On thi vao THPT theo tung chu de.doc

Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

phòng giáo dục & đào Tạo duy tiên
trờng thcs châu sơn
=======&=======
ôn thi thpt theo
chủ đề
Họ và tên : nguyễn thị tạc
Tổ : KHOA HọC tự nhiên
Đơn vị: Trờng THCS Châu Sơn
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
1
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

Mục lục
Mục lục.......................................................................................................................2
Phần I: đại số...............................................................................................................................................2
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.......................................................................................................2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa....................................................................................2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức..............................................................................................................................3
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán...........................................................................................4
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét...............................................................................................6
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai..................................................................................................................................6
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm..............................................................................................7
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc hai cho trớc.8
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm..........................................9
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trớc.................9
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.....................................................................................10
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.............................10
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai..........................................................................11
Chủ đề 3: Hệ phơng trình............................................................................................................................12

A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn:................................................................................12
Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản..................................................................................12
Dạng 2: Giải hệ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.............................................................................................................13
Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc.................................................14
B - Một số hệ bậc hai đơn giản:...................................................................................................15
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I..........................................................................................................................................15
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II.........................................................................................................................................16
Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số................................................................................17
Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị..........................................................................................................................19
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số............................................................................................................................................19
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng..........................................................................................................................19
Dạng 3: Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và parabol...................................................................................................19
Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình..........................................................20
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, trên đờng sông có tính đến dòng nớc chảy).....................................................20
Dạng 2: Toán làm chung làn riêng (toán vòi n ớc).................................................................................................20
Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm...............................................................................................................20
Dạng 4: Toán có nội dung hình học............................................................................................................................20
Dạng 5: Toán về tìm số................................................................................................................................................21
Chủ đề 6: Phơng trình quy về phơng trình bậc hai.....................................................................................21
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số ở mẫu...........................................................................................................................21
Dạng 2: Phơng trình chứa căn thức............................................................................................................................21
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối..........................................................................................................21
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng...............................................................................................................................22
Dạng 5: Phơng trình bậc cao......................................................................................................................................22
Phần II: Hình học......................................................................................................................................23
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình...............................................................................23
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đờng tròn..............23
Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đờng thẳng đồng quy...................................................25
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định...........................................................................................................26
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học................................26

Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích.......................................................................27
Chủ đề 7: Toán quỹ tích...............................................................................................................................27
Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian........................................................................28
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức Biến đổi căn thức.
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa.
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
2
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau).
3x16x 14)
x2x
1
)7
x5
3x
3x
1
13)
x7
3x
6)
65xx
1
12)
27x
x3
5)
35x2x 11) 12x 4)

73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2
++


+


+
+
+

+
+


+
Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức.
Bài 1: Đa một thừa số vào trong dấu căn.
22

x
7
x e) ;
x25
x
5)(x d) ;
5
2
x c) 0);x (với
x
2
x b) ;
3
5
5
3
a)

>
Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)
+++
++

++
++++
Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)
6
1
)
3
216
28
632
( a)
+
+


+

Bài 4: Thực hiện phép tính.
62126,5126,5 e)
77474 d) 25353 c)
535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 )
+++
+++
++++
a
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1

a)
+

+

+
+

+

+
+

+++

+
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
10099
1
...
43
1
32
1
21
1
c)
34710485354b) 4813526a)
+
++

+
+
+
+
+
+++++
Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
3
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a và 0a với,
1a
aa
1
1a
aa

1 b)
b.a và 0b 0,a với,
ba
1
:
ab
abba
a)
22
22
24
++


+


+
>

+
+
+
>>

+
Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
( )( )
a.)y)(1x(1xybiết , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biết , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiết , yxC c)
;1)54(1)54(x với812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33

3
2
=++++++=
=+++++=
=+++++=
+=+=
+
=

=+=
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán.
Bài 1: Cho biểu thức
21x
3x
P


=
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 -
3
).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: Xét biểu thức
1.
a
a2a
1aa
aa
A

2
+
+

+
+
=
a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với
A
.
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 3: Cho biểu thức
x1
x
2x2
1
2x2
1
C

+
+


=
a) Rút gọn biểu thức C.
b) Tính giá trị của C với
9

4
x
=
.
c) Tính giá trị của x để
.
3
1
C
=
Bài 4: Cho biểu thức
222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M

+

=
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu
.
2
3
b
a
=
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 5: Xét biểu thức
.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
P
2

