- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
Bài tập về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính có lời giải
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (965.11 KB, 76 trang )
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 04.01.1.001
1 2
4 3
Cho A=
,
B=
2 1 . So sánh AB, BA.
3
4
Lời giải:
1 2 4 3 1.4 2.2 1.3 2.1 8 5
AB=
2 1 3.4 4.2 3.3 4.1 20 13
3
4
4 3 1 2 4.1 3.2 4.2 3.4 13 20
BA=
3 4 2.1 1.3 2.2 1.4 5 8
2
1
Vậy AB BA.
Bài 04.01.1.002
a b
1 2
Cho A=
, B=
Với a c d , 2c 3b . Chứng minh AB=BA
3
c
d
4
Lời giải:
1 2 a b a 2c b 2d
AB=
3 4 c d 3a 4c 3b 4d
a b 1 2 a 3b 2a 4b
BA=
c d 3 4 c 3d 2c 4d
a c d
AB=BA
Với
2c 3b
Bài 04.01.1.003
Sử dụng công thức
cos cos cos sin sin , sin sin cos sin cos
Chứng minh:
cos
sin
sin cos
cos sin
sin cos sin
cos sin cos
Lời giải:
Có
cos
sin
sin cos
cos sin
sin cos cos sin sin
cos sin cos sin cos
cos sin sin cos
cos cos sin sin
cos sin
sin cos
Bài 04.01.1.004
Lũy thừa của ma trận được tính là A2 AA, A3 AAA, …
0 1
Cho A
. Tính A2 , A3 , A4 , A100 .
1 1
Lời giải:
0 1 0 1 1 1
A2
1 1 1 0
1
1
1 1 0 1 1 0
A3 A2 A
1 1 0 1 I
1
0
A4 AA3 AI A
A100 AA99 A A3 A I A
33
33
Bài 04.01.1.005
e
a b
Cho A=
,
B=
g
c d
f
i
,
C=
k
h
Chứng minh AB C A BC
j
l
Lời giải:
Ta có:
af bh i
cf dh k
ae+bg
ce dg
AB C
j
l
ae bg i af bh k
ce dg i cf dh k
ae bg j af bh l
ce dg j cf dh l
a ei fk b gi hk a ej fl b gj hl
a ei fk d gi hk c ej fl d gj hl
a b ei fk
c d gi hk
ej fl
gj hl
A BC (dpcm)
Bài 04.01.1.006
a 0
Chứng minh ma trận giao hoán với A
là ma trận đường chéo, a d .
0 d
Lời giải:
x
Với ma trận bất kì B=
z
y
có:
w
ax ay
ax dy
AB=
và BA=
dz dw
az dw
dz az
Có AB = BA khi
mà a d y z 0 .
dy
ay
Vậy B là ma trận đường chéo.
Bài 04.01.1.007
Chứng minh AB BT AT
T
Lời giải:
a ' b '
a b
Chọn A
,
B
c ' d '
c d
aa ' bc' ab ' bd '
aa ' bc ' ca ' dc '
T
Có AB
AB
cc ' dc' cb ' dd '
ab ' bd ' cb ' dd '
Mặt khác:
a ' c ' a c a ' a c ' b a ' c c ' d
b d b ' a d ' b b ' c d ' d
d
'
B A b '
T
T
Vậy AB BT AT
T
Bài 04.01.1.008
a)Chứng minh kết quả của hai ma trận quay cũng là một ma trận quay.
b)Chứng minh kết quả của hai ma trận nghịch đảo là một ma trận quay.
c)Kết quả của một ma trận nghịch đảo với một ma trận quay?
Lời giải:
Trước hết, nếu A và B là hai ma trận nghịch đảo hoặc quay, ta có:
AB AB
T
AB BT AT A BBT AT AAT I
Vì AB cũng là một ma trận nghích đảo hoặc quay. Ta sử dụng công thức:
det AB det A det B .
a) Ta có : det AB 1 1 1 nên AB là ma trận quay.
b) Ta có: det AB 1 1 1 nên AB là ma trận quay.
c) Ta có: det AB 1 1 1 nên AB là ma trận nghịch đảo.
