GT2 k59 XD

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 1 K59

Thời gian làm bài 90 phút
Không sử dụng tài liệu
 3
3
x +y


với (x, y) = (0, 0)
2 + y2
x
Câu 1 (1,5đ) Cho hàm hai biến f (x, y) =
.

0
với (x, y) = (0, 0)
∂f
∂f
(0, 0);
(0, 0). Chứng minh hàm số không khả vi tại điểm (0, 0).
Tính
∂x
∂y
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 3y 3 + x2 y + x2 + 2xy + 2x.
Bộ môn Toán

Câu 3 (2,0đ) Cho D là miền hình tròn được giới hạn bởi x2 + y 2 = 1. Tính tích phân
x2

√
1 − y 2 + y 2 1 − x2 dxdy.

D

Câu 4 (2,0đ) Cho L là đường cong giao của mặt trụ x2 + y 2 = 1 với mặt phẳng x + y − z = 0 có
(z − x)dx + (y − z)dy + (x + y)dz.

hướng ngược chiều kim đồng hồ. Hãy tính
L

Câu 5 (2,5đ)
a) Giải phương trình vi phân ydx + (xy + x)dy = 0.
nxn
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
.
n
n=0 (n + 1)2
∞

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 2 K59

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu
 3
x − y3


với (x, y) = (0, 0)
2
2
Câu 1 (1,5đ) Cho hàm hai biến (x, y) = x + y
.

0
với (x, y) = (0, 0)
∂f
∂f
Tính
(0, 0);
(0, 0). Chứng minh hàm số không khả vi tại điểm (0, 0).
∂x
∂y
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 3x3 + xy 2 − y 2 + 2xy − 2y.
Bộ môn Toán

Câu 3 (2,0đ) Cho D là miền hình tròn được giới hạn bởi x2 + y 2 = 4. Tính tích phân
√
y 2 4 − x2 + x2

4 − y 2 dxdy.

D

Câu 4 (2,0đ) Cho L là đường cong giao của mặt trụ x2 + y 2 = 4 với mặt phẳng x − y + z = 0 có
(x + z)dx + (z − y)dy + (y − x)dz.

hướng ngược chiều kim đồng hồ. Hãy tính
L

Câu 5 (2,5đ)
a) Giải phương trình vi phân (xy + y)dx + xdy = 0.
nxn
.
n
n=0 (n + 1)3
∞

b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa


ĐÁP ÁN ĐỀ 1
∂f
∂f
(0, 0) =
(0, 0) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
∂x
∂y
|xy 2 + x2 y|
|f (x, y) − f (0, 0) − (1 1)(x y)T |
Xét L =
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

x2 + y 2
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
Ta có lim L không tồn tại và kết luận hàm số không khả vi tại (0, 0). . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(x,y)→(0,0)


fx = 2xy + 2x + 2y + 2 = 2(x + 1)(y + 1) = 0
Câu 2(2,0 đ) Giải hệ
.

f = 9y 2 + x2 + 2x = 0
y
Câu 1 (1,5đ) Các đạo hàm riêng cấp 1 là

ta được 2 điểm dừng M1 (−1, 1/3), M2 (−1, −1/3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Tính vi phân cấp hai: A = fxx = 2y + 2, B = fxy = 2x + 2, C = fyy = 18y. . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , A = 8/3, B = 0, C = 6, AC − B 2 = 16 > 0 nên M1 là điểm cực tiểu, . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 , A = 4/3, B = 0, C = −6AC − B 2 = −8 < 0 nên M2 không phải là cực trị. . . . . . . . 0,5 đ
√
x2 1 − y 2 dxdy +
Câu 3 (2,0đ) Tách làm 2 tích phân I =
y 2 1 − x2 dxdy. Do tính
D

D

chất đối xứng, suy ra 2 tích trên bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
√
√
Chiếu miền D xuống trục Ox, ta được D : −1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x2 ≤ y ≤ 1 − x2 . . . . . . . . . 0,5đ

√
Lại do tính đối xứng và các hàm lấy tích phân là chẵn nên I = 2
y 2 1 − x2 dxdy =
1

