Phan tich da thuc . Hay tuyet. Xem va dong gop y kien .Cam on

Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
phân tích đa thức thành nhân tử.
(Thực hiện trong 6 tiết)
A. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử ?
Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đơn
thức và đa thức khác.
Bài toán 1.
Trong các cách biến đổi đa thức sau đây, cách nào là phân tích đa thức thành
nhân tử ?Tại sao những cách biến đổi còn lại không phải là phân tích đa thức thành
nhân tử ?
2x
2
+ 5x 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x
2
+ 5x 3 = x(2x + 5 -
x
3
) (2)
2x
2
+ 5x 3 = 2(x
2
+
2
5
x -
2
3
) (3)
2x

2
+ 5x 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x
2
+ 5x 3 = 2(x -
2
1
)(x + 3) (5)
B. Những phơng pháp nào thờng dùng để phân tích đa thức thành nhân tử?
- Phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
Một số phơng pháp khác nh :
- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
- Phơng pháp giảm dần luỹ thừa của số hạng có bậc cao nhất.
- Phơng pháp đặt ẩn phụ(đổi biến).
- Phơng pháp hệ số bất định.
- Phơng pháp xét giá trị riêng.
- Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức.
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung
Nội dung cơ bản của phơng pháp đặt nhân tử chung là gì ? Phơng pháp
này dựa trên tính chất nào của các phép toán về đa thức? Có thể nêu ra
một công thức đơn giản cho phơng pháp này không ?
Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó biểu
diễn đợc thành một tích của nhân tử chung đó với một đa thức khác.
Phơng pháp này dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
các đa thức.
Công thức : AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
Phơng pháp: Tìm nhân tử chung.

- Lấy ƯCLN của các hệ số.
- Lấy các biến chung có mật trong tất cả các hạng tử.
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
1
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
- Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc theo công thức
AB + AC + + AF = A(B + C + + F)
Chú ý:
- Phơng pháp này áp dụng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
- Nhiều khi muốn có nhân tử chung ta phải đổi dấu các số hạng bằng cách đa số
hạng vào trong ngoặc hoặc đa vào trong ngoặc đằng trớc có dấu cộng hoặc trừ.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x
2
+ 12xy.
b) 5x(y + 1) 2(y + 1).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y).
Giải
a) 3x
2
+ 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y)
= 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)

= (3y - 2) (14x
2
+ 35x - 28y).
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Nhận dạng các hằng đẳng thức.
- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.
Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
4x + 4. b) 8x
3
+ 27y
3
. c) 9x
2
(x - y)
2
.
Giải
a) x
2
4x + 4 = (x - 2)
2
b) 8x
3

+ 27y
3
= (2x + 3y)(4x
2
6xy + 9y
2
)
c) 9x
2
(x - y)
2
= [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y).
Ví dụ 2
a, (x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a
3
+ b
3
= 3(x z)(x- y)(z y)
b, (x
2
+y
2
)

3
+ (z
2
- x
2
) (y
2
+ z
2
)
3
= 3(x
2
+ y
2
)(y
2
+ z
2
)(x z)(x + z)
c, a
3
+ b
3
+ c
3
3abc
= (a + b)
3
+ c

3
3ab(a +b + c)
= (a + b + c) (a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc)
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
2
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
d, x
3
+ y
3
z
3
+ 3xyz
= (x + y)
3
z
3
3xy( x + y z) = .....
Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử
chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.
Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm

- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp
dùng hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
2xy + 5x 10y. b) x(2x 3y) 6y
2
+ 4xy. c) 8x
3
+ 4x
2
y
3

y
2
Giải
a) x
2
2xy + 5x 10y = ( x
2
2xy) + ( 5x 10y)
= x(x 2 y) + 5 (x 2y) = (x 2 y)(x + 5)
b) x(2x 3y) 6y
2
+ 4xy = x(2x 3y) + (4xy - 6y
2

= x(2x 3y) + 2y(2x - 3y)
= (2x 3y)(x + 2y)

c) 8x
3
+ 4x
2
y
3
y
2
= (8x
3
- y
3
) + (4x
2
y
2
)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
) + (2x

y)( 2x +y)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
+ 2x +y).
Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp

Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng
phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ?
Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a
3
a
2
b ab
2
+ b
3
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
c) 27x
3
y a
3
b
3
y.
Giải
a) a
3
a
2

b ab
2
+ b
3
= a
2
(a b) b
2
(a - b) = (a - b)(a
2
- b
2
) = (a - b)
2
(a +
b).
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
= ab
2
(c
3
+64) = ab
2
(c
3

