Toan 9-HSG-Vong 1-0809

Phòng GD&ĐT Tiên Lãng bài thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
Môn Toán Lớp 9
phần trắc nghiệm khách quan (2 điểm)
( Thời gian làm bài 30 phút )
Họ và tên.............
Lớp.......................................................
Trờng THCS.......................................
SBD
Phòng Giám thị
Số phách
1/......
2/..
Điểm phần trắc nghiệm khách quan Giám khảo
Số phách
Bằng số: Bằng chữ:
1/......
2/..
Em hãy khoanh tròn vào chữ cái in hoa đứng trớc câu trả lời đúng .
Câu 1: Có tất cả bao nhiêu số nguyên dơng là nghiệm của phơng trình (x
2
-1)(4x
2
-1) = 0?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 2: Nếu 2x+y = 2 thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4x
2
+y
2
bằng
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 3: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có giá trị lớn nhất?

A. 2
2008
B.
2007 2009+
C.
2006 2010+
D.
6
2011 2005
Câu 4: Nếu
1
5x
x
+ =
thì
2
2
1
x
x
+
= ?
A. 5
B.
5
C. 3
D.
3
Câu 5: Phơng trình
2 2

30 10 2008x x + =
có bao nhiêu nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
Câu 6: Cho 0
O
<

<45
O
. Tỉ số lợng giác nào sau đây có giá trị lớn nhất?
A. sin

B. cos

C. tg

D. cotg

.
Câu 7: Nếu tam giác ABC đồng dạng với các tam giác MNP và DEF lần lợt theo các tỉ số
1
3
và
2
5
thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số nào ?
A.
2
15
B.

6
5
C.
15
2
D.
5
6
Câu 8: Tam giác ABC có Â = 45
O
,
à
B
= 15
O
, BC = 2
3
. Tính AB.
A. 3
2
B. 2
6
C. 3
3
D. 3
6
.
Câu 9: Diện tích toàn phần của một hình lăng trụ lục giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 6cm,
chiều cao bằng 8cm là:
A. 288 cm

2
B. 288 +54
3
cm
2
C. 288+108
3
cm
2
D. 432
3
cm
2
Câu 10: Cho tam giác ABC có Â>90
O
, đờng cao AH. Gọi I là hình chiếu của H trên AB. Kết
luận nào sau đây không đúng?
A. AB
2
+HC
2
=AC
2
+HB
2
B. BH
2
= BA.BI C. HI
2
= AI.BI D.AH

2
= BH.HC.
===========================
Phòng GD&ĐT Tiên Lãng Đề thi học sinh giỏi năm học 2008-2009
Môn Toán Lớp 9
phần tự luận (8 điểm)
( Thời gian làm bài 120 phút )
Phần tự luận ( 8 điểm)
( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1: (2 điểm)
a/ Với giá trị nào của m thì phơng trình
3 3
1 2
x m
m

=

có nghiệm là x =
3
.
b/ Giải phơng trình x
3
2
+ 3x
2
-2 = 0.
Bài 2: (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng A =
6 2 5 13 48

3 1
+ +
+
là một số nguyên.
b/ Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2 2
2a b c a b b c c a+ + + + + + +
< (a+b+c)
3
Bài 3: (2 điểm)
Cho tam giác ABC (Â= 90
O
), đờng cao AH, phân giác AD. Biết AH =21cm; CH = 28cm.
a/ Tính AC, AB.
b/ Tính diện tích tam giác ABD.
Bài 4: (2 điểm)
Tứ giác lồi ABCD có các đờng chéo cắt nhau tại I và
ã
BIC
< 90
O
. Gọi G và P lần lợt là trọng
tâm của các tam giác AIB và CID; H và K lần lợt là trực tâm các tam giác BIC và AID. Chứng
minh GP

HK.
==============Hết==============
Phòng GD&ĐT Tiên Lãng
hớng dẫn chấm

bài thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp 9
năm học 2008-2009
I/ Phần trắc nghiệm khách quan ( 2điểm ) Mỗi câu đúng cho 0,2 điểm.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A C A D B A C D
II/ phần tự luận (8 điểm)
Nội dung Điểm
Bài 1: (2 điểm) a/ ĐK: m

