De va loi giai Toan HSGQG12-08.doc

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT N M 2008 – Môn TOÁNĂ
Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn )
sau:
2 3
3 2
29
log log 1
x y
x y

+ =

=

Câu 2:Cho tam giác ABC có góc là góc nhọn,trong ó E là đ
trung iđ ểm của AB.Trên tia EC lấy iđ ểm M sao cho
.Kí hiệu là số o cđ ủa góc ,hãy tính tỉ số theo
Câu 3:Đặt m = 2007
2008
.Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà
n < m và n(2n+1)(5n+2) chia hết cho m?
Câu 4:Cho dãy số thực
( )
n
x
được xác định như sau:
và với mọi
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi .Hãy tìm
giới hạn óđ
Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi

số gồm tối a 2008 chđ ữ số và trong ó có ít nhđ ất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm , ôi mđ ột khác
nhau.Chứng minh rằng
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d
vuông góc với đường thẳng AD.Xét iđ ểm M nằm trên d.Gọi E,F
lần lượt là trung iđ ểm của MB,MC.Đường thẳng i qua E và đ
vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng i qua F đ
và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng
i qua M vuông góc vđ ới đường thẳng PQ luôn i qua 1 iđ đ ểm cố
định ,khi iđ ểm M di động trên đường thẳng d.
Lời giải của một số học sinh 11 chuyên toán trường Quốc Học Huế.
Bạn có thể trao đổi qua forum ở trang web:
/>Theo phân công lao động thì mình sẽ post giải bài 4,5,6 trình
(pi3.14) giải bài 1,2 và bạn Nhật sẽ giải bài 3,7. Phần việc của
mình
Bài 4
Bằng qui nạp ta có Với mọi n.
Xét với
Ta có
Mà do ó đ t ng , tă ương tự ta có giảm
Xét dãy bằng qui nạp ta có bị chặn trên bới 2,
theo trên nó là dãy t ng nên có giă ới hạn.
Đặt
Khi ó đ từ ó có đ
Tương tự dãy giảm, bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn. Ta
cũng có giới hạn là 1.
Vậy
Bài 5
Gọi các số phải tìm có dạng

Do số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số chia hết cho 9.
Bước 1 Tìm t ấ t c ả các s ố chia h ế t cho 9
Có 10 cách chọn các chữ số , 10 cách chọn chữ số , ... , 10
cách chọn chữ số ứng với các
cách chọn này có 9 cách chọn chữ số để thoả mãn bài toán.
Vậy có số chia hết cho 9
Bước 2 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 không có ch ữ s ố 9 trong nó
Có 8 cách chọn các chữ số có 9 cách chọn do ó có đ
tất cả số
Bước 3 Tìm s ố các s ố chia h ế t cho 9 mà trong nó ch ỉ có duy
nh ấ t m ộ t ch ữ s ố 9
Có số có n-1 chữ số thoả bài toán, ta đưa chữ số 9 vào số
trên thì được 1 số thoả bài toán. Có (n-1) vị trí có thể đưa chữ số
9 vào
Như vậy có số
Cuối cùng số các số phải tìm là
Tính tổng ni thì dễ dùng cấp số nhân với đạo hàm là ok
n cĂ ơm cái ã, tí nđ ữa post tiếp
Bài 6
Giả sử
Ta có
Và
Từ ây ta suy ra:đ
Vậy ta sẽ chứng minh rằng:
Cái ni thì hiển nhiên úng theo Cauchyđ
Từ ó suy ra pcm.đ đ
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi:
Bài 6
Cách ni của một anh bên TPHCM ý tưởng cũng tương tự, post lên xem thử
Cho là các số không âm khác nhau ôi mđ ột , tìm hằng số k tốt nhất của bất đẳng thức

Đặt :
Ta chung minh :
That vay , khong mat tinh tong quat gia su ta co :
Vay ta chi can chung minh bat dang thuc trong truong hop Dat va khac !
Ta co :
Cách 1 : biến đổi tưong đương chứng minh tươnng đương với
Hiển nhiên úng !đ
Cách 2 :
Tu do ta tim duoc gia tri nho nhat cua la va dat duoc tai 2 diem la va
vay hang so tot nhat can tim la va dau bang xay ra tai hai diem la
va
Bài 2
Lấy iđ ểm sao cho là hình bình hành
Ta có thẳng hàng.
Do ó: tam giác đ cân tại Suy ra
Trên tia lấy iđ ểm sao cho
Xét hai tam giác và có
Do óđ