Đề thi và đáp án GT1 k57 XD

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Đề số 1 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi
2n

Câu 1 (1,5 điểm) Cho dãy số un

+
n=1

đ-ợc xác định bởi un =
k=1

Câu 2 (1,5 điểm) Tìm giới hạn lim

x0

1
2
2
1 cos x x

(1)k1
. Chứng minh dãy un
2k

+
n=1

hội tụ.

.

Câu 3 (2,0 điểm) Cho hàm f : R R,
f (x) =

1
|x|
ax2 +

b

nếu|x|

1

nếu|x|

1.

a. Tìm các số thực a, b để f liên tục trên R. Dựng đồ thị của f (x) với a = 1, b = 0 vừa tìm đ-ợc.
b. Khi f liên tục trên R thì f (x) có khả vi tại x = 1 không?
Câu 4 (2,0 điểm) Cho f (x) = x sin 3x.
a. Tìm công thức tính đạo hàm cấp n của f (x).
b. Viết khai triển Mac-Laurin của hàm f (x) đến x7 .

+

Câu 5 (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng
1

arctan x1
dx.
x3

Câu 6 (1,5 điểm) Tính thể tích phần không gian nằm trên mặt phẳng xOy giới hạn bởi mặt trụ x2 + y 2 = 9, mặt
phẳng z = 0 và mặt phẳng () chứa trục Oy đồng thời () tạo với mặt phẳng xOy một góc là 30o .

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Đề số 2 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi
2n

Câu 1 (1,5 điểm) Cho dãy số un

+
n=1

đ-ợc xác định bởi un =
k=1

Câu 2 (1,5 điểm) Tìm giới hạn lim

x0

1
1

x2 x sin x

(1)k1
. Chứng minh dãy un
2k 1

+
n=1

hội tụ.

.

Câu 3 (2,0 điểm) Cho hàm f : R R,
f (x) =

1
|x|
ax2 +

b

nếu|x|

2

nếu|x|

2.

a. Tìm các số thực a, b để f liên tục trên R. Dựng đồ thị của f (x) với a = 0, b =
b. Khi f liên tục trên R thì f (x) có khả vi tại x = 2 không?

1
2

vừa tìm đ-ợc.

Câu 4 (2,0 điểm) Cho f (x) = x sin 3x.
a. Tìm công thức tính đạo hàm cấp n của f (x).
b. Viết khai triển Mac-Laurin của hàm f (x) đến x6 .
+

ln(x2 + 3)
dx.
x4
1
Câu 6 (1,5 điểm) Tính thể tích phần không gian nằm trên mặt phẳng xOy giới hạn bởi mặt trụ x2 + y 2 = 4, mặt
phẳng z = 0 và mặt phẳng () chứa trục Oy đồng thời () tạo với mặt phẳng xOy một góc là 60o .

Câu 5 (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số un
+
n=1

a. Chứng minh dãy un

+
n=1

biết u1 = 1, un+1 =


3

Đề số 3 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

6 + un .

hội tụ.

b. Tính giới hạn lim un .

n


1+x
Câu 2 (2,0 điểm) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm f (x) =
đến x5, từ đó suy ra f (5)(0).
cos x
x tan x
.
x0 x ln (1 2x2 )

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim
Câu 4 (2,0 điểm)

+

a. Xét sự hội tụ phân kỳ của tích phân suy rộng
0
+

b. Tính tích phân
1

x2 + sin x

dx.
x6 + 1

ln(1 + x)
dx.

x2

Câu 5 (2,0 điểm) Tính thể tích phần không gian hữu hạn đ-ợc giới hạn bởi các mặt z = x2 +

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Câu 1 Cho dãy số un

+
,
n=1

a. Chứng minh dãy un

biết u1 = 1, un+1 =
+
n=1


3

y2
và z = 1.
4

Đề số 4 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

24 + un .

hội tụ.

