GT2 k57 XD

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 2 K57
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

3

Câu 1 (2đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x2 y y3 + 2x với điều kiện 3x y = 0. Chứng
minh rằng hàm f (x, y) không đạt cực trị trên miền D = {(x, y) : 3x y < 0}.
Câu 2 (2đ) Tính diện tích phần mặt cong z = xy y nằm trong mặt trụ x2 + y 2 = 2x.
x2 y 2
xdy ydx
, với L là cung elip
+
= 1 nối từ điểm
9x2 + 4y 2
4
9

Câu 3 (1,5đ) Tính tích phân đ-ờng loại hai
L

A(2, 0) đến điểm B(0, 3) theo h-ớng d-ơng.
4

Câu 4 (1,5đ) Cho y = y(x) là hàm xác định bởi ph-ơng trình ẩn ln(1 + x2 + y4! ) = y. Tính các đạo hàm
dy

d2 y
và
(0).
dx
dx2
Câu 5 (3đ)
a. Giải ph-ơng trình y 4y + 4y = xe2x.


b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=0

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

xn+1
.
3n (n + 1)

Đề thi môn Giải tích 2 K57
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 2
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2đ) Tìm cực trị hàm số f (x, y) = xy 2 x3 + 2y với điều kiện 3y x = 0. Chứng
minh rằng hàm f (x, y) không đạt cực trị trên miền D = {(x, y) : 3y x < 0}.
3

Câu 2 (2đ) Tính diện tích phần mặt cong z = xy x nằm trong mặt trụ x2 + y 2 = 2y.

x2 y 2
xdy ydx
+
= 1 nối từ điểm
,
với
L
là
cung
elip
4x2 + 9y 2
9
4

Câu 3 (1,5 đ) Tính tích phân đ-ờng loại hai
L

A(3, 0) đến điểm B(0, 2) theo h-ớng d-ơng.
2

Câu 4 (1,5đ) Cho y = y(x) là hàm xác định bởi ph-ơng trình ẩn ln(1 + x2 + y2! ) = y. Tính các đạo hàm
dy
d2 y
và
(0).
dx
dx2
Câu 5 (3 đ)
a. Giải ph-ơng trình y + 4y + 4y = xe2x .

b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=0

xn+1
.
2n (n + 1)


Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 2 K57
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 3
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (3đ)
a. Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x4 +
2y 2 (x + y)2.
xy , nếu (x, y) = (0, 0)
b. Xét tính khả vi của hàm số f (x, y) = x2 + y 2
0,
nếu (x, y) = (0, 0).

Câu 2 (3,5đ)
a. Cho C là elip có ph-ơng trình x2 + 4y 2 = 1, h-ớng của C ng-ợc với chiều kim đồng hồ.
y
x

Tính tích phân đ-ờng loại hai
dx
+
+ x dy.
2
2
1 + x2 + y 2
C 1+x +y
b. Cho S là mặt cầu có ph-ơng trình x2 + y 2 + z 2 = 4, h-ớng ra ngoài. Tính tích phân mặt loại
y
z
x
hai
dydz +
dzdx +
dxdy.
2
2
2
2
5+z +x
5 + x2 + y 2
S 5+y +z
Câu 3 (1,5đ) Tính thể tích của miền không gian bị chặn bởi hai mặt cong có ph-ơng trình lần l-ợt là
z = 16 (x 2)2 y 2 , z = 4x + 8.
Câu 4 (2đ)
a. Giải ph-ơng trình vi phân (y y 2) dx + (x + y) dy = 0.


b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

n=0

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

x2n+1
.
4n (2n + 1)

Đề thi môn Giải tích 2 K57
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (3đ)
a. Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 2x2 + y 4 (x + y)2.

x + y , nếu (x, y) = (0, 0)
b. Xét tính khả vi của hàm số f (x, y) = x2 + y 2
0,
nếu (x, y) = (0, 0).
Câu 2 (3,5đ)
a. Cho C là elip có ph-ơng trình x2 + 4y 2 = 1, h-ớng của C ng-ợc với chiều kim đồng hồ.
y
x
Tính tích phân đ-ờng loại hai
y dx +
dy.
2

2
1+x +y
1 + x2 + y 2
C
b. Cho S là mặt cầu có ph-ơng trình x2 + y 2 + z 2 = 9, h-ớng ra ngoài. Tính tích phân mặt loại
y
z
x
hai
dydz
+
dzdx
+
dxdy.
2
2
7 + z 2 + x2
7 + x2 + y 2
S 7+y +z
Câu 3 (1,5đ) Tính thể tích của miền không gian bị chặn bởi hai mặt có ph-ơng trình lần l-ợt là
z = 36 (x 3)2 y 2 , z = 6x + 18.
Câu 4 (2đ)
a. Giải ph-ơng trình vi phân (y + y 2) dx + (x y) dy = 0.


b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=0

x2n+1
.