√

√

D
1−x2

64
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
45
0
0
Câu 4 (2,0đ) Tham số hóa x = cos t, y = sin t, z = cos t + sin t, 0 ≤ t ≤ 2π. . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
8

y 2 dy =

1 − x2 dx

2π

sin td cos t − cos td sin t = −2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

ydx − xdy + zdz =

Tính được I =

0

L

Câu 5 (2,5đ) a) (1,0 đ) Thấy x ≡ 0 và y ≡ 0 là nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1
y+1
Nghiệm còn lại phải thỏa mãn dx +
dy = 0. Tích phân 2 vế được xy = C.e−y , C = 0. Do
x
y
vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là xy = C.e−y , với C là hằng tùy ý. . . . . . 0,5đ
b) (1,5 đ) Miền hội tụ là X = (−2, 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x
Tính tổng: Đặt t = , ta có
2
∞

Tổng
n=0

tn+1
=
n+1

∞

∞

n=0

ntn
=
n+1

t

∞

t

tn dt =
0

n=0

2
ln 2−x

2
 2 −
x
S(x) = 2 − x

0

∞

∞
n

t −
n=0

n=0

∞

tn
1
tn
=
−
. . . . . . . . . . . . 0,5đ
n+1
1 − t n=0 n + 1

tn dt = − ln |1 − t|. Từ đó suy ra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0

n=0

với x ∈ X, x = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
với x = 0


ĐÁP ÁN ĐỀ 2

∂f
∂f
(0, 0) = 1 và
(0, 0) = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
∂x
∂y
|xy 2 − x2 y|
|f (x, y) − f (0, 0) − (1 − 1)(x y)T |
Xét L =
=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x2 + y 2
(x2 + y 2 ) x2 + y 2
Ta có lim L không tồn tại và kết luận hàm số không khả vi tại (0, 0). . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
(x,y)→(0,0)


fx = 9x2 + y 2 + 2y = 0
Câu 2(2,0 đ) Giải hệ
.

f = 2xy − 2y + 2x − 2 = 2(x − 1)(y + 1) = 0
y
Câu 1 (1,5đ) Các đạo hàm riêng cấp 1 là

ta được 2 điểm dừng M1 (1/3, −1), M2 (−1/3, −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Tính vi phân cấp hai: A = fxx = 18x, B = fxy = 2y + 2, C = fyy = 2x − 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M1 , A = 6, B = 0, C = −4/3, AC − B 2 = −8 < 0 nên M1 không phải là cực trị, . . . . . . 0,5đ
Tại M2 , A = −6, B = 0, C = −8/3, AC − B 2 = 16 > 0 nên M2 là điểm cực đại. . . . . . . . . . . 0,5 đ
√

Câu 3 (2,0đ) Tách làm 2 tích phân I =
y 2 4 − x2 dxdy +
x2 4 − y 2 dxdy. Do tính chất
D

D

đối xứng, suy ra 2 tích trên bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
√
√
Chiếu miền D xuống trục Ox, ta được D : −2 ≤ x ≤ 2, − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 . . . . . . . . . 0,5đ
√
Lại do tính đối xứng và các hàm lấy tích phân là chẵn nên I = 2
y 2 4 − x2 dxdy =
2

√

√

D
4−x2

2048
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
45
0
0
Câu 4 (2,0đ) Tham số hóa x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 2 cos t + 2 sin t, 0 ≤ t ≤ 2π. . . . . . . . . . 1,0đ
8

y 2 dy =

4 − x2 dx

2π

2 sin td2 cos t − 2 cos td2 sin t = −8π. . . . . . . . . . . . . . 1,0đ

ydx − xdy + zdz =

Tính được I =

0

L

Câu 5 (2,5đ) a) (1,0 đ) Thấy x ≡ 0 và y ≡ 0 là nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x+1
1
Nghiệm còn lại phải thỏa mãn
dx + dy = 0. Tích phân 2 vế được xy = C.e−x , C = 0. Do
x
y
vậy, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là xy = C.e−x , với C là hằng tùy ý. . . . . . 0,5đ
b) (1,5 đ) Miền hội tụ là X = (−3, 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x
Tính tổng: Đặt t = , ta có
3
∞

Tổng
n=0

tn+1
=
n+1

∞

∞

n=0

ntn
=
n+1

t

∞

t

tn dt =
0

n=0

3

ln 3−x

3
 3 −
x
S(x) = 3 − x

0

∞

∞
n

t −
n=0

n=0

∞

tn
1
tn
=
−
. . . . . . . . . . . . 0,5đ
n+1
1 − t n=0 n + 1

tn dt = − ln |1 − t|. Từ đó suy ra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0

n=0

với x ∈ X, x = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
với x = 0


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 3 K59

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1(2,5đ)
x2 + y 2 . Hỏi f (x, y) có khả vi tại (0, 0) không? Vì sao?
∞ 2n + (−1)n
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa
xn .
n
n=1
x3

Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị tự do của hàm số u(x, y) =
− xy 2 − x2 + 2xy − y 2 + 2y.
3
Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân bội I =
x2 dxdydz, ở đó V là phần hình nón eliptic giới hạn
a) Cho hàm số f (x, y) =

V

y2 z2
bởi
+
= x2 , 0 ≤ x ≤ 1.
4
9
Câu 4 (1,5đ) Cho L là đường giao của mặt phẳng x + y + z = 1 với các mặt phẳng tọa độ x =
0; y = 0; z = 0 có hướng ngược chiều kim đồng hồ. Hãy tính

(2y +z)dx+(2z +x)dy +(2x+y)dz.
L

Câu 5 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (y 2 + 1)dx = (y + 1)x2 dy.
b) y − 5y + 6y = e−x .

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 4 K59

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,5đ)
x4 + y 4 . Hỏi f (x, y) có khả vi tại (0, 0) không? Vì sao?
∞ 3n + (−2)n
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa
xn .
n
n=1
x3
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị tự do của hàm số u(x, y) =
− xy 2 − 2x2 − 4xy + y 2 + 4y.
3
Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân bội I =
y 2 dxdydz, ở đó V là phần hình nón eliptic giới hạn
a) Cho hàm số f (x, y) =

4

V

x2 z 2
bởi
+
= y 2 , 0 ≤ y ≤ 2.

9
4
Câu 4 (1,5đ) Cho L là đường giao của mặt phẳng x + y + z = 2 với các mặt phẳng tọa độ
(y −z)dx+(z −x)dy +(x−y)dz.

x = 0; y = 0; z = 0 có hướng ngược chiều kim đồng hồ. Hãy tính
L

Câu 5 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (x − 1)y 2 dx = (x2 + 1)dy.
b) y + 5y + 6y = ex .


ĐÁP ÁN ĐỀ 3
|x|
∂f
(0, 0) = lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0 x
∂x
Chứng minh không tồn tại giới hạn trên. Từ đó suy ra hàm không tồn tại đạo hàm riêng tại
Câu 1a) (1,0đ) Các đạo hàm riêng cấp 1 là

(0, 0) nên hàm không khả vi tại (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
−1 1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
b) (1,5đ) Miền hội tụ là X =
2 2
∞

∞
∞
(2x)2 + (−x)n
(2x)n
(−x)n
Tổng S(x) =
=
−
= − ln(1 − 2x) − ln(1 + x). . . . . . . . 0,5đ
n
n
n
n=1
n=1
n=1


 ux = x2 − y 2 − 2x + 2y = (x − y)(x + y − 2) = 0
.
Câu 2 (2,0đ) Tìm điểm dừng

 u = −2xy + 2x − 2y + 2 = −2(x + 1)(y − 1) = 0
y
Suy ra 3 điểm dừng là M1 (1, 1), M2 (−1, −1), M3 (−1, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm vi phân cấp 2: A = fxx = 2x − 2, B = fxy = −2y + 2,C = fyy = −2x − 2. . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại M2 (−1, −1), M3 (−1, 3) ta có AC − B 2 < 0 nên hàm không đạt cực trị tại 2 điểm này. 0,5đ
1
4
x3
− x2 + x + 1 = (x − 1)3 + . Do hàm (x − 1)3

Tại M1 (1, 1) ta có AC − B 2 = 0 ta cóf (x, 1) =
3
3
3
không đạt cực trị tại x = 1. Do đó hàm không đạt cực trị tại M1 (1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3 (1,5đ) Đổi biến theo tọa độ trụ y = 2r sin ϕ, z = 3r cos ϕ, x = x thì V ←→ V = {0 ≤ ϕ ≤
2π, 0 ≤ r ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1}, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
detJ = 6r, viết được I =
Tính I = .. = 2π.