b. Tính giới hạn lim un .
n

Câu 2 (2,0 điểm) Viết khai triển của Mac-Laurin của hàm f (x) =
Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

ln(1 + x)
đến x5, từ đó suy ra f (5)(0).
cos x

x sin x
.
3x)

x0 x2 ln (1

Câu 4 (2,0 điểm)
+

a. Xét sự hội tụ phân kỳ của tích phân suy rộng
0

2x2 + x sin x2

dx.
x3 + 1

1

b. Tính tích phân

(ln(1 + x) ln x)dx.
0

Câu 5 (2,0 điểm) Tính thể tích phần không gian hữu hạn đ-ợc giới hạn bởi các mặt z =

x2
+ y 2 và z = 1.
9


Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

1

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số un =

xn sin

0

Đề số 5 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

x
dx, n = 1, 2, ...
2

a) Chứng minh dãy un đơn điệu giảm, bị chặn d-ới.
b) Chứng minh un =

4n
2 [1

(n 1)un2 ], n 3, từ đó chứng minh lim un = 0.
n+

Câu 2 (2,0 điểm) Viết khai triển Taylor tại điểm x = 2 đến cấp 10 của hàm số f (x) =

1
. Từ đó hãy
(1 + x)(3 x)

tính đạo hàm f (10)(2).

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

x0

1 + tan x
x3



1 + sin x

.

Câu 4 (2,0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D = (x, y) : x2 + y 2 10, y 2 9x .
+

Câu 5 (2,0 điểm) Tính tích phân

(x 3) dx
.
(3x + 1)(x2 + 1)

1

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

1

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số un =

xn cos
0

Đề số 6 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

x
dx, n = 1, 2, ...
2

a) Chứng minh dãy un đơn điệu giảm, bị chặn d-ới.
b) Chứng minh un =


2



4
2 n(n

1)un2 , n 3, từ đó chứng minh lim un = 0.
n

Câu 2 (2,0 điểm) Viết khai triển Taylor tại điểm x = 1 đến cấp 10 của hàm số f (x) =

tính đạo hàm f (10)(1).

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

x0

1 tan x
x3



1 sin x

.

Câu 4 (2,0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D = (x, y) : x2 + y 2 5, x2 4y .
+

Câu 5 (2,0 điểm) Tính tích phân
1

(x 2) dx
.
(2x + 1)(x2 + 1)

1
. Từ đó hãy
(1 + x)(2 x)


Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích

Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Đề số 7 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi


2
ex 1 x 2 + x 3
Câu 1 (2,0 điểm) Tính giới hạn lim
.
x0
ln (1 + x2)
Câu 2 (2,0 điểm) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số y =
3

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm cực trị của hàm số f (x) =
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm nguyên hàm



x2

1
tới x4 . Từ đó hãy tính y (4)(0).
1 x + x2

(x2 2x + 5)2
x

.

dx
1x

Câu 5 (2,0 điểm)
0

dx

a. Chứng minh tích phân suy rộng


(x2

+ x + 1)2

hội tụ.

+

dx

b. Tính tích phân suy rộng


(x2

+ x + 1)2

.

Câu 6 (1,0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong r = 2 (1 + cos ) trong tọa độ cực.

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Đề số 8 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi


2
ex 1 + 2x2 + x3
Câu 1 (2,0 điểm) Tính giới hạn lim
.
x0
ln (1 + x3 )
Câu 2 (2,0 điểm) Viết công thức khai triển Mac-Laurin của hàm số y = sin x + x2 tới x5 . Từ đó hãy tính y (5)(0).
3

Câu 3 (1,0 điểm) Tìm cực trị của hàm số f (x) =
Câu 4 (2,0 điểm) Tìm nguyên hàm

(x2 4x + 8)2
x1

.

(x 1) (3 x)dx.

Câu 5 (2,0 điểm)
1

dx

hội tụ
3
1x

a. Chứng minh tích phân suy rộng loại hai
0
1

dx

.
(2 x) 1 x

b. Tính tích phân
0

Câu 6 (1,0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị đ-ờng cong r = 2cos2 trong tọa độ cực.


Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Đề số 9 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

x2 ln cos x
1
cos .
x0 x sin x
x

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

Câu 2 (1,5 điểm) Viết công thức Mac-laurin của f (x) = cos x ln(1 + x) đến x5, từ đó suy ra f (5)(0).
1
n n2

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

2n2 + 1 +

2n2 + 2 + ã ã ã +

2n2 + n .