Bài 04.01.1.009
Tìm ma trận A với A2 I , A không phải là ma trận nghịch đảo.
Lời giải:
1 b
Có rất nhiều ma trận thỏa mãn, ví dụ
với mọi b 0 .
0
1
Công thức tổng quát là:
a 2 bc 1
a b
c a với
b c
Bài 04.01.1.010
Giả sử A là một ma trận quay hoặc ma trận nghịch đảo. Chứng minh AT A1
Lời giải:
a b
Nếu A
là ma trận quay thì det A a 2 b 2 1
b a
1 a b
Ta có: A1
AT
1 b a
a b
Nếu A
là ma trận nghịch đảo thì det A a 2 b 2 1
b a
Ta có: A1
1 a b a b T
A
1 b a b a
Bài 04.01.1.011
Đúng hay sai?
a) det xA x det A
b) det A B det A det B
Lời giải:
a)Sai. Ngay cả với ma trận giống nhau. Đúng phải là det xA x 2 det A
b) Sai. Ví dụ đơn giản A = I, B = -I.
Bài 04.01.1.012
Cho A,B là ma trận vuông thực cấp 2001 thỏa mãn A2001 0 A và AB A B .
Chứng minh:
det(B) = 0
Lời giải:
Từ giả thiết A2001 0 A2001 E 2001 E
A E A2001 A1999 ... A E E
A E 0 A E không suy biến.
Mặt khác từ: AB A B A E B A
Suy ra rank B rank A vì det A 0
rank A 2000 rank B 2000 det B 0 (dpcm)
Bài 04.01.1.013
Cho A là ma trận vuông thỏa mãn điều kiện A2003 0 . Chứng minh rằng với mọi
nguyên dương n ta luôn có:
rank A rank A A2 A3 ... An (1)
Lời giải:
Đặt B E A A2 ... An 1
Dễ có: AB A A2 A3 ... An
Do đó để chứng minh (1) ta chỉ cần chứung minh det B 0
Thật vậy ta có:
B A E An E vì A2003 0 An 2003 E n 2003 E
An E A n
2002
... E E
det An E 0 det B A E 0
det B 0
Vậy rank A rank A A2 A3 ... An
Bài 04.01.1.014
Tìm a thỏa mãn :
1 3 4 4 3 6 7 12 6
a
0 1 1 6 4 2
2
1
1
Lời giải:
7 12 6
1 3 4 4 3 6
a
6 4 2
2 1 1 0 1 1
a 3a 4a 4 3 6
0 1 1
2
a
a
a
4 a 3 3a 6 4a
1 a
1 a
2a
a3
Bài 04.01.1.015
Tìm a thỏa mãn:
3 1 4 1 2 1
a 2 0 3 2 1 2
1 4 0 1 2 6
Lời giải:
2 1
3 1 4 1 3a a 4 1 3a 4 a 1
1 2 a 2 0 3 2 2a 0 3 2 2a 3
2
2 6
1 4 0 1 a 4a 0 1 a
4a 1
a 2
7 không có a thỏa mãn.
a
4
Bài 04.01.1.016
Tìm a, b thỏa mãn:
1 2
2 1 1 4
a
b
3 1 6 1
4
1
Lời giải:
1 4
1 2
2 1 a 2b 2a b
Có :
a
b
4a 3b a b
6
1
4
1
3
1
Ta có hệ:
a 2b 1
2a b 4
a 3
4a 3b 6 b 2
a b 6
Bài 04.01.1.017
1 0 0
Cho ma trận A 0 2 0 .
0 0 3
Tìm A2 , A3 , A4 . Tìm dạng tổng quát của An với mọi n nguyên dương.