1
0

2π
0

dϕ

1
0

dx

x
0

x2 6rdr, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

3x4 dx = 6π/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
−dydz − dzdx − dxdy trong đó S là mặt phẳng

Câu 4 (1,5đ) Áp dụng công thức Stoke I =
S

x + y + z = 1 được giới hạn trong góc 1/8 thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tham số mặt phẳng: x = u, y = v, z = 1 − u − v trong đó: 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 − u . . . . . . . 0,5đ
1
1−v
−3
Tính được véc tơ pháp n = (1, 1, 1). Suy ra: I = du
−3dv = ... =
. . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ .
2
0
0
Câu 5(2,5 đ)a)(1,0đ) x = 0 là một nghiệm của phương trình.
dx
(y + 1)dy
Xét x = 0, đưa phương trình về dạng 2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
x
y2 + 1
1
Tìm được nghiệm + ln(1 + y 2 )/2 + arctan y = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
x
b) (1,5đ) Phương trình đặc trưng k 2 − 5k + 6 = 0.
Tìm được nghiệm thuần nhất y = c1 e2x + c2 e3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Nghiệm riêng có dạng yr = a.e−x . Thay vào tìm được 12a = 1, suy ra yr = e−x /12. . . . . . . 0,5 đ
Nghiệm của phương trình là ytq = c1 e2x + c2 e3x + e−x /12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ .

ĐÁP ÁN ĐỀ 4
|x|
∂f
(0, 0) = lim
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
x→0 x
∂x
Chứng minh không tồn tại giới hạn trên. Từ đó suy ra hàm không tồn tại đạo hàm riêng tại
Câu 1a)(1,0đ) Các đạo hàm riêng cấp 1 là

(0, 0) nên hàm không khả vi tại (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
−1 1
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
b) (1,5đ) Miền hội tụ là X =
3 3
∞
∞
∞
(3x)2 + (−2x)n
(3x)n
(−2x)n
Tổng S(x) =
=
−
= − ln(1 − 3x) − ln(1 + 2x). . . . 0,5đ
n
n
n

n=1
n=1
n=1


 ux = x2 − y 2 − 4x − 4y = (x + y)(x − y − 4) = 0
. Suy ra 3
Câu 2 (2,0đ) Tìm điểm dừng

 u = −2xy − 4x + 2y + 4 = −2(x − 1)(y + 2) = 0
y
điểm dừng là M1 (1, −1), M2 (2, −2), M3 (1, −3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm vi phân cấp 2: A = fxx = 2x − 4, B = fxy = −2y − 4,C = fyy = −2x + 2. . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tại điểm M1 , M3 ta có AC − B 2 < 0 nên hàm không đạt cực trị tại 2 điểm này. . . . . . . . . . 0,5đ
1
−4
x3
− 2x2 + 12x − 4 = (x − 2)3 +
. Do hàm
Tại M2 (2, −2) ta có AC − B 2 = 0 ta cóf (x, −2) =
3
3
3
(x − 2)3 không đạt cực trị tại x = 2. Do đó hàm không đạt cực trị tại M2 (2, −2) . . . . . . . . 0,5đ
Câu 3 (1,5đ) Đổi biến theo tọa độ trụ x = 3r sin ϕ, z = 2r cos ϕ, y = y thì V ←→ V = {0 ≤ ϕ ≤
2π, 0 ≤ r ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2}, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
detJ = 6r, viết được I =
Tính I = .. = 2π.

2

0

2π
0

dϕ

2
0

dx

y
0

y 2 6rdr, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

3y 4 dx = 192π/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
−2dydz − 2dzdx − 2dxdy trong đó S là mặt cầu

Câu 4(1,5đ) Áp dụng công thức Stoke I =
S

x + y + z = 2 được giới hạn trong góc 1/8 thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tham số mặt phẳng: x = u, y = v, z = 2 − u − v trong đó: 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 − u . . . . . . . 0,5đ
2

Tính được véc tơ pháp n = (1, 1, 1). Suy ra: I =

2−v

−6dv = ... = −12 . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ .

du
0

0

Câu 5(2,5 đ)(1,0đ) y = 0 là một nghiệm của phương trình.
dy
(x − 1)dx
Xét y = 0, đưa phương trình về dạng 2 =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
y
x2 + 1
1
Tìm được nghiệm + ln(1 + x2 )/2 − arctan x = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
y
b) (1,5đ) Phương trình đặc trưng k 2 + 5k + 6 = 0.
Tìm được nghiệm thuần nhất y = c1 e−2x + c2 e−3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Nghiệm riêng có dạng yr = a.ex . Thay vào tìm được 12a = 1, suy ra yr = ex /12. . . . . . . . . 0,5 đ
Nghiệm của phương trình là ytq = c1 e−2x + c2 e−3x + ex /12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ .


Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán
Câu 1 (2,0đ)

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 5 K59

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

+∞

(−1)n−1 x2n
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
.
n(n
+
2)
n=1

3

xy
+
y


nếu (x, y) = (0, 0)
2
2
b) Cho hàm số f (x, y) = ln(1 + x + y )


0

nếu (x, y) = (0, 0)
Câu 2(2,0đ) Cho (E):

. Tính fx (0, 0), fy (0, 0).

x2 y 2
+ = 1 và A(1, 0). Tìm M trên (E) sao cho khoảng cách M A lớn nhất.
4
9
yex dxdy với D là miền hình tam giác có 3 đỉnh: O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1).

Câu 3 (2,0đ) Tính I =
D

(x4 − 2xy 3 )dx − (3x2 y 2 + y 4 )dy và A(0, 0), B(1, 1). Chứng minh tích phân

Câu 4 (1,5đ) Cho I =
L

trên không phụ thuộc đường nối. Từ đó tính I khi L là đường cong trơn bất kì nối từ A đến B.
Câu 5 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (xy 2 + y)dx − xdy = 0.
b) y − 4y + 4y = 16e−2x .

Trường Đại Học Xây Dựng
Bộ môn Toán
Câu 1 (2,0đ)

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 6 K59

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

+∞

(−1)n+1 x3n
.
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
n(n
+
3)
n=1

3

−x
+
xy


nếu (x, y) = (0, 0)
2
2
b) Cho hàm số f (x, y) = ln(1 + x + y )


0

nếu (x, y) = (0, 0)

. Tính fx (0, 0), fy (0, 0).

x2 y 2
+
= 1 và N (0, −1).Tìm M trên (E) sao cho độ dài M N lớn nhất.
9
4
1
Câu 3 (2,0đ) Tính I =
dxdy, ở đó D = {(x, y)|x ≥ 1, y ≥ 1, x + y ≤ 3}.
2
D (x + y + 1)
Câu 2(2,0đ) Cho (E):

(x4 + 3x2 y 2 )dx + (2x3 y + y 4 )dy và A(−1, 1), B(0, 0). Chứng minh tích

Câu 4 (1,5đ) Cho I =
L

phân trên không phụ thuộc đường nối. Từ đó tính I khi L là đường cong trơn bất kì nối từ A
đến B.
Câu 5 (2,5đ) Giải các phương trình vi phân sau:
a) (x + y 2 )dx − 2xydy = 0.
b) y + 2y + y = 16e3x .


ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu 1 (2,0đ) a) (1,0 đ) Đặt X = x2 . Khoảng hội tụ (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Miền hội tụ là [−1, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
f (∆x, 0) − f (0, 0)
= 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
b) (1,0 đ) Tính được fx (0, 0) = lim
∆x→0
∆x
f (0, ∆y) − f (0, 0)
∆y 2
Tính được fy (0, 0) = lim
= lim
= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
∆y→0
∆y→0 ln(1 + ∆y 2 )
∆y
x2 y 2
2
2
2
+
= 1. . . . . . . 0,5đ
Câu 2 (2,0đ) Ta có M A = f (x, y) = (x − 1) + y với (x, y) thỏa mãn
4
9




Φx = 2x − 2 + 18λx = 0




. . . . . . 0,5đ
Xét Φ(x, y) = (x − 1)2 + y 2 + λ(9x2 + 4y 2 − 36). Suy ra
Φy = 2y + 8λy = 0





 9x2 + 4y 2 − 36 = 0
√
−1
−4 3 21
−1
; M2 (−2, 0) với λ =
và M3 ( ,
),
Suy ra các điểm dừng là M1 (2, 0) với λ =
18
6
5
5
√
−4 −3 21
−1
M4 ( ,
) với λ =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
5
5

4
So sánh√
4 giá trị điểm dừng này, ta suy ra điểm M3 và M4 thỏa mãn và giá trị lớn nhất của
3 30
MA =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
5
Câu 3(2,0 đ) Xác định miền D = {0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0 đ
Viết được I =
Tính I =