+

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử tích phân suy rộng

f (x)dx hội tụ tuyệt đối và f (x) là hàm liên tục trên [1, +).
1

+

Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau:

(f (x) +
1

1 2
) dx,
x

+

f (x) arctan xdx.
1

Câu 5 (2,0 điểm)
1

a. Hỏi tích phân sau hội tụ hay phân kì
0
1

b. Tính tích phân suy rộng

0

1 + x2

dx.
1 x2

1+x

dx.
1x

Câu 6 (1,5 điểm) Tính thể tích của miền hữu hạn trong không gian đ-ợc giới hạn bởi các mặt 2z 2 = x2 +
x2 +

y2
z 2 = 1.
4

Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

y2
và
4

Đề số 10 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

x2 ln cos x
1
sin .
x0 (tan x x)
x

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

Câu 2 (1,5 điểm) Viết công thức Mac-laurin của f (x) = sin x ln(1 + x) đến x5 , từ đó suy ra f (5)(0).
Câu 3 (2,0 điểm) Tìm giới hạn lim

n

1
n2

3n2 + 1 +

3n2 + 2 + ã ã ã +

3n2 + n .

+

Câu 4 (1,0 điểm) Giả sử tích phân suy rộng

f (x)dx hội tụ tuyệt đối và f (x) là hàm liên tục trên [1, +).

1

+

Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau:

(f (x)
1

1 2
) dx,
x

+

f (x) ln(1 + x)dx.
1

Câu 5 (2,0 điểm)
1

a. Hỏi tích phân sau hội tụ hay phân kì
0
1

b. Tính tích phân suy rộng
0

3 2x2

dx.
1 x3

2+x

dx.
2x

Câu 6 (1,5 điểm) Tính thể tích của miền hữu hạn trong không gian đ-ợc giới hạn bởi các mặt 2z 2 =
x2
+ y 2 z 2 = 1.
9

x2
+ y 2 và
9


Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số un

a. Chứng minh rằng un+1 =

+

n=1
u2n +

đ-ợc xác định bởi u1
un , n

Đề số 11 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

1, un+1 =



u1 + u2 + ... + un .

1. Từ đó, hãy chứng minh dãy un

+
n=1

phân kì.

b. Tính giới hạn lim (un+1 un ).
n

2x2 + 2 cos2 x sin x1
.
Câu 2 (2,0 điểm) Tính giới hạn lim
x+
1 + x2 + x4 + arctan x

sin(2x2)
Câu 3 (2,0 điểm) Viết khai triển của Mac-Laurin của hàm f (x) =
đến x5, từ đó suy ra f (5)(0).
x
x

tf (t)dt


0

với x > 0
x
Câu 4 (2,0 điểm) Cho f (x) = 1 + x3 , đặt F (x) =
f (t)dt

0



0
với x = 0.

Chứng minh hàm F (x) liên tục phải tại x = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của F (x) trên [0, +).
Câu 5 (2,0 điểm)
+

a. Tính tích phân suy rộng
0

arctan x
dx.
1 + x2
+

b. Xét sự hội tụ phân kỳ của tích phân
1

Tr-ờng ĐHXD

arctan x
dx.
x

Đề thi môn Giải tích
Thời gian làm bài 90 phút

Bộ Môn Toán

Câu 1 (2,0 điểm) Cho dãy số un

a. Chứng minh rằng un+1 =

+
n=1
u3n +

đ-ợc xác định bởi u1
un , n

Đề số 12 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

1, un+1 =


3

u1 + u2 + ... + un .

1. Từ đó, hãy chứng minh dãy un

+
n=1

phân kì.

b. Tính giới hạn lim (un+1 un ).
n



Câu 2 (2,0 điểm) Tính giới hạn lim

x+

1 + x + x2 + sin2 x cos x1

.
3

x + 3x3 arctan2 x

ln (1 + 2x2)
Câu 3 (2,0 điểm) Viết khai triển Mac-Laurin của hàm f (x) =
đến x5 , từ đó suy ra f (5) (0).
x
x


0 tf (t)dt


với x > 0
x
Câu 4 (2,0 điểm) Cho f (x) = 1 + x5 , đặt F (x) =
f (t)dt

0



0
với x = 0.