Lời giải:
1 0 0 1
A2 0 2 0 0
0 0 3 0
1 0
3
2
A AA 0 2
0 0
0 0 1 0 0
2 0 0 4 0
0 3 0 0 9
0 1 0 0 1 0 0
0 0 4 0 0 8 0
3 0 0 9 0 0 27
1 0 0 1 0 0 1 0 0
A AA 0 2 0 0 8 0 0 16 0
0 0 3 0 0 27 0 0 81
4
3
1 0
Dễ dàng nhận thấy dạng tổng quát A 0 2n
0 0
0
0 với mọi n nguyên dương
3n
n
Bài 04.01.1.001
Tính định thức D
a
b
c
1
b
c
a
1
c
a
b
1
bc
2
ca
2
ab
1
2
Lời giải:
D
abc
b
c
1
bca
c
a
1
cab
1
a
b
1
a
b
c
1
b
c
a
1
c
a
bc
2
ca
2
b
ab
1
2
c1c 3 c 2 c1
abc
ca
2
ab
1
2
1
b
c
1
1
c
a
1
a
b
1 0 do có 2 cột giống nhau.
a b c 1
1
ca
2
ab
1
2
Bài 04.01.1.002
2 3 4 1
Tính định thức D
4 2 3
a
b
3
1 4
2
c d
3
Lời giải:
2 3 4 1
Có: D
4 2 3
2
d3
(1)3 1 a M 31 b M 32 c M 33 d M 34
c d
a
b
3
1 4
3
3 4 1
M 31 2 3 2 27 8 8 3 24 24 8
1 4 3
2 4 1
M 32 4 3 2 18 24 16 – 9 – 16 – 48 15
3 4 3
2 3 1
M 33 4 2 2 12 18 4 6 4 36 12
3 1 3
2 3 4
M 34 4 2 3 16 27 16 24 6 48 19
3 1 4
Vậy D 8a 15b 12c 19d
Bài 04.01.1.003
Tính định thức D
5 a
2 1
4 b
4 3
2
c
3 2
4 d
5 4
Lời giải:
Có: D
5 a
2 1
4 b
4 3
2
c
3 2
4 d
5 4
c2
1
2 1
a M 21 b M 22 c M 23 d M 24
4 4 3
M 12 2 3 2 48 32 30 36 40 32 2
4 5 4
5 2 1
M 22 2 3 2 60 16 10 12 50 16 8
4 5 4
5 2 1
M 32 4 4 3 80 24 20 16 75 32 1
4 5 4
5 2 1
M 42 4 4 3 40 12 12 8 45 16 5
2 3 2
Vậy D 2a 8b c 5d 2a 8b c 5d
Bài 04.01.1.004
1
Tính định thức D
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Lời giải:
1
D
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
d 2 d 1 d 2
d 3 d 1 d 3
d 4 d 1 d 4
1
1
1
0 2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
1 (2) (2) (2) 8
Bài 04.01.1.005
0 1 1 1
Tình định thức D
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
Lời giải:
0 1 1 1
D
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 1 1
c1 c 2
1 1 1 0
1
1
1 1 1
1
0
0 1 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1
0
1
1 1 1 3
d 3 d 1 d 3
d 4 d 1 d 4
1 0
1
1
0 1
1
1
0 1 1
0
0 1
1
0
Bài 04.01.1.006
Tình định thức D
2
5
1
3
7
1 4
3
9
2
7
4
6
1
2
2
Lời giải:
D
2
5
1
3
7
1 4
3
9
2
7
4
6
1
2
2
1 1
1
2
c1 c 3
1
5
2
1
7
3 4
2
9
3
7
1
6
4
2
1 6
1 3 3 12 6 12 3
2
0