1
0

1
0

dy

y
0

yex dx =

1
0

y(ey − 1)dy, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ

y(ey − 1)dy = ... = 1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ

Câu 4(1,5 đ) Ta có Py = Qx = −6xy 2 nên tích phân không phụ thuộc đường nối. . . . . . . 0,5 đ
Chọn đường nối là đường thẳng y = x, 0 ≤ x ≤ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Ta có I =

1 4
(x
0

− 2x4 − 4x4 )dx =

1
0

−5x4 dx = −x5 |10 = −1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ

Sinh viên cũng có thể tìm hàm u(x, y) mà du = P dx + Qdy và tích phân bằng u|B
A.
Câu 5 (2,5đ)
a)(1,0đ) Chuyển về phương trình Becnuli y − x1 y = y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
1
1
Áp dụng cách giải, ta được nghiệm = (−x2 /2 + C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
y
x
2x
b) (1,5đ) Nghiệm thuần nhất y = C1 e + C2 xe2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm nghiệm riêng theo dạng: y∗ = A.e−2x và tìm được A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm tổng quát là: y = C1 e2x + C2 xe2x + e−2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

ĐÁP ÁN ĐỀ 6
Câu 1(2,0đ) a) (1,0 đ) Đặt X = x3 . Khoảng hội tụ (−1, 1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Miền hội tụ là [−1, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
−∆x2
f (∆x, 0) − f (0, 0)
= lim
= −1, . . . . . . . . 0,5 đ
b) (1,0 đ) Tính được fx (0, 0) = lim
∆x→0 ln(1 + ∆x2 )
∆x→0
∆x
f (0, ∆y) − f (0, 0)
Tính được fy (0, 0) = lim
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
∆y→0
∆y
x2 y 2
Câu 2 (2,0đ) Ta có M N 2 = f (x, y) = x2 + (y + 1)2 với (x, y) thỏa mãn
+
= 1. . . . . . 0,5đ
9
4




Φx = 2x + 8λx = 0




Xét Φ(x, y) = x2 + (y + 1)2 + λ(4x2 + 9y 2 − 36). Suy ra
Φy = 2y + 2 + 18λy = 0 . . . . . . . 0,5đ






4x2 + 9y 2 − 36 = 0
√
√
−1
−1
3 21 4
−3 21 4
Suy ra các điểm dừng là M1 (0, 2) với λ =
; M2 (0, −2) với λ =
và M3 (
, ), M3 (
, )
6
18
5
5
5
5
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
với λ =

4
So sánh √
4 giá trị điểm dừng này, ta suy ra điểm M3 và M4 thỏa mãn và giá trị lớn nhất của
3 30
MN =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
5
Câu 3(2,0 đ) Xác định được miền D = {1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 − x}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0 đ
1
1
2
3−x
2
Từ đó I = 1 dx 1
dy = 1 −
|3−x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
2
(x + y + 1)
x+y+1 1
1
1
1
2
2
|3−x
− )dx = ln(4/3) − 1/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
Tính được I = 1 −
1 dx = 1 (
x+y+1
x+2 4

Câu 4(1,5 đ) Ta có Py = Qx = 6x2 y nên tích phân không phụ thuộc đường nối. . . . . . . . . . 0,5 đ
Chọn đường nối là đường thẳng y = −x, −1 ≤ x ≤ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ
I=

0
[(x4
−1

+ 3x4 ) − (−2x4 + x4 )]dx =

0
−1

5x4 dx = x5 |0−1 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5 đ

Sinh viên cũng có thể tìm hàm u(x, y) mà du = P dx + Qdy và tích phân bằng u|B
A.
Câu 5 (2,5đ)
a)(1,0đ) Chuyển về phương trình Becnuli y −

1
y
2x

=

1
2y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Áp dụng cách giải, ta được nghiệm y 2 = x (ln |x| + C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b) (1,5đ) Nghiệm thuần nhất y = C1 e−x + C2 xe−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tìm nghiệm riêng theo dạng: y∗ = Ae3x và tìm được A = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Nghiệm tổng quát là : y = C1 e−x + C2 xe−x + e3x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 7 K59

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,5đ)
2 n
(−1)n−1 5 n
x+
.
n
4
5
n=1
(x, y) → (x2 − y 2 , xy 2 ). Chứng tỏ f khả vi tại điểm M (1, 2)
∞

a) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
b) Cho hàm véctơ f : R2 −→ R2 ,
và tính f (M ).

Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị có điều kiện của hàm số u(x, y) = 6 − 5x − 4y với điều kiện x2 − y 2 = 9.
(x + y)dxdy, trong đó D = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2x}.

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân
D

y 2 dx+xdy theo hướng dương dọc theo các cạnh của hình

Câu 4 (2,0đ) Tính tích phân đường
L

vuông nối các đỉnh A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1) .
Câu 5 (1,5đ) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x2 y − 2xy + 2y = x3 ln x biết
phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm là y1 (x) = x2 .

Trường Đại Học Xây Dựng

ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 2

Đề số 8 K59

Bộ môn Toán

Thời gian làm bài 90 phút

Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,5đ)
(−1)n−1 5 n
a) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
(x − 1)n .
n
8
n=1
b) Cho hàm véctơ f : R2 −→ R2 , (x, y) → (y 2 − x2 , yx2 ). Chứng tỏ f khả vi tại điểm M (2, 1)
∞

và tính f (M ).
Câu 2 (2,0đ) Tìm cực trị có điều kiện của hàm số u(x, y) = 8−5x−3y với điều kiện x2 −y 2 = 16.
(x + y)dxdy, trong đó D = {(x, y) | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 2y}.

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân
D

−ydx + x2 dy theo hướng dương dọc theo các cạnh của

Câu 4 (2,0đ) Tính tích phân đường
L

hình vuông nối các đỉnh A(1, 0), B(0, 1), C(−1, 0), D(0, −1) .
Câu 5 (1,5đ) Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân x2 y − 2xy + 2y = x2 ln x biết
phương trình thuần nhất tương ứng có một nghiệm là y1 (x) = x2 .


ĐÁP ÁN ĐỀ 7

−6 2
Câu 1 (2,5đ) a) (1,5 đ) Miền hội tụ X = ( , ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
5 5
5x + 6
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tổng S(x) = ln(
4


2 −4
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b) (1,0 đ) Ma trận các đạo hàm riêng của f tại M là A = 
4 4
=

| f (x, y) − f (M ) − A(x − 1 y − 2)T
(x − 1)2 + (y − 2)2

[(x − 1)2 − (y − 2)2 ]2 + (y − 2)2 (xy + 2x − 4)2

=


ra

= 0. Vậy hàm khả vi tai M và f (M ) = 

lim
(x,y)→(1,2)

2
2
(x −
 1) + (y − 2)

. Suy

2 −4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
4 4

Câu
L(x, y) = 6 − 5x − 4y + λ(x2 − y 2 − 9).

 2 (2,0đ) Hàm Lagrange






−5 + 2λx = 0
Lx = 0






⇔ −4 − 2λy = 0

. Các điểm dừng M1 (5, −4) ứng với λ = 1/2, M2 (−5, 4)
Ly = 0










x2 − y 2 − 9 = 0
x 2 − y 2 − 9 = 0
ứng với λ = −1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
d2 L = 2λ(dx2 − dy 2 ) và ta có xdx − ydy = 0.
9
Tại M1 , d2 L = − dx2 suy ra hàm đạt cực đại tại M1 , u(M1 ) = −3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
16
9 2
2
Tại M2 , d L = dx suy ra hàm đạt cực tiểu tại M2 , u(M2 ) = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
16
Câu 2 (2,0đ) I =
xdxdy +
ydxdy. Do tính đối xứng suy ra
ydxdy = 0. . . . . . . . . . . 1,0đ
D

D

D
π
3

Đổi biến sang tọa độ cực: I =

− π3

D

I=

8
3

π
3

cos4 ϕdϕ −

− π3

√

3
3

=

2
3

π
3

− π3

[ 32 + 2 cos 2ϕ +

Câu 4 (2,0đ) Áp dụng định lí Green I =
Ta có I =

M

(1 − 2y)dxdy = SM − 2

M

2

r cos ϕdr =

dϕ

xdxdy =

1
cos 4ϕ
]dϕ

2

M

√

−

3
3

=

2π
3

1
3

cos ϕ[8 cos3 ϕ − 1]dϕ. 0,5đ

− π3

√

+

3
4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

(1 − 2y)dxdy, với M là hình vuông. . . . . . . . 1,0đ

ydxdy = 2 − 2

Do M đối xứng và y là hàm lẻ nên tích phân
Chú ý: Sinh viên có thể làm trực tiếp: I =