+ 4
3
) = ab
2
(c

+ 4)(c
2
4c + 16).
c) 27x
3
y a
3
b
3
y = y(27x
3
a
3
b
3
) = y(3 - ab) (9x
2
3ab + a
2
b
2
).
Kiến thức Nâng cao.
Phơng pháp 5: Phơng pháp tách

Khi phân tích đa thức : ax
2
+ bx + c thành nhân tử
Cách 1: Tách ax
2
+ bx + c = a x
2
+ b
1
x + b
2
x + c
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
3
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
Với b = b
1
+ b
2
và b
1
.b
2
= a.c
Cách 2: Tách ax
2
+ bx + c = X
2
- B
2

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x
2
3x + 1.
b) 6x
2
+ x 2
c) x
2
2x - 3
Giải
a) 2x
2
3x + 1 = 2x
2
2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1)
= (x 1)(2x 1).
b) 6x
2
+ x 2 = 6x
2
+ 4x 3x 2 = 2x(3x + 2) (3x + 2)
= (3x + 2) (2x 1)
c) x
2
2x - 3 = x
2
+ x 3x 3 = ....
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x

2
2x 3
b) x
2
10x + 16
Giải
a)x
2
2x 3 = x
2
2x + 1 4 = (x- 1)
2
2
2
= (x 3)(x+1)
b)x
2
10x + 16 = x
2
10x + 25 9 = (x 5)
2
3
2
= (x 8)(x 2)
Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) y
4
+ 64.
b) x(y

2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
)
c) a
2
b
2
(b a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
Giải
a) y
4
+ 64 = y
4

+16y
2
+ 64 - 16y
2
= (y
2
+ 8)
2
- (4y)
2

= (y
2
+ 8 - 4y)

(y
2
+ 8

+ 4y).

b) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x

2
y
2
) = x( y
2
x
2
+ x
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
)
= x( y
2
x
2
) + x(x
2
z
2
) - y(x
2

-z
2
) - z( y
2
x
2
)
= (y
2
- x
2
) ( x z) + (x
2
z
2
)(x y)
= (y x)( x z) (y +x x z)
c) a
2
b
2
(b a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)

= a
2
b
2
(b- c + c a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
=......................
= (b c) (a c)(b- a) (ab + bc + ca)
Phơng pháp 7: Đặt biến phụ
Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
4
Giáo án tự chọn 8 Trờng THCS Hồng Tiến
Trong đa thức có biểu thức xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức đó làm biến
phụ đa về đa thức đơn giản. Sau khi phân tích đa thức này ra nhân tử rồi lại
thay biến cũ vào và tiếp tục phân tích
Ví dụ 1:
A , (x
2
+ 4x + 8)
2
+ 3x( x
2
+ 4x + 8) + 2x

2
B , (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x 3) -5
C , ( x
2
2x + 2)
4
20x
2
(x
2
2x + 2)
2
+ 64 x
4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x 12
F , (x
2
+ x)(x
2

+ x + 1) 2.
Giải
A.Đặt y = x
2
+ 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích
Kết quả: A = (x
2
+ 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B. đặt y = x
2
+ 3x +1
B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.Đặt y = x
2
2x + 2
C = (x
2
+ 2)(x
2
4x + 2)(x
2
6x + 2)(x
2
+ 2x + 2)
D = (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
= (x

2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
F. (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) 2. (*)
Đặt(x
2
+ x) = y Thì (*) trở thành: y(y + 1) 2 = y
2
+ y - 1 1
= (y
2
- 1) + (y 1)
= (y

+ 1)(y 1) + (y 1)
= (y 1)(y

+ 2). (**)
Thay trở lại vào (**) ta có : (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Vậy(x
2
+ x)(x
2

+ x + 1) 2 = (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Ví dụ 2:
a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) 24
b. 4(x
2
+ 15x + 50)(x
2
+ 18x + 72) 3x
2
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y
2
z
2
HD:
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y
2
z
2
= 4x (x+y+z) (x+y) (x+z)+ y
2
z
2
= 4 (x
2
+xy+xz)(x
2

+xy +xz +yz)+ y
2
z
2
(Đặt t = x
2
+xy+xz)
= 4t (t + yz) + y
2
z
2
= (2t + yz)
2
Ví dụ 3: Giải phơng trình
a. (2x
2
+ x)
2
4(2x
2
+ x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) 24 = 0
HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích
a. (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1 2x
2
+ x = 1 (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3 2x
2
+ x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0

Giáo viên: Trần văn Hùng 0914 960 228
5