9n (2n + 1)


Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 2
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (1đ) Phát biểu định lí Stokes. Tính véc tơ rot khi áp dụng định lí Stokes cho hàm véc tơ
(P, Q, R) = (y, z, y) trên nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0.
Câu 2 (2đ) Tìm cực trị hàm f (x, y) = 2x3 4y 3 6xy 2 21y 2 + 9x2 18xy 24y.
Câu 3 (4đ) Kí hiệu V là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi mặt phẳng x + y + z = 1 và mặt
parabôlôit z = x2 + y 2, kí hiệu L là giao của 2 mặt đó.
a) Tính thể tích miền V .
b) Tính tích phân đ-ờng loại hai I =

dx x dy + dz trên L, h-ớng của L đ-ợc xác định nh- sau:
L

đứng dọc theo trục cao Oz nhìn xuống L, h-ớng của L ng-ợc với chiều quay của kim đồng hồ.
Câu 4 (1,5đ) Giải ph-ơng trình vi phân y 3y + 2y =

e2x(2 x)
.
x3

Câu 5 (1,5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa
n=1

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Đề thi môn Giải tích 2
Thời gian làm bài 90 phút

(1 + 2n )xn
.
n2n

Đề số 6 K57
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (1đ) Phát biểu định lí Stokes. Tính véc tơ rot khi áp dụng định lí Stokes cho hàm véc tơ
(P, Q, R) = (z, x, x) trên nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4, z 0.
Câu 2 (2đ) Tìm cực trị hàm f (x, y) =

8x3 2y 3
2xy 2 7y 2 + 12x2 12xy 16y.
3

Câu 3 (4đ) Kí hiệu V là miền không gian hữu hạn giới hạn bởi mặt phẳng 2x + 2y + z = 1 và mặt
parabôlôit z = x2 + y 2, kí hiệu L là giao của 2 mặt đó.
a) Tính thể tích miền V .
b) Tính tích phân đ-ờng loại hai I =

dx x dy + dz trên L, h-ớng của L đ-ợc xác định nh- sau:
L

đứng dọc theo trục cao Oz nhìn xuống L, h-ớng của L ng-ợc với chiều quay của kim đồng hồ.
Câu 4 (1,5đ) Giải ph-ơng trình vi phân y 4y =

e2x(2 4x)
.
x3


Câu 5 (1,5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi
n=0

xn + (2)n xn
.
n!2n+1


Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 7
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)

a. Chuỗi số

n + 2n
hội tụ hay phân kì? Vì sao?
n2
n=1


b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

1 + 3n n
x .
n!
n=1


Câu 2 (3.0đ)
a. Cho hàm số f (x, y) = |x| + |y|
không. Hãy chứng minh?

x2 + y 2. Tính fx (0; 0), fy (0; 0). Hàm f (x, y) có khả vi tại (0; 0)

b. Tìm cực trị của hàm số u(x, y) = (x 1)3 + 3(x 1)y 2 12y 15x.
Câu 3 (3.0đ)
1 x2 y 2
dxdy, với D là miền x2 + y 2 1, y 0.
1 + x2 + y 2

a. Tính tích phân kép
D

b. Tính tích phân mặt

(x2 + y 2 )dxdy + y 2xdydz + xzdzdx, với S là bề mặt ngoài của hình nón
S

y 2 = x2 + z 2 , y = 2 và C có h-ớng ra ngoài.
Câu 4 (2.0đ) Tìm nghiệm y = y(x) của ph-ơng trình y + 4y = 2(x2 + 3) thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(0) = 2, y (0) = 4.

Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 8
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)
a. Chuỗi số



n(3n +
n=1

1
hội tụ hay phân kì? Vì sao?

n2

b. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa

2n 1 n
x .
n!
n=1


Câu 2 (3.0đ)
a. Cho hàm số f (x, y) = x + y
không. Hãy chứng minh?

3

x3 + y 3. Tính fx (0; 0), fy (0; 0). Hàm f (x, y) có khả vi tại (0; 0)

b. Tìm cực trị của hàm số u(x, y) = (x + 1)3 + 3(x + 1)y 2 15x 12y.
Câu 3 (3.0đ)
a. Tính tích phân kép
D

1 x2 y 2
dxdy, với D là miền x2 + y 2 1, x 0.
2
2
1+x +y
x2zdxdy + (y 3 + z)dydz + x2z 3 dzdx, với S là bề mặt ngoài của hình

b. Tính tích phân kép mặt
S

nón x2 = y 2 + z 2, x = 2 và C có h-ớng ra ngoài.
Câu 4 (2.0đ) Tìm nghiệm của ph-ơng trình y y 2y = 3ex thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(0) = 1, y (0) = 3.


Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 9
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (3.0đ)
x2 yxy 2
x2 +y 2

a. Chứng minh hàm số f (x, y) =

0

vi tại (0; 0).

với (x; y) = (0; 0)
liên tục tại (0; 0) nh-ng không khả

với (x; y) = (0; 0)

b. Tìm cực trị hàm số u (x, y) = 13 x3 + xy 2 12 x2 y 2 12 x2 14 y 4 .
Câu 2 (2.0đ) Tìm thể tích của vật thể đ-ợc giới hạn bởi mặt cong (x2 + z 2 )2 + y = 1 và mặt phẳng
y = 0.
Câu 3 (1.5đ) Tính tích phần đ-ờng (2x + y 2 ) dx + (x yey ) dy, với C là các đoạn thẳng nối các điểm
C

O(0; 0), A(1; 0) và B(0; 1) theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ.
Câu 4 (2.0đ) Giải ph-ơng trình vi phân
a. ydx + (y x) dy = 0.
b. y 2y + y = x (3ex + 1) .
Câu 5 (1.5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa



(n + 1) 2n xn .
n=0

Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 10
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (3.0đ)

a. Chứng minh hàm số f (x, y) =

x

3 yxy 3

(x2 +y 2 )3

0

với (x; y) = (0; 0)
với (x; y) = (0; 0)

liên tục tại (0; 0) nh-ng không

khả vi tại (0; 0).
b. Tìm cực trị hàm số u (x, y) = 14 x4 + 12 x2 y 2 x2y + 12 y 2 13 y 3 .
Câu 2 (2.0đ) Tìm thể tích của vật thể đ-ợc giới hạn bởi mặt cong (y 2 + z 2)2 + x = 1 và mặt phẳng
x = 0.
Câu 3 (1.5đ) Tính tích phần đ-ờng (xex y) dx + (x2 2y) dy, với C là các đoạn thẳng nối các điểm
C