π
3

2 cos ϕ

M

M

ydxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

ydxdy = 0. Vậy I = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

+ BC + CD + DA = I1 + I2 + I3 + I4 . . . . . . . . . . .
2
2
Câu 5 (1,5đ) Phương trình tương đương y − y + 2 y = x ln(1 + 2x). Nghiệm y2 (x) = u(x).x2 ,
x
x
1 − p(x)dx
−1

độc lập với y1 . Ta có u(x) =
e
dx =
=⇒ y2 (x) = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
y12
x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = C1 x + C2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ




2
C 1 x + C 2 x = 0
C1 = −x ln x
Biến thiên hằng số, ta có
⇔
. .........................


C + 2xC = x ln x
C = ln x
1
2
2
Giải được C1 =

−1
2

ln xdx2 =

−x2 ln x
2

+

x2
4

AB

+ B1 và C2 = x ln x − ln x + B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


ĐÁP ÁN ĐỀ 8
−3 13
Câu 1 (2,5đ) a) (1,5 đ) Miền hội tụ X = ( , ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1,0đ
5 5
5x + 3
). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
Tổng S(x) = ln(
8


−4 2
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
b) (1,0 đ) Ma trận các đạo hàm riêng của f tại M là A = 
4 4
=

| f (x, y) − f (M ) − A(x − 2 y − 1)T
(x − 2)2 + (y − 1)2

[(x − 1)2 − (y − 2)2 ]2 + (x − 2)2 (xy + 2y − 4)2

=


ra

= 0. Vậy hàm khả vi tai M và f (M ) = 

lim
(x,y)→(1,2)

(x 
− 1)2 + (y − 2)2

−4 2
4

4

. Suy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Câu
L(x, y) = 8 − 5x − 3y + λ(x2 − y 2 − 16). Tìm điểm dừng: . . . . . . . . .


 2 (2,0đ) Hàm Lagrange






−5 + 2λx = 0
Lx = 0






⇔ −3 − 2λy = 0
. Các điểm dừng M1 (5, −3) ứng với λ = 1/2, M2 (−5, 3)
Ly = 0










x2 − y 2 − 16 = 0
x2 − y 2 − 16 = 0

ứng với λ = −1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
d2 L = 2λ(dx2 − dy 2 ) và ta có xdx − ydy = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Tại M1 , d2 L = − dx2 suy ra hàm đạt cực đại tại M1 , u(M1 ) = −8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
16 2
2
Tại M2 , d L = dx suy ra hàm đạt cực tiểu tại M2 , u(M2 ) = 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Câu 2 (2,0đ) I =
xdxdy +
ydxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

D

xdxdy = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

Do tính đối xứng suy ra
D

5π
6

Đổi biến tọa độ cực: I =

ydxdy =

Suy ra I =

8
3

π
6

sin4 ϕdϕ −

√

3
3

=

2
3

5π
6
π
6

M

r sin ϕdr =
1

[ 32 − 2 cos 2ϕ +

Câu 4 (2,0đ) Áp dụng định lí Green I =
Ta có I =

2

dϕ
π
6

D
5π
6

(2x + 1)dxdy = SM + 2

5π
6

2 sin ϕ

M

M

cos 4ϕ

]dϕ
2

sin ϕ[8 sin3 ϕ − 1]dϕ . . . . . . . 0,5đ

π
6

√

−

3
3

=

2π
3

√

+

3
4

. . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

(2x + 1)dxdy, với M là hình vuông. . . . . . . . 1,0đ

xdxdy = 2 + 2

Do M đối xứng và x là hàm lẻ nên tích phân
Chú ý: Sinh viên có thể làm trực tiếp: I =

1
3

M

M

xdxdy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

xdxdy = 0. Vậy I = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ

+ CD + DA = I1 + I2 + I3 + I4 . . . . . . . . . . .
2
2
Câu 5 (1,5đ) Phương trình tương đương y − y + 2 y = ln x. Nghiệm y2 (x) = u(x).x2 , độc lập
x
x
1 − p(x)dx
−1
e
dx =
=⇒ y2 (x) = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ
với y1 . Ta có u(x) =
y12

x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y = C1 x + C2 x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ




2
C 1 x + C 2 x = 0
C1 = − ln x
Biến thiên hằng số, ta có
⇔
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ


C + 2xC = ln x
C = ln x
1
2
2
x
AB

+

BC

Giải được C1 = −x ln x + ln x + B1 và C2 = ln x + B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,5đ