1
Phơng trình có nghiệm x =
3
khi và chỉ khi
3 3 3
1 2
m
m

=

0.25
Từ đó suy ra m = 3. 0.5
m =3 thoả mãn điều kiện m

1. Vậy với m =3 thì phơng trình
3 3
1 2
x m
m

=

có
nghiệm là x =
3
.
0.25
b/ Đặt y = x
2
phơng trình trở thành y
3
+ 3y
2
4= 0 0.25

(y-1)(y+2)
2
= 0

y
1
= -2; y
2
= 1. 0.5

x
1
= -
2
; x

2
=
2
2
.Vậy phơng trình có nghiệm x
1
= -
2
; x
2
=
2
2
0.25
Bài 2: (2 điểm) a/ A =
6 2 4 2 3
3 1
+
+
0.25
=
( )
6 2 3 1
3 1
+
+
0.25
=
4 2 3
3 1

+
+
0.25
=
3 1
3 1
+
+
= 1. Vậy A là một số nguyên. 0.25
b/ Chứng minh đợc
( )
( )
2
2 2
2a b a b+ +
suy ra a+b
( )
2 2
2 a b +
0.25
Tơng tự có b+c
( )
2 2
2 b c +
; c+a
( )
2 2
2 c a +

suy ra

( )
2 2 2 2 2 2
2a b c a b b c c a+ + + + + + +
. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
0.25
Do a, b ,c là ba cạnh của một tam giác nên (a-b)
2
< c
2


( )
2 2
a b+
<
2
2c ab+
tơng tự có
( )
2 2
b c+
<
2
2a bc+
;
( )
2 2
c a+
<

2
2b ca+
0.25

2 2 2 2 2 2
a b b c c a+ + + + +
<
2
2c ab+
+
2
2a bc+
+
2
2b ca+
Chứng minh đợc (x+y+z)
2

3(x
2
+y
2
+z
2
).
áp dung bất đẳng thức trên suy ra
2
2c ab+ +
2
2a bc+ +

2
2b ca+

(a+b+c)
3

2 2 2 2 2 2
a b b c c a+ + + + +
< (a+b+c)
3
Nếu HS sử dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki hay một bất đẳng thức phụ khác nhng không
chứng minh thì trừ 0.125đ
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5

3
7
ABD
ABC
S
S
=

S
ABD
= 196,875 cm
2

0.5
0.25
0.5
MH = MC.cotg

; FM = MA.cotg

suy ra FH = AC.cotg

0.5
Tơng tự chứng minh đợc FK = BD.cotg

nên
FH AC
FK BD
=
0.25
Suy ra
FH EP
FK EG
=
nên các tam giác GEP và KFH đồng dạng. 0.25

ã
ã
HKF PGE=
. Mà
ã
KQN
=90 nên

ã ã
QKN QNK+
=90
O

ã
ã
GNH NGP+
=90
O

GP

HK
0.25
Tổng 8.0
L u ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Nếu học sinh không vẽ hình thì chấm một nửa số điểm của phần làm bài hình, học sinh vẽ
hình sai thì không chấm điểm bài hình.
- Bài làm không chặt chẽ, không đủ các cơ sở ở phần nào thì trừ một nửa số điểm ở phần đó.
Tuỳ theo bài làm của học sinh giám khảo có thể chia nhỏ mỗi ý của biểu điểm.
==========Hết==========
D
B
A
C
H
Bài 3: (2 điểm)
a/ Tính được AC = 35cm

Tính được AB = 26,25cm
b/Tính đượcS
ABC
= 459,375cm
2
.
3
4
ABD
ACD
S
BD AB
S CD AC
= = =
N
Q
G
P
E
H
F
M
K
I
A
B
D
C
Bài 4: (2 điểm)
Gọi E là trọng tâm tam giác AID;

M, F lần lượt là giao điểm của
BH với AC và AK;Q, N lần lượt
là giao điểm của EG với AK và
HK. Đặt suy ra
C/m