++
+



=
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q

+


+

+

=

a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
4
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 7: Xét biểu thức
( )
yx
xyyx
:
yx
yx
yx
yx
H
2
33
+
+

=
a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A








+

+
+=
a) Rút gọn A.
b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1.
c) Tính các giá trị của A nếu
200622007a
=
.
Bài 9: Xét biểu thức
.
x1
2x
2x
1x
2xx
39x3x
M


+
+

+

+
+
=
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P
+
+



+
+

=
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1

P
=
c) So sánh P với
3
2
.
Bài 11: Cho biểu thức:









+

+









=
1

1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P > 0.
Bài 13: Cho biểu thức:
1
1
1
1
1
+

+
+
=
aa
A

a) Rút gọn A.
b) Tìm a để
2
1
=
A
Bài 14: Cho biểu thức:
x
x
x
x
xx
x
A
1
.
1
2
12
2
+

++
+
=
a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức
2
2
:
11

+








+
+



=
a
a

aa
aa
aa
aa
A
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biểu thức:
( )
1
122
:
11

+








+
+



=

x
xx
xx
xx
xx
xx
A
a) Rút gọn A
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
Bài 17: Cho biểu thức:



















+

+

=
2
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
A
với
1;0

xx
a) rút gọn A
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
5
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 18: Cho biểu thức:
x
x
x
x
xx

A



+
+
++
=
1
1
1
12
( với
)1;0

xx
a) Rút gọn A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để
A
6
nhận giá trị nguyên.
Bài Tập bổ sung
Bài 1: Giải phơng trình:
a)
4
8003
3
1002

=

xx
b)
0
6
35
5
14
=
+


xx
c)
05
3
)2(
=
+
xx
d)
2
1
23
3
15
=

+
+
x
x
x
x
e)
52429
=
xx
f)
xx
=
252
Bài 2: Giải bất phơng trình:
a)
6
1005
5
603

>

xx
b)
25
51
10
34
5

1 xxx

<
+


c)
( ) ( )( )
32452
2
+++
xxxx
1. Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai:
Bài 1: Tính
a)
520

b)
( )
3:486278

c)
1825

d)
( )( )
1212
+
e)
312

f)
38.2

g)
( ) ( )
46
2534
+
h)
( )
878
2

i)
01,0.
64
49
.144
k)
( )
2.503218
+
l)
1622001850
+
m)
3521
106
+

+
n)
15
526


p)
( )( ) ( )( )
32325353
++
q)
45
36
:
15
3
Bài 2: Tính:
a)
( )
3:122273487
+
b)
7:7
7
16
7
1

+
c)
23
1
23
1

+
+
d)
35
35
35
35

+
+
+

e)
( )
32
12
22
3

323
+
+
+
+
+
f)
526526
++
Bài 3: Phân tích ra thừa số
a)
531533
+
b)
2
11 aa
+
( với 1 < a < 1 ) c)
7
2

x
d)
772
2
++
xx
e)
2233
abbaba

+
f)
32
yxyyx
+
Bài 4: Rút gọn:
a) A=
aa 25255
2

với a < 0 b) B =
aa 349
2
+
với
0

a
c) C =
963
2
+++
xxx
với x < - 3 d) D =
( )
3
2
4
2 aaa
+

với a < 2
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A =
2
2
9
49
7
3
x
y
y
x
với x > 0; y < 0 b) B =
( )
4
292
22
22
yxyx
yx
++

với x > - y
c) C =
aaa 644925
+
với a > 0 d) D =
yx
xyx

+
với
yxyx
>>
;0;0
Bài 6: Giải phơng trình:
a)
0149
2
=+
xx
b)
1212
=
x
c)
05244
2
=++
xxx
d)
1448234125
=+
xxx
e)
4459
3
1
5204

=+
xxx
f)
121
=+
xx
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai và định lí Viét.
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai.
Bài 1: Giải các phơng trình
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
6
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2
2x 2 = 0 ;
7) x
2

+ 2
2
x + 4 = 3(x +
2
) ; 8) 2
3
x
2
+ x + 1 =
3
(x + 1) ;
9) x
2
2(
3
- 1)x - 2
3
= 0.
Bài 2: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:
1) 3x
2
11x + 8 = 0 ; 2) 5x
2
17x + 12 = 0 ;
3) x
2
(1 +
3
)x +
3