Bài 04.01.1.007
Tình định thức D
Lời giải:
3
3 5
8
3
2
4
6
2
5 7
5
4
3
6
5
2
d 2 d 1 d 2
d 3 2 d 1 d 3
d 4 d 1 d 4
1 5
2
0
2
1 6
0
1
1 3
0 1
2
2
0
D
3
3 5
8
3
2
4
6
2
5 7
5
4
3
5
6
2
4
12
1 5 7
3
d 1 d 4 d 1
0
0
2
3
2
4
6
2
5 7
5
4
3
6
5
2
6
9 1 2 5 7
9
1
14
5
1
3
1
0
0
2
0
2
4
12
0
5 7
0
3
1
4
0
4
0
7
1
9
d 2 3 d 1 d 2
d 3 2 d 1 d 3
d 4 4 d 1 d 4
5
9
14
14
5
2 98 54 150 126 45 140 2 9 18
Bài 04.01.1.008
Tình định thức D
3
9
3
6
5
8
2
7
4
5 3 2
7
8 4 5
Lời giải:
D
3
9
3
6
5
8
2
7
4
5 3 2
7
8 4 5
7
1
d 1 d 3 d 1
d 2 d 3 d 2
d 4 d 3 d 4
1
4
0
4
1
3
1
5
4
5 3 2
3
3 1 3
9
1 21 3 18
15 1 15
315 270 189 405 126 315 18
d 2 d 1 d 2
d 3 4 d 1 d 3
d 4 3 d 1 d 4
0 21 3 18
0 15 1 15
Bài 04.01.1.009
1
0 1 1
2
0
1 1
2
1
Tình định thức D 1 2 1
1 0 1
1 1 1
0
1
0
2
1
1
Lời giải:
1
0 1 1
2
1 0 1 1
2
0
1 1
2
1
0 1 1
2
1
D 1
2 1
0
0 2 0
1
1
1 1
1 0 1
0
2
0 0 2 1
4
1 1 1
1
1
0 1 2
3
1
h 2 2 h1 h 2
h 4 h1 h 4
1
h 3 h1 h 3
h 4 h1 h 4
h 5 h1 h 5
1
2
0 2 3
1
0
2
1
4
0
1
2
4
2 3 1
1 2
1 4
1
2 4
8 12 4 1 16 24 1
Bài 04.01.1.010
0
0
5
0
0
0
2
0
2
0
Tình định thức D 1 3 18 6 2
4 17 9 15 2
19 20 24 3 5
Lời giải:
0
1 1
2
1
2 0
1
1
0 2 1
4
1 2
3
0
0
0
5
0
0
1
3
18
6
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
0
D 1
3
18
6
h1 h 3
0
2
0
5
0
0
4
17
9
15 2
17
9
19 20 24
3
4
5
19 20 24
1
3
18
6
2
0
2
0
2
0
h 4 4 h1 h 4
0
h 5 19 h1 h 5
0
5
0
0 1
0
5
63
9
6
2
2
(1)
2 1
0
9
6
5 M 22 5 5
37 117 33
5 594 444 1404 330 5 36 180
Bài 04.01.1.011
1 2 1 4 10
1
3
2 5
3
Tình định thức D 0
0
0
5
3 7
9
0
2 3
7
0
0 3 15
Lời giải:
3
5
2
0
2
0
0
5
0
0
5
63
9
6
37 318 117 33
0 37 318 117 33
h2
15 2
1 2 1 4 10
1 2 1 4 10
1
3
2 5
3
0
5
1 1 7
D 0
5
3 7
h 2 h1 h 2
0
9
5
3 7
9 1
0
0
2 3
7
0
0
2 3
7
0
0
0 3 15
0
0
0 3 15
5 1 1 7
h 2 h1 h 2
0 2 6 16
0 2 3
7
h 3 h 2 h 3
0 0 3 15
5 1
1
7
0 2
6
16
0 0 3 9
0 0
3
5 1 1 7
5 3 7
9
0 2 3
7
0 0 3 15
h 4 h3 h 4
15
5 1
1
7
0 2
6
16
0 0 3 9
0 0
0
6
5 2 (3) 6 180
Bài 04.01.1.012
7
Tình định thức D
3
2 6
8 9 4 9
7 2 7 3
5 3 3 4
Lời giải:
7
D
3
2 6
8 9 4 9
7 2 7 3
7
h 2 h1 h 2
h 3 h1 h 3