O(0; 0), A(1; 0) và B(1; 1) theo h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ.
Câu 4 (2.0 đ) Giải ph-ơng trình vi phân
a. ydx + (2y + x) dy = 0.
b. y + 2y + y = x (2ex 3) .
Câu 5 (1.5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng chuỗi lũy thừa

(n + 1) 3n xn .
n=0


Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1 (2.0đ) Tìm cực trị của hàm số z = x + y với điều kiện x2 +

y2
4

Đề số 11
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

= 5.

Câu 2 (2.0đ) Tính thể tích phần khối cầu (x 1)2 + y 2 + z 2 4 nằm trong mặt trụ x2 2x + y 2 = 0.
Câu 3 (2.0đ) Tính tích phân

(2x y) dx + (2y z) dy + dz, trong đó elip C là giao của mặt trụ
C

x2 + y 2 = 1 và mặt phẳng x + y + z = 1, C có h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên
xuống.
Câu 4 (2.5đ) Giải ph-ơng trình vi phân

a. (2x xy + 2) dx + (1 x) dy = 0.
b. y 4y + 5y = 5x + 1.

Câu 5 (1.5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

xn+2
.
n=0 (n + 2) n!


Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Câu 1 (3.0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x; y) = x y với điều kiện

x2
4

Đề số 12
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

+ y 2 = 5.

Câu 2 (2.0đ) Tính thể tích phần khối cầu x2 + (y + 1)2 + z 2 4 nằm trong mặt trụ x2 + y 2 + 2y = 0.
Câu 3 (1.5đ) Tính tích phân

(x + 2y) dx + (y + 2z) dy + dz,

trong đó elip C là giao của mặt

C

nón 4x2 + y 2 = z 2 và mặt phẳng z = 1, C có h-ớng ng-ợc chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên
xuống.
Câu 4 (2.5 đ) Giải ph-ơng trình vi phân
a. (2 y) dx + (x xy + y + 1) dy = 0.
b. y 2y + 5y = 5x + 3.

Câu 5 (1.5đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

x2n1
.
n=1 (n 1)!



Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 13
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)
a. Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số

+


sin n2 + 1 .

n=1

b. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

+
n=1

2n+1 3n
x .
3n

Câu 2 (1.5đ) Tìm cực trị của hàm số u(x, y, z) = x3 3x2 + y 2 + 2z 2 + xy 2xz + 3x + 2y + 2z.
1

Câu 3 (2.0đ) Tính tích phân I =

2(x2 + y 2)

D

Câu 4 (2.0đ) Tính tích phân mặt I =

dxdy với D là miền x2 + y 2 2x, y x.

xdydz + ydxdz 2(x2 + y 2 + 2)dxdy với S là phần mặt
S

paraboloid z = x2 y 2 , nằm giữa hai mặt phẳng z = 0; z = 4 và S có vecto pháp tuyến h-ớng
xuống d-ới.
Câu 5 (2.5đ) Giải các ph-ơng trình vi phân sau:

a. 2xy xex y dx + xdy = 0.
b. y + 3y 4y = (18x + 21)e2x .

Đề thi môn Giải tích 2 K57

Bộ Môn Toán
Tr-ờng ĐHXD

Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 14
Không sử dụng tài liệu trong phòng thi

Câu 1 (2.0đ)
a. Xét sự hội tụ, phân kì của chuỗi số

+


sin n2 1 .

n=2

b. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

+

3n 1 2n
x .
2n
n=1

Câu 2 (1.5đ) Tìm cực trị của hàm số u(x, y, z) = y 3 + x2 3y 2 + 2z 2 + xy 2yz + 2x + 3y + 2z.
Câu 3 (2.0đ) Tính tích phân I =


D

1
dxdy
3(x2 +y 2 )

Câu 4 (2.0đ) Tính tích phân mặt I =

với D là miền x2 + y 2 2x, y x.

xdydz + ydxdz + 2(x2 + y 2 + 1)dxdy với S là phần mặt
S

paraboloid z = x2 + y 2, nằm giữa hai mặt phẳng z = 0; z = 5 và S có vecto pháp tuyến h-ớng
xuống d-ới.

Câu 5 (2.5đ) Giải các ph-ơng trình vi phân sau:

a. 2xy + xe3x y dx xdy = 0.
b. y 3y 4y = (18x + 3)e2x.


Đáp án và thang điểm đề số 1 Giải tích 2
Câu 1 (2đ)
-Xét trên đ-ờng thẳng {3x y = 0}. Cực đại c( 13 ; 1), cực tiểu c( 13 ; 1). (Giải bằng pp Lagrange hoặc
đ-a về bài toán tìm cực trị tự do cho hàm 1 biến) (1đ)
fx = 2xy + 2 = 0
a(1, 1), b(1, 1). Ta thấy a
-Xét trên miền {3x y < 0}. Tìm điểm dừng
fy = x2 y 2 = 0.
không thuộc miền {3x y < 0}. Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 2y, fxy = 2x, fyy = 2y. Suy ra b không
phải điểm cực trị (1đ).
Câu 2 (2đ) Diện tích mặt cong S = D 1 + (x 1)2 + y 2dxdy, với D : (x 1)2 + y 2 1(1đ).Chuyển

2
1
sang tọa độ cực, ta đ-ợc S = 0 d 0 1 + r2 rdr = 23 (2 2 1) (1đ).