Chứng minh hàm F (x) liên tục phải tại x = 0 và tìm giá trị nhỏ nhất của F (x) trên [0, +).
Câu 5 (2,0 điểm)
+

arctan x
dx.

1 + x2
1
1
arctan x
b. Xét sự hội tụ phân kỳ của tích phân
dx.
x
0

a. Tính tích phân suy rộng


Đáp án và thang điểm đề số 1 Giải tích
Câu 1 (1,5 điểm): un =
Do đó hội tụ.

1
2

1
(1 12 ) + ( 13 14 ) + ... + ( 4n1


1
4n )

< 12 . Suy ra un là dãy tăng và bị chặn trên.

Câu 2 (1,5 điểm): I = 16 .
Câu 3 (2 điểm):

a. f liên tục khi và chỉ khi a + b = 1.
b. a = 12 thì f khả vi tại x = 1. Còn a = 12 thi f không khả vi vì đạo hàm hai phía khác nhau.
Câu 4 (2 điểm):
n1 sin(3x +
a. Theo công thức Leibnitz f n (x) = nk=0 Cnk (x2)(k) sin(nk) 3x = x2 3n sin(3x + n
2 ) + 2xn3
(n1)
) + 2. n(n1)
. sin(3x + (n2)
).
2
2
2

b. f (x) = x2 3x

(3x)3
3!

Câu 5 (1,5 điểm): Đặt t =

+

(3x)5
5!

+ 0(x5) = 3x3 92 x5 +

35 7
120 x

+ 0(x7).

1

1
x

và tích phân từng phần: I = 0 t arctan tdt = 4 12 .


Câu 6 (1,5 điểm): Mặt phẳng () : x 3z = 0 hoặc () : x + 3z = 0. Cắt vật thể bởi mp vuông góc với trục
3

1
2
(9

y
).
Suy
ra
thể
tích
là:
V
=
S(y)dy
=
6

3.
Oy, thiết diện S(y) = 2
3
3

Đáp án và thang điểm đề số 2 Giải tích
1
Câu 1 (1,5 điểm): un = (1 13 ) + ( 15 17 ) + ... + ( 4n1

đó hội tụ.

1
4n+1 )

< 1. Suy ra un là dãy tăng bị chặn trên. Do

Câu 2 (1,5 điểm): I = 16 .
Câu 3 (2 điểm):
a. f liên tục khi và chỉ khi 4a + b = 12 .
1
1
thì f khả vi tại x = 2. Còn a = 16
thi f không khả vi vì đạo hàm hai phía khác nhau.
b. a = 16
Câu 4 (2 điểm):
n1
cos(3x +
a. Theo công thức Leibnitz f n (x) = nk=0 Cnk (x2)(k) cos(nk) 3x = x2 3n cos(3x + n
2 ) + 2xn3
(n1)

n(n1)
(n2)
) + 2. 2 . cos(3x + 2 ).
2

b. f (x) = x2 1

(3x)2
2!

+

(3x)4
4!

+ 0(x4) = x2 92 x4 +

81 6
24 x

+ 0(x6).


Câu 5 (1,5 điểm): Tích phân từng phần I = ln34 + 13 9
.
3


Câu 6 1,5 điểm): Mặt phẳng () : 3y z = 0 hoặc () : 3y + z = 0. Cắt
vật thể bởi mp vuông góc với trục Ox,

2

16 3
S(x)dx =
.
thiết diện S(x) = 23 (4 x2). Suy ra thể tích là: V = 2
3
2


Đáp án và thang điểm đề số 3 Giải tích
Câu 1 (2 điểm):
a. Bằng quy nạp chứng minh dãy tăng và bị chặn trên. Do đó hội tụ.
b. Giới hạn L = 2.