h 4 h1 h 4
5 3 3 4
1 12
h 2 7 h1 h 2
h 4 2 h1 h 4
2
2
6
1
12 2
3
0
5
5 3
2
6
1 2
3
12 15
0
87
0
5
5
3
0 30
5
4
3
87
1
h1 2
12 15
12 2
3
7
3
2
0
5
5 3
2
6
1 2
29
6
4 5
1 5
5
3 3 5
5
3
30
5
4
30
5
4
3 580 360 125 750 435 80 3 (50) 150
Bài 04.01.1.013
1 2 1 4 10
1
3
2 5
3
Tính định thức D 0
0
0
5
3 7
9
0
2 3
7
0
0 3 15
Lời giải:
1 2 1 4 10
1 2 1 4 10
1
3
2 5
3
0
5
1 1 7
D 0
5
3 7
d 2 d 1 d 2
0
9
5
3 7
9 1
0
0
2 3
7
0
0
2 3
7
0
0
0 3 15
0
0
0 3 15
5 1 1 7
d 2 d 1 d 2
0 2 6 16
0 2 3
7
d 3 d 2 d 3
0 0 3 15
5 1
1
7
0 2
6
16
0 0 3 9
0 0
3
15
5 1 1 7
5 3 7
9
0 2 3
7
0 0 3 15
d 4 d 3 d 4
5 1
1
7
0 2
6
16
0 0 3 9
0 0
5 2 (3) 6 180
Bài 04.01.1.014
a b
Tính
b
c
c
a trong đó a, b, c là nghiệm của phương trình x3 px q 0
a b
c
Lời giải:
Theo định lí Vi-et ta có: a b c 0
0
6
Cộng cột 1, cột 2 vào cột 3 ta có:
a b abc
a b
c
b
c
a b
c
a b
c
a b 0
c bca b
c
a cab
a 0
c
0 0
Bài 04.01.1.015
a1 b1
b1 c1
c1 a1
Tính a2 b2
a3 b3
b2 c2
c2 a2
b3 c3
c3 a3
Lời giải:
a1 b1
b1 c1
c1 a1
2a1
b1 c1
c1 a1
c1 c 2 c 3 c1
a2 b2
b2 c2
c2 a2 2a 2 b2 c2
c2 a2
a3 b3
b3 c3
c3 a3
c3 a3
a1
b1 c1
c1 a1
a1
b1 c1
c1
2 a2
b2 c2
c1 c 3 c 3
c2 a2
2 a2
b2 c2
c2
a3
b3 c3
c3 a3
b3 c3
c3
2a 3
a3
a1
b1
c1
2 a2
b2
c2
a3
b3
c3
c 3 c 2 c 2
b3 c3
Bài 04.01.1.016
Tính định thức
Lời giải:
1 a1
a2
a3
an
a1
1 a2
a3
an
a1
a2
1 a3
an
a1
a2
a3
1 an
1 a1 ... an
a2
1 a1 ... an 1 a2
a3
...
an
a3
...
an
...
an
VT
1 a1 ... an
a2
1 a3
1 a1 ... an
a2
a3
1
1 a1 ... an
a2
a3
... an
0
1
0
...
0
0
0
1
...
0
0
0
0
...
1
2
... 1 an
1 a1 ... an
Với (1): Cộng các cột (2), (3), …, (n) vào cột (1)
(2): Nhân các dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng (2), (3),…,(n)
Bài 04.01.1.017
0 1 1
... 1
1 0
x
...
x
x 0
...
x
x
x
...
0
1
...
Tính định thức: 1
1
Lời giải:
Với x 0
0
1
1 x 0 ...
VT 1 0 x ...
1
1
0
0
1
0
2
0
... x
n 1
1
x
0
x
1
...
1
0
...
0
0
0
0
x ...
0
0
0
... x
n 1
n 1
n 1
x 1 n 1 x n 2 với n 2
x
Giải thíich:
(1): Nhân dòng (1) với (-x) cộng vào dòng (2), (3),…, (n)
(2): Nhân cột (2), (3),…, (n) với
1
rồi cộng tất cả vào cột (1).