Câu 3 (1.5đ) Tham số hóa cung elip x = 2 cos t, y = 3 sin t, I = .
12
4
Câu 4 (1.5đ) Dễ thấy y 0. Nên thay x = 0 ta đ-ợc ph-ơng trình ey = 1 + y4! có nghiệm duy nhất
2x
2x
d2 y
dy

=
=
(1đ)và
(0) = 2 (0.5đ).
y = 0. Vậy
4
3
3
dx
dx2
1 + x2 + y4! y3!
ey y3!
Câu 5 (2đ)
1
a. Nghiệm thuần nhất là y = C1 e2x + C2 xe2x (0.5đ). Tìm nghiệm riêng là y = e2xx3. Nghiệm tổng
6
quát y = y + y(0.5đ).



t
t
tn+1
n
x
=
y dy =
y n dy. Vậy
b. Miền hội tụ [3, 3) (0.5đ). Đặt t = 3 , ta có 3
n

+
1
0
0
n=0
n=0
n=0


n=0

xn+1
= 3 ln(1 3x) (0.5đ).
3n (n + 1)
Đáp án và thang điểm đề số 2 Giải tích 2

Câu 1 (2đ)
-Xét trên đ-ờng thẳng {3y x = 0}. Cực đại c(1; 13 ), cực tiểu d(1; 13 ). (Giải bằng pp Lagrange hoặc
đ-a về bài toán tìm cực trị tự do cho hàm 1 biến) (1đ).
fx = y 2 x2 = 0
a(1, 1), b(1, 1). Ta thấy a
-Xét trên miền {3y x < 0}. Tìm điểm dừng
fy = 2xy + 2 = 0.
không thuộc miền {3x y < 0}. Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 2y, fxy = 2x, fyy = 2y. Suy ra b không
phải điểm cực trị(1đ).
Câu 2 (2đ) Diện tích mặt cong S = D 1 + x2 + (y 1)2 dxdy, với D : x2 + (y 1)2
1 (1đ).

2
1

2
2
Chuyển sang tọa độ cực, ta đ-ợc S = 0 d 0 1 + r rdr = 3 (2 2 1) (1đ).

Câu 3 (1.5đ) Tham số hóa cung elip x = 3 cos t, y = 2 sin t, I = .
122
0. Nên thay x = 0 ta đ-ợc ey = 1 + y2! có nghiệm duy nhất y = 0. Vậy
Câu 4 (1.5đ) Dễ thấy y
dy
2x
2x
d2 y
= y
=
(1đ) và
(0) = 2 (0.5đ).
2
dx
e y
dx2
1 + x2 + y2! y
Câu 5 (2đ)
1
a. Nghiệm thuần nhất là y = C1e2x + C2 xe2x (0.5đ). Tìm nghiệm riêng là y = e2x x3. Nghiệm
6
tổng quát y = y + y (0.5đ).



t

t
tn+1
b. Miền hội tụ [2, 2) (0.5đ). Đặt t = x2 , ta có 2
=
y n dy =
y n dy. Vậy
n
+
1
0
n=0
n=0 0
n=0


n=0

xn+1
= 2 ln(1 2x) (0.5đ).
2n (n + 1)


Đáp án và thang điểm đề số 3 Giải tích 2
Câu 1 (3đ) a. Tìm điểm dừng

fx = 4x3 2(x + y) = 0
fy = 4y 2(x + y) = 0

a(0, 0), b(1, 1), c(1, 1) (1đ). Đạo hàm

riêng cấp 2: fxx = 12x2 2, fxy = 2, fyy = 2. Suy ra a không phải điểm cực trị và b, c là cực tiểu (1đ).
b. Hàm khả vi trên R2 trừ điểm gốc (1đ).
Câu 2 (3.5đ) a. Sử dụng định lý Green, suy ra tích phân bằng diện tích elip. Vậy I = /2 (1.5đ).
b. Sử dụng công thức Gauss-Oxtrogratxki đ-a về tíchphân ba lớp trên miền hình cầu. Sau đó
2

dxdydz
4 2r 4 r
=
6
dr
(1đ).
Đổi
biến
t
=
4 r2 , I =
đổi sang tọa độ trụ I = 3
0
M
5 + x2 + y 2
5 + r2
2
2 2t
6 0
dt = 6(3 ln 5 4) (1đ).
9 t2
Câu 3 (1.5đ) Ph-ơng trình hình chiếu giao hai mặt là x2 + y 2 = 4. Vậy V =
(4 y 2 y 2)dxdy =
x2 +y 2 4

2
0

2
(4
0

d

2

r )rdr = 8.

x+y
y
dx +
dy = 0. Tích
1y
(1 y)2
1
x
x
y x+y
phân tổng quát 0 0dx + 0
+ ln |y 1| +
x = C (1đ).
dy = C. Hay
2
(1 y)
1y