1
x2
x4
x2
5x4
Câu 2 (2 điểm): Ta có cos x = 1
+
+ o(x5 ) nên
= 1+
+
+ o(x5) và 1 + x =
2
24
cos x
2

24
2
3
x
1
+
x
x2
x3
5x4
7x5
x
3x
5x
41x4
125x5
1+
+

+
+ o(x5 ). Do đó
= 1+ +
+
+
+
+ o(x5).
2
8
16
128

256
cos x
2
8
16
384
768
125
625
.
=
Vậy f (5)(0) = 5!
768
32
Câu 3 (2 điểm): Dùng t-ơng đ-ơng và khai triển Mac-Laurin hoặc quy tắc Lopital: I = 16 .
Câu 4 (2 điểm):
a. Tích phân hội tụ.
b. Tích phân từng phần: I = 2 ln 2.
y2
y2
Câu 5 (2 điểm): Miền cần tính bao gồm nửa elipxoid x2 +
với z nằm giữa 0 và
+ z 2 2z = 0 và z = x2 +
4
4
1
4
4
7
1. Do đó, thể tích miền cần tính là +

2zdz = + = .
3
3
3
0

Đáp án và thang điểm đề số 4 Giải tích
Câu 1 (2 điểm):
a. Bằng quy nạp chứng minh dãy tăng và bị chặn trên. Do đó hội tụ.
b. Giới hạn L = 3.
1
x2
x4
x2
5x4
Câu 2 (2 điểm): Ta có cos x = 1
+
+ o(x5) nên
= 1+
+
+ o(x5) và ln(1 + x) =
2
24
cos x
2
24
x 2 x3 x4 x5
ln(1 + x)
23
x2 5x3 x4 23x5

x
. Vậy f (5) (0) = 5! = 69.
+

+
+ o(x5). Do đó
=x
+

+
2
3
4
5
cos x
2
6
2
40
40
Câu 3 (2 điểm): Dùng t-ơng đ-ơng và khai triển Mac-Laurin hoặc quy tắc Lopital: I = 1
.
18
Câu 4 (2 điểm): a. Tích phân kì
b. Đặt t = x1 , đ-a về tích phân đề trên: I = 2 ln 2.
x2
x2
Câu 5 (2 điểm): Miền cần tính bao gồm nửa elipxoid
+ y 2 + z 2 2z = 0 và z =
+ y 2 với z nằm giữa 0 và

9
9
1
3
7
1. Do đó, thể tích miền cần tính là 2 +
3zdz = 2 + = .
2
2
0


Đáp án và thang điểm đề số 5 Giải tích
Câu 1 (2 điểm)
n+1 sin x 0, x [0, 1] nên u u
a) Vì xn sin x
n
n+1 0, n 1.
2 x
2
b) Lấy tích phân từng phần
1

2
un =


1

x

x
2 n
x d cos
=
(x cos
2

2
n

1

0
1

4n
= 2


nxn1 cos


0

x
dx)
2

0
1

x

n1

x
x
4n
d sin
= 2 (xn1 sin
2

2

1

(n 1)xn2 sin


0

0

x
dx)
2

0
1

=

4n
(1 (n 1)
2

xn2 sin

x
4n
dx) = 2 [1 (n 1)un2 ].
2


0
2

Viết un2 = 1 4nun
Câu 2 (2 điểm) Ta có
f (x) =

1
n1

sau đó cho n ta đ-ợc limn un = 0.

1
1
1
1

1
=
+
=
+
(1 + x)(3 x)
4(3 x) 4(1 + x)
4(1 (x 2)) 12(1 +

Do đó
f (x) =

1
4

n

(x 2)k +
k=0

Vậy

n

f (x) =
k=0

1 + tan x
x0
x3
Câu 4 (2 điểm) Diện tích cần tính
Câu 3 (2 điểm) lim

1
12

n

(1)k (
k=0

x2
3 )

x2 k
) + o((x 2)n ).
3

1 (1)k
( +
)(x 2)k + o((x 2)n ).
4
12.3k

1 + sin x

tan x sin x
1


= .
4
1 + tan x + 1 + sin x)

= lim

x0 x3 (

3

S=2

( 10

y2

3

y2
)dy = 2 + 2
9

0

10 y 2 dy.
0

Suy ra
3

3

10 y 2 dy = 2(y

S+2=2

10 y 2

3

y d 10 y 2 )


0

0

0
3

=6+2

y2
10

0

3

y2

dy

dy = 6 + 20

10 y 2

0

(S + 2).