= 0 ; 4) (1 -
2
)x
2
2(1 +
2
)x + 1 + 3
2
= 0 ;
5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) (
3
+ 1)x
2
+ 2
3
x +
3
- 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm.
Bài 1: Chứng minh rằng các phơng trình sau luôn có nghiệm.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ;
5) x
2
(2m + 3)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 ; 6) x
2
2x (m 1)(m 3) = 0 ;
7) x
2
2mx m
2
1 = 0 ; 8) (m + 1)x
2
2(2m 1)x 3 + m = 0
9) ax
2

+ (ab + 1)x + b = 0.
Bài 2:
a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phơng trình sau luôn có nghiệm:
(x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) = 0
b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phơng trình sau có hai nghiệm phân biết:
x) (ẩn 0
cx
1
bx
1
ax
1
=

+

+

c) Chứng minh rằng phơng trình: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2

= 0 vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba
cạnh của một tam giác.
d) Chứng minh rằng phơng trình bậc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phơng trình bậc hai sau đây có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x
2

+ 2ax + 4b
2
= 0 (1)
x
2
- 2bx + 4a
2
= 0 (2)
x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất 2 phơng trình có nghiệm.
c) Cho 3 phơng trình (ẩn x sau):
(3) 0
cb
1
x
ba
ba2a
cx
(2) 0
ba
1

x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac
1
x
cb
cb2b
ax
2
2
2
=
+
+
+
+

=
+
+
+
+

=
+
+
+

+

với a, b, c là các số dơng cho trớc.
Chứng minh rằng trong các phơng trình trên có ít nhất một phơng trình có nghiệm.
Bài 4:
a) Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phơng trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0) có hai nghiệm nếu một trong hai điều kiện
sau đợc thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
7
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm của phơng trình bậc
hai cho trớc.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phơng trình: x
2
3x 7 = 0.
Tính:
( )( )

4
2
4
1
3
2
3
1
1221
21
21
2
2
2
1
xxF ;xxE
;x3xx3xD ;
1x
1
1x
1
C
;xxB ;xxA
+=+=
++=

+

=
=+=

Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1x
1
và
1x
1
21

.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình: 5x
2
3x 1 = 0. Không giải phơng trình, tính giá trị
của các biểu thức sau:
.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x

1x
x
x
x
B
;x3x2xx3x2xA
2
2
1
2
21
2
221
2
1
2
211
2
1
2
2
1
2
1
2
21
3
22
2
1

3
1
+
++
=









+
++
+
+=
+=
Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phơng trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phơng trình hãy thành
lập phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
q
và
1q
p

.
b) Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là
2610
1
và
7210
1
+
.
Bài 4: Cho phơng trình x
2
2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm x
1
; x
2
với mọi m.
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mãn
1
22
2
11
x
1
xy và
x
1
xy
+=+=
.

Bài 5: Không giải phơng trình 3x
2
+ 5x 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau:
( )( )
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA
+
+
+
==

+

==
Bài 6: Cho phơng trình 2x
2
4x 10 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Không giải phơng trình hãy thiết lập
phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn: y
1
= 2x
1
x
2
; y
2
= 2x
2
x
1
Bài 7: Cho phơng trình 2x
2
3x 1 = 0 có hai nghiệm x
1

; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:







=
=



+=
+=
1
2
2
2
2
2
1
1

22
11
x
x
y
x
x
y
b)
2xy
2xy
a)
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
8
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

Bài 8: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy thiết lập phơng trình ẩn y có hai
nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:

=+++
+=+







+=+
+=+
0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2

2
2
1
2
2
2
121
21
1
2
2
1
1
2
2
1
21
Bài 9: Cho phơng trình 2x
2
+ 4ax a = 0 (a tham số, a 0) có hai nghiệm x
1
; x
2
. Hãy lập phơng trình
ẩn y có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:
21

2121
21
xx
y
1
y
1
và
x
1
x
1
yy
+=++=+
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x
2
+ 2(m 1)x m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phơng trình (2m 1)x
2
2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phơng trình có nghiệm.
a) Cho phơng trình: (m 1)x
2
2mx + m 4 = 0.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm.
- Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
b) Cho phơng trình: (a 3)x

2
2(a 1)x + a 5 = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 2:
a) Cho phơng trình:
( )
06mm
1x
x12m2
12xx
4x
2
224
2
=+
+