1y
dx
1
1
SV có thể đ-a về PTTT:
+
.
x=
2
dy y y
1y


x
x
1
t2n+1
= 2
=
b. Miền hội tụ (2, 2) (0.5đ). Ta đặt t = , Tổng bằng 2
( )2n+1 .
2
2
2n
+
1
2n
+
1
n=0

n=0
Câu 4 (2đ) a. Thừa số tích phân 1/(1 y)2, đ-a về PTVP toàn phần



t

t
2n

2

y dy = 2
n=0 0

t



(
0

2+x
1+t
1
= ln
, 2 < x < 2 (0.5đ).
dy = ln
2
1y

1t
2x

2n

y )dy = 2
n=0

0

Đáp án và thang điểm đề số 4 Giải tích 2
Câu 1 (3đ) a. Tìm điểm dừng

fx = 4x 2(x + y) = 0
fy = 4y 3 2(x + y) = 0

a(0, 0), b(1, 1), c(1, 1) (1đ). Đạo hàm

riêng cấp 2: fxx = 2, fxy = 2, fyy = 12y 2 2. Suy ra a không phải điểm cực trị và b, c là cực tiểu (1đ).
b. Hàm khả vi trên R2 trừ điểm gốc (1đ).
Câu 2 (3.5đ) a. Sử dụng định lý Green, suy ra tích phân bằng diện tích elip. Vậy I = /2 (1.5đ).
b. Sử dụng công thức Gauss-Oxtrogratxki đ-a về tích phân ba lớp trên miền hình cầu. I =
dxdydz
3
(1đ). Đổi sang tọa độ trụ I = 12(2 ln 7 3) (1đ).
M
7 + x2 + y 2
(9 y 2 y 2)dxdy =
Câu 3 (1.5đ) Ph-ơng trình hình chiếu giao hai mặt là x2 + y 2 = 9. Vậy V =
x2 +y 2 9

2
0

d

3
(9
0

2

r )rdr =

27
.
3

1
x
+ ln |y + 1| +
x = C (1đ).
1+y
1+y

3 3+x
x2n+1
=
ln
(0.5đ).
b. Miền hội tụ (3, 3) (0.5đ). Tổng

n (2n + 1)
9
2
3

x
n=0
Câu 4 (2đ) a. Nghiệm tổng quát


Đáp án và thang điểm đề số 5 Giải tích 2
Câu 1 (1,0 đ) Hàm véc tơ (P, Q, R) = (y, z, y) có véc tơ rot = (0, 0, 1).
fx = 6x2 6y 2 + 18x 18y = 0
fy = 12y 2 12xy 42y 18x 24 = 0.

Câu 2 (2,0 đ)

Điểm dừng của hàm số a1(2, 2), a2 ( 12 , 52 ), a3( 12 , 12 ) (1đ).
Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 12x + 18, fxy = 12y 18, fyy = 24y 2 12x 42y.
Dễ dàng chứng minh hàm đạt cực tiểu tại a2( 12 , 52 ) và không đạt cực trị tại các điểm còn lại (1đ).
Câu 3 (4,0 đ)
a) (2,0 đ) L là giao của mặt phẳng x+y +z = 1 và mặt parabôlôit z = x2 +y 2. Hình chiếu của L lên mặt
phẳng xOy là đ-ờng tròn (x+ 12 )2 +(y+ 12 )2 = 32 (1đ). Thể tích miền V là tích phân trên miền hình tròn đó
(miền D): V = (1xy x2 y 2) dxdy. Chuyển sang tọa độ cực: x = 12 +r cos , y = 12 +r sin .
D
3
2
Khi đó V = (1 x y x2 y 2) dxdy = 0 d 0 2 32 r2 r dr = 9
(1đ).
8

D

b) (2,0 đ) Biểu diễn tham số của L : x = 12 +

3
2

cos , y = 12 + 32 sin , z = 2 32 (cos + sin )

2
3
3 cos2
6 cos
+
)d =
(1đ).
(
với [0, 2] (1đ). Tích phân đ-ờng I =
2
4
2
0
Câu 4 (1,5 đ) Nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y = C1ex + C2 e2x (0.5đ). Tìm nghiệm
C1ex + C2 e2x = 0
2x
C1 ex + C2e2x = e (2x)
x3

riêng bằng việc giải hệ ph-ơng trình Lagrange
ex (x2)dx

x3

C2(x) =

x1
, C1 (x)
x2

=

= xe 2 (1đ).
2x
Vậy nghiệm riêng của ph-ơng trình không thuần nhất y = C1 (x)ex + C2(x)e2x = ex . Nghiệm tổng
2x
quát của ph-ơng trình đã cho y = y + y = C1 ex + C2 e2x + ex (1đ).


( x2 )n
(1 + 2n )xn
+
=
Câu 5 (1,5 đ) Miền hội tụ 1 x < 1 (0.5đ) và tổng của chuỗi lũy thừa
n2n
n
n=1
n=1


n=1

x

x
xn
= ln(1 ) ln(1 x) = ln 2 ln(2 + x2 3x) (1đ).
n
2
Đáp án và thang điểm đề số 6 Giải tích 2

Câu 1 (1,0 đ) Hàm véc tơ (P, Q, R) = (y, z, y) có véc tơ rot = (0, 0, 1).
Câu 2 (2,0 đ)

fx = 8x2 2y 2 + 14x 12y = 0
fy = 2y 2 4xy 14y 12x 16 = 0.

