Đề tự luyện thi vào CIII (Có ĐA)

Đề 4
Bài 1
a) Tính:
2 1. 2 1+ −
b) Giải hệ phương trình:
x 1 1
x y 5
− =


+ =

Bài 2. Cho biểu thức
1 2
1 1
+ − +
= +
− +
x x x x
A
x x
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị nào của x thì A <1.
Bài 3. Cho phương trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một người đự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 20 km trong một thời
gian đã định. Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, do đường khó đi nên người

đó giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đường còn lại, vì thế người đó đến B chậm
hơn dự định 15 phút. Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp.
Bài 5. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm
I bất kỳ trên đoan CD.
a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của
MN.
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố
định.
Bài 6. Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
≥ x
3
+ y
4
. Chứng minh:
x
3
+ y
3
≤ x
2
+ y
2
≤ x + y ≤ 2
5
a) A có nghĩa

0
1 0
x
x








0
1
x
x





0.5
b) A=
( ) ( )
2
1 1
1 1
x x x
x x
+

+
+
0.5
=
1x x +
0.25
=2
1x
0.25
c) A<1

2
1x
<1
0.25

2 2x <
0.25

1x <


x<1 0.25
Kết hợp điều kiện câu a)

Vậy với
0 1x <
thì A<1 0.25
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x
2

-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1

m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1

m
<0

<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m

=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Bài 5 (1đ):
Ta có (y
2
- y) + 2 0 2y
3
y
4
+ y
2
(x
3
+ y
2
) + (x
2
+ y
3
) (x
2
+ y
2
) + (y
4
+ x
3
)
mà x
3

+ y
4
x
2
+ y
3
do đó
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
(1)
+ Ta có: x(x - 1)
2
0: y(y + 1)(y - 1)
2
0
x(x - 1)
2
+ y(y + 1)(y - 1)
2
0
x
3
- 2x
2

+ x + y
4
- y
3
- y
2
+ y 0
(x
2
+ y
2
) + (x
2
+ y3) (x + y) + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4
x
2
+ y
2

x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y
3
-1) 0
x
3
- x
2
- x + 1 + y
4
- y - y
3
+ 1 0
(x + y) + (x
2
+ y
3
) 2 + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4

x + y 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
x + y 2
K
O
N
M
I
D
C
B
A
Bµi 4: a) Dùng (I, IA) c¾t AD t¹i M c¾t tia AC t¹i N
Do M©N = 90
0
nªn MN lµ ®êng kÝnh
VËy I lµ trung ®iÓm cña MN
b) KÎ MK // AC ta cã : ΔINC = ΔIMK (g.c.g)
=> CN = MK = MD (v× ΔMKD vu«ng c©n)
VËy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC kh«ng ®æi
c) Ta cã IA = IB = IM = IN

VËy ®êng trßn ngo¹i tiÕp ΔAMN ®i qua hai ®iÓm A, B cè ®Þnh .