Vậy
3

dy

S = 1 + 10
0

y
= 1 + 10 arcsin
2
10
10 y

3

0

3
= 1 + 10 arcsin .
10

SV có thể tính S bằng cách đổi biến
arcsin 3

3

S = 2 + 2

10

10
0

y 2 dy

3
10 cos2 t dt = 1 + 10 arcsin .
10

= 2 + 2
0

.

Câu 5 (2 điểm)
+

+

(x 3) dx
=
(3x + 1)(x2 + 1)
1

(

x2

x
3
1 8

)dx = ln .
+ 1 3x + 1
2 9

1

Đáp án và thang điểm đề số 6 Giải tích
Câu 1 (2 điểm)
n+1 cos x 0, x [0, 1] nên u u
a) Vì xn cos x
n
n+1 0, n 1. b)

2 x
2
1

2
un =


1

x
x
2
x d sin
= (xn sin
2

2
n

0

1

nxn1 sin


0

x

dx)
2

0
1

2
2n
= (1 +



1

x

x
x
2 4n
d cos
) = + 2 (xn1 cos
2

2

n1

1

(n 1)xn2 cos

0

0

x
dx)
2

0
1

=

2 4n(n 1)


2

xn2 cos

x
4n(n 1)
un2 .
dx =
2
2
2

0
2


Viết un2 = ( 2 un ) 4n(n1)
sau đó cho n ta đ-ợc lim un = 0.
n

Câu 2 (2 điểm) Ta có
f (x) =

1
1
1
1
1
=
+
=
.

x1
(1 + x)(2 x)
3(1 + x) 3(2 x)
6(1 + 2 ) 3(1 (x 1))

Do đó
f (x) =

1

6

n

(1)k (
k=0

Vậy

n

f (x) =

(
k=0

x1 k 1
)
2
3

n

(x 1)k + o((x 1)n ).
k=0

(1)k 1
)(x 1)k + o((x 1)n ).
6.2k
3

1 tan x 1 sin x
tan x + sin x
1

Câu 3 (2 điểm) lim
= lim 3
= .
3
x0
x0 x ( 1 tan x + 1 sin x)
x
4
Câu 4 (2 điểm) Diện tích cần tính
2

S=2

2

x2
4
( 5 x2 )dx = + 2
4
3

0

5 x2dx.
0

Suy ra
2

2

4
S+ =2
3

5

x2 dx

= 2(x 5

2

x2

x d 5 x2 )


0

0

0

2



=4+2
0

x2
dx = 4 + 10
5 x2

2


0

dx
4
(S + ).
3
5 x2

Vậy
2

2
S = +5
3
0

dx
2
x

= + 5 arcsin
2
3
5
5x

2
0

=

2
2
+ 5 arcsin .
3
5


SV cã thÓ tÝnh S b»ng c¸ch ®æi biÕn
arcsin √2

2

4
S =− +2
3

5

4
5 − x2 dx = − + 2
3
0

5 cos2 t dt =

2
2
+ 5 arcsin √ .
3
5

0

C©u 5 (2 ®iÓm)
+∞

+∞

(x − 2) dx
=
(2x + 1)(x2 + 1)
1

(
1

x2

x
2
1 9
−
)dx = ln .
+ 1 2x + 1
2 8


Đáp án và thang điểm đề số 7 Giải tích
Câu 1 (2 điểm)
Giới hạn bằng 32 .
Câu 2 (2 điểm) Khai triển y =

1
1x+x2

= 1 + x x3 x4 + o(x4). Từ đó suy ra y (4)(0) = 4! = 24.

x2 + 2x 15

. HS đạt cực đại tại x = 5 và cực tiểu tại x = 3.
3x2 3 x2 2x + 5
dx
x
1

= ln x2 1 x +
+C

2
2
x 1x
2
x2 1 x

Câu 3 (1 điểm). Đạo hàm f (x) =
Câu 4 (2 điểm)
Câu 5 (2 điểm)

+


dx
(x2 +x+1)2

=

4
.
3 3

Câu 6 (1 điểm) Khảo sát và vẽ.