Điểm dừng của hàm số M1 ( 12 , 5), M2 (2, 4), M3 ( 12 , 1) (1đ).
Đạo hàm riêng cấp 2: fxx = 16x + 24, fxy = 4y 12, fyy = 4y 4x 14.
Dễ dàng chứng minh hàm đạt cực tiểu tại a2( 12 , 52 ) và không đạt cực trị tại các điểm còn lại.
Dễ dàng chứng minh hàm đạt cực tiểu tại M1 ( 12 , 5) và không đạt cực trị tại các điểm còn lại. Giá
trị cực tiểu u(M1 ) = 14 (1đ).
Câu 3 (4,0 đ)
a) (2,0 đ) L là giao của mặt phẳng 2x+2y+z = 1 và mặt parabôlôit z = x2 +y 2 . Hình chiếu của L lên mặt
phẳng xOy là đ-ờng tròn (x+1)2 +(y+1)2 = 3 (1đ). Thể tích miền V là tích phân trên miền hình tròn đó
(miền D): V = (12x2yx2y 2) dxdy. Chuyển sang tọa độ cực: x = 1+r cos , y = 1+r sin .
D

Khi đó V =

(1 2x 2y x2 y 2) dxdy =
D

2
0

d

3
0

(3 r2 ) r dr =

9
2

(1đ).


b) (2,0 đ) Biểu diễn tham số của L : x = 1 +

với [0, 2] (1đ). Tích phân đ-ờng I = 3




3 cos , y = 1 + 3 sin , z = 5 2 3(cos + sin )
2

2

(3 sin cos )dt
0

0

3 sin2 d = 3 (1đ).

Câu 4 (1,5 đ) Nghiệm của ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng y = C1 e2x + C2 e2x (0.5đ). Tìm
2x
nghiệm riêng bằng ph-ơng phap Lagrange y = ex . Nghiệm tổng quát của ph-ơng trình đã cho
2x
y = y + y = C1e2x + C2e2x + ex (1đ).

1 x 1
xn + (2)n xn
Câu 5 (1,5 đ) Miền hội tụ x R (0.5đ) và
= e 2 + ex (1đ).
n+1
n!2
2
2
n=0


Đáp án và thang điểm đề số 7 Giải tích 2
Câu 1. (2.0đ)

n + 2n
=
n2

n=1
chuỗi đã cho phân kì.
a. (1.0đ) Chuỗi số



b. (1.0đ) Miền hội tụ X = R và
Câu 2. (3.0đ)

2n
1
+
. Chuỗi thứ nhất phân kì, chuỗi thứ 2 hội tụ. Vậy
2
n=1 n
n=1 n


xn
(3x)n
1 + 3n n
x =
+
= ex + e3x 2.
n!
n!
n!
n=1
n=1
n=1

a. (1.0đ) Dùng định nghĩa fx (0; 0) = fy (0; 0) = 0. Ta có

|f (x, y)|

= |x| + |y|. Hàm khả vi tại (0; 0).
x2 + y 2
b. (2.0đ) Điểm dừng M1 (2; 2); M2 (0; 2); M3 (3; 1); M4 (1; 1).
Hàm không đạt cực trị tại M1 (2; 2); M2 (0; 2). Hàm đạt cực tiểu tại M3 (3; 1); M4 (1; 1).
Câu 3. (3.0đ)

1
1
1 r2
1t
1t
dt. Đặt u =
, suy ra
rdr
=

a. (1.5đ) Đ-a về tọa độ cực ta đ-ợc I = d
2
1+r
1+t
1+t
0
0
0

1
3
u2
I = 4
= 4 .
2
2
4 8
0 (1 + u )
y 2dxdydz, với hình nón V = {(y, D(y)), 0 y
b. (1.5đ) Dùng định lý Gauss-Oxtrogratxki I =
V
2
32
.
y 2SD(y) dy = y 2y 2dy =
5
0
0
0
D(y)

Chú ý: Chiếu V xuống Oxz, ta đ-ợc V = {((x, y), z) : (x, y) D; x2 + z 2 y 2} với D : x2 + z 2
2

1
32
y3 2
2
4. Suy ra I =

|x2 +z2 dxdz =
.
dxdz
y dy =
(8 ( x2 + z 2 )3)dxdz =

3D
5
D
D 3
x2 +z2
Câu 4. (2.0đ) Nghiệm là y = cos 2x + 2 sin x + x2 + 1.

2, D(y) : x2 + z 2 y 2 }. Suy ra I =

2

2

y 2dy

dxdz =

Đáp án và thang điểm đề số 8 Giải tích 2
Câu 1. (2.0đ)
a. (1.0đ) Chuỗi số
đã cho phân kì.

n(3n +
n=1

n
1
1
. Chuỗi thứ nhất hội, chuỗi thứ 2 phân kì. Vậy chuỗi
=
+
n2 n=1 3n n=1 n

b. (1.0đ) Miền hội tụ X = R và
Câu 2. (3.0đ)

(2x)n
xn
2n 1 n
x =

= e2x ex.
n!
n=1
n=1 n!
n=1 n!


|f (x, y)|

a. (1.0đ) Dùng định nghĩa fx (0; 0) = fy (0; 0) = 0. Ta có

x2 + y 2

|

x 3 x3 + y 3
x2 + y 2

|+|

y

x3 + y 3

3

x2 + y 2

|

2| 3 x3 + y 3|. Hàm khả vi tại (0; 0).
b. (2.0đ) Điểm dừng M1 (0; 2); M2 (2; 2); M3 (1; 1); M4 (3; 1).
Hàm không đạt cực trị tại M1 (2; 2); M2 (0; 2). Hàm đạt cực tiểu tại M3 (3; 1); M4 (1; 1).
Câu 3. (3.0đ)
a. (1.5đ) Nh- đề 7 ở trên, đ-a về tọa độ cực ta đ-ợc I =

