Bài tập chuỗi số và chuỗi hàm có lời giải

ĐẠI SỐ

Chuyên đề 1: Chuỗi số và chuỗi hàm
Bài 01.04.1.172.A.141
(a)

Đồ thị hàm số

có bao nhiêu tiệm cận ngang và tiệm cận đứng ?
Sử dụng đồ thị hàm số để tính giá trị của giới hạn

(b)

Bằng việc tính giá trị của f  x  , ước tính các giá trị giới hạn trong phần (a)

(c) Tính chính xác giá trị giới hạn trong phần (a). Kết quả đã nhận được giống
hay khác nhau .

1


Lời giải:
(a)

Đồ thị hàm số f  x 

Từ đồ thị hàm số , ta thấy :
chỉ có 1 đường tiệm cận ngang là y �0
có 1 đường tiệm cận đứng là x �1.7
Tuy nhiên , nếu chúng ta vẽ đồ thị hàm với 1 hình chữ nhật có góc nhìn rộng
hơn và ngắn hơn , ta có thể thấy dường như thực tế có 2 tiệm cận ngang.

Ta thậy : y �0.5 và y �0.5 là hai tiệm cận đứng.
Bởi vậy ta tính được rằng :

2


(b)

Ta có :

bởi vậy ta tính được :

Lại có :

bởi vậy ta tính được :

(c)

Ta có :

3


x  0 ta có

Với :

bởi vậy khi ta chia cho x với x  0 ta có :

Như vậy :

Bài 01.04.1.173.A.142
Tìm phương trình hàm số f thỏa mãn các điều kiện dưới đây :

4


Lời giải:
(1)

Ta có :

� mức độ tử số < mức độ mẫu số
(2)

Ta có :

� Có 1 phần tử x 2 ở mẫu số
(3)

Ta có :

� có tiệm cận đứng là x  3
� có 1 phần tử  x  3 ở mẫu số
(4)

Ta có :

� có ít nhất một phần tử  x  2  ở tử số.

Như vậy : tổng hợp tất cả các điều trên ta có thể đưa ra hàm f

5


Bài 01.04.1.174.A.142
Tìm giới hạn khi x � � và x � �.
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số

Lời giải:
Ta có :

ta thấy :
y bị chặn bởi f  0   0
x bị chặn tại điểm 0 và 2
Khi :
vì
Khi
vì

x ��


ޮޮ
�f  x 

x3 � � ,

2  x � �

x � �

ޮ
ޮ�f  x 

x 3 � �,

2 x ��

Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

6


Bài 01.04.1.175.A.142
Tìm giới hạn khi x � � và x � �.
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số

Lời giải:
Ta có :

ta thấy :
y bị chặn bởi f  0   0
x bị chặn tại điểm 0 , -1 và 1
x4  0

Từ :

� không có sự thay đổi tại x  0
� hàm số sẽ thay đổi tại x  1 và x  1

f  x  � �

x � ��

Khi :
vì

x 4  0 và

 1  x  � �
2

Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

7


Bài 01.04.1.176.A.142
Tìm giới hạn khi x � � và x � �.
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số

Lời giải:
Ta có :

ta thấy :
y bị chặn bởi f  0   0
x bị chặn tại điểm 0 , -2 và 1

 x  2

Từ :

2

0

� không có sự thay đổi tại x  2
� hàm số sẽ thay đổi tại x  1 và x  0
� f  x
ޮ

x ��

Khi :
vì

x3 � �

 x  2

2

��
8


 x  1 � �
x � �

Khi :

vì

� f  x
ޮ

x 3 � �

 x  2

2

��

 x  1 � �
Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

Bài 01.04.1.177.A.142
Tìm giới hạn khi x � � và x � �.
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số

Lời giải:
Ta có :
9


ta thấy :
y bị chặn bởi f  0   3  1  1  3
2

4

x bị chặn tại điểm 3, -1 và 1
Từ :

 x  1

2

0

 1 x

4

0

� không có sự thay đổi tại x  1 và x  1
� hàm số sẽ thay đổi tại x  3
ޮ
ޮ�f  x 

x ��

Khi :
vì

 3  x  � �
 x  1

2

��

 1 x

4

��

10


Khi :