Đáp án và thang điểm đề số 8 Giải tích
Câu 1 (2 điểm)
Giới hạn bằng 1.

59 5
Câu 2 (2 điểm) Khai triển y = sin x + x2 = x + x2 16 x3 12 x4 120
x + o(x5 ). Từ đó suy ra y (5)(0) = 59.
x2 16

Câu 3 (1 điểm). Đạo hàm f (x) =
. HS đạt cực đại tại x = 4 và cực tiểu tại x = 4.
3(x 1)2 3 x2 4x + 8

Câu 4 (2 điểm) Đặt x1 = 2sin2 t khi đó
(x 1) (3 x)dx = 14 (2x 4) x2 + 4x 3+ 12 arcsin (x 2)+C.
Câu 5 (2 điểm)

1
0

dx

(2x) 1x

= 2 .

Câu 6 (1 điểm) Khảo sát và vẽ.


Đáp án và thang điểm đề số 8 Giải tích
x2 ln cos x
sin x
x3
ln cos x

khi x 0. Do đó, lim
= lim 6
= lim
= 0. Mặt
x0 x sin x
x0
x0 cos x
6
x
1
x2 ln cos x
cos = 0.
khác, | cos x1 | 1. Nên lim
x0 x sin x
x
x2
x2
x4
x3
x4
x5
Câu 2 (1,5 điểm): Ta có cos x = 1
+
+ o(x5) và ln(1 + x) = x
+

+
+ o(x5 ). Nên
2
24

2
3
4
5
x2 x3 3x5
3
cos x ln(1 + x) = x

+
+ o(x5 ). Vậy f (5) (0) = 5! = 9.
2
6
40
40

Câu 3 (2 điểm): áp dụng tổng tích phân của hàm f (x) = x2 + 2 trên đoạn [0, 1], sử dụng phép chia đều và các
i
điểm chọn i = xi = , i = 1, n.
n
1
1
x
1
2n2 + 1 + 2n2 + 2 + ã ã ã + 2n2 + n2 =
x2 + 2 =
x2 + 2 + ln |x + x2 + 2| 0 =
Vậy lim 2
n n
2
0

1+ 3
3
+ ln .
2
2
+
1
1
1
Câu 4(1 điểm): Ta có (f (x) + )2 = f 2 (x) + 2 f (x) + 2 . Do
f (x)dx hội tụ tuyệt đối nên lim f (x) = 0.
x+
x
x
x
1
+
+
+
1
1
f 2 (x)dx hội tụ. Hơn nữa
dx cũng hội tụ. Vậy
f (x)dx hội tụ theo tiêu chuẩn Abel,
Suy ra
2
x
x

1
1
1
+
1
(f (x) + )2dx hội tụ.
x
1
Câu 1 (2 điểm): Ta có x sin x

+

+

f (x) arctan xdx hội tụ theo tiêu chuẩn Abel vì
1

f (x)dx hội tụ và arctan x đơn điệu và bị chặn.
1

Câu 5 (2 điểm):
1



1

dx phân kì.
a. Tích phân phân kì vì t = 1 x2 = 1 x 1 + x mà tích phân
1x

0


b. Đặt t = 2 x, ta có I = 103 2 .
Câu 6 (1,5 điểm): Phần không gian hữu hạn nằm giữa z = 1 và z = 1. Diện tích mặt cắt khi cắt vật thể bởi mặt
1
8
2(1 z 2)dz =
.
phẳng vuông góc với Oz là 2(1 z 2 ). Vậy thể tich phần không gian cần tính là
3
0

