳng nối x với y. Cho nên, cũng có thể nói: một tập là lồi nếu nó chứa mọi đoạn

thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.
Ví dụ 1.1.1. Rn , ∅, {x} là các tập lồi.
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian tuyến tính X, hàm φ : X → R được gọi là
dưới tuyến tính nếu
1. φ(x1 + x2 ) ≤ φ(x1 ) + φ(x2 ), với mọi x1 , x2 ∈ X;
2. φ(αx) = αφ(x), với mọi x ∈ X, α ≥ 0.
Dưới đây, ta sẽ nhắc lại định lý Hahn - Banach, một trong những định lý cơ bản
dùng cho các chứng minh ở chương sau.
Định lý 1.1.2. ([3])Cho M là không gian con của không gian tuyến tính X, ánh
xạ tuyến tính f : M → R. Nếu có một hàm dưới tuyến tính φ xác định trong X,
sao cho
f (x) ≤ φ(x), với mọi x ∈ M.
Khi đó, tồn tại hàm tuyến tính F : X → R sao cho
F (x) ≤ φ(x), với mọi x ∈ X.
1.1.3

Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff

Trên một tập hợp X có thể đồng thời trang bị cả cấu trúc tôpô và cấu trúc đại
số. Nếu các ánh xạ "+" và "." của cấu trúc đại số liên tục trong tôpô của X thì ta
nói hai cấu trúc này tương thích với nhau.
Định nghĩa 1.1.12. Một không gian tôpô X mà trên đó, cấu trúc tôpô tương thích
với cấu trúc đại số (tức là, các phép tính "+" và "." liên tục đối với tôpô trên X)
được gọi là không gian tôpô tuyến tính (hay không gian véctơ tôpô ).
Từ điều kiện tương thích ta có thể dễ dàng suy ra:


13

Định lý 1.1.3. 1) V là một lân cận của gốc khi và chỉ khi V + a = {x + a : x ∈ V }

là một lân cận của a;
2) Nếu V là một lân cận của gốc thì với mọi α = 0, αV = {αx : x ∈ V } cũng là lân
cận của gốc.
Định lý 1.1.4. Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian tôpô tuyến tính X.
Không gian X là Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x = 0 đều có một V ∈ B không
V = {0}.

chứa x, tức là
V ∈B

Định nghĩa 1.1.13. Một không gian tôpô tuyến tính X được gọi là không gian
tôpô tuyến tính lồi địa phương (tôpô của nó gọi là tôpô lồi địa phương) nếu trong
X có một cơ sở lân cận của gốc gồm các tập lồi.
Định nghĩa 1.1.14. Nếu X vừa là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, vừa
là không gian Hausdorff thì X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff.
Ví dụ 1.1.2. Các không gian Rn , không gian Hillbert đều là không gian tôpô tuyến
tính lồi địa phương Hausdorff.
Định nghĩa 1.1.15. Cho X là một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff. Tập
X ∗ = {f : X → R|f là ánh xạ tuyến tính liên tục},
là một không gian tuyến tính. Đồng thời do tính liên tục của các ánh xạ, X ∗ còn là
không gian tôpô và được gọi là không gian đối ngẫu của X.
(X, X ∗ ) là một cặp đối ngẫu, dạng song tuyến tính (x, f ) = f (x) với x ∈ X, f ∈
X ∗ . Khi đó:
1) Tôpô τ (X, X ∗ ) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X, yếu nhất trong tất cả
các tôpô trên X, đảm bảo cho đối ngẫu của X chính là X ∗ . Ta gọi nó là tôpô
yếu trên X.



14

2) Tôpô τ (X ∗ , X) là tôpô lồi địa phương Hausdorff trên X ∗ , yếu nhất trong tất cả
các tôpô trên X ∗ , đảm bảo cho đối ngẫu của X ∗ chính là X. Ta gọi nó là tôpô
yếu* trên X ∗ .