3
2

1

d

2

0

b. (1.5đ) Nh- đề 7 ở trên, dùng định lý Gauss-Oxtrogratxki I =
V

1 r2
3
rdr = 4 .
2
1+r
4
8
32
.
x2dxdydz =
5

1
Câu 4. (2.0đ) Nghiệm tổng quát là y = e (x + ) + C1 ex + C2e2x. Suy ra nghiệm là y = xex + e2x .
3
x


Đáp án và thang điểm đề số 9 Giải tích 2
2

2

Câu 1. (3.0đ) a. (1.5đ) | xxyxy
2 +y 2 |
thấy fx (0; 0) = fy (0; 0) = 0,

2

2

| x2x+yy 2 + x2xy+y2 | |x + y|. Từ đó suy ra hàm liên tục tại (0; 0). Đễ
2
2
lim x yxy
không tồn tại giới hạn. Hàm không khả vi tại (0; 0).
2
2 3

(x;y)(0;0)

(x +y )
2

ux = (x y ) (x 1) = 0
. Từ đó suy ra hàm số có 4 điểm dừng M1 (0, 0) ; M2 (1, 0) ;
uy = y (2x x2 y 2) = 0
*Tại M2 (1, 0) hàm số đạt cực tiểu và fCT = 16 .
*Tại M3 (1, 1) ; M4 (1, 1) có AC B 2 = 0 bằng cách xét u(x, 1), u(x, 1) từ đó suy ra hàm số không
đạt cực trị.
*Tại M1 (0, 0) có AC B 2 = 0 chỉ ra u n1 , 0 0 và u n1 , 1n 0 từ đó suy ra hàm không đạt cực

trị.
2
1 x2 + z 2 dxdz trong đó D = {x2 + z 2 1} bằng cách đổi biến tọa độ cực
Câu 2. (2.0đ) V =
b. (1.5đ) Tìm điểm dừng

D

x = r cos
. Qua đó tính đ-ợc V =
z = r sin

3
.
5

Câu 3. (1.5đ) Dùng định lý Green I =
D

1
(1 2y)dxdy = , trong đó D là tam giác ABC : {0
6

x

1, 0 y 1 x}.
Câu 4. (2.0đ) a. (1.0đ) * y 0 là một nghiệm.
1
* y 0 chuyển về pt tuyến tính bậc nhất x x = 1. Nghiệm tổng quát là: x = y( ln |y| + C).
y

Chú ý: Có thể xem ph-ơng trình trên là đẳng cấp bậc 1.
b. (1.0đ) Nghiệm của ph-ơng trình vi phân cấp 2 là y = C1ex + C2 xex + 12 x3ex + x + 2.
Câu 5. (1.5đ) Miền hội tụ X = 12 ; 12 . Tổng S (x) =
1
(1x)2

=





(n + 1) 2n xn =
n=0

xn+1

=

n=0

1
1x

1

=

1
.

(12x)2

Đáp án và thang điểm đề số 10 Giải tích 2
Câu 1. (3.0đ)
a. (1.5đ) Nh- đề trên.

ux = x (x2 + y 2 2y) = 0
từ đó suy ra hàm số có 4 điểm dừng M1 (0, 0) ; M2 (0, 1) ; M
uy = (y 1) (x2 y) = 0
*Tại M2 (0, 1) hàm số đạt cực đại và fCD = 16 .
*Tại M3 (1, 1) ; M4 (1, 1) có AC B 2 = 0 bằng cách xét u(1, y), u(1, y) từ đó suy ra hàm số không
đạt cực trị.
*Tại M1 (0, 0) có AC B 2 = 0 bằng cách chọn dãy suy ra hàm không đạt cực trị.
2
1 y 2 + z 2 dydz trong đó D = {y 2 + z 2 1} bằng cách đổi biến tọa độ cực
Câu 2. (2.0đ) V =
b. (1.5đ) Tìm điểm dừng

D

y = r cos
. Qua đó tính đ-ợc V =
z = r sin

3
.
5

Câu 3. (1.5đ) Dùng định lý Green I =
D

7
(2x + 1)dxdy = , trong đó D là tam giác ABC : {0
6

x

1, 0 y x}.
Câu 4. (2.0đ) a. (1.0đ) * y 0 là một nghiệm.
1
1
* y 0 chuyển về pt tuyến tính bậc nhất x + x = 2. Nghiệm tổng quát là: x = (y 2 + C).
y
y
1 3 x
x
x
b. (1.0đ) Nghiệm của ph-ơng trình vi phân cấp 2 là y = C1e + C2xe + 3 x e 3x + 6.
Câu 5. (1.5đ) Miền hội tụ X = 13 ; 13 . Tổng S (x) =
1
(1x)2

=

1
.
(13x)2

(n + 1) 3n xn =
n=0

xn+1
n=0

=

1
1x

1

=


Đáp án và thang điểm đề số 11 Giải tích 2
Câu 1. (2.0đ) Hàm f đạt cực đại tại M1 (1; 4) với =
Câu 2. (2.0đ) V = 2

1
2

, đạt cực tiểu tại M2 (1; 4) vói = 12 .

2

2

4 (x 1) y 2dxdy trong đó D = (x; y) /(x 1) + y 2 1 . Đổi biến
D



x 1 = r cos
, D = {0 r 1; 0 2} . Vậy V = 2
4 r2 .rdrd = 4
3 .
8

3
3
y = r sin
D
Câu 3. (2.0đ) Sử dụng công thức Stokes ta có I =
dydz + dxdy, trong đó S là mặt x + y + z = 1
S


x = u
2
2
giới hạn bởi x + y 4. Tham số mặt y = v
2dudv = 2SD = 8.
, ta có I =

D
z = 1 u v

x = 2 cos t
Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng tham số y = 2 sin t
, 0 t 2.

z = 1 2 cos t 2 sin t
Câu 4. (2.0đ)
= 1 nên ta chọn à (x) = ex. Ph-ơng trình
Q
a. (1.0đ) (2x xy + 2) dx + (1 x) dy = 0. Vì Q1 P
y
x
t-ơng đ-ơng ex (2x xy + 2)dx + ex (1 x)dy = 0 d(ex (2x xy + y)) = 0 ex (2x xy + y) = C.
b. (1.0đ) y 4y + 5y = 5x + 1 y = e2x (C1 cos x + C2 sin x) + x + 1.
Câu 5. (1.5đ) Miền hội tụ R , tổng



n=0

xn+2
(n+2).n!