++
.
Xác định m để phơng trình có ít nhất một nghiệm.
b) Cho phơng trình: (m
2
+ m 2)(x
2
+ 4)
2
4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x

2
= 0. Xác định m để phơng
trình có ít nhất một nghiệm.
Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho tr-
ớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x
2
2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phơng trình có hai nghiệm cùng dơng (cùng âm).
5) Định m để phơng trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
x
2
= - 2.
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao cho A = 2x
1

2
+ 2x
2
2
x
1
x
2
nhận giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
a) (m + 1)x
2
2(m + 1)x + m 3 = 0 ; (4x
1
+ 1)(4x
2
+ 1) = 18
b) mx
2
(m 4)x + 2m = 0 ; 2(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2
c) (m 1)x

2
2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2
d) x
2
(2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1
x
2
5(x
1
+ x
2
) + 7 = 0.
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
9
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

a) x
2
+ 2mx 3m 2 = 0 ; 2x
1
3x
2
= 1
b) x
2
4mx + 4m
2
m = 0 ; x
1
= 3x
2
c) mx
2
+ 2mx + m 4 = 0 ; 2x
1
+ x
2
+ 1 = 0
d) x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0 ; x
1
= x

2
2
e) x
2
+ (2m 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2
f) x
2
4x + m
2
+ 3m = 0 ; x
1
2
+ x
2
= 6.
Bài 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x
2
(2m 1)x 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phơng trình có
hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

b) Ch phơng trình bậc hai: x
2
mx + m 1 = 0. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
sao
cho biểu thức
)xx2(1xx
3x2x
R
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phơng trình sau đây bằng 2.
mx
2
(m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia là 9ac = 2b

2
.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phơng
trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là :
kb
2
= (k + 1)
2
.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm của phơng trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
;
x
2
thoả mãn 1 < x
1
< x
2
< 6.
b) Cho phơng trình 2x
2
+ (2m 1)x + m 1 = 0. Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân

biệt x
1
; x
2
thoả mãn: - 1 < x
1
< x
2
< 1.
Bài 2: Cho f(x) = x
2
2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm
lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị nào của tham số a, phơng trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
+ 2(m 1)x (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x
2
mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
- 2 x

2
.
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phơng trình: x
2
mx + 2m 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình
không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x
2
2(m + 2)x + 2(m 1) = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phơng trình: 8x
2
4(m 2)x + m(m 4) = 0. Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
;
x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số 1 và
1.
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)
2
x
2
(m 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phơng trình có nghiệm,
hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Bài 3: Cho phơng trình: x
2
2mx m

2
1 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
; x
2
không phụ thuộc vào m.
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
10
Ôn thi vào lớp 10 theo chủ đề

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn:
2
5
x
x
x
x
1
2
2

1
=+
.
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x
2
2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phơng trình theo m.
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
x
2
| 2.
Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x
2
2(m 2)x + m 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phơng trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thì: 4x

1
x
2
3(x
1
+ x
2
) + 2 = 0.
Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phơng trình bậc hai.
Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị của tham số để phơng trình này có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng
trình kia:
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ax
2
+ bx + c = 0 (2)
trong đó các hệ số a, b, c, a, b, c phụ thuộc vào tham số m.
Định m để sao cho phơng trình (2) có một nghiệm bằng k (k 0) lần một nghiệm của phơng trình (1), ta
có thể làm nh sau:
i) Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình (1) thì kx
0
là một nghiệm của phơng trình (2), suy ra hệ
phơng trình:
(*)
0c'kxb'xka'

0cbxax
0
2
0
2
0
2
0





=++
=++
Giải hệ phơng trình trên bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.
Xét hai phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (3)
ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) (4)
Hai phơng trình (3) và (4) tơng đơng với nhau khi và chỉ khi hai phơng trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả
tập nghiệm là rỗng).
Do đó, muỗn xác định giá trị của tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau ta xét hai trờng
hợp sau:
i) Trờng hợp cả hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

<
<
0
0
)4(
)3(
Giải hệ trên ta tịm đợc giá trị của tham số.
ii) Trờng hợp cả hai phơng trình đều có nghiệm, ta giải hệ sau:







=
=


(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS

0
0
Chú ý: Bằng cách đặt y = x
2
hệ phơng trình (*) có thể đa về hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn nh sau:
GV : Nguyễn Thi Tac Trờng THCS Châu Sơn
11