1.2
1.2.1

Nón và ánh xạ đa trị
Các khái niệm cơ bản về nón

Trong không gian các số thực, hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua
quan hệ thứ tự toàn phần. Nhưng điều này không có được trong không gian tôpô
tuyến tính tùy ý. Muốn mở rộng các bài toán tối ưu nhận giá trị thực sang các bài
toán nhận giá trị véctơ và các bài toán đa trị người ta đưa ra khái niệm nón. Trên
đó, ta có thể xác định được quan hệ thứ tự. Từ đó, ta mở rộng được các khái niệm
đã biết trong không gian các số thực cho không gian tôpô tuyến tính (xem [1]).
Định nghĩa 1.2.1. Cho Y là một không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Khi đó, ta
nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc (gọi tắt là nón) trong Y nếu tc ∈ C với mọi
c ∈ C, t ≥ 0.
Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong X, ta ký
hiệu clC, intC, convC lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C và đặt
l(C) = C ∩ (−C). Ta có các phân loại về nón:
1) Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi;
2) Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng;
3) Nón C được gọi là nón lồi đóng nếu C vừa là tập lồi vừa là tập đóng;
4) Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0};
5) Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn;
6) Nón C được gọi là nón đúng nếu clC + C\l(C) ⊆ C.

Chú ý 1.2.1. Nếu C là nón đóng thì C là nón đúng.


15

Ví dụ 1.2.1. 1) X và {0} là các nón và còn được gọi là nón tầm thường;
2) Trong không gian Rn , tập
C = Rn+ = {x = (x1 , x2 , ..., xn )|xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n}
là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong Rn .
Nhận xét 1.2.1. Ta thấy rằng nếu C là nón lồi, thì l(C) là không gian con tuyến
tính nhỏ nhất nằm trong C và được gọi là phần trong tuyến tính của nón C.
Cho X là một không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong X. Khi đó ta có định
nghĩa quan hệ thứ tự từng phần trên X như sau
x, y ∈ X, x
Để đơn giản ta có thể viết x
và x

C

y nếu x − y ∈ C.

y. Cho x, y ∈ X, ta ký hiệu x

y, nếu x−y ∈ C\l(C)

y nếu x − y ∈ intC.

Ta thấy quan hệ thứ tự trên có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.
Nếu C là nón lồi, thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự
từng phần trên X. Hơn nữa, nếu C là nón nhọn thì quan hệ trên có tính phản đối

xứng. Ta gọi quan hệ đó là quan hệ thứ tự bộ phận.
Định nghĩa 1.2.2. Cho C là nón trong không gian tuyến tính X. Tập B ⊆ X được
gọi là tập sinh của nón C, ký hiệu C = cone(B), nếu
C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0}.
Trong trường hợp B không chứa điểm gốc O và với mỗi c ∈ C, c = 0 đều tồn tại
duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho c = tb, B được gọi là cơ sở của nón C. Hơn nữa, nếu
B là tập hữu hạn phần tử thì tập C = cone(convB) được gọi là nón đa diện.
Trong trường hợp X là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón có cơ sở
lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn.


16

1.2.2

Ánh xạ đa trị và các tính chất

1. Các khái niệm cơ bản
Mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị: Cho hai tập hợp X, Y , một ánh xạ f đi từ X
vào Y là một quy tắc chuyển mỗi phần tử của X tới một và chỉ một phần tử của
Y , ký hiệu f : X → Y . Nhiều khi trong thực tế, ta gặp trường hợp ảnh của ánh xạ
không chỉ là một giá trị, mà là một tập hợp con. Khi đó, trường hợp này đưa ta đến
khái niệm về ánh xạ đa trị (xem [1], [4],...). Khái niệm này được phát biểu như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai tập hợp X, Y . Ánh xạ F đi từ tập X vào tập 2Y (tập
gồm tất cả các tập con của Y ) được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Ta thường ký
hiệu F : X → 2Y .
Nếu với mọi x ∈ X, F (x) chỉ là một phần tử của tập Y thì ta nói F là ánh xạ
đơn trị từ X vào Y . Khi đó, ta sử dụng ký hiệu quen thuộc là F : X → Y .
Định nghĩa 1.2.4. Cho hai tập hợp X, Y , D ⊆ X. Miền xác định và đồ thị của
ánh xạ đa trị F : X → 2Y lần lượt được định nghĩa như sau:

domF = {x ∈ D|F (x) = ∅},
Gr(F ) = {(x, y) ∈ D × Y |y ∈ F (x)}.
Ta có các khái niệm:
1) F được gọi là ánh xạ đóng (mở), nếu Gr(F ) là tập con đóng (mở) trong không
gian X × Y ;
2) F được gọi là ánh xạ compact nếu bao đóng clF (D) của F (D) là một tập compact
trong Y .
Nhận xét 1.2.2. Từ định nghĩa trên ta thấy, F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với
mọi dãy {xα }, {yα }, xα → x, yα → y, yα ∈ F (xα ) thì y ∈ F (x).
Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X thì F được gọi là ánh xạ có giá trị (hay còn
gọi là ảnh) đóng.


×