Giải câu 5 thi vao 10 2009-2010

Đáp án câu 5:
Đề: Cho x, y, z là các số thực t/m: x
2
+ xy + y
2
= 1 -
3
2
z
2
(*)
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của D = x + y + z.
Bài làm:
Cách 1:
Từ (*) ta có : 2 x
2
+ 2xy + 2y
2
= 2 - 3z
2

<=> x
2
+ 2xy + y
2
+ z
2
+ 2yz + 2zx = 2 - 2z
2
- x
2

- y
2
+ 2yz + 2zx
<=> (x + y +z)
2
= 2 – (x – z)
2
– (y – z)
2
(* *)
Ta có : 2 – (x – z)
2
– (y – z)
2

≤
2 , Dấu “ = “ Xảy ra khi x = y = z
Vậy từ (* *) Ta có : D
2
= 2 – (x – z)
2
– (y – z)
2

≤
2
=>
D

≤

2
hay -
2
≤
D
≤

2

Vậy:
D
min
= -
2
<=> x = y = z =
2
3
−
D
max
=
2
<=> x = y = z =
2
3
Cách 2:
Từ D = x + y + z => x + y = D – z ,
nên từ (*) => xy = (x+y)
2

+
3
2
z
2
- 1 = (D - z)
2
+
3
2
z
2
- 1
Vậy x, y là nghiệm của pt: X
2
– (D-z)X + [(D-z)
2
+
3
2
z
2
- 1 ] = 0 (1)
Pt luôn có nghiệm nên:
'
X
∆
= (D-z)
2
- 4[(D-z)

2
+
3
2
z
2
- 1 ]
≥
0
<=> - 3(D-z)
2
- 6z
2
+ 4
≥
0
<=> 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4
≤
0 ta xem là BPT ẩn z và vì luôn có nghiệm
( nếu 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4 = 0 vô nghiệm, thì 9z
2
– 6Dz + 3D

2
- 4 > 0
∀
z )
Nên pt : 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4 = 0 luôn có nghiệm
<=>
'
z
∆
= 9D
2
– 9(3D
2
– 4)
≥
0 hay D
2

≥
2 =>
D

≤

2
hay -

2
≤
D
≤

2

D
=
2
=>
'
z
∆
= 0 => Nghiệm kép: z
1
= z
2
=
3
D
( = z)
=> 9z
2
– 6Dz + 3D
2
- 4 = 0 =>
'
X
∆

= 0 => x = y =
2
D z−
=
3
D
Vậy: D
min
= -
2
<=> x = y = z =
3
D
=
2
3
−
D
max
=
2
<=> x = y = z =
3
D
=
2
3