� f  x
ޮ

x � �
vì

 3  x � �
 x  1

2

��

 1 x

4

��

Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

Bài 01.04.1.178.A.142
Tìm giới hạn khi x � � và x � �.
Vẽ phác thảo đồ thị hàm số

11


Lời giải:
Ta có :

ta thấy :
y bị chặn bởi f  0   0
x bị chặn tại điểm 0, -1 ,1 và -2
Từ :

 x  1

2

0

 1  x

2

0

x2  0
� không có sự thay đổi tại x  1 , x  1 và x  0
� hàm số sẽ thay đổi tại x  2
� f  x
ޮ

x ��

Khi :
vì

 x  1

2

��

 x  1

2

��

x2 � �

 x  2 � �
x � �

Khi :
vì

 x  1

2

��

 x  1

2

��

ޮ
ޮ�f  x 

x2 � �
12


 x  2  � �
Vẽ phác họa đồ thị hàm số :

Bài 01.04.1.179.A.142
(a)

Sử dụng định lý Squeeze để tính

(b)

Đồ thị hàm số

đã cắt tiệm cận bao nhiêu lần.

13


Lời giải:
(a)

Ta có

với mọi x

với x  0
Khi :

x ��

1
�  �0
x


1
x

Như vậy theo định lý Squeeze :

14

0


(b)

Theo phần (a), tiệm cận ngang là y  0
Hàm số :

cắt tiệm cận ngang khi sin x  0
� x   n với mọi n
Như vậy , hàm số cắt tiệm cận ngang vô số lần.
Đồ thị hàm số

Bài 01.04.1.180.A.142
f  x  với mọi x  1
Tìm lim
x ��

15


Lời giải:
Ta có :

Từ đó :

Như vậy :

Bài 01.04.1.181.A.142
(a)

Bằng vào đồ thị hàm

tìm x để
(b)

Không sử dụng đồ thị, tính phần (a).

16


Lời giải:
(a)

Đồ thị hàm số

Ta có :

� giao nhau tại x1 �23.03
Nếu :

x  x1
� e x /10  0.1

(b)

Ta có :

17


Bài 01.04.1.182.A.142
Sử dụng đồ thị để tìm số N thỏa mãn: nếu x  N thì

Lời giải:
Đặt :

chú ý rằng :

Đồ thị hàm số :

18


Từ đồ thị , ta tìm thấy x �14.804
Bởi vậy ra chọn N  15

Bài 01.04.1.183.A.143
(a)

Tìm x để cho

(b)

Lấy r  2 theo định lý 5, chúng ta có

Sử định nghĩa 7 để tính.

Lời giải:
(a)

Ta có :

(b)

Nếu   0

Lấy

N

1
, xN


19


Như vây :

Bài 01.04.1.184.A.143
Sử dụng định nghĩa 8 để chứng minh rằng

20


Lời giải:
Ta có với x  0

Nếu cho

Lấy

N 

  0 ta có

1
, xN


Bởi vậy :

Bài 01.04.1.185.A.143
Sử dụng định nghĩa 9 để chứng minh rằng

21


Lời giải:
M 0

Chọn

ta cần tìm N  0 để cho

Ta có :

�N  3 M
Ta có :

Bởi vậy :

Bài 01.04.1.186.A.143
Sử dụng định nghĩa 9 để chứng minh rằng

22


Lời giải:
M 0

Chọn

ta cần tìm N  0 để cho

Ta có :

Ta có :

Bởi vậy :

Bài 01.04.1.187.A.150
(a)

Tìm độ dốc của tiếp tuyến với parabol
tại điểm  1,3
(i) sử dụng định nghĩa 1

(ii) sử dụng phương trình 2

(b)

Tìm phương trình của 1 đường tiếp tuyến trong phần (a)

(c)

Vẽ đồ thị hàm số và đường tiếp tuyến.

23


Lời giải:
(a)

Ta có
(i)

Sử dụng định nghĩa 1 với

ta được :

(ii)

Sử dụng phương trình 2 với

ta được :

24

(b)

Phương trình của đường tiếp tuyến là

hoặc

25