= xex ex + 1.

Đáp án và thang điểm đề số 12 Giải tích 2
Câu 1. (2.0đ) Hàm số f (x; y) đạt cực đại tại M1 (4; 1) với =
= 12 .
Câu 2. (2.0đ) V = 2

1
,
2

đạt cực tiểu tại M2 (4; 1) với

4 x2 (y + 1)2 dxdy trong đó D = (x; y) /x2 + (y + 1)2 1 . Đổi biến
D



x = r cos
, D = {0 r 1, 0 2} . Vậy V = 2
4 r2 .rdrd = 4
83 3 .
3
y + 1 = r sin
D
2dydz 2dxdy, trong đó S là mặt z = 1 giới
Câu 3. (2.0đ) Sử dụng công thức Stokes ta đ-ợc I =
S


x = u
2
2
2dudv = 2SD = .
hạn bởi 4x + y 1. Bằng cách tham số mặt y = v , ta đ-ợc I =

D
z = 1

cos t

x = 2
Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng tham số y = sin t , 0 t 2.

z = 1
Câu 4. (2.0đ)
= 1 nên ta chọn à (x) = ey . Ph-ơng
P
a. (1.0đ) (2 y) dx + (x xy + y + 1) dy = 0. Vì P1 Q
x
y
trình t-ơng đ-ơng (2 y)dx + (x xy + y + 1)dy = 0 ey (2 y)dx + ey (x xy + y + 1)dy = 0
d(ey (2x xy + y)) = 0 ey (2x xy + y) = C.
b. (1.0đ) y 2y + 5y = 5x + 3 y = ex (C1 cos 2x + C2 sin 2x) + x + 1.
Câu 5. (1.5đ) Miền hội tụ R , tổng



n=1

x2n1
(n1)!

2

= x.ex .

Đáp án và thang điểm đề số 13 Giải tích 2

Câu 1 (2.0đ) a. (1.0đ) Ta có un = (1) sin n2 +1+n
nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.



3n
2n+1
1

nên R = 3 3. Tại x = 3 3 thì chuỗi phân kì. Vậy miền hội
b. (1.0đ) Ta có 3n |a3n | =
3
3
3
3

tụ là ( 3 3; 3 3).
, 1
.
Câu 2 (1.5đ) Có 2 điểm dừng là M 2; 2; 12 và N 12 ; 5
4
4
6 1 2
*Tại M ta có ma trận đạo hàm riêng cấp 2 là A = 1 2 0 A1 = 6, A2 = 11, A3 = 36. Vậy
2 0 4
hàm số đạt cực tiểu tại M.

3 1 2
*Tại N ta có ma trận đạo hàm riêng cấp 2 là A = 1 2 0 . Suy ra hàm số không đạt cực trị tại
2 0 4
N.
/4
2 cos

1

d
rdr = 2 1.
Câu 3 (2.0đ) Đổi biến trong tọa độ cực đ-ợc: I =
r 2
n

0

/2
2

Câu 4 (2.0đ) Mặt S có ph-ơng trình z = x y với (x, y) D : x2 + y 2 4. Ta có F.n =
4dxdy = 16.
(x, y, 2x2 2y 2 4)(2x, 2y, 1) = 4, suy ra I =
2

D

Câu 5 (2.5đ)

a. (1.0đ) Đ-a về ph-ơng trình Béc-nu-li: x 0, y 0, y = ex
b. (1.5đ) Nghiệm tổng quát là: y = 3xe2x + C1ex + C2e4x .

1 2x
e
4

+C .

Đáp án và thang điểm đề số 14 Giải tích 2
Câu 1 (2.0đ)

nên chuỗi hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz.
a. (1.0đ)Ta có un = (1)n+1 sin n2 1+n



2n
1 nên R = 2. Tại x = 2 thì chuỗi phân kì. Vậy miền hội tụ
b. (1.0đ)Ta có 2n |a2n | = 3n1

2
2

là ( 2; 2).
; 1 ; 1 . Hàm số đạt cực
Câu 2 (1.5đ) Đổi vai trò của x và y. Có 2 điểm dừng là M 2; 2; 12 và N 5
4 2 4
tiểu tại M, không đạt cực trị tại N.

Câu 3 (2.0đ) Đổi biến trong tọa độ cực đ-ợc: I =

/2

2 cos
1


d
/4
2

0

r

rdr =
3


2
2.
3

Câu 4 (2.0đ) Mặt S có ph-ơng trình z = x2 + y với (x, y) D : x2 + y 2 5. Ta có F.n =
2dxdy = 10.
(x, y, 2x2 + 2y 2 + 2)(2x, 2y, 1) = 2 suy ra I =
D

Câu 5 (2.0đ) a. (1.0đ) Đ-a về ph-ơng trình Béc-nu-li: x 0, y 0, y = ex 14 e2x + C .

b. (1.5đ) Nghiệm tổng quát là: y = 3xe2x + C1ex + C2 e4x.