Đáp án và thang điểm đề số 10 Giải tích
Câu 1 (2 điểm): Ta có tan x x
x2 ln cos x
1
cos = 0.
x0 x sin x
x

x2 ln cos x
x3
khi x 0. T-ơng tự đề 1, lim
= 0. Mặt khác, | sin x1 | 1. Vậy
x0 tan x x
3

lim

x3
x2
x5
x3
x4
x5
+
+ o(x5 ) và ln(1 + x) = x
+

+
+ o(x5). Nên
6
120
2
3
4
5
x3 x 4 x 5
1
sin x ln(1 + x) = x2
+

+ o(x5). Vậy f (5) (0) = 5! = 20.
2
6
6
6

Câu 3 (2 điểm): áp dụng tổng tích phân của hàm f (x) = x2 + 3 trên đoạn [0, 1], sử dụng phép chia đều và các

i
điểm chọn i = xi = , i = 1, n.
n
1
1
3
3n2 + 1 + 3n2 + 2 + ã ã ã + 3n2 + n2 =
x2 + 3 = 1 + ln 3.
Vậy lim 2
n n
4
0
Câu 4 (1 điểm): T-ơng tự đề 1, cả hai tích phân đều hội tụ.
Câu 2 (1,5 điểm): Ta có sin x = x

1



1

Câu 5 (2 điểm): a. Tích phân phân kì vì t = 1 x3 = 1 x 1 + x + x2 mà tích phân
dx phân kì.
1x
0

b. Đặt t = 1 x, ta có I = 53 . Câu 6 (1,5 điểm): Phần không gian hữu hạn nằm giữa z = 1 và z = 1. Diện
tích mặt cắt khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Oz là 3(1 z 2 ). Vậy thể tich phần không gian cần tính
1

3(1 z 2 )dz = 4 .

là
0


Đáp án và thang điểm đề số 11 Giải tích
Câu 1 (2 điểm):
a. Để chứng minh rằng un+1 = u2n + un , n 1 ta chỉ cần bình ph-ơng. Giả sử lim n un = a. Suy ra
a = 0. Trái với giả thiết a 1.
b. Ta có đãy trên đơn điệu tăng và không bị chặn nên lim (un = . Do đó, giới hạn lim (un+1 un ) =
n

n

lim ( u2n + un un ) = 12 .

n

2x2 + 2 cos2 x sin x1
2x2
Câu 2 (2 điểm): Ta có x + nên lim
= 2.
= lim
x+
1 + x2 + x4 + arctan x x+ 1 + x2 + x4
sin 2x2
4
4
Câu 3 (2 điểm): Ta có

= 2x x5 + 0(x5). Vậy f (5) (0) = 5! .
x
3
3
Câu 4 (2 điểm): áp dụng đạo hàm theo cận trên suy ra F (x) 0 với mọi x 0. Do đó F (x) là hàm đồng biến.
Vậy F (x) F (0) = 0 hay giá trị nhỏ nhất của F (x) là 0.
Câu 5 (2 điểm):
2
a. I = 8 .
+
arctan x
b. Tích phân
dx hội tụ khi và chỉ khi > 1 vì arctan x là hàm bị chặn.
x
1

Đáp án và thang điểm đề số 12 Giải tích
Câu 1 (2 điểm):
a. Để chứng minh rằng un+1 = 3 u3n + un , n 1 ta chỉ cần lập ph-ơng. Giả sử lim n un = a. Suy ra
a = 0. Trái với giả thiết a 1.
b. Ta có đãy trên đơn điệu tăng và không bị chặn trên nên lim (un = . Do đó, giới hạn lim (un+1 un ) =
n

lim ( 3 u3n + un un ) = 0.

n



n

1 + x + x2 + sin2 x cos x1
1 + x + x2
1


Câu 2 (2 điểm): Ta có x + nên lim
=
.
=
lim
3
3
3
2
3
3
x+
x+
3
x + 3x arctan x
x + 3x
ln 1 + 2x2
8
8
Câu 3 (2 điểm): Ta có
= 2x 2x3 + x5 + o(x5). Vậy f (5)(0) = 5! .
x
3

3
Câu 4 (2 điểm): áp dụng đạo hàm theo cận trên suy ra F (x) 0 với mọi x 0. Do đó F (x) là hàm đồng biến.
Vậy F (x) F (0) = 0 hay giá trị nhỏ nhất của F (x) là 0.
Câu 5 (2 điểm):
2
a. I = 3
32 .
1
arctan x
b. Tích phân
dx hội tụ khi và chỉ khi < 1 vì arctan x là hàm bị chặn.
x
0