x
Bài 04.01.1.018
5 3 0 0 ... 0 0
2 5 3 0 ... 0 0
Tính định thức: Dn
0 2 5 3 ... 0 0
0 0 0 0 ... 5 3
0 0 0 0 ... 2 5
Lời giải:
Khai triển định thức theo dòng đầu ta có:
2 3 0 ... 0 0
0 5 3 ... 0 0
Dn 5D n 1 3
0 2 5 ... 0 0
0 0 0 ... 5 3
0 0 0 ... 2 5
Tiếp tục khai triển định thức theo cột 1 ta có công thức truy hồi:
Dn 5Dn 1 6Dn 2
Từ (*) có:
* n 3
Dn 2Dn 1 3 Dn 1 2Dn 2
Do công thức đúng với mọi n 3 nên ta có:
Dn 2Dn 1 3 Dn 1 2Dn 2 32 Dn 2 2Dn 3 ... 3n 2 D2 2D1
Tính toán trực tiếp ta có D2 19, D1 5 D2 2D1 9
Dn 2D n 1 3n
1
Mặt khác cũng từ (*) ta có: Dn 3Dn 1 2 Dn 1 3Dn 2
Tương tự như trên ta có:
Dn 3Dn 1 2 Dn 1 3Dn 2 2n 2 D2 3D1 2n (2)
Từ (1) và (2) Dn 3n 1 2n 1
Bài 04.01.1.019
2 4 3 1
1 2 1 4
Tìm hạng của ma trận A
0 1 1 3
1 7 4 4
0
2
1
5
Lời giải:
2 4 3 1
1 2 1 4
A
0 1 1 3
1 7 4 4
0
1 2 1 4
2 d 1 d 2 2 4 3 1
0 1 1 3
1
5
1 7 4 4
2
0
1
5
1 2 1 4 2
1 2 1 4 2
0 0 1 9 4
0 1 1 3 1
d 2 2 d 1 d 2
d 2 d 3
d 4 d 1 d 4
0 1 1 3 1
0 0 1 9 4
0 5 3 0 3
0 5 3 0 3
1 2 1 4 2
1 2 1 4 2
0 1 1 3 1
0 1 1 3 1
d 4 5d 2 d 4
d 42d 3 d 4
0 0 1 9 4
0 0 1 9 4
0 0 2 15 8
0 0 0 33 0
r A 4.
Bài 04.01.1.020
0 2 4
1 4 5
Tìm hạng của ma trận A 3 1
7
0
5
10
2 3
0
Lời giải:
0 2 4
1 4 5
1 4
1 4 5
0 2 4
0 2
d 1 d 2
d 3 3 d 1 d 3
3 1
0 11
A 3 1
7
7
d 5 2 d 1 d 5
0 5 10
0 5 10
0 5
2 3
2 3
0 5
0
0
5
1 4
1 4 5
0
0 1 2
1
2
1
d
3
11
d
2
d
3
d 2 d 2
d 4 5 d 2 d 4
2
r A 2.
0 11 22
0
0
0
d 55d 2 d 5
0
5
10
0
0
0
0 5 10
0 0 0
Bài 04.01.1.021
2 1 3 2 4
Tìm hạng của ma trận A 4 2 5 1 7
2 1 1 8 2
Lời giải:
5
4
22
10
10
2 1 3 2 4
2 1 3 2 4
d 2 2 d 1 d 2
A 4 2 5 1 7
0 0 1 5 1
d 3 d 1 d 3
2 1 1 8 2
0 0 2 10 2
2 1 3 2 4
d 3 2 d 2 d 3
0 0 1 5 1 r A 2.
0 0 0 0 0
Bài 04.01.1.039
1 3 5 1
2 1 5 4
Tìm hạng của ma trận A
5 1 1 7
7 7 9 1
Lời giải:
1 3 5 1
1 3
2 1 5 4
0 7
d 2 2 d 1 d 2
A
5 d 1 d 3
5 1 1 7 dd 34
0 14
7 d 1 d 4
7 7 9 1
0 14
5
1
5
1 3
1 3
0 7 15 6 d 3 1 d 3 0 7 15
6
0 0
0 0
6
0
1
4 6
4
0 0
0 0
r A 4
Bài 04.01.1.040
1
15 6 d 32 d 2 d 3
24 12 d 4 2 d 2 d 4
26 6
1
5
1
1 3
6 d 4 4 d 3 d 4 0 7 15 6
0 0
0
1
0
6
0 6
0 0
5
